Este documento presenta conceptos clave para entender la lógica de la complejidad, como el grado de verdad y los conceptos casi descomponibles. Explica que hay dos tipos de conceptos, aquellos que implican certidumbre y los que implican incertidumbre. Los conceptos de certidumbre se miden como una intersección mientras que los de incertidumbre como una unión. También introduce las nociones de entropía y teoría de la comunicación para proponer fórmulas que midan el grado de certidumbre e in

1. La lógica de la
complejidad
Cuando uno y uno no
suman dos
Ricardo Alvira

2. Contenidos
 Parte I: algunas definiciones preliminares:
 noción de “Complejo”
 noción de ‘grado de verdad’
 noción de casi-descomponibilidad
 Parte II: dos tipos de conceptos: certidumbre
vs incertidumbre
 Revisión desde la teoría clásica de conjuntos
 Revisión desde la teoría de la comunicación
 Parte III: conclusiones y aplicaciones

3. Parte I_ Algunas ideas
preliminares

4. Complejo
 Etimológicamente proviene de
‘complexus’: aquello que esta tejido en
conjunto
 Utilizamos el término complejopara
designar fenómenos en los que “el todo
es diferente a la suma de las partes”

5. No-complejo = independiente
 Lo contrario a complejo no es sencillo,
sino independiente;i.e.: aquello que no
está tejido.
 Consideramos que un fenómeno no es
complejo cuando “el todo es igual a la
suma de las partes”

6. Complejidad=no linealidad
 En términos matemáticos, la complejidad o
no de un aspecto de un fenómeno, se
determina en función de la relación que
mantiene con sus aspectos constituyentes:
 Lineal [independiente]
 No lineal [complejo]

7. Complejidad=no linealidad
 O expresado de otra manera:
 Lineal [independiente] es decir, 1+1=2
 No lineal [complejo] es decir 1+1≠2

8. Linealidad y no linealidad no
son excluyentes
 Un mismo fenómeno puede combinar
aspectos complejos y no complejos. Por
ejemplo, una compra de acciones:
 El coste de compra de las acciones varia
linealmente; es proporcional al numero de
acciones que compramos.
 La evolución posterior del precio de las
acciones no es lineal; es caótica.
 La utilidad que obtenemos de las plusvalías
obtenidas no es lineal; tiene marginalidad
decreciente

9. Grado de verdad
 Surge en el marco de la lógica difusa / teoría
de conjuntos difusos [Zadeh, 1965] para
hacer frente a conceptos que pueden ser
verdad parcialmente al referirlos a un objeto
 La lógica clásica solo admite dos valores de
verdad: verdadero o falso; blanco o negro
 La lógica difusa admite ‘grados de verdad’;
equivale a aceptar que además de lo blanco y
lo negro, existen infinitas tonalidades de gris

10. Conceptos casi
descomponibles
 Idea implícita en la propuesta de L-Fuzzy Sets
[Goguen, 1967]: el grado de verdad acerca
de una afirmación, puede normalmente
considerarse como una combinación de
diversos grados de verdad acerca de
afirmaciones parciales.
 Por ejemplo, para decidir en qué grado soy
feliz, puedo necesitar evaluar en que grado
estoy feliz en tres aspectos: salud, amor y dinero

11. Conceptos casi
descomponibles
 El grado de verdad de un concepto global
debe determinarse a partir del grado de
verdad de diferentes conceptos parciales,
que interactúan entre ellos de manera no
lineal, es decir, de manera “compleja”
 Por ello, los vamos a llamar “conceptos
complejos casi descomponibles”

12. Conceptos casi
descomponibles
 Existen numerosos conceptos complejos
“casi” descomponibles:
 Democracia, Sostenibilidad, depresión,
felicidad, talento, calidad, y un largo etc…
 Por mayor continuidad, vamos a seguir con el
ejemplo de la Felicidad, que admite una
descomposición sencilla como:
Felicidad
Amor y Salud y Dinero

13. Parte II- Dos tipos de
conceptos

14. Lógica y dualidad
 Poder afirmar la verdad de algo exige poder
afirmar su falsedad; para que algo pueda ser
cierto debe poder ser falso.
 Cualquier cualidad que podamos referir a un
objeto implica que existe la contraria
 Lo cierto se opone a lo falso, lo bajo a lo alto;
lo probable a lo improbable, la Felicidad a la
Infelicidad…

15. Dos tipos de conceptos
 Cuando revisamos cada concepto junto con
su complementario, vemos una diferencia
importante entre ambos:
 Para ser ‘felices’ necesitamos tener amor
salud y dinero
 Para ser ‘infelices’ nos basta con que nos
falte ‘salud, amor o dinero’

16. Dos tipos de conceptos
 Desde la Teoría de conjuntos podemos
modelar lo anterior como que:
Felicidad ∩ ∩
Infelicidad ∪ ∪
 Lo primero es una intersección de
conceptos; lo segundo una unión.

17. Dos tipos de conceptos
 Y en términos de calculo, su formulación es
considerable diferente:
, ,
, ,
 Supone igualar la felicidad al valor mínimo de los
parámetros, y la Infelicidad al valor máximo de sus
complementarios.
 Aparece una ASIMETRIA entre ambos tipos de
conceptos

18. Dos tipos de conceptos
 Sin embargo, la modelización anterior no
proporciona un valor satisfactorio en muchas
situaciones:
 Por ejemplo, una situación tal que Salud=0,2;
Amor=0,8; dinero=0,8, es preferible a otra en la
que: Salud=0,2; Amor=0,2 y dinero=0,2
 El valor mínimo de los tres no se ha modificado,
pero el ‘grado de felicidad’ se ha reducido sin
duda desde la primera a la segunda situación. Las
operaciones de unión e intersección de la teoría
de conjuntos no resuelven la no linealidad.

19. Dos tipos de conceptos
 Además, no pueden explicar porque existe
esta diferencia entre ambos tipos de
conceptos
 Para explicarlo y proponer formulaciones
correctas de agregación, deberemos acudir
a la Teoría de la Comunicación [Shannon,
1949]

20. Teoría de la Comunicación
 Propone medir la información recibida en
una comunicación a partir de la cantidad de
incertidumbre que nos ha permitido eliminar
su recepción..
 Se relaciona con la improbabilidad de recibir
un determinado mensaje, que a su vez
depende del contexto

21. Teoría de la Comunicación
 Un mensaje muy esperado apenas nos
proporciona información.
 Un mensaje muy poco esperado nos
proporciona mucha información.

22. Teoría de la Comunicación
 Por ejemplo; un compañero nos ofrece por un
precio decirnos cual va a ser el ‘tema’ que nos
van a preguntar en un examen.
 ¿Estaríamos dispuestos a pagar lo mismo si en
total se han explicado 2 temas en clase que si
se han explicado 200?
 En ambas situaciones, recibiremos el mismo
mensaje; no dirán el tema que se va a
preguntar. Sin embargo, en el segundo caso,
seguramente estaremos dispuestos a pagar
más por esa información. ¿Por qué?

23. Teoría de la Comunicación
 La primera forma de entenderlo desde la idea
de dualidad; revisando tanto lo que sabemos
que va a ser como lo que sabemos que no va a
ser en ambas situaciones. En ambos casos
habremos adquirido la certeza de que un tema
‘X’ va a ser preguntado, pero…;
 en el primer caso sabremos que 1 tema no va a
ser preguntado.
 en el segundo sabremos que 199 temas no van
a ser preguntados.
 En el segundo caso el mensaje recibido nos
permite negar 198 afirmaciones más;
obviamente, hemos recibido más información.

24. Teoría de la Comunicación
 Otra forma de entenderlo es a partir de la
idea de probabilidad:
 En el primer caso, la probabilidad de acertar
con el tema es un 50%.
 En el segundo, es un 0,5%.
 En el segundo es más improbable que
acertemos si no sabemos cual es el tema
que va a salir. Se asemeja a una apuesta
en la que cuanto mas improbable es
ganar, mayor es la recompensa.

25. Teoría de la Comunicación
 A partir de lo anterior, para medir la cantidad
de información que nos suministra un
mensaje, la Teoría de la Comunicación
propone la formula de la Entropía [Shannon,
1949]:
∗ log

26. Teoría de la Comunicación
 Además, la teoría de la comunicación
propone otras dos formulas interesantes:
 La entropía condicional
, ∗
,
 La información común
;

27. Grado de Certidumbre vs
Grado de Incertidumbre
 Para las formulaciones que vamos a
proponer nos apoyamos en tres ideas:
 La Entropía mide la incertidumbre
 La información común nos permite medir la
coincidencia entre dos objetos
 Si uno de los objetos es conceptual, la
información común nos permite medir la
concordancia entre un objeto y un significado.

28. Grado de Certidumbre vs
Grado de Incertidumbre
 Podemos utilizar la formula de la información
común para medir el grado de coincidencia
entre un concepto global y aquellos
parciales en los que lo hemos descompuesto.
 Vamos a realizarlo para dos conceptos muy
especiales:
 x=‘certidumbre’
 No-x=‘incertidumbre’
 A los valores que calculamos los llamaremos
Grado de Certidumbre y Grado de
Incertidumbre respectivamente

29. Grado de Certidumbre vs
Grado de Incertidumbre
 Grado de certidumbre
, % % p ∗
∗ log
p ∗ log
 Grado de incertidumbre
, % % 1 p ∗
∗ log
p ∗ log

30. Grado de Certidumbre vs
Grado de Incertidumbre
 El Grado de Certidumbre resulta el valor
complementario del Grado de
Incertidumbre.
 Sus representaciones graficas resultan
complementarias

31. Grado de Certidumbre vs
Grado de Incertidumbre
 Si continuamos con el ejemplo de la
Felicidad, obtendríamos que:
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C¬c[I]%
Cc[I]%
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Salud
Amor
Dinero

32. Parte III_ Conclusiones y
aplicaciones

33. Certidumbre vs Incertidumbre
 Las conclusiones son de enorme
importancia porque…
 en la realidad uno y uno casi nunca suman
dos
 vemos que uno y uno pueden sumar ‘más
o menos’ que dos
 el resultado no es aleatorio, sino que sigue
una regla que se relaciona con el
significado de los conceptos medidos.

34. Certidumbre vs Incertidumbre
 Cuando un concepto implica certidumbre,
uno y uno suman menos que dos
 Cuando un concepto implica
incertidumbre, uno y uno suman mas que
dos.

35. Certidumbre vs incertidumbre
 La importancia de estos dos significados se
vuelve enorme:
 Casi todos los conceptos comparten algo de
‘significado’ con certidumbre o con
incertidumbre, y con ello las cuestiones que
hemos revisado debe ser aplicadas al medirlos.
 Al haber realizado las formulaciones a partir de
la formulación de la Entropía, las conclusiones
son interpretables tanto en términos de
significado [sujeto] como en términos físicos
[objeto]

36. Conceptos que implican
certidumbre
 En términos de significado implican las
siguientes cualidades:
 Control
 Predictibilidad
 Conocimiento
 Deseabilidad
 En términos físicos [termodinámica]
implican alejamiento del equilibrio
térmico,es decir, organización.

37. Conceptos que implican
incertidumbre
 En términos de significado implican las
cualidades opuestas:
 Ausencia de Control,
 Impredictibilidad,
 Des-conocimiento
 No-deseabilidad
 En términos físicos [termodinámica]
implican acercamiento al equilibrio
térmico,es decir, desorganización.

38. Posible aplicaciones
 Teoría de la Decisión:
 Las decisiones se toman en función de la ‘utilidad’
que se obtiene de diferentes cursos de acción
 La utilidad se suele valorar de una manera similar
a la descomposición lógica planteada.
 La utilidad es un concepto que implica
alejamiento del equilibrio [acción] o control; es
decir, certidumbre
 La agregación de la información para el calculo
de la utilidad global debe seguir las formulas de
los conceptos que implican certidumbre.

39. Posible aplicaciones
 Teoría de Sistemas:
 Existen numerosos fenómenos que son
interpretables como sistemas: ecosistemas,
empresas, ciudades, uniones internacionales, …
 Las propiedades emergentes se refieren a
conceptos que implican alejamiento del equilibrio
térmico [autoorganización y estructuras
disipativas] o certidumbre.
 La agregación de la información para el calculo
del grado de emergencia de diferentes
propiedades en los sistemas debe seguir las
formulas de los conceptos que implican
certidumbre.

40. Otras posibles aplicaciones
 Determinación del grado de verdad de
cualquier proposición difusa que refiere un
concepto casi descomponible a un objeto.
 Admite muchísimos conceptos que en la
actualidad son difíciles de medir:
 Depresión
 Dificultad de realizar una tarea
 Talento,
 Grado en que un sistema político es
democrático, etc..

41.  ALVIRA, RICARDO [2014]
 Una Teoría Matemática de la Sostenibilidad y el Desarrollo
Sostenible
 Una Teoria Unificada de la Complejidad
 BOOLE, GEORGE [1854] An Investigation of The Laws of Thought, on
which are Founded the Mathematical Theories of Logic and
Probabilities
 GOGUEN, J. A. [1967] “L-Fuzzy Sets”. Journal of Mathematical
Analysis and Applications 18, 145-174
 SHANNON, CLAUDE [1948] A Mathematical Theoryof
Communication
 ZADEH, LOFTI A. [1965] “Fuzzy Sets”. Information and Control, 8, 338-
353 (1965)
Bibliografía

42. Eso es todo, muchas gracias
por su atención !!!
 Cualquier comentario será bienvenido
ricardo.alvira@gmail.com
 Se pueden consultar otros documentos
del autor en
https://independent.academia.edu/Alvira