plano y recta en el espacio

1. República Bolivariana de Venezuela
I.U.P. Santiago Mariño
Geometría Analítica
PLANO Y RECTA EN EL ESPACIO
Andy Molina
V-16678943
Ing Electrica
Seccion 4ª
21 de Enero de 20016

2. Plano
Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica
que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número
infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.
Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto
de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce
como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números
enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números
enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o
zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el
plano.
Plano Euclídeo
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan
en el origen , cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y),
que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente,
que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas.

3. La ecuación del eje es , y la del eje es , rectas que se cortan en el
origen , cuyas coordenadas son .
Se denomina también eje de las abscisas al eje , y eje de las ordenadas al eje . Los
ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las
coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del
punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por
las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos
a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A
se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
La posición del punto A será:
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como
las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto
de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B
antes calculada.

4. El Plano R3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3
, podemos hallar los siguientes hechos, (los
cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
 Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
 Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es
contenida por el plano mismo.
 Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas
entre sí.
 Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos
entre sí.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo, existe solo
un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo, existe un
número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al
plano Π.
Ecuación del plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos
vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida,
resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto
genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial
de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

5. Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un
plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
 Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
 Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto
A no pertenece al plano 2.
 Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.
Distancia de un punto a un plano
Para un plano cualquiera y un punto
cualquiera no necesariamente contenido en dicho plano Π, la
menor distancia entre P1 y el plano Π es:
De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera
están normalizados, esto es cuando , entonces la fórmula
anterior de la distancia D se reduce a:
LA RECTA EN EL ESPACIO
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con
un punto P y con una dirección dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es
igual a multiplicado por un escalar:

6. Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al
primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

7. Ecuación vectorial de la recta
Posiciones relativas entre rectas
Dos rectas serán paralelas si tiene vectores directores paralelos.
Dos rectas serán coincidentes si comparten al menos dos puntos diferentes.
Dos rectas se intersecan si no son paralelas y tienen un punto en común.
Dos rectas serán coplanarias5 si están contenidas en algún plano.
Dos rectas son coplanarias si y solo si o bien son coincidentes o bien se intersecan o
bien son paralelas.