DINAMICA I

1. Trabajo
y
Energía
Dinámica I
Autores:
Cantos Pluas Joel
Di Lorenzo León Israel
Piedra Pineda Robert
Revelo losa David
Tumbaco Toala Renato

2. PROLOGO
Presentamos a los estudiantes de la universidad politécnica salesiana (UPS)
sede Guayaquil un proyecto de Dinámica I en el cual realizaremos la
resolución de un ejercicio que tiene que ver con respecto al tema de Trabajo y
Energía.
La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo
de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios
de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es
describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico,
cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución
para dicho sistema de operación.

3. ÍNDICE
1. Presentación
2. Introducción
3. Diseño y Elaboración del proyecto
4. Planteamiento del problema
5. Idea o solución
6. Ejecución del problema
7. Trabajo Practico
8. Recomendaciones
9. Conclusión
10. Materiales

4. PRESENTACIÓN
La formulación del proyecto está presente en la vida cotidiana en
especial en nuestra carrera como la ingeniería, y no siempre ha sido fácil
su comprensión y análisis. El estudio de la dinámica es prominente en los
sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la
termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los
aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose
para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.
La dinámica estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a
las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una
definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la
velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza.
Isaac Newton demostró que la velocidad de los objetos que caen
aumenta continuamente durante su caída. Esta aceleración es la misma
para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la
resistencia del aire (rozamiento). Newton mejoró este análisis al definir
la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración.
Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la
velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría
de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y
subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría
cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del
movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el
estudio de las causas del cambio en el movimiento).
.

5. INTRODUCCIÓN
La primera contribución importante se debe a Aristóteles. Aristóteles
define, el movimiento, lo dinámico, como "La realización acto, de una
capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está
actualizando". El problema está en que Aristóteles invierte el estudio de la
cinemática y dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y
después el movimiento de los cuerpos.
Este error dificultó el avance en el conocimiento del fenómeno del
movimiento hasta, en primera instancia, San Alberto Magno, que fue
quien advirtió este error, y, en ultima instancia hasta, Galileo Galilei e
Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su
De proportionibus velocitatum in motibus una ley matemática que
enlazaba la velocidad con la proporción entre motivos a fuerzas de
resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante dos siglos,
pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición
de «acrecentar», su trabajo se descartó y no se le ha dio reconocimiento
histórico en su día.1
Ya con Galileo sus experimentos sobre cuerpos uniformemente
acelerados condujeron a Newton a formular sus leyes fundamentales del
movimiento, las cuales presentó en su obra principal Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica Los científicos actuales consideran que
las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor
parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero
existen excepciones.
En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son
adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la
velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente
pequeños comparables a los tamaños moleculares.

6. La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al
hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que
aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el
cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay
que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad
que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una
determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar
adecuado.

7. DISEÑO Y ELABORACIÓN DEL PROYECTO
La dinámica, es una parte de la mecánica que estudia el movimiento, a
partir del concepto causa lista que, si la velocidad de un cuerpo varía, es
debido a una causa. La causa que provoca este cambio es lo que en la
actualidad le llamamos fuerza, palabra que deriva del latín “forrita”, y
cuyo concepto deriva de la palabra griega “δΰναμιζ” (dynamiz), de donde
surge el nombre de dinámica.
Por lo antes expuesto, podemos decir que la dinámica es la parte de la
física que estudia las fuerzas, y debemos definir cuantitativamente el
concepto fuerza para darle carácter de magnitud física.
Dentro del modelo que expondremos, consideraremos que un cuerpo
es puntual, si los efectos de rotación o giro sobre si mismo los podemos
despreciar, modelizándolo como un cuerpo sin extensión, un punto.
El primer hombre que conocemos, que intentó definir
cuantitativamente la fuerza, fue Isaac Newton (1642-1727)
sistematizando la dinámica, por lo que comenzaremos analizando su
modelo y sus consecuencias.
En su libro “Philosophiae naturalis principia matemática” publicado en
1687 en Latín (idioma culto de la época), Newton comienza realizando un
conjunto de definiciones de las cuales transcribimos, de la publicación en
inglés de la tercera edición, las que consideramos más importantes a los
efectos de poder entender su modelo.
Cálculo en dinámica
A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es
posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar
cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre
de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que

8. se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción
de las fuerzas.
El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del
movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos
se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente
auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la
dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a
donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la
aceleración.
Trabajo y energía
Se denomina trabajo infinitesimal realizado por una fuerza sobre una
partícula que experimenta un desplazamiento elemental, al producto
escalar de la fuerza por el desplazamiento.
Obsérvese el carácter escalar del trabajo cuyas dimensiones son ML2T-
2 siendo el Julio la unidad en el S.I.
Si pretendemos calcular el trabajo finito entre dos posiciones (A y B)
habríamos de integrar la expresión (1.1)
Si pretendemos calcular el trabajo finito
entre dos posiciones (A y B) habríamos
de integrar la expresión (1.1)
quedándonos:
A y B, límites de integración (posiciones
de la partícula); C, línea de ciculación
(trayectoria).

9. En general el trabajo realizado sobre una partícula depende de la
fuerza que lo realiza, de las posiciones inicial y final y de la trayectoria
seguida por la partícula.
En el caso particular de una fuerza constante que coincide en dirección
y sentido con el desplazamiento:
Quedándonos la expresión particular para el trabajo aprendida en
cursos anteriores..
Se define potencia instantánea a la variación con el tiempo del trabajo...
P=dT/dt, P=Fdr/dt, P=Fv; la potencia media se obtendría multiplicando la
fuerza escalarmente por el incremento de la velocidad. La ecuación de
dimensiones de la potencia es ML2T-3 y su unidad en el S.I. el watio; otras
unidades utilizadas son el caballo de vapor (CV=735 w) y el caballo de
vapor inglés (HP=746w).
Teorema del trabajo y de la energía cinética
Sea F la fuerza neta aplicada a una partícula que se mueve a través de
una trayectoria C entre las posiciones A y B...
Sabemos que
Al ser F la fuerza neta
(Newton; F=ma,F=mdv/dt),sustituyendo nos
queda:

10. El trabajo total realizado sobre una partícula que se desplaza entre dos
posiciones A y B a través de C coincide con la variación de la energía
cinética de la partícula entre ambas posiciones.
Sistema de Unidades SI
El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le
Système International d'Unités), también denominado Sistema
Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de
unidades que se usa en todos los países y es la forma actual del sistema
métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema métrico»,
especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su
uso cotidiano. Fue creado en 1960 por laConferencia General de Pesos y
Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas.
En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol.

11. Una de las principales características, que constituye la gran ventaja
del Sistema Internacional, es que sus unidades están basadas en
fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la
magnitud masa, el kilogramo, que está definida como «la masa del
prototipo internacional del kilogramo» o aquel cilindro de platino e iridio
almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y
Medidas.
Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones
de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una
cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite
alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos
similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende
asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el
cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el
comercio internacional y su intercambiabilidad.
W = mg(N) (g = 9.81 m/s^2)
Segunda ley de Newton o Ley de fuerza
La segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de
movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la
línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya
masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza
modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o
dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de
movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se
desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que
producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación
entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están
relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en
función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas

12. serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del
objeto.
En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:
Donde es la cantidad de movimiento y la fuerza total. Si
suponemos la masa constante y nos manejamos con velocidades que no
superen el 10% de la velocidad de la luz podemos reescribir la ecuación
anterior siguiendo los siguientes pasos:
Sabemos que es la cantidad de movimiento, que se puede escribir
m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.
Consideramos a la masa constante y podemos escribir
aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior:
Que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de
proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia.
Veamos lo siguiente, si despejamos m de la ecuación anterior obtenemos
que m es la relación que existe entre y . Es decir la relación que hay
entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un
cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleración (una gran
masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por esta razón por la que la
masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.
Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es
cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de
la resultante y en dirección de ésta. La expresión anterior así establecida

13. es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista,
a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos
teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo
es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se
mueve, la mecánica relativista establece que la masa de un cuerpo
aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.
De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la
unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la
fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a
una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se
entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y
sentido.
La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el
problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita
para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme
(m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).
Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar
primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de
un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a
cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una aceleración descendente
igual a la de la gravedad.
Concepto de trabajo
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza
por el vector desplazamiento.

14. Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del
desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el
ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la
suma de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la
función que relaciona la componente tangencial de la fuerzaFt, y el
desplazamiento s.
Ejemplo:
Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la
constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es
la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es
(0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la
componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el
desplazamiento.

15. W=Ft·s
Ejemplo
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de
aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y
del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es
positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es
negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Concepto de energía cinética
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una
partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia
entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

16. En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la
componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración
tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada
del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el
tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de
las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo:
Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una
tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante
de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de
15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuerza conservativa. Energía potencial

17. Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a
la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que solo
depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía
potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido
para ir del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado
es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado
ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento

18. dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la
trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se
relacionan a través de la interpretación geométrica de la
derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la funciónf(x)
con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total
en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata
de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

19. Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el
trabajo WCA=0
El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se
desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya
ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso
tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel
cero de la energía potencial.

20. La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una
fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo
contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx
Para x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la
posición xA a la posición xB es
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza
conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo:
cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se
toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.
Principio de conservación de la energía
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el
trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final
de la energía potencial

21. Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de
las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el
valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de
conservación de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más
cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m.
Calcular
La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y
cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado
La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g=10 m/s2
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
Cuando x=1 m

22. Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial
disminuye y la energía cinética aumenta.
Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa,
vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa.
Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada
de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB=mg x
WBA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-
B-A, WABA es cero.

23. La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de
rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la
fuerza es de signo contrario al desplazamiento
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del
camino cerrado A-B-A, WABA es
distinto de cero
WABA=-2Fr x
Balance de energía
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan
sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final
menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la
energía potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos
que

24. El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica
(cinética más potencial) de la partícula.
Ejemplo 1
Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un
plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el
coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
La longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se
para
La velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a
B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J
De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5
m, h=x·sen30º=5.75 m

25. Cuando el cuerpo desciende
La energía del cuerpo en B
es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a
A es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J
De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 2
Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de
cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido
es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y
normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la
dirección tangencial

26. mat=mg·cosθ-Fr
Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración.
Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La
fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un
pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la
posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la
energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía
cinética más la variación de energía potencial.

27. El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe
el cuarto de círculo es
Ecuaciones del movimiento
Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que
permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en
función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica
clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:
La mecánica newtoniana que recurre a escribir
directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a
ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa
en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas
de referenciainerciales.
La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones
diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de
coordenadas totalmente generales, llamadascoordenadas generalizadas,
que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las
ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea
éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables
el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten
encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de
conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las
ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de
primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas
admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual
hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades
conservadas.

28. El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de
una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método
de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se
conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.
Diagrama de cuerpo libre
Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a
menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso
particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a
menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama
de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas
sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos
diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas
que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama
facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en
cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el
análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras
Lo que hay que incluir
El esquema del cuerpo debe llegar solo al nivel de detalle necesario. Un
simple esbozo puede ser suficiente y en ocasiones, dependiendo del
análisis que se quiera realizar, puede bastar con un punto.
Todas las fuerzas externas se representan
mediante vectores etiquetados de forma adecuada. Las flechas indican la
dirección y magnitud de las fuerzas y, en la medida de lo posible, deberían
situarse en el punto en que se aplican.
Solo se deben incluir las fuerzas que actúan sobre el objeto, ya sean
de rozamiento, gravitatorias, normales, de arrastre o de contacto. Cuando
se trabaja con un sistema de referencia no inercial, es apropiado
incluir fuerzas ficticias como la centrífuga.

29. Se suele trabajar con el sistema de coordenadas más conveniente, para
simplificar las ecuaciones. El sentido del eje x puede hacerse coincidir con
la dirección de descenso de un plano inclinado, por ejemplo, y así la
fuerza de rozamiento sólo tiene componente en esa coordenada, mientras
que la normal sigue el eje y. La fuerza gravitatoria, en este caso, tendrá
componentes según los dos ejes, mg sen (theta) in el x y mg cos (theta) en
el y, donde theta es el ángulo que forma el plano con la superficie
horizontal
Cinemática
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten
definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio
euclídeo (o más generalmente variedad diferenciable). En física clásica se
usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales, caracterizados
por un punto denominado origen y un conjunto de ejes perpendiculares
que constituyen lo que se denomina sistema de referencia Podemos
llamarla bidimensional.

30. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los bloque A y B mostrados en la figura tienen masa de 3.863 kg y 2.159
kg respectivamente. Determine la distancia de B recorre desde el punto
donde es liberado del reposo hasta el punto en que su rapidez es de 2m/s.

31. IDEA O SOLUCION

33. TRABAJO PRÁCTICO
Realizando los planos básicos del trabajo practico

34. Cálculos del proyecto

35. Realizando el trabajo practico del proyecto

36. Construcción de las cajas del proyecto

37. RECOMENDACIONES
Al realizar este proyecto las recomendaciones como grupo es que
siempre hay que tener en cuenta que cualquier ejercicio por fácil sencillo
o difícil que sea siempre se lo tiene que realizar con un debido proceso en
el cual se tiene que plantear el ejercicio primero realizar tomando muy en
cuenta el método por el cual se lo realiza y no solo comprobarlo haciendo
cálculos si no también la comprobación en realizando la maqueta
probando con pesos más grandes de los que se puede calcular.
En la elaboración de este proyecto se toma en cuenta la realización
correcta la maqueta que tiene que estar muy bien hecha para que pueda
funcionar de forma correcta de acuerdo con los datos que se obtienen
después de realizar los cálculos.

38. CONCLUCIÓN
La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas
externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de
esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y
producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y
las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de
equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en
una estructura estáticamente indeterminada y es necesario
complementarlas con relaciones.

39. MATERIALES
Los materiales que usamos para hacer la maqueta son:
- Madera
- Taladro
- Tuercas
- Arandelas
- Pintura
- Metro
- Lápiz
- Escuadra
- Perno
- Tornillos
- Aglomerado
- Lija
- Franela

40. BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica
http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/dinamica/index.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/dinamica.htm
http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_dinamica.php
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/dinamica/index.htm
http://www.higiene.edu.uy/pautas.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Libro_de_visitas
http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/Din%C3%A1mica
http://html.rincondelvago.com/fisica-dinamica_1.html
http://www.monografias.com/trabajos-pdf/dinamica-fisica/dinamica-fisica.shtml
http://www.fisica-facil.com/Temario/Dinamica/Teorico/Newton/Dinamica.htm

41. ______________________________________
Ing. Ángel Acosta
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Joel Cantos Israel Di Lorenzo
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Robert Piedra David Revelo
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Renato Tumbaco

42. “…solo se fracasa cuando se deja de intentar…”