1. Mat. Juan Jiménez Krassel

2.  ¿Qué es el conocimiento matemático?
◦ Se mueve entre dos posiciones, por un lado, su naturaleza
histórica y por otra, los objetos matemáticos actuales.
◦ Pudiera pensarse que el conocimiento matemático actual se
ocupa de estructuras y sus propiedades, lo que implica poner el
acento principal en cuestiones lógicas.
◦ Dichas estructuras pueden apreciarse por su belleza y
abstracción, como ocurre con otros productos de la creatividad
humana, pero también por el servicio que brindan a las demás
ciencias, por sus posibilidades de aplicación.

3.  ¿Cómo se adquiere dicho conocimiento?
◦ Directa. Mediante la intuición, un conocimiento creativo
y subjetivo: Razonamiento empírico.
◦ Reflexiva. Mediante la lógica, un conocimiento analítico y
reflexivo: Razonamiento deductivo.

4. Razonamiento empírico
◦ El razonamiento empírico puede describirse como la
formulación de las conclusiones que se basan en la
experiencia y en la observación.
◦ El razonamiento empírico contiene a menudo
manipulaciones pesadas con casos especiales,
observación de coincidencias y el empleo frecuente de la
analogía, la experiencia a una buena suposición, la
experimentación considerable y los destellos de
intuición.*
*Estudio de las Geometrías: Howard Eves

5. Razonamiento deductivo
 Platón filósofo griego en su obra La
República describe la contraposición entre
la realidad y el conocimiento e incluye
pasajes en los que establece que la
matemática (y todo razonamiento lógico)
necesita apoyarse en presupuestos
previos y en lo que llama el conocimiento
discursivo descendente, de lo que se
presupone a lo que se deduce.

6. Naturaleza empírica
 El cálculo inicia por
determinar el área de la
base: 4×4 = 16.
 Se encuentra el área de la
tapa: 2×2 = 4.
 Después se computa el
producto del lado de la base
por el lado de la tapa: 4×2 =
8. Estos números se suman
y se obtiene 28.
 Ahora se toma un tercio de
la altura, es decir, 2.
Finalmente se toman el
producto de un tercio de la
altura y 28 y el escriba
anota: Miren que da 56.

7. Naturaleza deductiva
La primera obra
conocida de
naturaleza
deductiva son los
Elementos de
Euclides.

8.  Para establecer la verdad de proposiciones.
 Para comunicar verdades matemáticas.
 Para construir técnicas para resolver cierto tipo de
problemas.
 Sistematización de resultados.
 Descubrimiento

9.  La intuición es un elemento importante al
demostrar una proposición.
 Formular conjeturas, elaborar generalizaciones,
plantear hipótesis.
 La intuición puede llevarnos a resultados poco
confiables, por tanto, es imprescindible demostrar
lo que la intuición nos proporciona.

10.  El razonamiento inductivo se basa en la
elaboración de conjeturas e hipótesis que, a partir
de un conjunto de observaciones, conducen a la
generalización de propiedades. Probar una
propiedad requiere de la deducción que la
independiza de la experiencia y la torna universal.

11.  El razonamiento deductivo. A partir de un sistema
axiomático, se elaboran cadenas de argumentos
que permiten establecer la validez de
proposiciones matemáticas.
 El principio básico consiste en determinar el valor
de verdad de proposiciones del tipo “Si A
entonces B”

12.  Antes de los griegos.
◦ Las matemáticas conocidas eran tratados sobre
formulas y procedimientos que permitían resolver
problemas, sin necesidad de una demostración.
 La matemática griega.
◦ Es el primer ejemplo de sistematización de las
matemáticas conocidas, así como del uso del
razonamiento deductivo en las demostraciones
matemáticas.

13.  Dada una proposición de la forma “ Si A entonces
B”, llamamos a A hipótesis y a B conclusión. Así,
la idea de demostrar una proposición del tipo
anterior, consiste en suponer que A es verdadero,
y al construir una cadena de argumentos, obtener
que B es verdadero.

14.  Una manera de hacerlo es pensar “de adelante
para atrás”. Es decir, pensemos que B es
verdadero y en las posibles formas equivalentes
(en términos de verdad) de la proposición B, de
forma que resulte más simple obtener la
conclusión.
 Otra manera es la de ir “de atrás para adelante”,
suponiendo que A es verdadero, obtener
proposiciones equivalentes a A encaminadas a
probar que B es verdadero.

15.  Demostrar que:
◦ Si n es un entero par, entonces el cuadrado de n
también es par.
◦ Si n es un entero para el cuál −n +2
2
3 n+8=0
entonces 22−n −
n 3 =2

16. Otro método para demostrar proposiciones
matemáticas es utilizando la equivalencia lógica
de la proposición “si A entonces B” con la de “si
no B entonces no A”, conocido como
contrapositiva, y aplicando los métodos
anteriores.
Demuestre que si c es un entero+−=
2 impar, entonces la
n nc 0
solución de
es impar.

17. Otro método para demostrar proposiciones es el
de “reducción al absurdo”. En este método se
trata de suponer que A es verdadero y que no B
también es verdadero, de donde se obtiene una
contradicción.
Demuestre que raíz cuadrada de 2 es un número
no racional.

18.  El método de inducción matemática consiste en
probar que una propiedad es verdadera para el
conjunto de los números naturales, haciendo uso
de lo siguiente: Si A es un subconjunto de los
números naturales que cumple: 1) el 1 pertenece
al conjunto A y 2) si k esta en A entonces k+1
también esta en A, entonces A es el conjunto de
los números naturales.