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Solução listaexercicios 1º bimestre_2-2016_concretoii

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roger forte

concreto II

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UNESC Faculdade de Educação e Cultura de Porto Velho Lista de Exercícios para Estudo – Concreto Armado II - RESOLUÇÃO Prof. Cristiano Comin Semestre 2/2016 - 1º Bimestre Exercício 1: Determinar a armadura necessária para uma seção retangular considerando os seguintes dados: Mk = 95 kN.m, bw = 150 mm, h = 350 mm, aço CA50, fck = 20 MPa, estribos com I = 5 mm, armaduras longitudinais compostas por barras com I = 12,5 mm, cobrimento superior de 15 mm e inferior de 25 mm. Dica: Verificar se é necessário utilizar armadura dupla. Dados do Problema ≔Mk ⋅95 kNkNkNkN mmmm Logo ≔Md =⋅Mk 1.4 133 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm 1º Passo - Verificação do dmín ≔dmín =⋅kd3.4 ‾‾‾‾‾‾ ――― Md ⋅bw fcd 44.05 cmcmcmcm > =d 31.375 cmcmcmcm Logo, viga com armadura dupla 2º Passo - Cálculo do Momento M3,4 e Cálculo da Área de Aço As1 Pela tabela ≔kx3.4 0.628 ≔kz3.4 0.749 ≔kmd3.4 0.320 ≔x3.4 ⋅――― εc +εc εyd d = ≔x3.4 =⋅kx3.4 d 0.197 mmmm ≔M3.4 =⋅⋅⎛ ⎝ +⋅−0.272 x3.4 2 ⋅⋅0.68 d x3.4 ⎞ ⎠ bw fcd 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm Pode-se, ainda, representar M3,4 conforme a expressão a seguir: ≔M3.4 =⋅⋅⋅⋅0.68 bw x3.4 fcd ⎛⎝ −d ⋅0.4 x3.4⎞⎠ 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm Ou ainda: ≔M3.4 =⋅⋅⋅kmd3.4 bw d 2 fcd 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm
≔As1 =―――― M3.4 ⋅⋅kz3.4 d fyd 6.61 cmcmcmcm 2 3º Passo - Cálculo do Momento M2 e Cálculo da Área de Aço As2 ≔M2 =−Md M3.4 65.499 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔d' =++csup ϕestribo ―― ϕlon 2 26.25 mmmmmmmm ≔As2 =―――― M2 ⋅fyd (( −d d')) 5.24 cmcmcmcm 2 5º Passo - Verificação da deformação na armadura As2 ≔ε's =%0.35 ――― −x3.4 d' x3.4 %0.303 > ≔εyd %0.207 Logo, no cálculo da AS2 podemos usar o fyd OK! 6º Passo - Definição da armadura total na viga ≔As =+As1 As2 11.846 cmcmcmcm 2 Área de aço total na parte inferior da viga (armadura de tração)≔Aϕlon =――― ⋅ϕlon 2 ππππ 4 1.23 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― As Aϕlon 9.653 Adotaremos 10 barras de 12,5 mm ≔A's =As2 5.24 cmcmcmcm 2 Área de aço na parte superior da viga (armadura negativa ou de compressão) ≔nºbarras =―― A's Aϕlon 4.27 ≔Aϕ8 =―――― ⋅((8 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 0.503 cmcmcmcm 2 =+⋅Aϕlon 4 Aϕ8 5.411 cmcmcmcm 2 Adotaremos 4 barras de 12,5 mm + 1 barra de 8 mm
Exercício 2: Considere uma viga biapoiada com seção apresentada na figura a seguir, vão de 12 m, fck = 25 MPa e armadura composta por aço CA50. Determine a armadura longitudinal necessária considerando as seguintes situações: a. b. Carregamento distribuído ao longo da viga (q) de 117 kN/m; Carregamento distribuído ao longo da viga (q) de 285 kN/m. Dados do Problema ≔L 12 mmmm ≔qa 117 ―― kNkNkNkN mmmm ≔qb 285 ―― kNkNkNkN mmmm ≔Mka =――― ⋅qa L 2 8 2106 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo ≔Mda =⋅Mka 1.4 2948.4 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Mkb =――― ⋅qb L 2 8 5130 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo ≔Mdb =⋅Mkb 1.4 7182 ⋅kNkNkNkN mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm SOLUÇÃO DO ITEM A 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Mda ⋅⋅bf d 2 fcd 0.049 Da tabela, tem-se kmd=0,047 - kx=0,110 ; e kmd=0,060 - kx=0,130 Interpolando: ≔kx =+0.110 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.130 0.110 −0.060 0.047 ⎛⎝ −kmd 0.047⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.113
≔x =⋅kx d 16.94 cmcmcmcm < =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra passa pela mesa, e a seção pode ser calculada como viga retangular. 2º Passo - Cálculo da Armadura Da tabela, tem-se kmd=0,047 - kz=0,956 ; e kmd=0,060 - kz=0,948 Interpolando: ≔kz =+0.956 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.956 0.948 −0.047 0.060 ⎛⎝ −kmd 0.047⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.955 ≔Asa =――― Mda ⋅⋅kz d fyd 47.348 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ25 =――――― ⋅((25 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 4.91 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― Asa Aϕ25 9.646 Adotaremos 10 barras de 25 mm SOLUÇÃO DO ITEM B 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Mdb ⋅⋅bf d 2 fcd 0.119 Da tabela, tem-se kmd=0,114 - kx=0,200 ; e kmd=0,122 - kx=0,210 Interpolando: ≔kx =+0.200 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.210 0.200 −0.122 0.114 ⎛⎝ −kmd 0.114⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.206 ≔x =⋅kx d 30.97 cmcmcmcm > =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra não passa pela mesa, e a seção deverá ser calculada como viga T. 2º Passo - Cálculo da largura colaborante bf deve ser menor ou igual a +bw ⋅2 b3 Onde b3 = ⋅0.10 a Para vigas biapoiadas, a = l (ver material da aula 3) ≔a =L 12 mmmm ≔b3 =⋅0.10 a 1.2 mmmm ≔bf =+bw ⋅2 b3 2.6 mmmm > 1.50 m Logo, a largura da mesa bf a ser considerada será 150 cm, pois a viga tem apenas essa largura ≔bf 150 cmcmcmcm
3º Passo - Cálculo do momento resistido pelas abas ≔Rc1 =⋅⋅⋅0.85 fcd hf ⎛⎝ −bf bw⎞⎠ 3946.4 kNkNkNkN ≔Mabas =⋅Rc1 ⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ 5525 ⋅kNkNkNkN mmmm 4º Passo - Cálculo do momento resistido pela alma ≔Malma =−Mdb Mabas 1657 ⋅kNkNkNkN mmmm 5º Passo - Cálculo das Armaduras Cálculo do kmd da alma ≔kmd =―――― Malma ⋅⋅bw d 2 fcd 0.206 Da tabela, tem-se kmd=0,210 - kz=0,856 ; e kmd=0,205 - kz=0,860 Interpolando: ≔kz =+0.860 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.860 0.856 −0.205 0.210 ⎛⎝ −kmd 0.205⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.859 ≔Asalma =――― Malma ⋅⋅kz d fyd 29.577 cmcmcmcm 2 ≔Asabas =―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 90.768 cmcmcmcm 2 ≔Asb =+――― Malma ⋅⋅kz d fyd ―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 120.34 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ32 =――――― ⋅((32 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 8.04 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― Asb Aϕ32 14.96 Adotaremos 15 barras de 32 mm
Exercício 3: Determinar a armadura longitudinal necessária para uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra, com vão igual a 7,00 m, seção tipo T apresentada no exercício 2, fck = 40 MPa, armadura composta por aço CA50 e submetida a um momento fletor Md = 12000 kN.m Dados do Problema ≔L 7 mmmm ≔Md ⋅12000 kNkNkNkN mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔fck 40 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 28.571 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Md ⋅⋅bf d 2 fcd 0.124 Da tabela, tem-se kmd=0,122 - kx=0,210 ; e kmd=0,130 - kx=0,220 Interpolando: ≔kx =+0.210 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.220 0.210 −0.130 0.122 ⎛⎝ −kmd 0.122⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.213 ≔x =⋅kx d 31.96 cmcmcmcm > =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra não passa pela mesa, e a seção deverá ser calculada como viga T. 2º Passo - Cálculo da largura colaborante bf deve ser menor ou igual a +bw ⋅2 b3 Onde b3 = ⋅0.10 a Para vigas apoiadas em uma extremidade e engastadas em outra, onde tem-se um ponto de momento fletor nulo, a = 0,75 l (ver material da aula 3) ≔a =⋅0.75 L 5.25 mmmm ≔b3 =⋅0.10 a 0.525 mmmm ≔bf =+bw ⋅2 b3 1.25 mmmm < 1.50 m Logo, a largura da mesa bf a ser considerada será 1,25 m, menor que a largura total da mesa, pois segundo a verificação apenas essa parcela da mesa contribui na resistência. 3º Passo - Cálculo do momento resistido pelas abas ≔Rc1 =⋅⋅⋅0.85 fcd hf ⎛⎝ −bf bw⎞⎠ 5100 kNkNkNkN ≔Mabas =⋅Rc1 ⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ 7140 ⋅kNkNkNkN mmmm
4º Passo - Cálculo do momento resistido pela alma ≔Malma =−Md Mabas 4860 ⋅kNkNkNkN mmmm 5º Passo - Cálculo das Armaduras Cálculo do kmd da alma ≔kmd =―――― Malma ⋅⋅bw d 2 fcd 0.378 Na tabela podemos verificar que não existe o valor do kmd calculado, isto que dizer que a alma não resiste ao momento Malma. A solução, é armar a alma como viga com armadura dupla, utilizando o mesmo procedimento de cálculo utilizado no exercício 1. ≔Asabas =―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 117.3 cmcmcmcm 2 6º Passo - Verificação do dmín (para a alma apenas) ≔dmín =⋅kd3.4 ‾‾‾‾‾‾ ――― Malma ⋅bw fcd 163.05 cmcmcmcm > =d 150 cmcmcmcm Logo, viga com armadura dupla 7º Passo - Cálculo do Momento M3,4 e Cálculo da Área de Aço As1 (referente ao Malma) Pela tabela ≔kx3.4 0.628 ≔kz3.4 0.749 ≔kmd3.4 0.320 ≔x3.4 ⋅――― εc +εc εyd d = ≔x3.4 =⋅kx3.4 d 0.942 mmmm ≔M3.4 =⋅⋅⋅kmd3.4 bw d 2 fcd 4114.3 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Asalma1 =―――― M3.4 ⋅⋅kz3.4 d fyd 84.23 cmcmcmcm 2 8º Passo - Cálculo do Momento M2 e Cálculo da Área de Aço As2 (referente ao Malma) ≔M2 =−Malma M3.4 745.714 ⋅kNkNkNkN mmmm Consideraremos os valores a seguir para cálculo do d' ≔csup 15 mmmmmmmm ≔ϕlon 25 mmmmmmmm ≔ϕestribo 10 mmmmmmmm ≔d' =++csup ϕestribo ―― ϕlon 2 37.5 mmmmmmmm ≔Asalma2 =―――― M2 ⋅fyd (( −d d')) 11.73 cmcmcmcm 2
9º Passo - Verificação da deformação na armadura As2 ≔ε's =%0.35 ――― −x3.4 d' x3.4 %0.336 > ≔εyd %0.2017 Logo, no cálculo da AS2 podemos usar o fyd OK! 10º Passo - Definição da armadura total na viga ≔Asalma =+Asalma1 Asalma2 95.954 cmcmcmcm 2 Área de aço total na parte inferior da viga (armadura de tração)≔As =+Asalma Asabas 213.254 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ32 =――――― ⋅((32 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 8.04 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― As Aϕ32 26.52 Adotaremos 27 barras de 32 mm ≔A's =Asalma2 11.727 cmcmcmcm 2 Área de aço na parte superior da viga (armadura negativa ou de compressão)≔Aϕ20 =――――― ⋅((20 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 3.14 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― A's Aϕ20 3.73 Adotaremos 4 barras de 20 mm
Exercício 4: Dimensionar a viga do exercício 1 ao cisalhamento de acordo com os modelos de cálculo I e II da NBR 6118:2014, considerando Vsk = 65 kN. Obs.: verificar os máximos espaçamentos de estribos permitidos pela NBR 6118, inclusive quanto à taxa de armadura mínima, e detalhar os estribos e espaçamentos a serem adotados. Dados do Problema ≔Vsk 65 kNkNkNkN Logo ≔Vsd =⋅Vsk 1.4 91 kNkNkNkN ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm SOLUÇÃO PELO MODELO DE CÁLCULO I DA NBR 6118:2014 1º Passo - Verificação das bielas ≔αV2 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 ⋅―― fck 250 ―― 1 MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ 0.92 ≔VRd2I =⋅⋅⋅⋅0.27 αV2 fcd bw d 167 kNkNkNkN > =Vsd 91 kNkNkNkN OK! Não há esmagamento das bielas 2º Passo - Cálculo da armadura ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.21 MPaMPaMPaMPa ≔fctkinf =⋅0.7 fctm 1.55 MPaMPaMPaMPa ≔fctd =―― fctkinf 1.4 1.11 MPaMPaMPaMPa ≔Vc0 =⋅⋅⋅0.6 fctd bw d 31.208 kNkNkNkN ≔Vc Vc0 Para Flexão simples (caso deste exemplo) ≔VRd3 +Vc Vsw
≔Vsw =−Vsd Vc 59.792 kNkNkNkN ≔Asw =⋅2 ―――― ⋅⎛⎝ϕestribo⎞⎠ 2 ππππ 4 0.393 cmcmcmcm 2 Considerando a bitola do estribo dada no exercício ≔fywd =fyd 434.783 MPaMPaMPaMPa ≔α 90 degdegdegdeg ≔Vsw ⋅⋅⋅⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Asw ssss ⎞ ⎟ ⎠ 0.9 d fywd (( +sin((α)) cos((α)))) ≔Vsw =−Vsd Vc 59.792 kNkNkNkN Espaçamento dos estribos considerando a bitola dada no exercício≔sI =⋅⋅⋅⋅⋅Asw 0.9 d fywd (( +sin((α)) cos((α)))) ―― 1 Vsw 8.063 cmcmcmcm SOLUÇÃO PELO MODELO DE CÁLCULO II DA NBR 6118:2014, considerando TTTT = 30º 1º Passo - Verificação das bielas ≔θ 30 degdegdegdeg =sin((θ)) 0.5 =cot((θ)) 1.732 =cot((α)) 0 ≔VRd2II =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.54 αV2 fcd bw d ((sin((θ)))) 2 (( +cot((α)) cot((θ)))) 144.63 kNkNkNkN OK! Não há esmagamento das bielas =VRd2II 144.63 kNkNkNkN > =Vsd 91 kNkNkNkN 2º Passo - Cálculo da armadura =fctd 1.11 MPaMPaMPaMPa De acordo com a NBR 6118:2014 Vc1 Vsd 0 =VRd2II 144.63 kNkNkNkN ? =Vsd 91 kNkNkNkN ≔Vc1 =⋅―――― −VRd2II Vsd −VRd2II Vc0 Vc0 14.757 kNkNkNkN =Vc0 31.208 kNkNkNkN =Vc0 31.208 kNkNkNkN ≔Vc Vc1 =Vc 14.757 kNkNkNkN
≔Vsw =−Vsd Vc 76.243 kNkNkNkN ≔Vsw ⋅⋅⋅⋅⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Asw ssss ⎞ ⎟ ⎠ 0.9 d fywd (( +cot((α)) cot((θ)))) sin((α)) ≔Vsw =−Vsd Vc 76.243 kNkNkNkN Espaçamento dos estribos considerando a bitola dada no exercício ≔sII =⋅⋅⋅⋅⋅⋅Asw 0.9 d fywd (( +cot((α)) cot((θ)))) sin((α)) ―― 1 Vsw 10.953 cmcmcmcm 3º Passo - Verificação dos espaçamentos máximos segundo a norma Segundo item 18.3.3 =VRd2I 167.005 kNkNkNkN =VRd2II 144.63 kNkNkNkN =Vsd 91 kNkNkNkN < =⋅VRd2II 0.67 96.902 kNkNkNkN =⋅0.6 d 18.825 cmcmcmcm ou 30 cm Logo ≔smáx1 =⋅0.6 d 18.825 cmcmcmcm Segundo item 17.4.1.1.1 ≔ρsw =⋅0.2 ―― fctm fy 0.000884 ≔smáx2 =――――― Asw ⋅⋅bw ρsw sin((α)) 29.61 cmcmcmcm =sI 8.063 cmcmcmcm =sII 10.953 cmcmcmcm =smáx1 18.825 cmcmcmcm Logo, deve-se usar estribo de 5 mm a cada 8 cm!=smáx2 29.61 cmcmcmcm
Exercício 5: Calcular os esforços solicitantes que atuam na viga de marquise apresentada na figura a seguir (momento fletor, esforço cortante e momento torçor). A viga possui concreto com fck = 25 MPa. Considere a alvenaria com J = 13 kN/m³. Considerar, além do peso próprio, os seguintes carregamentos atuantes na marquise: y y y Revestimento = 0,8 kN/m²; Sobrecarga = 0,5 kN/m²; Sobrecarga na extremidade do balanço = 1kN/m. Dados do Problema ≔bw =25 cmcmcmcm 0.25 mmmm ≔γ 25 ―― kNkNkNkN mmmm 3 ≔bp =40 cmcmcmcm 0.4 mmmm ≔h =50 cmcmcmcm 0.5 mmmm ≔hp =40 cmcmcmcm 0.4 mmmm ≔hpar 1 mmmm ≔bpar 15 cmcmcmcm ≔Lmarq =+――― 0.25 mmmm 2 2.20 mmmm 2.325 mmmm ≔Lv 3.20 mmmm ≔Lp 3.5 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa 1º Passo - Cálculo dos esforços devidos à marquise ≔PPmarq =⋅γ ⎛ ⎜⎝ ――――― +10 cmcmcmcm 6 cmcmcmcm 2 ⎞ ⎟⎠ 2 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Peso próprio da laje da marquise ≔Rev 0.8 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Revestimento
≔Sobr 0.5 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Sobrecarga ≔Sobrex 1 ―― kNkNkNkN mmmm Sobrecarga na extremidade do balanço da marquise ≔qtotalmarq =⎛⎝ ++PPmarq Rev Sobr⎞⎠ 3.3 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Carregamento distribuído na marquise por m² =Lmarq 2.325 mmmm Comprimento da marquise ≔Rkmarq =+⋅qtotalmarq Lmarq Sobrex 8.673 ―― kNkNkNkN mmmm Reação na viga devido ao carregamento da marquise por unidade de comprimento ≔MTk =+⋅⋅qtotalmarq Lmarq ―― Lmarq 2 ⋅Sobrex Lmarq 11.244 ――― ⋅kNkNkNkN mmmm mmmm Momento torçor na viga por unidade de comprimento. 2º Passo - Cálculo dos esforços na viga =Lv 3.2 mmmm Comprimento da viga ≔Tk =――― ⋅MTk Lv 2 17.991 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor total característico Cargas verticais aplicadas na viga: =Rkmarq 8.673 ―― kNkNkNkN mmmm Carregamento devido à marquise ≔PPviga =⋅⋅γ bw h 3.125 ―― kNkNkNkN mmmm Peso próprio da viga ≔PPparede =⋅⋅13 ―― kNkNkNkN mmmm 3 bpar hpar 1.95 ―― kNkNkNkN mmmm Carga da parede ≔Qtotalviga =++Rkmarq PPviga PPparede 13.748 ―― kNkNkNkN mmmm ≔Vk =―――― ⋅Qtotalviga Lv 2 21.996 kNkNkNkN Esforço cortante característico =Lp 3.5 mmmm Comprimento dos pilares ≔Iv =――― ⋅bw h 3 12 0.002604 mmmm 4 Momento de inércia da seção da viga
≔Ip =――― ⋅bp hp 3 12 0.002133 mmmm 4 Momento de inércia da seção do pilar ≔Meng =−――――― ⋅Qtotalviga Lv 2 12 −11.731 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento de engastamento perfeito ≔M1 =⋅Meng ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ―――― ―― ⋅4 Ip Lp +―― ⋅4 Ip Lp ―― ⋅2 Iv Lv ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ −7.035 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor mínimo ≔M2 =+――――― ⋅Qtotalviga Lv 2 8 M1 10.562 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor máximo =Tk 17.991 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor total característico =Vk 21.996 kNkNkNkN Esforço cortante característico máximo ≔Mk =M2 10.562 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor característico máximo (em módulo) Exercício 6: Calcular as armaduras necessárias para que a viga do exercício 5 atenda aos esforços solicitantes de projeto. Considerar aço CA50. Obs.: verificar os critérios normativos quanto ao detalhamento das armaduras de torção. Utilizando os mesmos dados do exercício 5 1º Passo - Dimensionamento da viga à flexão para o limite dos domínios 3/4 Considerando o máximo momento fletor ≔d =−h 4 cmcmcmcm 0.46 mmmm ≔Msd =⋅Mk 1.4 14.787 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor de cálculo ≔Asflexão =―――― Msd ⋅⋅kz3.4 d fyd 0.987 cmcmcmcm 2 ≔Asmin =⋅⋅%0.15 h bw 1.875 cmcmcmcm 2 > Asflexão Logo, deveremos utilizar o Asmínimo em cima e em baixo da seção da viga para atender à flexão, pois temos momentos positivos e negativos. 2º Passo - Dimensionamento ao cortante ≔Vd =⋅Vk 1.4 30.794 kNkNkNkN Esforço cortante de cálculo ≔αv =−1 ⋅―― fck 250 ―― 1 MPaMPaMPaMPa 0.9 ≔τwu =⋅⋅0.27 αv fcd 4.339 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial última (no esforço cortante)
≔τtu =⋅⋅0.25 αv fcd 4.018 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial última (no momento torçor) ≔τwd =―― Vd ⋅bw d 0.268 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial solicitante (no esforço cortante) ≔τc =⋅⋅0.09 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 0.769 MPaMPaMPaMPa Tensão resistente de cálculo à tração do concreto ≔τd =⋅1.11 ⎛⎝ −τwd τc⎞⎠ −0.557 MPaMPaMPaMPa < 0 Isto significa que apenas o concreto da viga suporta as tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante. Deste modo, pode-se dispensar a armadura de cisalhamento, desde que se utilizada a armadura de torção. 3º Passo - Dimensionamento à torção ≔Td =⋅Tk 1.4 25.187 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor de cálculo Verificação da geometria ≔t =―――― ⋅bw h 2 ⎛⎝ +bw h⎞⎠ 8.333 cmcmcmcm Espessura da parede equivalente ≔c1 4 cmcmcmcm Valor do cobrimento C1 =2 c1 8 cmcmcmcm =t 8.333 cmcmcmcm > =2 c1 8 cmcmcmcm Logo: ≔Ae =⋅⎛⎝ −bw t⎞⎠ (( −h t)) 694.444 cmcmcmcm 2 Área equivalente ≔u =2 ⎛⎝ −+bw h 2 t⎞⎠ 116.667 cmcmcmcm Perímetro equivalente ≔τtd =――― Td ⋅2 Ae t 2.176 MPaMPaMPaMPa Tensão convencional de cisalhamento (no momento torçor) Verificação das tensões no concreto, considerando que ocorre flexão e torção, simultaneamente. =+―― τtd τtu ―― τwd τwu 0.603 < 1 Ok! Cálculo das armaduras ≔Asw =――― Td ⋅2 Ae fyd 4.171 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Área de aço para estribos verticais para torção Adotando estribos de 5 mm ≔ϕestribo 8 mmmmmmmm
≔Asestribow =―――― ⋅⎛⎝ϕestribo⎞⎠ 2 ππππ 4 0.503 cmcmcmcm 2 Área de aço de um estribo adotado ≔n =――― Asw Asestribow 8.298 ― 1 mmmm Número de estribos por metro de viga ≔s =― 1 n 12.051 cmcmcmcm Espaçamento entre estribos considerando o diâmetro de estribo adotado ≔Asl =――― ⋅Td u ⋅2 Ae fyd 4.866 cmcmcmcm 2 Armadura Longitudinal para atender à torção Verificação da armadura mínima para torção ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.565 MPaMPaMPaMPa ≔ρwmin =⋅0.2 ―― fctm fy 0.001026 Taxa de armadura mínima para torção ≔Aslmin =⋅⋅―― ρwmin 2 u bw 1.496 cmcmcmcm 2 Área mínima de armadura longitudinal para torção =Aslmin 1.496 cmcmcmcm 2 < =Asl 4.866 cmcmcmcm 2 Ok! ≔Aswmin =⋅ρwmin bw 2.565 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Área mínima de armadura transversal para torção =Aswmin 2.565 ―― cmcmcmcm 2 mmmm < =Asw 4.171 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Ok! Verificação do espaçamento máximo entre os estribos =+―― τtd τtu ―― τwd τwu 0.603 < 0.67 Logo, smáx deve ser 0,6d ou 30 cm =0.6 d 0.276 mmmm Ok! Adotaremos estribo de 8 mm a cada 12 cm.30 cm > =s 12.051 cmcmcmcm 4º Passo - Disposição da armadura longitudinal na seção Em cada canto da armadura transversal devem-se colocar barras longitudinais de bitola pelo menos igual à da armadura transversal e não inferior a 10 mm. A armadura longitudinal deve ser distribuída ao longo do perímetro da seção, tendo em vista que a seção possui altura maior que 40 cm, e o espaçamento entre elas não deve ser maior que 20 cm.
≔Asltotal =+Asl ⋅2 Asmin 8.616 cmcmcmcm 2 Área de aço total na seção (longitudinal) ≔ϕlong 12.5 mmmmmmmm Adotando barras de 12,5 mm ≔Asϕlong =―――― ⋅⎛⎝ϕlong⎞⎠ 2 ππππ 4 1.227 cmcmcmcm 2 Área de aço da barra adotada =――― Asltotal Asϕlong 7.021 Número de barras adotadas para atender à área necessária de aço Adotaremos 8 barras de 12,5 mm dispostas ao longo do perímetro da seção de concreto
Exercício 7: Verificar a necessidade de utilização de armadura de pele na viga do exercício 2. Se for necessária, detalhar a armadura da seção transversal a ser adotada ao longo da alma da viga de acordo com os espaçamentos determinados pela norma. Verificar, ainda, se as armaduras detalhadas no exercício 2 para atender ao momento fletor solicitante estão dentro dos limites das taxas máximas e mínimas de armaduras definidos pela NBR 6118:2014. Dados do Problema Considerando o cálculo da armadura no item "b", com As = 120,34 cm². Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm 1º Passo: Verificação da armadura de Pele De acordo com a NBR 6118:2014, item 17.3.5.2.3, a mínima armadura lateral deve ser 0,10% da área de concreto da alma em cada face da viga, respeitando os espaçamentos apresentados na figura ao lado, não sendo necessária uma armadura superior a 5 cm²/m por face. A viga do exercício possui altura maior que 60 cm, portanto é necessária armadura de pele. =― d 3 50 cmcmcmcm Verificação do espaçamento máximo20 cm Adotando barras de 10 mm para a armadura de pele ≔ϕ 10 mmmmmmmm =⋅15 ϕ 15 cmcmcmcm O espaçamento máximo entre as barras da armadura de pele deve ser de 15 cm, para barras de 10 mm.
=―― d ⋅15 ϕ 10 Serão necessárias 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga ≔Acalma =⋅bw (( +d 10 cmcmcmcm)) 3200 cmcmcmcm 2 Área de concreto da alma ≔Aspelemin =⋅Acalma %0.10 3.2 cmcmcmcm 2 Área de aço mínima em cada face da viga para a armadura de pele ≔As10 =――――― ⋅((10 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 0.785 cmcmcmcm 2 OK! Usando 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga ≔Aspelecalc =⋅10 As10 7.854 cmcmcmcm 2 > =Aspelemin 3.2 cmcmcmcm 2 Lembrando que não é necessária uma armadura superior a 5 cm²/m por face. Considerando 1,60 de altura da face, tem-se: OK! Usando 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga =――― Aspelecalc 1.60 4.909 cmcmcmcm 2 < 5 cm² 2º Passo: Verificação da taxa de armadura De acordo com a NBR 6118:2014, a taxa mínima absoluta de armadura é de 0,15 % e, de acordo com o item 17.3.5.2.4, a soma das armaduras de tração e compressão não pode ser maior que 4% da área de concreto. ≔Ac =+⋅bf hf ⋅⎛⎝ +−d hf 10 cmcmcmcm⎞⎠ bw 5800 cmcmcmcm 2 ≔Asmin =⋅Ac %0.15 8.7 cmcmcmcm 2 ≔Asmax =⋅Ac %4 232 cmcmcmcm 2 ≔Ascalc =+120.4 cmcmcmcm 2 ⋅20 As10 136.108 cmcmcmcm 2 Área de aço calculada para atender à flexão + armadura de pele. A área de aço calculada atende aos critérios de taxa de armadura máxima e mínima. OK!
Exercício 8: Verificar a viga do exercício 1 ao Estado Limite de Fissuração Inaceitável (ELS-W) e ao Estado Limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF). Considerar que a viga está situada na parte interna de um edifício localizado na beira do mar, é biapoiada e possui vão de 4,00 m. Obs.: detalhar os limites normativos para os deslocamentos e para a máxima abertura de fissura permitida. Dados do Problema ≔Mk ⋅95 kNkNkNkN mmmm Logo ≔Md =⋅Mk 1.4 133 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Vsk 65 kNkNkNkN Logo ≔Vsd =⋅Vsk 1.4 91 kNkNkNkN ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm ≔As 11.846 cmcmcmcm 2 ≔A's 5.24 cmcmcmcm 2 ≔L 4.00 mmmm VERIFICAÇÃO AO Estado Limite de Fissuração Inaceitável (ELS-W) 1º Passo - Cálculo do fctm ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.21 MPaMPaMPaMPa 2º Passo - Determinação do módulo de elasticidade do concreto ≔αe 1.0 Considerando agregado tipo granito ≔Eci =⋅⋅⋅αe 5600 ‾‾‾‾‾ ―― fck MPaMPaMPaMPa MPaMPaMPaMPa 25043.961 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade Inicial ≔αi =+0.8 ⋅⋅0.2 ―― fck 80 ―― 1 MPaMPaMPaMPa 0.85 ≔Ecs =⋅αi Eci 21287.367 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade Secante 3º Passo - Cálculo da Profundidade de Linha Neutra no Estádio II ≔Ac =⋅d bw 470.625 cmcmcmcm 2 Área de concreto da seção ≔ρ =― As Ac 0.0252 Taxa de armadura da seção
≔Esi 210000 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade do Aço ≔αe =―― Esi Ecs 9.86501 Relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto ≔XII =⋅―― ⋅αe As bw ⎛ ⎜ ⎝ − ‾‾‾‾‾‾‾ +1 ―― 2 ⋅αe ρ 1 ⎞ ⎟ ⎠ 15.652 cmcmcmcm 4º Passo - Determinação da tensão na armadura Vsi ≔ZII =−d ―― XII 3 26.158 cmcmcmcm Braço de alavanca no Estádio II ≔Mkser =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔σsi =――― Mkser ⋅ZII As 306.5866 MPaMPaMPaMPa Tensão na armadura de tração 5º Passo - Determinação da abertura das fissuras ≔η1 2.25 Coeficiente de conformação superficial, para barras nervurada =ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕi =ϕlon 12.5 mmmmmmmm Diâmetro da armadura longitudinal ≔Acri =⋅⋅⋅15 ϕlon 15 ϕlon 351.563 cmcmcmcm 2 Área da região de envolvimento protegida por uma barra ≔Asϕ =―――― ⋅⎛⎝ϕlon⎞⎠ 2 ππππ 4 1.227 cmcmcmcm 2 Área de uma barra da armadura longitudinal ≔ρcri =―― Asϕ Acri 0.00349 Taxa de armadura por fissuração ≔wk1 =⋅⋅――― ϕi ⋅12.5 η1 ―― σsi Esi ―― 3 σsi fctm 0.27 mmmmmmmm Cálculo das aberturas das fissuras ≔wk1 =⋅⋅――― ϕi ⋅12.5 η1 ―― σsi Esi ⎛ ⎜ ⎝ +―― 4 ρcri 45 ⎞ ⎟ ⎠ 0.773 mmmmmmmm O valor característico da abertura da fissura é o menos entre os dois obtidos nos cálculos, portanto, 0,27 mm. 6º Passo - Determinação do limite normativo para abertura da fissura Considerando a Classe de Agressividade Ambiental III (zona marinha), com um microclima de CAA II, por se tratar de uma viga localizada no interior do edifício. De acordo com a NBR 6118:2014, para esta CAA, wk < 0,3 mm, portanto a viga em estudo atende ao ELS-W.
VERIFICAÇÃO AO Estado Limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF) Serão utilizados os dados calculados na verificação ao ELS-W. 1º Passo - Cálculo do Momento de Inércia no Estádio II e no Estádio II ≔II =――― ⋅bw h 3 12 0.00054 mmmm 4 Momento de Inércia no Estádio I ≔III =+――― ⋅bw XII 3 3 ⋅⋅αe As ⎛⎝ −d XII⎞⎠ 2 0.000481 mmmm 4 Momento de Inércia no Estádio II 2º Passo - Determinação da flecha imediata no Estádio I ≔M ―― ⋅q L 2 8 Logo ≔q =―― ⋅Mk 8 L 2 47.5 ―― kNkNkNkN mmmm Carregamento distribuido na viga ≔P =q 47.5 ―― kNkNkNkN mmmm ≔α0I =―― 5 384 ――― ⋅P L 4 ⋅Ecs II 13.88 mmmmmmmm Flecha imediata no estádio I, para vigas biapoiadas 3º Passo - Cálculo do momento de Fissuração ≔Yt =― h 2 17.5 cmcmcmcm Distância do centro de gravidade da seção seção à fibra mais tracionada ≔α 1.5 Para seções retangulares ≔Mr =⋅α ――― ⋅fctm II Yt 10.154 ⋅kNkNkNkN mmmm < =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo, a viga trabalha no Estádio II 4º Passo - Determinação da flecha imediata no Estádio II ≔α0II =―― 5 384 ――― ⋅P L 4 ⋅Ecs III 15.48 mmmmmmmm Flecha imediata no estádio II, para vigas biapoiadas 5º Passo - Determinação da Rigidez Equivalente ≔Ic =II 0.00054 mmmm 4 ≔Ma =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔EIeq =Ecs ⎛ ⎜ ⎝ +⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Mr Ma ⎞ ⎟ ⎠ 3 Ic ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ −1 ⎛ ⎜ ⎝ ―― Mr Ma ⎞ ⎟ ⎠ 3 ⎞ ⎟ ⎠ III ⎞ ⎟ ⎠ 10232.58 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 =EIeq 10232.578 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 < =⋅Ecs II 11408.698 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 OK!
6º Passo - Determinação da flecha imediata considerando a Rigidez Equivalente ≔α0eq =―― 5 384 ―― ⋅P L 4 EIeq 15.47 mmmmmmmm Flecha imediata considerando a Rigidez Equivalente =α0I 13.878 mmmmmmmm =α0II 15.476 mmmmmmmm Usaremos no cálculo da flecha final o maior dos três valores.=α0eq 15.473 mmmmmmmm 7º Passo - Cálculo da flecha diferida no tempo (flecha final) Considerando tempo inicial (t0) de 1 mês e tempo final (t) de 100 meses ≔α0 =α0II 15.476 mmmmmmmm ≔t0 1 mês ≔t 100 meses ≔ρ' =―― A's Ac 0.01113 Taxa de armadura negativa da seção ≔ξ((t)) ⋅⋅0.68 ⎛⎝0.996 t ⎞⎠ t 0.32 Para t < 70 meses ≔t 1 ≔ξt0 =⋅⋅0.68 ⎛⎝0.996 t ⎞⎠ t 0.32 0.677 ≔ξ((t)) 2 Para t > 70 meses ≔ξt 2 ≔∆ξ =−ξt ξt0 1.323 ≔αf =――― ∆ξ +1 ⋅50 ρ' 0.85 ≔α =⋅α0 ⎛⎝ +1 αf⎞⎠ 28.625 mmmmmmmm Flecha diferida no tempo (flecha final) 8º Passo - Determinação do limite para o deslocamento Aceitabilidade Sensorial =―― L 250 16 mmmmmmmm Efeito em elementos não estruturais (parede/alvenaria) =―― L 500 8 mmmmmmmm ou 10 mm Efeito em elementos não estruturais (forro/revestimento colado =―― L 350 11.429 mmmmmmmm =α 28.625 mmmmmmmm > =―― L 500 8 mmmmmmmm Logo, a viga NÃO atende ao ELS-DEF.

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  • 1. UNESC Faculdade de Educação e Cultura de Porto Velho Lista de Exercícios para Estudo – Concreto Armado II - RESOLUÇÃO Prof. Cristiano Comin Semestre 2/2016 - 1º Bimestre Exercício 1: Determinar a armadura necessária para uma seção retangular considerando os seguintes dados: Mk = 95 kN.m, bw = 150 mm, h = 350 mm, aço CA50, fck = 20 MPa, estribos com I = 5 mm, armaduras longitudinais compostas por barras com I = 12,5 mm, cobrimento superior de 15 mm e inferior de 25 mm. Dica: Verificar se é necessário utilizar armadura dupla. Dados do Problema ≔Mk ⋅95 kNkNkNkN mmmm Logo ≔Md =⋅Mk 1.4 133 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm 1º Passo - Verificação do dmín ≔dmín =⋅kd3.4 ‾‾‾‾‾‾ ――― Md ⋅bw fcd 44.05 cmcmcmcm > =d 31.375 cmcmcmcm Logo, viga com armadura dupla 2º Passo - Cálculo do Momento M3,4 e Cálculo da Área de Aço As1 Pela tabela ≔kx3.4 0.628 ≔kz3.4 0.749 ≔kmd3.4 0.320 ≔x3.4 ⋅――― εc +εc εyd d = ≔x3.4 =⋅kx3.4 d 0.197 mmmm ≔M3.4 =⋅⋅⎛ ⎝ +⋅−0.272 x3.4 2 ⋅⋅0.68 d x3.4 ⎞ ⎠ bw fcd 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm Pode-se, ainda, representar M3,4 conforme a expressão a seguir: ≔M3.4 =⋅⋅⋅⋅0.68 bw x3.4 fcd ⎛⎝ −d ⋅0.4 x3.4⎞⎠ 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm Ou ainda: ≔M3.4 =⋅⋅⋅kmd3.4 bw d 2 fcd 67.5 ⋅kNkNkNkN mmmm
  • 2. ≔As1 =―――― M3.4 ⋅⋅kz3.4 d fyd 6.61 cmcmcmcm 2 3º Passo - Cálculo do Momento M2 e Cálculo da Área de Aço As2 ≔M2 =−Md M3.4 65.499 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔d' =++csup ϕestribo ―― ϕlon 2 26.25 mmmmmmmm ≔As2 =―――― M2 ⋅fyd (( −d d')) 5.24 cmcmcmcm 2 5º Passo - Verificação da deformação na armadura As2 ≔ε's =%0.35 ――― −x3.4 d' x3.4 %0.303 > ≔εyd %0.207 Logo, no cálculo da AS2 podemos usar o fyd OK! 6º Passo - Definição da armadura total na viga ≔As =+As1 As2 11.846 cmcmcmcm 2 Área de aço total na parte inferior da viga (armadura de tração)≔Aϕlon =――― ⋅ϕlon 2 ππππ 4 1.23 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― As Aϕlon 9.653 Adotaremos 10 barras de 12,5 mm ≔A's =As2 5.24 cmcmcmcm 2 Área de aço na parte superior da viga (armadura negativa ou de compressão) ≔nºbarras =―― A's Aϕlon 4.27 ≔Aϕ8 =―――― ⋅((8 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 0.503 cmcmcmcm 2 =+⋅Aϕlon 4 Aϕ8 5.411 cmcmcmcm 2 Adotaremos 4 barras de 12,5 mm + 1 barra de 8 mm
  • 3. Exercício 2: Considere uma viga biapoiada com seção apresentada na figura a seguir, vão de 12 m, fck = 25 MPa e armadura composta por aço CA50. Determine a armadura longitudinal necessária considerando as seguintes situações: a. b. Carregamento distribuído ao longo da viga (q) de 117 kN/m; Carregamento distribuído ao longo da viga (q) de 285 kN/m. Dados do Problema ≔L 12 mmmm ≔qa 117 ―― kNkNkNkN mmmm ≔qb 285 ―― kNkNkNkN mmmm ≔Mka =――― ⋅qa L 2 8 2106 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo ≔Mda =⋅Mka 1.4 2948.4 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Mkb =――― ⋅qb L 2 8 5130 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo ≔Mdb =⋅Mkb 1.4 7182 ⋅kNkNkNkN mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm SOLUÇÃO DO ITEM A 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Mda ⋅⋅bf d 2 fcd 0.049 Da tabela, tem-se kmd=0,047 - kx=0,110 ; e kmd=0,060 - kx=0,130 Interpolando: ≔kx =+0.110 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.130 0.110 −0.060 0.047 ⎛⎝ −kmd 0.047⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.113
  • 4. ≔x =⋅kx d 16.94 cmcmcmcm < =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra passa pela mesa, e a seção pode ser calculada como viga retangular. 2º Passo - Cálculo da Armadura Da tabela, tem-se kmd=0,047 - kz=0,956 ; e kmd=0,060 - kz=0,948 Interpolando: ≔kz =+0.956 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.956 0.948 −0.047 0.060 ⎛⎝ −kmd 0.047⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.955 ≔Asa =――― Mda ⋅⋅kz d fyd 47.348 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ25 =――――― ⋅((25 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 4.91 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― Asa Aϕ25 9.646 Adotaremos 10 barras de 25 mm SOLUÇÃO DO ITEM B 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Mdb ⋅⋅bf d 2 fcd 0.119 Da tabela, tem-se kmd=0,114 - kx=0,200 ; e kmd=0,122 - kx=0,210 Interpolando: ≔kx =+0.200 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.210 0.200 −0.122 0.114 ⎛⎝ −kmd 0.114⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.206 ≔x =⋅kx d 30.97 cmcmcmcm > =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra não passa pela mesa, e a seção deverá ser calculada como viga T. 2º Passo - Cálculo da largura colaborante bf deve ser menor ou igual a +bw ⋅2 b3 Onde b3 = ⋅0.10 a Para vigas biapoiadas, a = l (ver material da aula 3) ≔a =L 12 mmmm ≔b3 =⋅0.10 a 1.2 mmmm ≔bf =+bw ⋅2 b3 2.6 mmmm > 1.50 m Logo, a largura da mesa bf a ser considerada será 150 cm, pois a viga tem apenas essa largura ≔bf 150 cmcmcmcm
  • 5. 3º Passo - Cálculo do momento resistido pelas abas ≔Rc1 =⋅⋅⋅0.85 fcd hf ⎛⎝ −bf bw⎞⎠ 3946.4 kNkNkNkN ≔Mabas =⋅Rc1 ⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ 5525 ⋅kNkNkNkN mmmm 4º Passo - Cálculo do momento resistido pela alma ≔Malma =−Mdb Mabas 1657 ⋅kNkNkNkN mmmm 5º Passo - Cálculo das Armaduras Cálculo do kmd da alma ≔kmd =―――― Malma ⋅⋅bw d 2 fcd 0.206 Da tabela, tem-se kmd=0,210 - kz=0,856 ; e kmd=0,205 - kz=0,860 Interpolando: ≔kz =+0.860 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.860 0.856 −0.205 0.210 ⎛⎝ −kmd 0.205⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.859 ≔Asalma =――― Malma ⋅⋅kz d fyd 29.577 cmcmcmcm 2 ≔Asabas =―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 90.768 cmcmcmcm 2 ≔Asb =+――― Malma ⋅⋅kz d fyd ―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 120.34 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ32 =――――― ⋅((32 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 8.04 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― Asb Aϕ32 14.96 Adotaremos 15 barras de 32 mm
  • 6. Exercício 3: Determinar a armadura longitudinal necessária para uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra, com vão igual a 7,00 m, seção tipo T apresentada no exercício 2, fck = 40 MPa, armadura composta por aço CA50 e submetida a um momento fletor Md = 12000 kN.m Dados do Problema ≔L 7 mmmm ≔Md ⋅12000 kNkNkNkN mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔fck 40 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 28.571 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm 1º Passo - Verificação do tipo da viga (Viga T ou retangular), assumindo inicialmente que a linha neutra passa pela mesa da viga (neste caso, bw = bf). ≔kmd =―――― Md ⋅⋅bf d 2 fcd 0.124 Da tabela, tem-se kmd=0,122 - kx=0,210 ; e kmd=0,130 - kx=0,220 Interpolando: ≔kx =+0.210 ⎛ ⎜⎝ ⋅――――― −0.220 0.210 −0.130 0.122 ⎛⎝ −kmd 0.122⎞⎠ ⎞ ⎟⎠ 0.213 ≔x =⋅kx d 31.96 cmcmcmcm > =hf 20 cmcmcmcm Logo, a linha neutra não passa pela mesa, e a seção deverá ser calculada como viga T. 2º Passo - Cálculo da largura colaborante bf deve ser menor ou igual a +bw ⋅2 b3 Onde b3 = ⋅0.10 a Para vigas apoiadas em uma extremidade e engastadas em outra, onde tem-se um ponto de momento fletor nulo, a = 0,75 l (ver material da aula 3) ≔a =⋅0.75 L 5.25 mmmm ≔b3 =⋅0.10 a 0.525 mmmm ≔bf =+bw ⋅2 b3 1.25 mmmm < 1.50 m Logo, a largura da mesa bf a ser considerada será 1,25 m, menor que a largura total da mesa, pois segundo a verificação apenas essa parcela da mesa contribui na resistência. 3º Passo - Cálculo do momento resistido pelas abas ≔Rc1 =⋅⋅⋅0.85 fcd hf ⎛⎝ −bf bw⎞⎠ 5100 kNkNkNkN ≔Mabas =⋅Rc1 ⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ 7140 ⋅kNkNkNkN mmmm
  • 7. 4º Passo - Cálculo do momento resistido pela alma ≔Malma =−Md Mabas 4860 ⋅kNkNkNkN mmmm 5º Passo - Cálculo das Armaduras Cálculo do kmd da alma ≔kmd =―――― Malma ⋅⋅bw d 2 fcd 0.378 Na tabela podemos verificar que não existe o valor do kmd calculado, isto que dizer que a alma não resiste ao momento Malma. A solução, é armar a alma como viga com armadura dupla, utilizando o mesmo procedimento de cálculo utilizado no exercício 1. ≔Asabas =―――――― Mabas ⋅⎛⎝ −d ⋅0.5 hf⎞⎠ fyd 117.3 cmcmcmcm 2 6º Passo - Verificação do dmín (para a alma apenas) ≔dmín =⋅kd3.4 ‾‾‾‾‾‾ ――― Malma ⋅bw fcd 163.05 cmcmcmcm > =d 150 cmcmcmcm Logo, viga com armadura dupla 7º Passo - Cálculo do Momento M3,4 e Cálculo da Área de Aço As1 (referente ao Malma) Pela tabela ≔kx3.4 0.628 ≔kz3.4 0.749 ≔kmd3.4 0.320 ≔x3.4 ⋅――― εc +εc εyd d = ≔x3.4 =⋅kx3.4 d 0.942 mmmm ≔M3.4 =⋅⋅⋅kmd3.4 bw d 2 fcd 4114.3 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Asalma1 =―――― M3.4 ⋅⋅kz3.4 d fyd 84.23 cmcmcmcm 2 8º Passo - Cálculo do Momento M2 e Cálculo da Área de Aço As2 (referente ao Malma) ≔M2 =−Malma M3.4 745.714 ⋅kNkNkNkN mmmm Consideraremos os valores a seguir para cálculo do d' ≔csup 15 mmmmmmmm ≔ϕlon 25 mmmmmmmm ≔ϕestribo 10 mmmmmmmm ≔d' =++csup ϕestribo ―― ϕlon 2 37.5 mmmmmmmm ≔Asalma2 =―――― M2 ⋅fyd (( −d d')) 11.73 cmcmcmcm 2
  • 8. 9º Passo - Verificação da deformação na armadura As2 ≔ε's =%0.35 ――― −x3.4 d' x3.4 %0.336 > ≔εyd %0.2017 Logo, no cálculo da AS2 podemos usar o fyd OK! 10º Passo - Definição da armadura total na viga ≔Asalma =+Asalma1 Asalma2 95.954 cmcmcmcm 2 Área de aço total na parte inferior da viga (armadura de tração)≔As =+Asalma Asabas 213.254 cmcmcmcm 2 ≔Aϕ32 =――――― ⋅((32 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 8.04 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― As Aϕ32 26.52 Adotaremos 27 barras de 32 mm ≔A's =Asalma2 11.727 cmcmcmcm 2 Área de aço na parte superior da viga (armadura negativa ou de compressão)≔Aϕ20 =――――― ⋅((20 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 3.14 cmcmcmcm 2 ≔nºbarras =―― A's Aϕ20 3.73 Adotaremos 4 barras de 20 mm
  • 9. Exercício 4: Dimensionar a viga do exercício 1 ao cisalhamento de acordo com os modelos de cálculo I e II da NBR 6118:2014, considerando Vsk = 65 kN. Obs.: verificar os máximos espaçamentos de estribos permitidos pela NBR 6118, inclusive quanto à taxa de armadura mínima, e detalhar os estribos e espaçamentos a serem adotados. Dados do Problema ≔Vsk 65 kNkNkNkN Logo ≔Vsd =⋅Vsk 1.4 91 kNkNkNkN ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm SOLUÇÃO PELO MODELO DE CÁLCULO I DA NBR 6118:2014 1º Passo - Verificação das bielas ≔αV2 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 ⋅―― fck 250 ―― 1 MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ 0.92 ≔VRd2I =⋅⋅⋅⋅0.27 αV2 fcd bw d 167 kNkNkNkN > =Vsd 91 kNkNkNkN OK! Não há esmagamento das bielas 2º Passo - Cálculo da armadura ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.21 MPaMPaMPaMPa ≔fctkinf =⋅0.7 fctm 1.55 MPaMPaMPaMPa ≔fctd =―― fctkinf 1.4 1.11 MPaMPaMPaMPa ≔Vc0 =⋅⋅⋅0.6 fctd bw d 31.208 kNkNkNkN ≔Vc Vc0 Para Flexão simples (caso deste exemplo) ≔VRd3 +Vc Vsw
  • 10. ≔Vsw =−Vsd Vc 59.792 kNkNkNkN ≔Asw =⋅2 ―――― ⋅⎛⎝ϕestribo⎞⎠ 2 ππππ 4 0.393 cmcmcmcm 2 Considerando a bitola do estribo dada no exercício ≔fywd =fyd 434.783 MPaMPaMPaMPa ≔α 90 degdegdegdeg ≔Vsw ⋅⋅⋅⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Asw ssss ⎞ ⎟ ⎠ 0.9 d fywd (( +sin((α)) cos((α)))) ≔Vsw =−Vsd Vc 59.792 kNkNkNkN Espaçamento dos estribos considerando a bitola dada no exercício≔sI =⋅⋅⋅⋅⋅Asw 0.9 d fywd (( +sin((α)) cos((α)))) ―― 1 Vsw 8.063 cmcmcmcm SOLUÇÃO PELO MODELO DE CÁLCULO II DA NBR 6118:2014, considerando TTTT = 30º 1º Passo - Verificação das bielas ≔θ 30 degdegdegdeg =sin((θ)) 0.5 =cot((θ)) 1.732 =cot((α)) 0 ≔VRd2II =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.54 αV2 fcd bw d ((sin((θ)))) 2 (( +cot((α)) cot((θ)))) 144.63 kNkNkNkN OK! Não há esmagamento das bielas =VRd2II 144.63 kNkNkNkN > =Vsd 91 kNkNkNkN 2º Passo - Cálculo da armadura =fctd 1.11 MPaMPaMPaMPa De acordo com a NBR 6118:2014 Vc1 Vsd 0 =VRd2II 144.63 kNkNkNkN ? =Vsd 91 kNkNkNkN ≔Vc1 =⋅―――― −VRd2II Vsd −VRd2II Vc0 Vc0 14.757 kNkNkNkN =Vc0 31.208 kNkNkNkN =Vc0 31.208 kNkNkNkN ≔Vc Vc1 =Vc 14.757 kNkNkNkN
  • 11. ≔Vsw =−Vsd Vc 76.243 kNkNkNkN ≔Vsw ⋅⋅⋅⋅⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Asw ssss ⎞ ⎟ ⎠ 0.9 d fywd (( +cot((α)) cot((θ)))) sin((α)) ≔Vsw =−Vsd Vc 76.243 kNkNkNkN Espaçamento dos estribos considerando a bitola dada no exercício ≔sII =⋅⋅⋅⋅⋅⋅Asw 0.9 d fywd (( +cot((α)) cot((θ)))) sin((α)) ―― 1 Vsw 10.953 cmcmcmcm 3º Passo - Verificação dos espaçamentos máximos segundo a norma Segundo item 18.3.3 =VRd2I 167.005 kNkNkNkN =VRd2II 144.63 kNkNkNkN =Vsd 91 kNkNkNkN < =⋅VRd2II 0.67 96.902 kNkNkNkN =⋅0.6 d 18.825 cmcmcmcm ou 30 cm Logo ≔smáx1 =⋅0.6 d 18.825 cmcmcmcm Segundo item 17.4.1.1.1 ≔ρsw =⋅0.2 ―― fctm fy 0.000884 ≔smáx2 =――――― Asw ⋅⋅bw ρsw sin((α)) 29.61 cmcmcmcm =sI 8.063 cmcmcmcm =sII 10.953 cmcmcmcm =smáx1 18.825 cmcmcmcm Logo, deve-se usar estribo de 5 mm a cada 8 cm!=smáx2 29.61 cmcmcmcm
  • 12. Exercício 5: Calcular os esforços solicitantes que atuam na viga de marquise apresentada na figura a seguir (momento fletor, esforço cortante e momento torçor). A viga possui concreto com fck = 25 MPa. Considere a alvenaria com J = 13 kN/m³. Considerar, além do peso próprio, os seguintes carregamentos atuantes na marquise: y y y Revestimento = 0,8 kN/m²; Sobrecarga = 0,5 kN/m²; Sobrecarga na extremidade do balanço = 1kN/m. Dados do Problema ≔bw =25 cmcmcmcm 0.25 mmmm ≔γ 25 ―― kNkNkNkN mmmm 3 ≔bp =40 cmcmcmcm 0.4 mmmm ≔h =50 cmcmcmcm 0.5 mmmm ≔hp =40 cmcmcmcm 0.4 mmmm ≔hpar 1 mmmm ≔bpar 15 cmcmcmcm ≔Lmarq =+――― 0.25 mmmm 2 2.20 mmmm 2.325 mmmm ≔Lv 3.20 mmmm ≔Lp 3.5 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa 1º Passo - Cálculo dos esforços devidos à marquise ≔PPmarq =⋅γ ⎛ ⎜⎝ ――――― +10 cmcmcmcm 6 cmcmcmcm 2 ⎞ ⎟⎠ 2 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Peso próprio da laje da marquise ≔Rev 0.8 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Revestimento
  • 13. ≔Sobr 0.5 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Sobrecarga ≔Sobrex 1 ―― kNkNkNkN mmmm Sobrecarga na extremidade do balanço da marquise ≔qtotalmarq =⎛⎝ ++PPmarq Rev Sobr⎞⎠ 3.3 ―― kNkNkNkN mmmm 2 Carregamento distribuído na marquise por m² =Lmarq 2.325 mmmm Comprimento da marquise ≔Rkmarq =+⋅qtotalmarq Lmarq Sobrex 8.673 ―― kNkNkNkN mmmm Reação na viga devido ao carregamento da marquise por unidade de comprimento ≔MTk =+⋅⋅qtotalmarq Lmarq ―― Lmarq 2 ⋅Sobrex Lmarq 11.244 ――― ⋅kNkNkNkN mmmm mmmm Momento torçor na viga por unidade de comprimento. 2º Passo - Cálculo dos esforços na viga =Lv 3.2 mmmm Comprimento da viga ≔Tk =――― ⋅MTk Lv 2 17.991 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor total característico Cargas verticais aplicadas na viga: =Rkmarq 8.673 ―― kNkNkNkN mmmm Carregamento devido à marquise ≔PPviga =⋅⋅γ bw h 3.125 ―― kNkNkNkN mmmm Peso próprio da viga ≔PPparede =⋅⋅13 ―― kNkNkNkN mmmm 3 bpar hpar 1.95 ―― kNkNkNkN mmmm Carga da parede ≔Qtotalviga =++Rkmarq PPviga PPparede 13.748 ―― kNkNkNkN mmmm ≔Vk =―――― ⋅Qtotalviga Lv 2 21.996 kNkNkNkN Esforço cortante característico =Lp 3.5 mmmm Comprimento dos pilares ≔Iv =――― ⋅bw h 3 12 0.002604 mmmm 4 Momento de inércia da seção da viga
  • 14. ≔Ip =――― ⋅bp hp 3 12 0.002133 mmmm 4 Momento de inércia da seção do pilar ≔Meng =−――――― ⋅Qtotalviga Lv 2 12 −11.731 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento de engastamento perfeito ≔M1 =⋅Meng ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ―――― ―― ⋅4 Ip Lp +―― ⋅4 Ip Lp ―― ⋅2 Iv Lv ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ −7.035 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor mínimo ≔M2 =+――――― ⋅Qtotalviga Lv 2 8 M1 10.562 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor máximo =Tk 17.991 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor total característico =Vk 21.996 kNkNkNkN Esforço cortante característico máximo ≔Mk =M2 10.562 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor característico máximo (em módulo) Exercício 6: Calcular as armaduras necessárias para que a viga do exercício 5 atenda aos esforços solicitantes de projeto. Considerar aço CA50. Obs.: verificar os critérios normativos quanto ao detalhamento das armaduras de torção. Utilizando os mesmos dados do exercício 5 1º Passo - Dimensionamento da viga à flexão para o limite dos domínios 3/4 Considerando o máximo momento fletor ≔d =−h 4 cmcmcmcm 0.46 mmmm ≔Msd =⋅Mk 1.4 14.787 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento fletor de cálculo ≔Asflexão =―――― Msd ⋅⋅kz3.4 d fyd 0.987 cmcmcmcm 2 ≔Asmin =⋅⋅%0.15 h bw 1.875 cmcmcmcm 2 > Asflexão Logo, deveremos utilizar o Asmínimo em cima e em baixo da seção da viga para atender à flexão, pois temos momentos positivos e negativos. 2º Passo - Dimensionamento ao cortante ≔Vd =⋅Vk 1.4 30.794 kNkNkNkN Esforço cortante de cálculo ≔αv =−1 ⋅―― fck 250 ―― 1 MPaMPaMPaMPa 0.9 ≔τwu =⋅⋅0.27 αv fcd 4.339 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial última (no esforço cortante)
  • 15. ≔τtu =⋅⋅0.25 αv fcd 4.018 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial última (no momento torçor) ≔τwd =―― Vd ⋅bw d 0.268 MPaMPaMPaMPa Tensão tangencial solicitante (no esforço cortante) ≔τc =⋅⋅0.09 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 0.769 MPaMPaMPaMPa Tensão resistente de cálculo à tração do concreto ≔τd =⋅1.11 ⎛⎝ −τwd τc⎞⎠ −0.557 MPaMPaMPaMPa < 0 Isto significa que apenas o concreto da viga suporta as tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante. Deste modo, pode-se dispensar a armadura de cisalhamento, desde que se utilizada a armadura de torção. 3º Passo - Dimensionamento à torção ≔Td =⋅Tk 1.4 25.187 ⋅kNkNkNkN mmmm Momento torçor de cálculo Verificação da geometria ≔t =―――― ⋅bw h 2 ⎛⎝ +bw h⎞⎠ 8.333 cmcmcmcm Espessura da parede equivalente ≔c1 4 cmcmcmcm Valor do cobrimento C1 =2 c1 8 cmcmcmcm =t 8.333 cmcmcmcm > =2 c1 8 cmcmcmcm Logo: ≔Ae =⋅⎛⎝ −bw t⎞⎠ (( −h t)) 694.444 cmcmcmcm 2 Área equivalente ≔u =2 ⎛⎝ −+bw h 2 t⎞⎠ 116.667 cmcmcmcm Perímetro equivalente ≔τtd =――― Td ⋅2 Ae t 2.176 MPaMPaMPaMPa Tensão convencional de cisalhamento (no momento torçor) Verificação das tensões no concreto, considerando que ocorre flexão e torção, simultaneamente. =+―― τtd τtu ―― τwd τwu 0.603 < 1 Ok! Cálculo das armaduras ≔Asw =――― Td ⋅2 Ae fyd 4.171 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Área de aço para estribos verticais para torção Adotando estribos de 5 mm ≔ϕestribo 8 mmmmmmmm
  • 16. ≔Asestribow =―――― ⋅⎛⎝ϕestribo⎞⎠ 2 ππππ 4 0.503 cmcmcmcm 2 Área de aço de um estribo adotado ≔n =――― Asw Asestribow 8.298 ― 1 mmmm Número de estribos por metro de viga ≔s =― 1 n 12.051 cmcmcmcm Espaçamento entre estribos considerando o diâmetro de estribo adotado ≔Asl =――― ⋅Td u ⋅2 Ae fyd 4.866 cmcmcmcm 2 Armadura Longitudinal para atender à torção Verificação da armadura mínima para torção ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.565 MPaMPaMPaMPa ≔ρwmin =⋅0.2 ―― fctm fy 0.001026 Taxa de armadura mínima para torção ≔Aslmin =⋅⋅―― ρwmin 2 u bw 1.496 cmcmcmcm 2 Área mínima de armadura longitudinal para torção =Aslmin 1.496 cmcmcmcm 2 < =Asl 4.866 cmcmcmcm 2 Ok! ≔Aswmin =⋅ρwmin bw 2.565 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Área mínima de armadura transversal para torção =Aswmin 2.565 ―― cmcmcmcm 2 mmmm < =Asw 4.171 ―― cmcmcmcm 2 mmmm Ok! Verificação do espaçamento máximo entre os estribos =+―― τtd τtu ―― τwd τwu 0.603 < 0.67 Logo, smáx deve ser 0,6d ou 30 cm =0.6 d 0.276 mmmm Ok! Adotaremos estribo de 8 mm a cada 12 cm.30 cm > =s 12.051 cmcmcmcm 4º Passo - Disposição da armadura longitudinal na seção Em cada canto da armadura transversal devem-se colocar barras longitudinais de bitola pelo menos igual à da armadura transversal e não inferior a 10 mm. A armadura longitudinal deve ser distribuída ao longo do perímetro da seção, tendo em vista que a seção possui altura maior que 40 cm, e o espaçamento entre elas não deve ser maior que 20 cm.
  • 17. ≔Asltotal =+Asl ⋅2 Asmin 8.616 cmcmcmcm 2 Área de aço total na seção (longitudinal) ≔ϕlong 12.5 mmmmmmmm Adotando barras de 12,5 mm ≔Asϕlong =―――― ⋅⎛⎝ϕlong⎞⎠ 2 ππππ 4 1.227 cmcmcmcm 2 Área de aço da barra adotada =――― Asltotal Asϕlong 7.021 Número de barras adotadas para atender à área necessária de aço Adotaremos 8 barras de 12,5 mm dispostas ao longo do perímetro da seção de concreto
  • 18. Exercício 7: Verificar a necessidade de utilização de armadura de pele na viga do exercício 2. Se for necessária, detalhar a armadura da seção transversal a ser adotada ao longo da alma da viga de acordo com os espaçamentos determinados pela norma. Verificar, ainda, se as armaduras detalhadas no exercício 2 para atender ao momento fletor solicitante estão dentro dos limites das taxas máximas e mínimas de armaduras definidos pela NBR 6118:2014. Dados do Problema Considerando o cálculo da armadura no item "b", com As = 120,34 cm². Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 25 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 17.857 MPaMPaMPaMPa ≔d =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔bw =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm ≔bf =150 cmcmcmcm 1.5 mmmm ≔hf =20 cmcmcmcm 0.2 mmmm 1º Passo: Verificação da armadura de Pele De acordo com a NBR 6118:2014, item 17.3.5.2.3, a mínima armadura lateral deve ser 0,10% da área de concreto da alma em cada face da viga, respeitando os espaçamentos apresentados na figura ao lado, não sendo necessária uma armadura superior a 5 cm²/m por face. A viga do exercício possui altura maior que 60 cm, portanto é necessária armadura de pele. =― d 3 50 cmcmcmcm Verificação do espaçamento máximo20 cm Adotando barras de 10 mm para a armadura de pele ≔ϕ 10 mmmmmmmm =⋅15 ϕ 15 cmcmcmcm O espaçamento máximo entre as barras da armadura de pele deve ser de 15 cm, para barras de 10 mm.
  • 19. =―― d ⋅15 ϕ 10 Serão necessárias 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga ≔Acalma =⋅bw (( +d 10 cmcmcmcm)) 3200 cmcmcmcm 2 Área de concreto da alma ≔Aspelemin =⋅Acalma %0.10 3.2 cmcmcmcm 2 Área de aço mínima em cada face da viga para a armadura de pele ≔As10 =――――― ⋅((10 mmmmmmmm)) 2 ππππ 4 0.785 cmcmcmcm 2 OK! Usando 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga ≔Aspelecalc =⋅10 As10 7.854 cmcmcmcm 2 > =Aspelemin 3.2 cmcmcmcm 2 Lembrando que não é necessária uma armadura superior a 5 cm²/m por face. Considerando 1,60 de altura da face, tem-se: OK! Usando 10 barras de 10mm a cada 15 cm em cada face da viga =――― Aspelecalc 1.60 4.909 cmcmcmcm 2 < 5 cm² 2º Passo: Verificação da taxa de armadura De acordo com a NBR 6118:2014, a taxa mínima absoluta de armadura é de 0,15 % e, de acordo com o item 17.3.5.2.4, a soma das armaduras de tração e compressão não pode ser maior que 4% da área de concreto. ≔Ac =+⋅bf hf ⋅⎛⎝ +−d hf 10 cmcmcmcm⎞⎠ bw 5800 cmcmcmcm 2 ≔Asmin =⋅Ac %0.15 8.7 cmcmcmcm 2 ≔Asmax =⋅Ac %4 232 cmcmcmcm 2 ≔Ascalc =+120.4 cmcmcmcm 2 ⋅20 As10 136.108 cmcmcmcm 2 Área de aço calculada para atender à flexão + armadura de pele. A área de aço calculada atende aos critérios de taxa de armadura máxima e mínima. OK!
  • 20. Exercício 8: Verificar a viga do exercício 1 ao Estado Limite de Fissuração Inaceitável (ELS-W) e ao Estado Limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF). Considerar que a viga está situada na parte interna de um edifício localizado na beira do mar, é biapoiada e possui vão de 4,00 m. Obs.: detalhar os limites normativos para os deslocamentos e para a máxima abertura de fissura permitida. Dados do Problema ≔Mk ⋅95 kNkNkNkN mmmm Logo ≔Md =⋅Mk 1.4 133 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔Vsk 65 kNkNkNkN Logo ≔Vsd =⋅Vsk 1.4 91 kNkNkNkN ≔bw =150 mmmmmmmm 0.15 mmmm ≔h =350 mmmmmmmm 0.35 mmmm Aço CA50 ≔fy =500 MPaMPaMPaMPa 500000 kPakPakPakPa Logo ≔fyd =―― fy 1.15 434782.61 kPakPakPakPa ≔kd3.4 1.768 ≔fck 20 MPaMPaMPaMPa Logo ≔fcd =―― fck 1.4 14.286 MPaMPaMPaMPa ≔csup 15 mmmmmmmm ≔cinf 25 mmmmmmmm ≔ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕestribo 5 mmmmmmmm ≔d =−h ⎛ ⎜ ⎝ ++cinf ϕestribo ―― ϕlon 2 ⎞ ⎟ ⎠ 31.38 cmcmcmcm ≔As 11.846 cmcmcmcm 2 ≔A's 5.24 cmcmcmcm 2 ≔L 4.00 mmmm VERIFICAÇÃO AO Estado Limite de Fissuração Inaceitável (ELS-W) 1º Passo - Cálculo do fctm ≔fctm =⋅⋅0.3 ⎛ ⎜ ⎝ ―― fck MPaMPaMPaMPa ⎞ ⎟ ⎠ ― 2 3 MPaMPaMPaMPa 2.21 MPaMPaMPaMPa 2º Passo - Determinação do módulo de elasticidade do concreto ≔αe 1.0 Considerando agregado tipo granito ≔Eci =⋅⋅⋅αe 5600 ‾‾‾‾‾ ―― fck MPaMPaMPaMPa MPaMPaMPaMPa 25043.961 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade Inicial ≔αi =+0.8 ⋅⋅0.2 ―― fck 80 ―― 1 MPaMPaMPaMPa 0.85 ≔Ecs =⋅αi Eci 21287.367 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade Secante 3º Passo - Cálculo da Profundidade de Linha Neutra no Estádio II ≔Ac =⋅d bw 470.625 cmcmcmcm 2 Área de concreto da seção ≔ρ =― As Ac 0.0252 Taxa de armadura da seção
  • 21. ≔Esi 210000 MPaMPaMPaMPa Módulo de Elasticidade do Aço ≔αe =―― Esi Ecs 9.86501 Relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto ≔XII =⋅―― ⋅αe As bw ⎛ ⎜ ⎝ − ‾‾‾‾‾‾‾ +1 ―― 2 ⋅αe ρ 1 ⎞ ⎟ ⎠ 15.652 cmcmcmcm 4º Passo - Determinação da tensão na armadura Vsi ≔ZII =−d ―― XII 3 26.158 cmcmcmcm Braço de alavanca no Estádio II ≔Mkser =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔σsi =――― Mkser ⋅ZII As 306.5866 MPaMPaMPaMPa Tensão na armadura de tração 5º Passo - Determinação da abertura das fissuras ≔η1 2.25 Coeficiente de conformação superficial, para barras nervurada =ϕlon 12.5 mmmmmmmm ≔ϕi =ϕlon 12.5 mmmmmmmm Diâmetro da armadura longitudinal ≔Acri =⋅⋅⋅15 ϕlon 15 ϕlon 351.563 cmcmcmcm 2 Área da região de envolvimento protegida por uma barra ≔Asϕ =―――― ⋅⎛⎝ϕlon⎞⎠ 2 ππππ 4 1.227 cmcmcmcm 2 Área de uma barra da armadura longitudinal ≔ρcri =―― Asϕ Acri 0.00349 Taxa de armadura por fissuração ≔wk1 =⋅⋅――― ϕi ⋅12.5 η1 ―― σsi Esi ―― 3 σsi fctm 0.27 mmmmmmmm Cálculo das aberturas das fissuras ≔wk1 =⋅⋅――― ϕi ⋅12.5 η1 ―― σsi Esi ⎛ ⎜ ⎝ +―― 4 ρcri 45 ⎞ ⎟ ⎠ 0.773 mmmmmmmm O valor característico da abertura da fissura é o menos entre os dois obtidos nos cálculos, portanto, 0,27 mm. 6º Passo - Determinação do limite normativo para abertura da fissura Considerando a Classe de Agressividade Ambiental III (zona marinha), com um microclima de CAA II, por se tratar de uma viga localizada no interior do edifício. De acordo com a NBR 6118:2014, para esta CAA, wk < 0,3 mm, portanto a viga em estudo atende ao ELS-W.
  • 22. VERIFICAÇÃO AO Estado Limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF) Serão utilizados os dados calculados na verificação ao ELS-W. 1º Passo - Cálculo do Momento de Inércia no Estádio II e no Estádio II ≔II =――― ⋅bw h 3 12 0.00054 mmmm 4 Momento de Inércia no Estádio I ≔III =+――― ⋅bw XII 3 3 ⋅⋅αe As ⎛⎝ −d XII⎞⎠ 2 0.000481 mmmm 4 Momento de Inércia no Estádio II 2º Passo - Determinação da flecha imediata no Estádio I ≔M ―― ⋅q L 2 8 Logo ≔q =―― ⋅Mk 8 L 2 47.5 ―― kNkNkNkN mmmm Carregamento distribuido na viga ≔P =q 47.5 ―― kNkNkNkN mmmm ≔α0I =―― 5 384 ――― ⋅P L 4 ⋅Ecs II 13.88 mmmmmmmm Flecha imediata no estádio I, para vigas biapoiadas 3º Passo - Cálculo do momento de Fissuração ≔Yt =― h 2 17.5 cmcmcmcm Distância do centro de gravidade da seção seção à fibra mais tracionada ≔α 1.5 Para seções retangulares ≔Mr =⋅α ――― ⋅fctm II Yt 10.154 ⋅kNkNkNkN mmmm < =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm Logo, a viga trabalha no Estádio II 4º Passo - Determinação da flecha imediata no Estádio II ≔α0II =―― 5 384 ――― ⋅P L 4 ⋅Ecs III 15.48 mmmmmmmm Flecha imediata no estádio II, para vigas biapoiadas 5º Passo - Determinação da Rigidez Equivalente ≔Ic =II 0.00054 mmmm 4 ≔Ma =Mk 95 ⋅kNkNkNkN mmmm ≔EIeq =Ecs ⎛ ⎜ ⎝ +⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ―― Mr Ma ⎞ ⎟ ⎠ 3 Ic ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ −1 ⎛ ⎜ ⎝ ―― Mr Ma ⎞ ⎟ ⎠ 3 ⎞ ⎟ ⎠ III ⎞ ⎟ ⎠ 10232.58 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 =EIeq 10232.578 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 < =⋅Ecs II 11408.698 ⋅kNkNkNkN mmmm 2 OK!
  • 23. 6º Passo - Determinação da flecha imediata considerando a Rigidez Equivalente ≔α0eq =―― 5 384 ―― ⋅P L 4 EIeq 15.47 mmmmmmmm Flecha imediata considerando a Rigidez Equivalente =α0I 13.878 mmmmmmmm =α0II 15.476 mmmmmmmm Usaremos no cálculo da flecha final o maior dos três valores.=α0eq 15.473 mmmmmmmm 7º Passo - Cálculo da flecha diferida no tempo (flecha final) Considerando tempo inicial (t0) de 1 mês e tempo final (t) de 100 meses ≔α0 =α0II 15.476 mmmmmmmm ≔t0 1 mês ≔t 100 meses ≔ρ' =―― A's Ac 0.01113 Taxa de armadura negativa da seção ≔ξ((t)) ⋅⋅0.68 ⎛⎝0.996 t ⎞⎠ t 0.32 Para t < 70 meses ≔t 1 ≔ξt0 =⋅⋅0.68 ⎛⎝0.996 t ⎞⎠ t 0.32 0.677 ≔ξ((t)) 2 Para t > 70 meses ≔ξt 2 ≔∆ξ =−ξt ξt0 1.323 ≔αf =――― ∆ξ +1 ⋅50 ρ' 0.85 ≔α =⋅α0 ⎛⎝ +1 αf⎞⎠ 28.625 mmmmmmmm Flecha diferida no tempo (flecha final) 8º Passo - Determinação do limite para o deslocamento Aceitabilidade Sensorial =―― L 250 16 mmmmmmmm Efeito em elementos não estruturais (parede/alvenaria) =―― L 500 8 mmmmmmmm ou 10 mm Efeito em elementos não estruturais (forro/revestimento colado =―― L 350 11.429 mmmmmmmm =α 28.625 mmmmmmmm > =―― L 500 8 mmmmmmmm Logo, a viga NÃO atende ao ELS-DEF.