Unidad3 ecuaciones_ algebra superior_rosa_depena

Ecuaciones
UNIDAD 3
Prof. Rosa De Peña

1
Algebra Superior
Rosa De Peña & Tulio Mateo
Ecuaciones
Unidad 3
Índice
3.1 Expresión General de una ecuación…………………………………………….... 2 3.2 Raíces o ceros de una ecuación algebraica……………………………………… 2 3.3 Solución grafica de una ecuación……………………………………………........ 3 3.4 Teorema fundamental del algebra………………………………………………… 3 3.5 Teorema de la descomposición factorial………………………………………… 4 3.6 Multiplicidad de una raíz. Teorema. Raíces simples y múltiples………………. 6 3.7 Teorema de las raíces múltiples………………………………………………….. 6 3.8 Interpretación grafica de las raíces múltiples…………………………………..... 9 3.9 Teorema de las raíces complejas………………………………………………… 11 3.10 Binomio irracional cuadrático…………………………………………………..… 11 3.11 Teorema de las raíces irracionales cuadráticas……………………………..... 11 3.12 Productos de binomios con un termino común………………………………… 12 3.13 Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación algebraica……........ 13 3.14 Transformar una ecuación conocida, respecto de otra a determinar que presente: ……………………………………………………………………………........................ 15 3.14.1 Aumento de las raíces en una cantidad determinada “a” 3.14.2 Disminución de las raíces en una cantidad determinada “a” 3.14.3 Múltiplos de las raíces de la ecuación dada. 3.14.4 Submúltiplos de las raíces de la ecuación dada. 3.14.5 Raíces opuestas respecto a la conocida. 3.14.6 Raíces reciprocas respecto a la conocida. 3.14.7 Reducción de las raíces múltiples a otra con las mismas raíces pero todas simples. 3.15 Naturaleza de las raíces. Regla de los signos de Descartes……………….... 26 3.16 Acotación de raíces reales. Regla de Laguerre………………………………... 29 3.17 Teorema de las raíces racionales de una ecuación……………………..…….. 31 3.18 Teorema de Bolzano. Corolario…………………………………………………... 35 3.19 Separación de raíces reales en una ecuación………………………................ 35
3.20 Aproximación de raíces irracionales por Ruffini-Horner……………………... 37
Practica Propuesta No. 1. Unidad 3……………………………………………………… 42
Practica Propuesta No. 2. Unidad 3…………………………………………………………. 46
Cuestionario Unidad 3 ………………………………………………………………………. 48
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA……………………………………………………….. 56

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Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Ecuaciones
Unidad 3
ECUACIONES
3.1 Expresión General de una Ecuación
Si un polinomio algebraico de grado “n” en “X” se iguala a cero, se obtiene una ecuación de grado “n”:
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


 f x A x A x A x A x A n
n
n
n
n
n (1)
La expresión (1) es la forma general de una ecuación de grado “n” con una incógnita X.
Supondremos que: a) A0, A1,…, An son números reales.
b) An≠ 0 y positivo
c) “n” es entero positivo
O sea, que nos referimos a ecuaciones algebraicas racionales enteras de coeficientes reales.
La igualdad a cero en (1) no significa que cualquier valor de X satisface esa igualdad, pues entonces no se
trataría de una ecuación, sino de una identidad.
De todos los valores reales o complejos que pueda tomar X, sólo algunos satisfacen la igualdad a cero. A esos
valores se les llama raíces de la ecuación.
3.2 Una raíz de una ecuación es, entonces, todo valor real o imaginario (o complejo), que al reemplazarlo por
“X” en el polinomio, hace que éste tome un valor cero.
Es decir, si “ r ” es una raíz del polinomio f(x) es porque: f(r) = 0 , o lo que es lo mismo, que f(x) es divisible
por (x-r) .

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Ejemplos
Si:
1) f(x) = x2 + 2x-15 = 0; como f(3) = 0  f(x) es divisible por (x-3)
El proceso para determinar las raíces de una ecuación, se llama “Resolución de una Ecuación”. De donde, “resolver una ecuación es determinar todas sus raíces”.
2) f(x) = x2 + 11x+28 = (x+7)(x+4)
Como f(-7) = 0 entonces f(x) es divisible por (x+7)
f(-4) = 0 f(x) es divisible por (x-4)
3.3 Solución Gráfica de una Ecuación
Si se representa gráficamente la función polinomial, su gráfica es una curva continua para todos los valores de X comprendidos en el intervalo ( - , +  ).
Los puntos R0, R1, R2, R3, etc., donde la curva corta el eje X corresponden a abscisas cuyos valores son raíces reales de la ecuación deducida del polinomio. Luego, una manera de determinar las raíces reales de una ecuación es mediante su representación gráfica.
3.4 Teorema Fundamental del Algebra
“Toda ecuación racional entera con una incógnita tiene por lo menos una raíz real o imaginaria”.
Nota: Este teorema fue demostrado por primera vez por el llamado “príncipe de las matemáticas” Federico Gauss en 1799.
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y
y

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3.5 Teorema de la Descomposición Factorial
“Toda ecuación de grado “n” tiene “n” y no más de “n” raíces reales o imaginarias (o complejas)”
De acuerdo con el teorema fundamental si f(x) = 0 es una ecuación de grado ”n”, tendrá por lo menos una raíz real o imaginaria (o compleja). Supongamos esta raíz R1 , luego:
f(x) = (x-R1) Q1(x) (1)
Q1(x) Es un polinomio entero en X de grado (n – 1), luego Q1(x) = 0 tendrá por lo menos una raíz. Supongamos que ésta sea R2, luego:
Q1(x) = (x-R2) Q2(x) (2)
De igual manera:
Q2(x) = (x-R3) Q3(x) (3)
:
.
Y así sucesivamente:
Q (n-1)(x) = (x-Rn) Qn(x) (4)
[En (4) Qn es de grado cero]
Entonces reemplazando sucesivamente, tenemos:
f(x) = (x-R1) (x-R2) (x-R3)… (x-Rn) (5)
donde R1, R2, ... , Rn, son las “n” raíces de la ecuación y no hay más de “n” pues sólo reemplazando en (5) a X por cualquiera de esas R1, R2, R3, etc. se obtiene f(x) = 0.
Nota: El teorema anterior establece también como conclusión evidente, que toda ecuación de grado “n” se puede descomponer en “n” factores binómicos de la forma (x-Ri) , donde
Ri ( i = 1, 2, 3, ... , n ) son las “n” raíces reales e imaginarias (o complejas) de dicha ecuación. Debemos destacar que en la descomposición hemos considerado A0 = 1.
Ejemplo
Resolver:
1) x3-2x2-x+2 = 0, sabiendo que x = 1 es una raíz.
Esto significa que la ecuación es divisible por (x-1) o sea que:
x3-2x2-x+2 = (x-1) Q(x)

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Q(x) se puede obtener por Ruffini
1 -2 - 1 2
1 1 - 1 -2
1 - 1 - 2 0
Así: Q(x) = x2- x -2
A partir de Q(x) = 0 , obtenemos dos raíces, R = -1 , R = 2 , luego las 3 raíces de la ecuación dada
son: R1= 1
R2= -1
R3= 2
Una vez determinadas las raíces la ecuación podemos escribirla utilizando factores de primer grado o
factores lineales:
x3-2x2-x+2 = (x-R1)(x-R2)(x-R3) = 0
(x-1)(x-(-1))(x-2) = 0
(x-1)(x+1)(x-2) = 0
2) f(x) = x3-3x2+4x -12 = 0, conociendo que x = 3 es una raíz.
1 -3 4 - 12
3 3 0 12
1 0 4 0
x2 + 4 = 0
x2 = - 4
x =  4  2i
x3-3x2+4x -12 = (x-3) (x2+4) = (x-3)(x+2i)(x-2i)

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3.6 Multiplicidad de una Raíz
Raíces Simples y Múltiples
Puede suceder que una o varias de las “n” raíces de una ecuación f(x) = 0 aparezca más de una vez en la
descomposición factorial; a esa clase de raíz se le llama Raíz Múltiple; a las que no se repiten se les designa
como Simples. A las veces que una raíz múltiple se repite se le llama grado de multiplicidad.
Una ecuación f(x) = 0 de grado “n” puede tener todas sus raíces múltiples. Sólo debe satisfacer la
condición de que la suma de los grados de multiplicidad de sus raíces sea igual a “n”.
Naturalmente, si algunas de las raíces de una ecuación son múltiples, el número de raíces distintas que tendrá
será menor que “n”, puesto que las que se repiten se cuentan como raíces tantas veces como se repitan.
Supongamos que de una ecuación f(x) = 0 todas sus raíces sean múltiples, es decir:
R1 sea de multiplicidad r
R2 de multiplicidad s
R3 de multiplicidad t, etc.
Luego:         ... 1 2 3
r s t f x  x  R x  R x  R
de donde r + s + t +… = n
Veamos ahora como podemos determinar la multiplicidad de una raíz R1 de una ecuación y además cuál es su
grado de multiplicidad.
3.7 Teorema de las Raíces Múltiples
Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus sucesivas derivadas hasta un cierto
número de éllas. Si el número de derivadas sucesivas que anula es ( h – 1), entonces será “h” el grado
de multiplicidad. Si las anula todas; entonces su multiplicidad será “n” y la ecuación resulta del
desarrollo de la potencia “n” de un binomio de la forma
(x-a) n.
Supongamos , para simplificar, que la ecuación f(x) = 0 sólo tiene una raíz múltiple de un grado de
multiplicidad igual a “h”.
f(x) = 0 = (x-R1)h (x-R2) (x-R3)… (1)
Donde “h” veces R1, R2, R3, R4 ,... son las “n” raíces de la ecuación.
Desarrollemos la función f(x) en términos de las potencias de (x – R1) :
   
 
 
 
 
 
 
   
 
  
 

         

1
1
1
1
3
1
2 1
1
1
1
1
1 1!
...
3!
'''
2!
''
1!
' h
h
x R
h
f R
x R
f R
x R
f R
x R
f R
f x f R

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 
 
 
 n
n
h
h
x R
n
f R
x R
h
f R
1
1
1
1
!
...
!
     2
Si R1 es de multiplicidad “h” , según (1) , entonces f(x) es divisible por (x – R1)h
En (2) vemos que sólo es posible esto, si en el miembro de la derecha desaparecen los términos que no son
divisibles por , o sea los términos:
Y de la única manera que estos términos desaparecen, es si son nulos los valores que toma la función y las
primeras derivadas para , es decir si:
Esto nos permite establecer, que un número que sea raíz múltiple de una ecuación, anula la ecuación y sus
derivadas hasta un cierto número de ellas. Si el número de derivadas sucesivas que anula es “h” , entonces será
“h+1” el grado de multiplicidad. Si las anula todas; entonces su multiplicidad será “h” y la ecuación resulta del
desarrollo de la potencia “n” de un binomio.
Así:
Es una ecuación con una raíz “a” múltiple, cuyo grado de
Multiplicidad es “n”.
Ejemplo:
La ecuación tiene una raíz múltiple R = 1.
Complete su resolución y estudie la multiplicidad de sus raíces.
Las derivadas sucesivas son:
Por división sintética:
1 1 - 5 - 1 8 - 4
1 1 2 -3 - 4 4
1 2 –3 - 4 4 0
1 3 0 - 4
1 3 0 - 4 0
1 4 4
1 4 4 0

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Como :
Para
Cuando x=1 anula la función y sus dos primeras derivadas, luego la raíz R=1 es múltiple y su grado de multiplicidad es 3.
Para
Cuando anula la función y su primera derivada, luego , la raíz R = - 2 es múltiple y su grado de multiplicidad es 2.

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3.8 Interpretación Gráfica de las Raíces Múltiples
a) Si una ecuación tiene una raíz real simple “R1”; la curva correspondiente corta el eje de las “x” en el punto abscisa cuyo valor sea igual al de la raíz.
R1 = Raíz Simple
b) Si una ecuación tiene una raíz real “R2” de multiplicidad par, la curva correspondiente es tangente al eje de las “x” en el punto de abscisa cuyo valor sea igual al de la raíz.
R2 = Raíz Múltiple de multiplicidad par
c) Si la raíz “R3” es real de multiplicidad impar (lógicamente > 1), la curva presenta un punto de inflexión sobre el eje de las “x”.
R3= Raíz Múltiple de multiplicidad impar
-10
0
10
20
30
0
2
4
6
P(x)
P(x)
0
2
4
6
8
10
-2
-1
0
1
2
3
4
y
y
-10
-5
0
5
10
0
2
4
6
y

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Nota: Las raíces complejas de una ecuación pueden ser múltiples también, sólo hay que tener presente el
hecho de que por lo general, ellas se presentan en parejas conjugadas; o sea que si decimos, por ejemplo, que
una ecuación tiene una raíz compleja de multiplicidad 2 es admitir que hay 4 raíces complejas en esa
ecuación.
Construcción de la Gráfica de un Polinomio y Localización de sus Raíces Reales
a) Construir la gráfica del polinomio – y localizar las raíces reales de la
ecuación
Las raíces simples son: 3 1 x   , 1 2 x   , 2 3 x 
b) Construir la gráfica del polinomio
Y analizar las raíces de
x -2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
f(x) -192 -18.8 0 -2.93 -8 -13.3 -12 -3.7 0 14.9 208
-30
-20
-10
0
10
20
30
-6 -4 -2 0 2 4
F(x)
F(x)
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
y
X -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
F(x) -18 -6.875 0 3.375 4 2.625 0 -3.125 -6 -7.875 -8 -5.625 0 9.625 24

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La ecuación , tiene como raíces:
1 1 2 x  x   Raíz doble,
2 3 4 5 x  x  x  Raíz triple
y las raíces complejas conjugadas
2
1 3
6
i
x
 

2
1 3
7
i
x
 

3.9 Teorema de las Raíces Complejas
Si una cantidad compleja es raíz de una ecuación entera de coeficientes reales, entonces
su conjugado es también raíz de la ecuación. Esto es, las raíces complejas aparecen siempre en pares
conjugados en ecuaciones con coeficientes reales.
Supongamos la ecuación y , la raíz compleja. Si reemplazamos a x por
en el polinomio, tendremos después de operar, una serie de valores reales y otra de valores imaginarios.
Supongamos sumados todos los reales y todos los imaginarios y llamémosle P y Q, respectivamente, luego:
O sea que y (condición de nulidad de un número complejo)
Si ponemos en vez de , tenemos:
⌈ ⌉
Pero como y
Entonces y
Como consecuencia de este teorema, podemos afirmar que una ecuación entera con coeficientes reales y
de grado impar debe tener por lo menos una raíz real.
3.10 Binomio Irracional Cuadrático
Sean “a” y “b” dos números racionales y sea √ un número irracional. Entonces √ se
llama binomio irracional cuadrático y √ se llama binomio irracional cuadrático conjugado.
Por un método análogo al empleado en la demostración del teorema anterior, puede establecerse el siguiente
teorema.
3.11 Teorema de las Raíces Irracionales Cuadráticas
Si un binomio irracional cuadrático √ es raíz de la ecuación con coeficientes
racionales, entonces el binomio irracional cuadrático √ también es raíz de la ecuación.
En base a los dos teoremas anteriores, podemos afirmar que:
Todo polinomio de una sola variable “x” y con coeficientes reales puede expresarse como el producto de
factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales, correspondiendo cada factor lineal a un cero real y
cada factor cuadrático a un par de ceros o complejos conjugados o irracionales cuadráticos conjugados.

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3.12 Productos de Binomios con un Término Común
Consideremos el producto de varios binomios de la forma
Por ejemplo
Nos interesa establecer una ley general a la que obedezca el producto de 2, 3, ... , n de tales binomios. Para
ello vamos formando tales productos:
x  ax bx cx  d
x  a b  c  dx  ab  ac  ad bc bd  cdx  abc  abd  acd bcdx  abcd 4 3 2
Ya en estos desarrollos se observa la ley general que buscábamos y que fácilmente podemos generalizar
diciendo:
El producto x  ax bx  c...x lde “n” binomios con el primer término “x” común, es un polinomio de
grado “n” respecto a “x”. Ordenado en forma decreciente respecto de esa letra, el primer término es la
potencia de “x” de grado “n” que tiene de coeficiente la unidad ; el segundo término tiene como coeficiente
la suma de los términos a,b,c,... , l y la variable “x” tiene de exponente (n-1) ; el tercer término tiene como
coeficiente la suma de todos los productos binarios de a, b, c, ..., l y la variable “x” tiene de exponente (n-2),
el cuarto término tiene como coeficiente la suma de todos los productos terciarios y la variable tiene como
exponente (n-3), ... , y así sucesivamente hasta el último término , que es el producto de a,b, c, ... , l.
El resultado de dicho producto en el caso que los “n” binomios sean diferencias:
x  ax bx c...x l Se obtiene de los binomios anteriores cambiando los signos de a,b,c,...,l y con ello
cambia el signo de los productos que tengan un número impar de letras, pero no cuando el número de factores
sea par.
x  ax bx c...x l 
x a b c d lx  ab ac al bc x    abc l n n n n ... ... ... ... 1 ... 1 2                  (1)
El factor indica los signos alternados, pues vale uno (1) si “n” es par y menos uno ( -1) si “n” es impar.
Los coeficientes de las sucesivas potencias de x (sin tener en cuenta el signo) se llaman Funciones Simétricas
Elementales de a, b, c, ... , h, k, l. Abreviando tenemos:
 a b  c ... k l 1 
 ab  ac ... kl 2 
 abc  abd ... hkl 3  .
.
.
abc hkl n   ...
Usando estas abreviaturas tenemos las dos fórmulas para los productos de “n” binomios, sean suma o
diferencia:
a) x  ax bx  c...x l    
n  n
n n n  x  x  x   x  
 
1
2
2
1
1 ...
b) x  ax bx c...x l       
    n
n
n
n n n n x  x  x ... 1  x 1  1
2 1
2
1
1         
  

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3.13 Relaciones entre Coeficientes y Raíces de una Ecuación Algebraica
Sea    
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n (1)
una ecuación algebraica mónica , cuyos coeficientes pueden ser indistintamente reales o
complejos. Sean además a,b, c, ... , l sus raíces reales o complejas, donde, no obstante la notación,
algunas pueden ser múltiples. Entonces podemos expresar a f(x) mediante la descomposición factorial
siguiente:
f x x  ax bx c...x l (2)
Dado que ya vimos anteriormente que
x  ax bx c...x l       
    n
n
n
n n n n x  x  x ... 1  x 1  1
2 1
2
1
1        
   (3)
Entonces igualando (1) y (3), obtenemos que:
. . .
De esta manera la ecuación (1) podemos expresarla:
(4)
Es así como concluimos que dadas las raíces de un polinomio, éste queda definido por la expresión (4) , en
donde los valores de 1, 2,... ,  n corresponden a las Funciones Simétricas Elementales de las raíces “a” ,
“b” , “c” , ... , “l ” del polinomio f(x).
Ejemplos
Hallar la ecuación algebraica que tenga por raíces los valores indicados en cada caso. Use para la formación
de la ecuación las relaciones entre raíces y coeficientes.
a)
La ecuación genérica es:
por considerar una ecuación mónica.
1  pues 1( ) 1    a b  c
2 
Debido a que ,  ab  ac bd 2 
3  Además,   abc 3
3   1
Así tenemos:

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b)
La ecuación genėrica es:
por ser la ecuación mónica
  2 1 2  1 2  4 2 1 2 3 A   x  x  x     i   i   1( ) 1    a b  c
1 1 2 1 3 2 3 A  x x  x x  x x 21 2  21 2  1 2 1 2  4 1 2   4 1 4  9 2 2   i   i   i  i    i    i 
 ab  ac bd 2 
 1  1 21 2 1 2  21 4  10 3 2
1 2 3
3
0 A   x x x    i  i    i  
  abc 3
3   1
La ecuación pedida es : – –
c)
La ecuación genérica es:
= 1( ... ) 1    a b  c   k l
 ab  ac ... kl 2 
 abc  abd .acd bcd 3 
La ecuación es :

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3.14 Transformaciones de Ecuaciones
Transformar una ecuación es obtener otra cuyas raíces satisfagan relaciones pre-establecidas respecto a las
raíces de la ecuación original.
Analizaremos diferentes tipos de transformaciones:
3.14.1 Transformación de una Ecuación que posea raíces múltiples en otra cuyas raíces sean las mismas de la
ecuación original, pero todas raíces simples.
3.14. 2 Transformación Mediante Operaciones Elementales.
3.14.2.1 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean múltiplos o submúltiplos de las
raíces de la ecuación dada.
3.14.2.2 Opuestas respecto a la ecuación conocida.
3.14.2.3 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces estén aumentadas o disminuidas en una
cantidad “k”, respecto a las raíces de la ecuación dada.
3.14.2.4 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean las recíprocas de las raíces de la
ecuación dada.
Veamos las transformaciones en detalle:
3.14.1 Transformación de una Ecuación que posea raíces múltiples en otra cuyas raíces sean
las mismas de la ecuación original, pero todas raíces simples
Sea nuevamente
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n
una ecuación algebraica donde el polinomio f(x) se supone mónico y cuyos coeficientes pueden ser
indistintamente reales o complejos. Sabemos que esta ecuación tiene “n” raíces, cada una con su multiplicidad
correspondiente. Generalmente las raíces no se conocen y es muy difícil conocerlas. Tienen, pues, interés, todos
los procedimientos que sirvan para simplificar una ecuación; por ejemplo, el que ahora veremos para reducir
una ecuación cualquiera a otra equivalente que tenga las mismas raíces de la ecuación original, pero todas
simples.
Inicialmente recordaremos que si
b
a
es una fracción compuesta y “d” es el máximo común divisor (MCD)
entre “a” y “b” , entonces 



 



d
b
b
a
es una fracción irreductible. O sea que, para hacer que una fracción
sea irreductible basta con dividir sus dos miembros (numerador y denominador) por el MCD de ambos.

16
Ecuaciones
Unidad 3
Por ejemplo: Los números 42 y 18 tienen como MCD el 6, luego la fracción
la transformamos en una
fracción irreductible si dividimos ambos números por su MCD.

Es una fracción irreductible
Supongamos, para simplificar, una ecuación de 5to. grado y que sólo tiene una raíz múltiple, cuyo grado de
multiplicidad es 3:
Donde “a” , “b” , “c” son las únicas raíces distintas que tiene la ecuación, siendo “a” múltiple y “b”
, “c” simples.
Es decir que si (1)
Entonces [ ] (2)
Donde [ ] es un polinomio general de segundo grado no divisible por ( ni
, pues si lo fuera, “b” y “c” serían raíces múltiples y ello estaría en contradicción con la hipótesis
inicial.
De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raíz disminuye en una unidad en cada una de las
derivadas sucesivas de la ecuación.
Siendo el MCD entre y , y formando el cociente de
entre este MCD , se obtiene:
0 es una ecuación con las mismas raíces de la ecuación original, pero todas simples.
De lo anterior se desprende la regla siguiente: Para reducir una ecuación a otra que sólo tenga raíces simples,
basta con dividir la ecuación entre el MCD correspondiente a ella y a su primera derivada.
Ejemplo: Reducir la siguiente ecuación a otra cuyas raíces sean simples:
1)
 
2 2
12
' 3 2  x  x  x 
f x
Aplicando el proceso de divisiones sucesivas se llega a:

17
Ecuaciones
Unidad 3
Es otra ecuación con las mismas raíces de , pero en este caso todas son simples.
Las raíces de son :
de multiplicidad
√
√
Las raíces de son raíces simples:
√
√
3.14.2 Transformación Mediante Operaciones Elementales
3.14.2.1 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean múltiplos o submúltiplos
de las raíces de la ecuación dada.
La idea es que partiendo de la ecuación , cuyas raíces son obtener otra ecuación
(donde es un real) cuyas raíces serían . En esta transformación se dice
que las raíces están multiplicadas por el valor
Veamos:
Dada la ecuación    
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n 1
Obtener otra ecuación tal que sus raíces sean las de (1) multiplicadas por un número real k 0 .
Si esa ecuación es: f y  0 , entonces y  kx 2 ; de donde
k
y
x  3
Reemplazando en se tiene:
 
 
 
 
... 0 1 0
2
2
1
1   



  



 



 






 A
k
y
A
k
y
A
k
y
A
k
y
A
n
n
n
n
n
n
Multiplicando toda la ecuación por :
 
 
 
 
 
    ... 0 0
1
1
3 3
3
2 2
2
1
1         





n n n
n
n
n
n
n
n
n A y A ky A k y A k y A k y A k
Si cambiamos por se tiene:
 
 
 
 
 
    ... 0 0
1
1
3 3
3
2 2
2
1
1         





n n n
n
n
n
n
n
n
n A x A kx A k x A k x A k x A k
Es decir que para obtener de una ecuación, otra con sus raíces multiplicadas por un número “se
multiplica cada término de la ecuación dada por elevado a un exponente igual a la diferencia entre el grado
de la ecuación dada y el exponente del término”.
Para obtener una ecuación transformada cuyas raíces sean las de multiplicadas por un valor k, y que a la vez
sea una ecuación mónica, puede considerarse [ ] con lo
cual la ecuación transformada pasa a ser:
 
 
 
 
           
... 0 1
0
2
1
2 3
3
2
2
1
1          





n
n
n
n
n
n n
n
n n
n
n
n x A x A A x A A x A A x A A

18
Ecuaciones
Unidad 3
Ejemplos
1) Dada la ecuación – – – , transformarla en otra cuyas raíces sean
las de f(x) multiplicadas por .
– – –
– – –
La ecuación pedida es: –
Las raíces de la ecuación dada son
Las raíces de la ecuación transformada son
Es importante señalar que la ecuación transformada mantiene el grado de la ecuación conocida.
2) Dada la ecuación – – –
transformarla en otras cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación dada.
Aplicando la regla:
3 13 43 103 283 153 0 0 4 1 3 2 2 3 4 f  x  x  x  x  
3 13 43 103 283 153 0 0 4 1 3 2 2 3 4 f  x  x  x  x  
Siendo la ecuación pedida: 12 90 756 1215 0 4 3 2 x  x  x  x  
Las raíces de la ecuación dada son
Las raíces de la ecuación transformada son: 9 1 2 x  x 
3 3 x  
15 4 x 
3) Transformar la ecuación   1 0
2
5
2
1
3 4 3 2 f x  x  x  x  x   en otra ecuación mónica de coeficientes
enteros.
Multiplicando por el MCM de los denominadores, tenemos: –
La ecuación Mónica de coeficientes enteros que resulta será la ecuación transformada cuyas raíces serán las de
f(x) multiplicadas por 6.
La ecuación pedida es: 26 56 26 0 4 3 2 2 3 x  x  x  x  
–
Este caso de transformación de ecuaciones también se utiliza cuando a partir de una ecuación conocida, se desea
obtener otra ecuación cuyas raíces sean las opuestas de las raíces de la ecuación dada.

19
Ecuaciones
Unidad 3
3.14.2.2 Ecuación de raíces opuestas respecto a la ecuación conocida.
La idea es a partir de la ecuación , cuyas raíces son n R ,R ,...,R 1 2 obtener otra ecuación
, cuyas raíces sean n  R ,R ,...,R 1 2 . En esta transformación se dice que las raíces están cambiadas de signo
respecto a las raíces de la ecuación dada.
Para efectuar la transformación se procede de la misma manera que explicamos más arriba, haciendo
 Se pueden deducir fácilmente estas dos reglas para obtener la transformada de cualquier
:
a) Si el grado de la ecuación dada es par, se les cambian los signos a los términos de grado impar.
b) Si el grado de la ecuación dada es impar se les cambian los signos a los términos de grado par (recuerde que
el término independiente es de grado par).
Ejemplos
Dada la ecuación, obtener otra cuyas raíces sean opuestas respecto a las raíces de la ecuación conocida.
a) – –
Cambiando el signo a los términos pares se obtiene la ecuación pedida:
b) – – –
Cambiando el signo a los términos impares se obtiene la ecuación pedida: – –
–
Las raíces de son:
Las raíces de son: 1 1 2 x  x  5 3 x  3 4 x  
3.14.2.3 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces estén aumentadas o disminuidas en
una cantidad “k”, respecto a las raíces de la ecuación dada
La idea es que partiendo de la ecuación , cuyas raíces son n R ,R ,...,R 1 2 , obtener otra ecuación
(donde es un real) cuyas raíces serían En esta
transformación se dice que las raíces están disminuídas si el valor de es positivo y aumentadas si es
negativo.
Dada la ecuación    
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n
Obtener otra cuyas raíces sean las de (1) disminuidas en un número real k 0.

20
Ecuaciones
Unidad 3
Si esa ecuación es
, entonces ); de donde
Reemplazando en se tiene la ecuación :
      
    
     ...     0 0
1 0
3
3
2
2
1
1              




 A y k A y k A y k A y k A y k A y k n
n
n
n
n
n
n
n
Si en la ecuación anterior desarrollamos todos los binomios y asociamos términos semejantes,
tendremos una ecuación de la forma:
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


 f x B y B y B y B y B n
n
n
n
n
n (5) que es la ecuación buscada.
Para determinar los coeficientes de (5):  1  2 0 B ,B ,B ,...,B n n n basta con observar que puesto que –
la ecuación (5) se puede obtener de la ecuación desarrollándola en términos de las potencias de – .
Esto es, si la ecuación la desarrollamos en función de las potencias de – usando la Fórmula de Taylor,
obtenemos la ecuación (6):
   
 
 
 
 
   
 
    
  0
1! !
...
2!
' '
1!
' 1
1
2    

        

n
n
n
n
x k
n
f k
x k
n
f k
x k
f k
x k
f k
f x k f k
Si en se invierte el orden de los términos y se reemplaza – por obtenemos a .
Igualando y podemos determinar los coeficientes indeterminados  1  2 0 B ,B ,B ,...,B n n n , por división
sintética y de la forma que veremos a continuación. Para mayor claridad supongamos que la ecuación es de
cuarto . Luego, al igualar ), tendríamos:
 
 
 
 
 
 
 
x k f k
f k
x k
f k
x k
f k
x k
f k
B y B y B y B y B
IV
            
2! 1!
' '
3!
' ' '
4!
'
4 3 2
1 0
2
2
3
3
4
4
Comparando las dos igualdades se puede deducir:
a) es igual al resto que se obtiene al dividir entre – .
b) es el resto que se obtiene al dividir el cociente de la división en entre – .
c) es el resto que se obtiene al dividir el cociente de la división en por – ; y así sucesivamente.
Ejemplos
1) Se desea transformar la ecuación – – en otra ecuación cuyas raíces sean las
de disminuidas en la unidad.
La ecuación buscada será de grado 3 y se puede expresar como:
1
Los valores de 3 2 1 0 B ,B ,B ,B se encuentran dividiendo sucesivamente la ecuación dada por la unidad. Así:

21
Ecuaciones
Unidad 3
La ecuación pedida se obtiene sustituyendo en 1 los 3 2 1 0 B ,B ,B ,B
es: – –
Las raíces de la ecuación dada son:
Las raíces de la ecuación transformada son:
– 1 = 2
2) Se desea transformar la ecuación – – en otra ecuación cuyas raíces sean las
de aumentadas en la unidad.
La ecuación buscada será de grado 3 y se puede expresar como:
1
Los valores de 3 2 1 0 B ,B ,B ,B se encuentran dividiendo sucesivamente la ecuación dada por la unidad. Así:
1 -3 -1 3
2 1 -2 -3
1 -2 -3 0
1 -1
1
1 -1 -4
1
1 0
1
1 -3 -1 3
-1 4 -3
1 -4 3 0
- 1 5
-1
1 -5 8
-1
1 -6
1

22
Ecuaciones
Unidad 3
La ecuación pedida se obtiene sustituyendo en 1 los 3 2 1 0 B ,B ,B ,B
es: ( – )
Las raíces de la ecuación dada son:
3) Sea la ecuación – – . Se desea transformar en otras cuyas raíces sean las de ésta
disminuidas en La ecuación de grado cinco será de la forma:
Los valores , etc. se encuentran dividendo sucesivamente la ecuación dada
por – .
Aplicando Ruffini:
1 00  03 04  00 18
 02  04  02  04  08  2
1 02  01 02  04 10 0  B
 02  0818 32
1 04  09 16  28 1  B
 02 12  42
1 06  21 58 2  B
 02 16
1 08 37 3  B
 02
110 4  B
1 5  B
Sustituyendo en la ecuación:
Luego la ecuación buscada es: – – –
Nota: Observemos que disminuir en un valor negativo equivale a aumentar en el mismo valor positivo; esto es,
para disminuir se lleva el número con el mismo signo y para aumentar se lleva con signo contrario.

23
Ecuaciones
Unidad 3
Note que de acuerdo con la igualdad de la demostración anterior, mediante ese proceso se puede hacer
desaparecer un término cualquiera de una ecuación dada. Basta con que las raíces se disminuyan en un valor
que anule la derivada de la función cuyo orden corresponda al exponente del término que se quiere hacer
desaparecer. O sea, que si queremos que en una ecuación desaparezca el término en , buscamos la
, la resolvemos, y disminuímos las raíces de la ecuación dada en un valor cualquiera de los
obtenidos en la solución de esa derivada segunda.
Interesa en particular el caso de eliminar el de una ecuación. Como éste es el término en ,
entonces buscamos la derivada de orden y la resolvemos. Dicha derivada es una función lineal y
cualquiera que sea el grado de la ecuación, tendrá la forma:
       1
1 ! 1! 
    n n
n f x n A x n A
Igualando a cero se obtiene:
 
n
n
nA
A
x R 1   
Luego, siempre que las raíces de una ecuación se disminuyan en
 
n
n
nA
A 1 
la ecuación que resulta no tiene
término en n1 x .
Ejemplo
Sea la ecuación – – ,
se quiere obtener otra que no tenga término en
Aquí: = 1, = -8, , luego
   
 
2
4 1
1 8 
 
    
n
n
nA
A
x R
1 08 00  02  02
 02 12  24  44 2
10612 22 46 0  B
2  08 40
1 04  20  66 1  B
02  04
1 02  24 2  B
02
1 00 3  B
1

24
Ecuaciones
Unidad 3
La ecuación general será : 0 1 0
2
2
3
3
4
4 B x  B x  B x  B x B 
Como 1 4 B  , 0 3 B  , 24 2 B   , 66 1 B   46 0 B  
La ecuación pedida es: – 24 – 66x – 46 = 0
Note que aunque desapareció el término en x3 como se quería, volvió a aparecer el término en que no
existía en la ecuación dada. Ello indica que no es posible eliminar más de un término al mismo tiempo a menos
que el valor con que se disminuyan las raíces de la ecuación, anule a más de una de las derivadas.
3.14.2.4 Conocida una ecuación, transformarla en otra cuyas raíces sean las recíprocas de las raíces
de la ecuación dada.
Dada la ecuación
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n (1)
Obtener otra ecuación, tal que sus raíces sean las recíprocas o inversas de las raíces de la ecuación conocida.
La ecuación buscada es , entonces
x
y
1
 (2) ,
y
x
1
 (3)
Reemplazando en :
 
 
 
 
 
 
0
1 1
...
1 1 1 1
0
1 0
3
3
2
2
1
1   


 


  


 


   


 


  


 


  


 


  


 







 y
A
y
A
y
A
y
A
y
A
y
A
n
n
n
n
n
n
n
n
            0
1
...
1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 1 0    


 


   


 


  


 


  


 


  


 


      A
y
A
y
A
y
A
y
A
y
A
n n n n n n n n
Multiplicando la ecuación anterior por :
     
  ... 0 0
1
1
3
3
2
1 2        
  
n n
n n n n A A y A y A y A y A y
Cambiando y por x:
     
  ... 0 0
1
1
3
3
2
1 2        
  
n n
n n n n A A x A x A x A x A x
Reordenando:
     
...   0 1
3
3
2
2
1
0 1        
  
n n
n n n n A x A x A x A x A x A (4)
Es decir que para obtener de una ecuación ), otra cuyas raíces sean las inversas de las
raíces de la ecuación dada, sólo tenemos que invertir el orden de colocación de los coeficientes de los términos
de la ecuación dada. De este modo, la ecuación se dirá que es recíproca de la ecuación

25
Ecuaciones
Unidad 3
Ejemplos
1) Dada la ecuación – –
Obtener otra cuyas raíces sean las inversas de las raíces de
Las raíces de la ecuación dada son: 2 1 x  , 1 2 x   , 3 3 x  
La ecuación dada se puede escribir en forma general:
  0 1 0
2
2
3
3 f x  A x  A x  A x A 
Podemos deducir que en la ecuación conocida tenemos que:
= 1 , = 2 , = -5 , = -6
A partir de estos valores, podemos hallar los coeficientes de la nueva ecuación:
  0 2 3
2
1
3
0 f x  A x  A x  A x A 
  6 5 2 1 0 3 2 f x   x  x  x   Ecuación de raíces reciprocas determinada.
Cuyos valores son:
2
1
1 x  , 1 2 x   ,
3
1
3 x  
2) Dada la ecuación – – ; obtener la ecuación de raíces recíprocas
respecto a la ecuación conocida.
En general
Los coeficientes de la ecuación dada son: = 1 , = 0, = -7, = -6
La ecuación de raíces reciprocas será: f(x) = + +
+ = 0
6 0 A   , 7 1 A   , = 0, 1 3 A 
La ecuación de raíces reciprocas es:
Las raíces de la ecuación son: = 3 , = -1, = -2
Las raíces de la ecuación transformada son: =
3
1
, = -1 , =
2
1

3) Dada la ecuación
La ecuación transformada es:
Las raíces de la ecuación dada son: 1 1 x  , 5 2 x  , 3 3 x   , 2 4 x  
Las raíces de la ecuación transformada son: 1 1 x  ,
5
1
2 x  ,
3
1
3 x   ,
2
1
4 x  

26
Ecuaciones
Unidad 3
4) Dada la ecuación
Las raíces de este caso son: = 7 , = 3, = -1, = 0
La ecuación transformada es:
Las raíces de la ecuación transformada son: =
7
1
, =
3
1
, = -1, = 0
3.15 Naturaleza de las Raíces. Regla de los Signos de Descartes
Una ecuación entera , grado , tiene raíces, las cuales pueden ser reales o complejas. La Regla
de los Signos de Descartes permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una
ecuación racional entera con coeficientes reales. Sin embargo, antes de estudiar esta regla veremos ciertos
conceptos preliminares.
Para iniciar debemos considerar la determinación de las posibles raíces nulas de una ecuación entera, ya que
tales raíces no son ni positivas ni negativas. Es claro que si una ecuación carece del término independiente,
pero no del término de primer grado, entonces posee una sola raíz nula; si carece de los términos independiente
y de primer grado, pero no del término de segundo grado, entonces posee dos raíces nulas, y así
sucesivamente.
O sea que, de aquí en adelante se entenderá que el primer paso en la resolución de una ecuación entera es la
separación de las raíces nulas.
Ejemplos
Identificar en las ecuaciones dadas las raíces nulas.
1) 3x  0 2) 3 5 0 3 2 x  x  3) 2 4 0 2 x  x  4) 3 2 0 3 2 x  x  x 
 3 5  0 2 x  x   x  2 2x  0  3 2  0 2 x  x  x 
* De las ecuaciones anteriores las que corresponden a : poseen una raíz nula.
* La ecuación posee dos raíces nulas.
En un polinomio f(x) con coeficientes reales y ordenados según las potencias descendentes de se dice que
hay una “variación de signo” o simplemente una “variación” si dos términos sucesivos difieren en el signo.
Para contar las variaciones no importa que el polinomio sea incompleto.
Por ejemplo, el polinomio:
– – – de signo entre sus términos.
Podemos demostrar que “cuando cualquier polinomio se multiplica por un binomio de la forma – , siendo
un número real positivo, el polinomio resultante presenta por lo menos una variación más que las que tenía
el polinomio original.
Supongamos el polinomio que tiene términos.

27
Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
El producto – tendrá términos. De esos términos el ultimo será: , que es de signo contrario a ; luego en el caso extremo de que los otros términos conservan el mismo signo que los del polinomio , habrá que contar una variación más al pasar al último término ).
Ejemplos
1) El polinomio tiene variación. Si se multiplica por , resulta entonces [ ] – – que tiene variaciones de signo entre sus términos.
2) El polinomio – – tiene 3 variaciones. Si se multiplica por – resulta entonces [ ] – – que tiene variaciones.
Como consecuencia de lo visto anteriormente se puede demostrar la Regla de los signos de Descartes que dice: Si es una ecuación entera con coeficientes reales y sin raíces nulas, entonces el número de raíces positivas de es igual al número de variaciones de f(x) = 0 ó es menor que este número en un número par.
Supongamos que sean las raíces positivas de una ecuación , luego la descomposición factorial:
(1)
Ya vimos que: tiene por lo menos una variación más que y así sucesivamente. Entonces, el producto de la derecha de tendrá variaciones más que las de ; pero ese producto es igual a , luego si el total de variaciones de es entonces:
* Para determinar el número máximo de raíces reales negativas se aplica la misma regla a la ecuación transformada , pues las raíces positivas de son las negativas de .
Ejemplos
Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de la ecuación:
1) – –
tiene dos (2) variaciones de signos entre sus términos. Por tanto, hay
raíces positivas.
La ecuación: – – tiene solamente una
variación de signo entre sus términos. Por tanto, hay exactamente una raíz negativa.
Entonces existen dos posibles combinaciones para las raíces de la ecuación.
Importante:
Cuando determinemos las raíces de la ecuación conocida, tendremos una de las opciones propuestas mediante la regla de Descartes.
Grado
Nulas
+
-
C
5
0
2
1
2
5
0
0
1
4

28
Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
2) – – – – –
posee dos raíces nulas
La nueva ecuación a utilizar, después de separar las raíces nulas es g(x):
– – – tiene una variación de signo entre sus términos
posee dos variaciones de signo entre sus términos.
3) –
La nueva ecuación a utilizar, después de separar las raíces nulas es g(x):
– – tiene dos variaciones de signo entre sus términos
posee una variación de signo entre sus términos.
4) –
– tiene tres variaciones de signo entre sus términos
posee dos variaciones de signo entre sus términos.
5) –
– – tiene una variación de signo entre sus términos
posee tres variaciones de signo entre sus términos
Grado
Nulas
+
-
C
5
2
1
2
0
5
2
1
0
4
Grado
Nulas
+
-
C
3
0
2
1
0
3
0
0
1
2
Grado
Nulas
+
-
C
5
0
3
0
2
5
0
1
0
4
Grado
Nulas
+
-
C
4
0
1
3
0
4
0
1
1
2

29
Ecuaciones
Unidad 3
3.16 Acotación de Raíces Reales. Regla de Laguerre
Sea dada una ecuación entera de coeficientes reales
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n , cuyo primer coeficiente es positivo.
La idea consiste en encontrar dos números y , llamados, respectivamente, cota superior y cota
inferior, tales que las raíces de se encuentren dentro del intervalo .
Procederemos a buscar la manera de encontrar la cota superior de las raíces positivas de f(x) = 0, pues la
cota inferior de las raíces negativas se obtendrá aplicando la misma metodología a la ecuación transformada
; ya que las raíces positivas de son las negativas de , cambiando
finalmente el signo del número encontrado.
Si los coeficientes, de son todos positivos, no existen raíces positivas y
Existen varios métodos para determinar los límites de las raíces de la ecuación . Veremos a
continuación el que viene dado por la Regla de Laguerre.
Regla de Laguerre
Sea un número real positivo. Si al dividir por – resultan positivos o ceros todos los
coeficientes del cociente y el resto, entonces es una cota superior de las raíces positivas de la ecuación
Demostración: La división puede indicarse:
– (1)
donde tiene todos sus términos positivos o ceros y .
Supongamos un número y reemplacemos en . Tendremos:
– (2)
En :
[ ]
– [ ]
[ ]
Como es un número cualquiera mayor que , lo anterior indica que entre y [ ] la
ecuación no toma nunca un valor nulo, o sea que no hay raíces en ese intervalo  , luego es una cota
superior de las raíces positivas de la ecuación
f x  0
L.Q.Q.D.
Prácticamente se obtiene por el método de la división sintética, probando valores enteros crecientes de
hasta que resulten positivos todos los coeficientes del cociente y el resto.

30
Ecuaciones
Unidad 3
Ejemplos: Acotar las raíces reales de las ecuaciones dadas:
1)   9 2 48 0 3 2 f x  x  x  x  
Determinación de la cota superior de la ecuación dada.
Probando L=1 Probando L =2
1 09  02  48 1 09  02  48
110 10 1 2  22  48 2
110 12 38 111 24  00
L = 2 es una cota superior de las raíces de f x 0
Determinación de la cota inferior. Para encontrar ésta, obtenemos primero la ecuación transformada en
f  x 0 .
Esta ecuación es :   9 2 48 0 3 2 f  x  x  x  x  
1,2,3,4,5,6,7,8 i L no son cotas superiores de esta ecuación. Probemos  9 i L
es una cota inferior de las raíces de la ecuación
Las raíces de se encuentran en el intervalo:
2) –
Determinación de la cota superior en la ecuación dada.
Probando con 1,2,3,4 i L no son cota superior de . Probemos con
La cota superior es
1 -9 2 48
9 0 18
1 0 2 66
9
1 -9 -2 24
10 5 15
2 1 3 39
5

31
Ecuaciones
Unidad 3
Para determinar la cota inferior utilizamos la ecuación:
– –
Probando con L = 2
.
La cota inferior es : L' 2
Las raíces de se encuentran en el intervalo: )
Notas:
 Si una ecuación tiene todos sus términos positivos no tiene raíces positivas.
Por ejemplo: Como esta ecuación tiene todos sus términos positivos, entonces
cualquier valor inclusive el cero es límite; esto significa que la ecuación no tiene raíces positivas .
• Si una ecuación tiene positivos los términos de la misma paridad que su grado y negativos los de paridad
contraria, no tiene raíces reales negativas
Ejemplo:
La ecuación – – ; no tiene raíces negativas porque
3.17 Raíces Racionales de una Ecuación. Teorema
Veamos ahora la determinación de las raíces racionales no nulas de una ecuación entera. Para este propósito
tenemos el siguiente teorema:
Sea    
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n (1) una ecuación de grado donde todos
los coeficientes son enteros. Si la fracción
q
p
, donde “p” y “q” Z y son primos entre si, es una raíz de
entonces es un factor de y es un factor de .
Ya que
q
p
es una raíz de (1), tenemos:
 
 
 
 
... 0 1 0
2
2
1
1    


 


   


 


  


 


  


 





 A
q
p
A
q
p
A
q
p
A
q
p
A
n
n
n
n
n
n (2)
Multiplicando ambos miembros de (2) por , tenemos:
1 9 -2 24
4 26 48
2 13 24 24
2

32
Ecuaciones
Unidad 3
 
 
 
    ... 0 0
1
1
2 2
2
1
1        



n n n
n
n
n
n
n A p A p q A p q A pq A q (3)
Transponiendo al segundo miembro de (3) y sacando a como factor del primer miembro,
obtenemos:
 
 
 
 
n  n  n
n
n
n
n
n p A p A p q A p q A q A q 0
1
1
3 2
2
2
1
1 (   ... )    



 (4)
Ya que son todos números enteros, se concluye que ambos miembros de
representan números enteros. Además, ya que es un factor común del primer miembro, debe ser también
factor común del segundo miembro. Ahora bien, debido a que y no tienen factores comunes
 , resulta que es un factor de .
Dada la ecuación , tenemos:
 
 
 
      n
n
n n n
n
n
n q A p  A p q   A pq  A q  A p   


 ( ... ) 1
0
2
1
2
2
1
1 (5)
Si aplicamos el razonamiento anterior a la ecuación encontramos que es un factor de .
A partir del teorema anterior, llegamos a la conclusión de que:
Si en la ecuación entera , cuyos coeficientes son enteros, se verifica que el coeficiente principal = 1 y
su término independiente , entonces toda raíz racional de es entera y divide exactamente a .
Disponemos, ahora, de los elementos necesarios para encontrar las raíces racionales, si existen, de una ecuación
de coeficientes racionales. Prácticamente se procede así:
1) Se transforma la ecuación dada en otra cuyos coeficientes sean enteros y cuyo primer coeficientes sea
igual a la unidad.
2) Se acotan las raíces de la ecuación.
3) Se ensayan por la regla de Ruffini , comenzando por , los números enteros divisores de e
interiores al intervalo . Aquellos que conducen a división exacta son raíces enteras de la ecuación.
Aplicando a esas raíces la transformación se obtienen las raíces racionales de la ecuación original.
Ejemplos
Encontrar las raíces racionales de la ecuación:
a) –
1) Obtención de la transformada , poniendo y = 2x
2) Acotación de raíces.
Las raíces se encuentran en el intervalo [Verifíquese]
6) Como las raíces se encuentran en el intervalo y como , las raíces probables son:
 6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6

33
Ecuaciones
Unidad 3
Aplicando el proceso de división sintética se encuentra que las raíces de son:
4) La ecuación tiene todas sus raíces enteras. Las raíces racionales de la ecuación original
se obtiene aplicando la transformación a las raíces de .
Así resulta: 1
2
2
1 x   , 3
2
6
2 x   , 2
2
4
3  

x  ,
2
5
4

x 
De otro modo, podemos hallar las raíces de de la siguiente forma:
Tomamos el coeficiente y el coeficiente
Determinamos los factores enteros de = 2 que son:
Determinamos los factores enteros de = 30 que son:
Las posibles raíces racionales son de la forma
q
p
siendo un factor entero de y un factor entero
de
Es decir, las posibles raíces racionales de son:
q
p
:
2
15
,6,10,15,
2
5
,5,
2
3
,2,3,
2
1
1,
Al probar con estos valores usando Ruffini en la ecuación f(x) = 0, tenemos:
1 1 -40 -52 240
2 6 -68 -240
1 3 -34 -120 0
6 54 120 6
2
1 9 20 0
-4 -20 -4
1 5 0
-5 -5
1 0

34
Ecuaciones
Unidad 3
Por tanto las raíces son:
b) – – –
La ecuación es mónica y de coeficientes enteros.
Realizando la acotación de raíces, probando para para determinar la cota superior.
La cota superior de es
Determinación de la cota inferior en: – –
Probamos con
La cota inferior de es
El intervalo de acotación es:
Como 1 n A Los factores enteros de son:
24 0 A  Los factores enteros de son:
2 1 -20 -13 30
2 3 -17 -30 1
2 9 10 0
-2 -10 -2
2 5 0
-5 -5/2
2 0
2 3 -17 -30 0
6 -27 -30 3
1 -2 13 38 -24
5 15 10 240
1 3 2 48 216
5
1 2 -13 -38 -24
4 24 44 24
1 6 11 6 0
4

35
Ecuaciones
Unidad 3
Las posibles raíces racionales son de la forma p/q, de modo que será un factor entero de y un
factor entero de .
Las posibles raíces racionales son: 1,2,3,4,5,6,12,24
Probaremos con los valores que siendo posibles raíces, se encuentran dentro del intervalo de acotación.
Las raíces son: = 1 = 2 = 3 = -4
3.18 Teorema de Bolzano
Si un polinomio    
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n toma para y
valores y de signos opuestos, la ecuación tiene por lo menos una
raíz en el intervalo
Supongamos . Si dividimos en dos partes iguales y el polinomio se anula en el
punto de división el teorema está probado. En caso contrario, existe uno y sólo uno de los intervalos parciales,
llamémosle (a1, b1), en el cual cambia de signo; es decir f( ) < 0, f( ) > 0. A partir de este
intervalo mitad, repetimos el razonamiento y tendremos subintervalos ( , ), ( , para los cuales
Si en alguna de las sucesivas subdivisiones, se
llega a un punto en el que f x se anula, el teorema queda demostrado.
3.19 El teorema de Bolzano permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica.
1 -2 -13 38 24
1 -1 -14 -24
1 -1 -14 24 0
2 2 -24 2
1
1 1 -12 0
-3 12 3
1 -2 0
-4 -4
1 -6

36
Ecuaciones
Unidad 3
Ejemplo
Separar las raíces reales de las ecuaciones dadas aplicando el Teorema de Bolzano.
– –
En la ecuación dada determinamos el intervalo de acotación, de modo que:
Cota superior: L= 5 Cota inferior: L’ = -2,
o sea
Para ^ ocurre cuando
Analizamos distintos valores de x dentro del intervalo de acotación de raíces y encontramos que:
 x  2, f  2  24  0 y cuando x  1, f 1 15  0 por tanto en el intervalo
 2, 1 1 I    Tenemos una raíz 1 x
 x 1 , f 1 15  0 siendo en x  3 , f 3  9  0 por tanto en el intervalo 1,3 2 I 
Tenemos una raíz 2 x
 x  3 , f 3  9  0 y cuando x  5, f 5  39  0 por tanto en el intervalo
3,5 3 I  Tenemos una raíz 3 x
Como la ecuación es de grado tres concluimos que posee tres raíces reales, las cuales se encuentran dentro de
los intervalos ya señalados.
Podemos darnos cuenta que los intervalos 1 2 3 I , I , I pertenecen al intervalo de acotación
2 x
1 x 3 x
Eje Real
 2 1 0 1 2 3 4 5
X -2 -1 0 1 2 3 4 5
F(X) -24 15 24 15 0 -9 0 39
Es decir, los intervalos que contienen cada uno una raíz son:
1 x  2,1 , 2 x 1,3, 3 x 3,5
Hemos separado las raíces de la ecuación dada en I.

37
Ecuaciones
Unidad 3
3.20 Raíces Irracionales de una Ecuación. Método de Ruffini-Horner
Dada una ecuación entera con coeficientes racionales, primeramente se aplica el procedimiento ya estudiado
para obtener las raíces racionales. Es decir, separaremos todas las raíces nulas y/o racionales, y cualquier raíz
irracional existente la obtendremos de la ecuación reducida. Si la ecuación reducida es cuadrática las raíces se
obtienen fácilmente por medio de la fórmula correspondiente (solución ecuación de 2do. grado). Por tanto, en
el siguiente análisis supondremos que el grado de la ecuación reducida es igual o mayor que 3. En este caso las
raíces irracionales vendrán dadas en forma decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado
de aproximación que se desee obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones.
Método de Ruffini – Horner
Este método que sólo es aplicable a ecuaciones algebraicas, permite calcular las raíces irracionales de una
ecuación mediante un procedimiento de cálculo sencillo. La facilidad de cálculo es debida a que cada
cifra de la raíz se determina individualmente.
Veamos el razonamiento fundamental del método. Supongamos que tiene una raíz irracional que
con tres cifras decimales es Para determinar esta raíz primeramente veremos que la ecuación
dada tiene una raíz entre 3 y 4. Después disminuiremos las raíces de en tres (3) unidades,
obteniendo la nueva ecuación f1(x1)=0 que tiene la raíz Entonces hacemos ver que
tiene una raíz entre y y disminuimos sus raíces en , obteniéndose una nueva ecuación
que tiene la raíz . Repitiendo el paso anterior, vemos que tiene una raíz entre
y y disminuímos sus raíces en obteniéndose una nueva ecuación que tiene la
raíz . continuando este proceso, es posible obtener la raíz con el número de cifras decimales correctas
que se desee.
Consideremos la ecuación de coeficientes reales:
   
 
 
  ... 0 1 0
2
2
1
1        


n
n
n
n
n (1)
Que tiene una sola raíz simple real, en el intervalo
Por simplicidad, supondremos que son dos números enteros sucesivos; así tendremos que la
parte entera de es y podemos escribir:
10
y
r   es decir,
10
y
r   2
donde es un número comprendido entre
Desarrollando (1) por la Fórmula de Taylor, según potencias de r - , se obtiene

38
Ecuaciones
Unidad 3
        
     ...   0 1 0
2
2
1
1            


 f x A r A r A r A r A n
n
n
n
n
n
y teniendo en cuenta (2) resulta:
   
 
   0
10
...
10 10 0
1
1
1
1       

 A
A y A y A y
f y n
n
n
n
n
n
Multiplicando la expresión anterior por
   
 
 
     10 (10) ... 10 10 0 1 0
2 1
2
1 2
1         


 f y A y A y A y A y A n n n
n
n
n
n
n (3)
Ecuación cuyas raíces están disminuidas en el valor .
Ensayando en esta ecuación valores enteros de de 0 a , habrán dos valores sucesivos, digamos
, para los que cambia de signo, y la parte entera de es .
Poniendo
10 1
z
y   ó también
10 1
z
y   (4)
donde , desarrollamos (3) por la Fórmula de Taylor según potencias de y - 1 , teniendo en
cuenta
   
 
 
     10 (10) ... 10 10 0 1 0
2 1
2
1 2
1         


 g z B z B z B z B z B n n n
n
n
n
n
n (5)
Existen dos enteros sucesivos: 2, 2, comprendidos entre 0 y 10, para los que el polinomio g(z) cambia
de signo, y la parte entera de z es 2. Nuevamente, haciendo
10 2
t
z   ; es decir,
10 2
t
z   0  t 10,
se puede obtener la parte entera de aplicando el proceso descrito.
A esta altura del procedimiento es fácil ver que hemos calculado tres cifras de la raíz:
   
...
10 10 10 3
3
2
1 2     
r
Si se desea mayor precisión, se debe repetir el proceso las veces necesarias. Para calcular los coeficientes de
los desarrollos , se aplica el Esquema de Horner ya visto.
Ejemplo
Dada la ecuación . Calcular con tres cifras decimales la raíz simple
que se encuentra en el intervalo
Como en la ecuación dada tenemos que
Luego, como hay un cambio de signo, entonces confirmamos que la existencia de una raíz en el intervalo

39
Ecuaciones
Unidad 3
1er Paso: La parte entera de la raíz es , luego
10
1
y
r  
10
1
y
r  
Desarrollemos la ecuación según potencias de r-1, aplicando el Esquema de Horner:
1  5 2 6
1 1  4  2
1  4  2  4 Fy
1  3
1  3  5
 
1!
' F y

1
1  2
 
2!
'' F y

1
 
3!
''' F y

Resulta así la ecuación transformada:
– – ó
  2  5  4 0 1
2
1
3
1 y  y  y   como
10 1
y
y  entonces reemplazando 1 y por su equivalente tenemos;
4 0
10
5
10
2
10
3 2
  



 



 


 y y y
Multiplicando por tenemos:
– que cambia de signo en el intervalo .
Luego, la parte entera de es , es decir:
10
6
z
y   ,
10
6
z
y   , 0  z 10
10 1
z
z 

40
Ecuaciones
Unidad 3
2do. Paso: Apliquemos nuevamente el esquema de Horner a para desarrollar según potencias de
.
1  20  500 4000
6 6 84  3504
1 14  584 496 Fy
6  48
1  8  632
 
1!
' F y

6
1  2
 
2!
'' F y

1
 
3!
''' F y

De ahí se obtiene – –
ó   2  632  496 0 1
2
1
3
1 z  z  z   sustituyendo
10 1
z
z  y Multiplicando
por tenemos:   20 63200 496000 0 3 2 f z  z  z  z   que cambia de signo en el intervalo
luego, hacemos:
10
7
t
z   ,
10
7
t
z   , donde 0  t 10 ,
10 1
t
t 

41
Ecuaciones
Unidad 3
1  20  63200 496000
7 7  91  443037
1 13  63291 52963 Ft 
7  42
1  6  63333
 
1!
' F t

7
1 1
 
2!
'' F t

1
 
3!
''' F t

–
    63333  52963 0 1
2
1
3
1 t  t  t   como
10 1
t
t  sustituyendo y
Multiplicando por se obtiene   10 6333300 52963000 0 3 2 f t  t  t  t  
que cambia de signo en el intervalo, ;
luego hacemos
10
8
u
t  
10
8
u
t   donde 0  u 10
En resumen tenemos:
10
1
y
r   ,
10
6
z
y   ,
10
7
t
z   ,
10
8
u
t  
de donde resulta que la raíz buscada es:
   
     ... 
10
8
10
7
10
6
1 2 3 r    ... 
1000
8
100
7
10
6
1 1 0.6  0.07  0.008...
... con tres cifras decimales.
En este ejemplo el intervalo de acotación es
Tenemos tres raíces irracionales,

42
Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1. UNIDAD 3 Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ______________ Nombres-Apellidos ________________________________________________ Grupo No. ______ Sección No. ____ Fecha de entrega_____________________
I. Resolver en cada caso.
1) 3x – 1 = 0 2) x + 2 + 3i = 0 3) x2 – 7 = 0 4) x2 + 10 = 0
5) x2 + 2x = 0 6) x2 + 2x – 15 = 0 7) x3 + 2x2 – 15x = 0 8) x2 + 4x + 4 = 0
9) x2 – 3x – 4 = 0 10)
11) 12)
13)
II. Hallar todas las raíces .
a) x3 – x2 – 4x – 6= 0 sabiendo que x = 3 es una raíz.
b) x3 –3x2+ 4x –12 = 0 sabiendo que x = 3 es una raíz.
c) f(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0 si 2i es raíz
d) f(x) = x3 + 4x2 +21x + 34 = 0 si -1 +4i es raíz
e) f(x) = x3 –2x = 0 f) f(x) = x3 + 4x = 0 g) f(x) = x3 – ( 5 –12 i) x = 0
h) f(x) = 5x2 + 4x +1 = 0 i) f(x) = x4 – 81 = 0 j) f(x) = 4x2 +3x +1 = 0
k) f(x) = x3 – 3 = 0 l) f(x) = ( x+2) 3 = 0 m) f(x) = x2 (x-2)2 = 0
n) f(x) = x5 – x3 = 0 o) f(x) = x4 – 1 = 0
p) f(x) = (x – 3)2 (x + 5/2)3 (x + 2 – 3i)4 = 0
q) f(x) = (x + ¾)4 (x – 8)2 (x + 2) x3 = 0
III. Para cuáles valores de “k” la ecuación dada tendrá la raíz conocida.
a) f(x) = 2x3 – 2x2 + k tendrá a x = 3 como raíz.
b) f(x) = 4x3 –2 k2 x + k tendrá a x = 1 como raíz.
c) f(x) = x3 + 5x2 – k2 x + k tendrá a x = 1 como raíz.

43
Ecuaciones
Unidad 3
IV. a) Hallar el valor de “k tal que 2 sea un intercepto en “x” para la gráfica de
f(x) = k x5 –x2 + 5x +8
b)Hallar k1, k2 tales que -1 ^ 1 sean interceptos en “x” para la gráfica de
f(x) = k1 x4 – k2 x3 + x - 4
c) Hallar “k” tal que 10 sea el intercepto en “y” para la gráfica de
f(x) = x3 – 2 x2 + 14x –3k
V. a) Dada la ecuación f (x) = x4 + 2 x3 – 3 x2 – 4 x + 4 = 0
Determine el grado de multiplicidad de su raíz R = -2 y luego exprese la ecuación
en función de factores binómicos.
V. b) Sabiendo que R = 1 es una raíz múltiple de f(x) = x5 – 4x4 + 14x2 – 17x + 6 = 0
Exprese a f(x) como un producto de factores lineales.
VI. En los casos siguientes se dan unas raíces. Hallar las raíces restantes.
a) x4 –2x3 –2x2 + 6x + 5 = 0 r1 = 2 - i
b) x4 –3x3 –6x2 +14x +12 = 0 r1 = 1 - 3
c) x5 - x4 –5x3 + x2 + 6x + 2 = 0 r1 = 2 r2 = 1 + 2
d) x5 – 8x4 + 26x3 - 40 x2 + 16 x = 0 r1 = 2 + 2 r2 = 2 + 2i
e) x3 – 4x2 + x + 26 =0 r1 = -2
f) x3 – 7x2 + 14x – 6= 0 r1 = 3
VII. Forme la ecuación algebraica, conocidas las raíces de la ecuación a construir,
usando las relaciones entre raíces y coeficientes .
1) x1 = 1+2i x2 = 1-2i
2) x1 = 1 x2= 3 x3 = -1
3) x1 = 1 x2 = 3 x3 = -1 x4 = -3
4) x1 = 2 x2 = - 2 x3 = 3 x4 = -4
VIII. Reduzca las ecuaciones dadas a otras que tengan las mismas raíces, pero simples.
a) f(x) = x4 + 4x3 - 10x2 - 28x – 15 = 0
f(x) = (x+1)2(x+5)(x-3) = 0 Resp. x3+3x2 -13x-15=0
b) f(x) = x5 - 6x4 + 6x3 + 16x2 - 15x –18 = 0
f(x) = (x+1)2(x-3)2 (x-2)
IX. a) Conocido f(x) = 3x3 – 4x2 - 35x +12 = 0. Transformar la ecuación en otra
cuyas raíces sean las de f(x) aumentadas en dos .
Verifique mediante Ruffini que las raíces de f(x) son : x1 = 4, x2 = -3, x3 = 1/3
y las raíces de la ecuación transformada son: x1 = 6, x2 = -1, x3 = 7/3

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Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
b) A partir de f(x) = x4 -x3-19x2-11x+30 =0. Transformar la ecuación dada en
otra ecuación cuyas raíces sean las de f(x) = 0 aumentadas en dos unidades.
Verifique mediante Ruffini que las raíces de la ecuación dada son :
x1 = -2, x2 = 1, x3 = 5, x4 = -3
y las raíces de la ecuación transformada : x1 = 0, x2 = 3, x3 = 7, x4 = -1
X. Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar toda la información
posible acerca de la naturaleza de las raíces de las ecuaciones dadas:
1)x3 –3x2 –x +3 = 0 2) 4x4 – 4x3-25x2 +x +6 = 0 3) x4-81 = 0 4) x3-4x2 -7x +10 = 0 5) x9 + 4x7 –6x6 + 4x4 –8 =0 6)x3 – 4x2 –35x +12 = 0
7)2x5 +x4-3x3-3x2+x = 0 8) 3x3-2x2=4x +16 = 0 9)x3 +9x2 +2x –48 = 0
10) x8 –5x7 +4x6+10x5-93x4+405x3-324x2-810x +972 = 0
11)
12)
13)
XI. Acotar las raíces reales de las ecuaciones:
1) f(x) = x2 + x –12 = 0 2)f(x) = x3 + x2 – 6x = 0
3) f(x) = x3 – 2x2 –7x + 13 = 0 4)f(x) = x4 – 3x2+10 x – 6 = 0
5) f(x) = x8 – 5x7 + 4x6 +10x5 – 93x4 +405x3 – 324x2 – 810x + 972 = 0
XII. Encontrar las raíces racionales de las ecuaciones:
a) f(x) = x4 – x3 - 6x2 + 14x –12 = 0 b) f(x) = 4x4 - 4x3 - 25x2 + x + 6 = 0
c) f(x) = 6 x4 + 11 x3 - 3x2 - 2x = 0 d) f(x) = x5 + x4 - 5x 3 + x2 -6x = 0
e) f(x) = x4 + 3x3 - x2 – x - 6 = 0 f) f(x) = x4 + 4x3 + 5x2 +4x +4 =0
g) f(x) =3x4 – 10x3 -3x2 + 8x – 2 h) h(x) = 3 x5+ 5x4 - 11x3 –2x2 - 4x + 4 = 0
XIII. Haga la separación de las raíces reales en cada ecuación dada. Usar el Teorema de
Bolzano
1) f(x) = 2x5 + x4 -10x3 -5x2+8X +4 = 0
2) f(x) = x3 –3x –2 = 0
3) f(x) = x4 -10x2 +9 = 0
4)f(x) = x5 –5x4 –10x3 +50x2+9x-45 = 0
5) f(x) = x3-x2+3x + 5 = 0

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Ecuaciones
Unidad 3
XIV. Dada f(x) calcular con tres cifras decimales la raíz que se encuentra en el
intervalo (1,2) en:
1) f(x) = x4 + 4x3 –x2 –12x –6 = 0. 2) (x) = x3-3=0.
3) f(x) = x3 +10 x2 +34 x –60 = 0 4) f(x) = x3 + 3x2+ x –6 = 0
5) f(x) = x3 –5x2 +2x +6 = 0
XV. En cada ecuación indique:
a) Los factores b) Las raíces c) Cuales raíces son simples
d) Cuales raíces son múltiples
e) Si la raíz es múltiple indique el grado de multiplicidad.
1. 2.
3. 5x2 + 4x + 1 = 0 4. x4 - 81 = 0
5. = 0 6.
7.
8.

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Ecuaciones
Unidad 3
I. Cada alumno debe seleccionar las ecuaciones indicadas de las ecuaciones dadas.
Ecuaciones dadas
1) x3 –3x2 –x +3 = 0 2) 4x4 – 4x3-25x2 + x + 6 = 0 3) x4-81 = 0
4) x3- 4x2 -7x +10 = 0 5) x9 + 4x7 – 6x6 + 4x4 –8 = 0 6) x3 –4x2 –35x +12 = 0
7)2x5 + x4-3x3-3x2 + x = 0 8) 3x3-2x2+4x +16 = 0 9) x3 +9x2 +2x –48 = 0
10) x8 –5x7 +4x6+10x5-93x4+405x3-324x2-810x +972 = 0
11)
12) 13)
¿Qué deben realizar con cada una de las ecuaciones?
1. Forme una ecuación cuyas raíces sean múltiplos de 2
2. Construya la ecuación de raíces opuestas a las raíces de la ecuación conocida.
3. Determine la ecuación cuyas raíces estén aumentadas en dos unidades respecto a la conocida.
4. Encuentre la ecuación cuyas raíces estén disminuidas en una unidad respecto a la conocida.
5. Halle la ecuación de raíces recíprocas respecto a la conocida.

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Ecuaciones
Unidad 3
6. Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar toda la información
posible acerca de la naturaleza de las raíces de las ecuaciones.
7. Acotar las raíces reales de las ecuaciones. Hallar I= ( L’, L )
8. Haga la separación de las raíces reales en cada ecuación dada. Use el Teorema de Bolzano.
9. Resuelva la ecuación.
10. Exprese en factores e indique las raíces simples y múltiples
II. Construya una ecuación de grado cuatro que posea:
A) Dos raíces irracionales y dos reales.
B) Dos raíces complejas y dos reales.

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Ecuaciones
Unidad 3
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se plantea en cada caso.
1. Es todo valor real o imaginario que al reemplazarlo por x en una ecuación hace que esta tome un valor cero:
a) Igualdad a cero b) Raíz de una ecuación c) Identidad d) Ecuación
2. El proceso utilizado para determinar las raíces en una ecuación se llama: a) Resolución b) Factorial de un numero c) Multiplicidad de raíces d) Función simétrica
3. En una ecuación Mónica, los coeficientes de las sucesivas potencia de x se identifican como:
a) Transformación de ecuación b) Teorema de las raíces irracionales cuadráticas
b) Teorema de las raíces complejas d) Funciones simétricas elementales
4. Permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación racional entera con coeficientes reales:
a) La regla de los signos de Descartes b) Teorema de las raíces complejas
b) Acotación de raíces d) Ninguna de las anteriores
5. Permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica
a) Teorema de Ruffini b) Regla de Laguerre c) Teorema de Bolzano d) Ninguna de las anteriores
6. Dadas las raíces ; ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?
a) b) c) d)
7. Si ¿Cuál es la ecuación de raíces recíprocas que le corresponde?
a) b)
c) - 13 d) -
8. El intervalo de acotación de la ecuación
a) I = (-3,1 ) b) I= (-2, 1) c) I = ( -1, 1) d) I = ( -3, 2)

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Ecuaciones
Unidad 3
9. Si un binomio irracional cuadrático (a+√ es raíz de la ecuación F(x) = 0 con coeficientes racionales entonces el binomio irracional cuadrático (a-√ también es raíz de la ecuación
a) Teorema de las raíces simples b) Teorema de las raíces complejas
c) Teorema de raíces múltiples d) Teorema de las raíces irracionales cuadráticas
10. Transformar la ecuación en otra cuyas raíces estén
aumentadas en uno
a)
b) c) d)
11. Una ecuación de tercer grado su grafica es:
a) Una parábola b) Una recta c) Una hipérbola d) Ninguna de las anteriores
12. Los puntos donde corta una gráfica de una ecuación el eje real son :
a) Los factores b) Las raíces reales c) Las raíces Imaginarias d) Ninguna de las anteriores
13. La expresión x+3 = 5 corresponde a:
a) Identidad b) Proporción c) Ecuación d) Ninguna de las anteriores
14. Las raíces de la ecuación son:
a) x = 2 b) x= -2 c) x = -2 , x = 2 d ) (x+2)(x+2)
15. Al resolver la ecuación las raíces que resultan son:
a) Dos reales positivas y una nula b) Dos complejas y una nula
c) Dos reales negativas y una nula d) Dos nulas y una imaginaria
16. El resultado de igualar a cero un polinomio es:
a) Una ecuación b) Polinomio Mónico c) Identidad d) Ninguna de las anteriores
17. Los valores que satisfacen una ecuación reciben el nombre de:
a) Raíces de una ecuación b) Solución de una ecuación
c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores
18. La ecuación que se obtiene al dividir la ecuación original entre uno de sus factores recibe el nombre de:
a) Ecuación degradada b) Ecuación Mónica c) Polinomio recíproco d) Ninguna de las anteriores
19. Toda ecuación polinómica de grado n posee:
a) una raíz b) n raíces c) ( n-1) raíces d) Ninguna de las anteriores
20. Conocida una ecuación y una degradada de ella , la raíz que satisface la ecuación original y al menos una de sus ecuaciones degradadas se identifica como:
a) Raíz múltiple b) Raíz simple c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores

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Ecuaciones
Unidad 3
21. Cuantas variaciones de signo posee el polinomio
a) Una variación b) Tres variaciones c) dos variaciones d) Cuatro variaciones
22. Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus derivadas sucesivas hasta un cierto número de ellas
a) Teorema de las raíces múltiples b) Transformación de ecuación
c) Teorema de raíces irracionales d) Teorema de las raíces racionales
23. La ecuación de raíces opuestas a la ecuación dada es:
a) b)
c) d)
24. Cuales son todos los divisores de 15
a) b) c) d) )
25. En la ecuación podemos decir que es:
a) 1 b) 13 c) -1 d) -13
26. Todo número imaginario que al reemplazarlo por x en la ecuación hace que sea igual a cero se llama:
a) Termino independiente b) Factores de una ecuación
c) Raíz de una ecuación d) Ninguna de las anteriores
27. Dada la ecuación sus factores son:
a) (x+3) (x-2) =0 b) x= -3 ; x= 2 c) (x+1)(x+6) = 0 d) a y b son correctas
28. Dada la ecuación la ecuación transformada de raíces opuestas es
a) b) c) d)
29. Si acotamos las raíces reales de una ecuación estamos determinando: a) Las raíces opuestas de una ecuación b) Un intervalo positivo c) Un intervalo negativo d) El intervalo de acotación
30. Toda ecuación de raíces múltiples reales o complejas puede expresarse:
a) Factorizada b) En un intervalo real c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores
31. El proceso usado para encontrar dos números L’ ; L llamados respectivamente cota superior e inferior se identifica como:
a) Binomio irracional cuadrático b) Teorema de las raíces complejas
c) Acotación de raíces reales d) Ninguna de las anteriores
32. Teorema que fue demostrado por primera vez por el llamado Príncipe de las matemáticas
a) Teorema de Bolzano b) Teorema fundamental del algebra
c) Teorema de las raíces múltiples d) Teorema de las raíces racionales

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Ecuaciones
Unidad 3
33. El número máximo de raíces positivas , negativas y complejas de una ecuación racional entera y coeficientes reales se determina mediante:
a) Descomposición factorial b) Raíces irracionales cuadráticas
c) Regla de los signos de Descartes d) Teorema de Bolzano
34. A partir de la ecuación la ecuación Mónica equivalente es:
a) b)
c) d)
35. A partir de la ecuación el término de la ecuación Mónica que corresponde a
a) b) -1 c) 1 d)
36. A partir de la ecuación el de la ecuación Mónica que corresponde a
a) b) -2 c) 2 d)
37. A partir de la ecuación el término
a) b) c) + d) 38. Un número es raíz múltiple de una ecuación si: a) Se anula la ecuación y sus derivadas sucesivas hasta un cierto número de ellas b) Si sus raíces son complejas c) Si sus raíces son nulas d) x= 4
39. En la transformación de ecuaciones para raíces opuestas en una ecuación de grado impar:
a) Se cambian los signos a los términos de grado par b) A todos los términos c) Se cambian los signos a los términos de grado impar d) Ninguna de las anteriores
40. En la transformación de ecuaciones para raíces opuestas en una ecuación de grado par:
a) Se cambian los signos a los términos de grado par b) A todos los términos c) Se cambian los signos a los términos de grado impar d) Ninguna de las anteriores
41. Dada la ecuación la ecuacion de raíces reciprocas es:
a) b) c) d)
42. Dada la ecuación el intervalo de acotación es: a) I= (-4, 3) b) I = (-3, 2) c) I = (-3, 1) d) I = (-2, 2)
43. Conocido f(x) = la ecuación transformada que posee raíces aumentadas en dos unidades es:
a) b) c) d)

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Ecuaciones
Unidad 3
44. Podemos identificar las raíces reales de una ecuación algebraica mediante: a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano c) Regla de Laguerre d) Descartes
45. La identificación de las raíces irracionales de una ecuación algebraica se pueden determinar mediante: a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano c) Regla de Laguerre d) Descartes
46. La identificación de las raíces racionales de una ecuación algebraica se pueden determinar mediante: a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano c) Regla de Laguerre d) Teorema de las raíces racionales
47. La cota superior de la ecuación es: a) -3 b) 0 c) 1 d) 3
48. Las raíces racionales de la ecuación son: a) (x-3) ( x+5)(x+1)(x+1) b)
c) ; d) a y c son correctas
49. Las raíces racionales de la ecuación son: a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b)
c) ; d) a y c son correctas
50. ¿Qué podemos calcular por el método de Ruffini-Horner? a) Raíces transformadas b) Raíces irracionales c) Raíces recíprocas d) Raíces nulas
51. Las raíces irracionales de la ecuación son: a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b)
c) ; d) No posee
52. Las raíces recíprocas de la ecuación son: a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b)
c) ; d) ;
53. Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus sucesivas derivadas hasta: a) Estrictamente -1 b) Estrictamente 0 c) Estrictamente 1 d) Cierto número de ellas
54. Las raíces de una ecuación que aparecen más de una vez en una descomposición factorial se denominan: a) Raíces múltiples b) Raíces simples c) Raíces nulas d) Ninguna de las anteriores
55. Es el teorema que establece que si un binomio irracional cuadrático (a+√ ) es raíz de la ecuación f(x)=0 con coeficientes racionales, entonces el binomio irracional cuadrático también es raíz.
a)Teorema de la raíz cuadrática b)Teorema de las raíces irracionales cuadráticas. c) Teorema de factorización. d)Teorema Ruffini-Horner.

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Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
56. Son la raíces de P(x)=3x5 - 4x4 - 38x3 + 16x2 + 35x – 12 = 0
a)X1 =3, X2 = -3, X3 = 1, X4 = -1, X5 = 4 b) X1 =1, X2 = -1, X3 = -3, X4 = 4, X5 = 1/3 c) X1 =3, X2 = 4, X3 =6, X4 = -3, X5 = ½ d) X1 =6, X2 =3, X3 = 1, X4 = 7, X5 = 1/3
57. Toda ecuación racional entera con una incógnita tiene por lo menos una raíz real o imaginaria según:
a)Teorema fundamental de algebra. b)Teorema de la descomposición factorial.
c)Regla de Descartes. d)Teorema de las raíces múltiples.
58. Permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación racional entera con coeficientes reales. a) Regla de Laguerre. b) Teorema de Bolzano. c) Regla de los signos de Descartes. d) Teorema de las raíces racionales.
59. Toda ecuación de grado “n” tiene “n” y no más de “n” raíces reales o imaginarias según el Teorema:
a) De Bolzano. b) De la descomposición factorial.
c) Fundamental del algebra. d) De las raíces múltiples.
60. Dadas las raíces ; ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?
a) b) c) d)
61. Dadas las raíces ; , ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?
a) b) c) d)
62. Dadas las raíces ; , ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?
a) b) c) d)
63. Dada la ecuación ¿Cuál es el intervalo de acotación de la ecuación?
a) I= ( -4, 4) b) I = (-3, 2) c) I = (0, 7) d) I = [0, 5)
64. Dada la ecuación ¿Cuál es el intervalo de acotación de la ecuación?
a) I= ( -4, 4) b) I = (-3, 2) c) I = (0, 7) d) I = [-7, 0)
65. Transformar la ecuación en otra cuyas raíces estén
Disminuidas en uno
a)
b) c) d)
67. La cota superior de la ecuación es: a) 0 b) 1 c) 15 d) 2
68. La cota inferior de la ecuación es: a) -3 b) -1 c) 0 d) -2

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Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
69. La cota superior de la ecuación es: a) 0 b) 1 c) -5 d) 2
70. La cota inferior de la ecuación es: a) -3 b) -1 c) 0 d) -2

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Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
Cuestionario No. 3
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que corresponde a cada una. 1) ¿Qué es una identidad? 2) ¿Qué es una ecuación? 3) ¿A qué se le llama raíz de una ecuación? 4) ¿Cuál es el significado de resolver una ecuación? 5) ¿Qué indica la solución gráfica de una ecuación? 6) En una ecuación: ¿Cuándo decimos que posee una raíz simple? 7) ¿Cuándo decimos que una raíz es múltiple en una ecuación? 8) ¿Podemos identificar mediante la gráfica de una ecuación, si posee una raíz simple, o una raíz de multiplicidad par o de multiplicidad impar? 9) Las raíces de una ecuación, que representan en la gráfica del mismo? 10) ¿Cuándo decimos que una ecuación es mónica? 11) ¿Para qué se utiliza la Regla de Descartes en la teoría de ecuaciones? 12) En ecuaciones: ¿Para qué se utiliza la Regla de Laguere ? 13) ¿Para qué se utiliza el Teorema de Bolzano en una ecuación? 14) ¿Cómo se llama el método utilizado para hallar las raíces irracionales en una ecuación?

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Algebra Superior
Ecuaciones
Unidad 3
Bibliografía Consultada
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). México: Thomson Learning Iberoamerica.
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