plano numérico. cónicas (ecuaciones y representación gráfica)

1. Plano numérico
Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de
circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar
gráficamente las ecuaciones de las cónicas
Rosanyely Montilla
0100 Turismo
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad politécnica territorial de Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Lara

2. Plano numérico
 conformado por dos rectas numéricas,
una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un determinado punto. A la
horizontal se la llama eje X o de las
abscisas y al vertical eje Y o de las
coordenadas.
 El origen de coordenadas es el punto en
el que se cruzan los dos ejes de manera
perpendicular. Es decir, el punto (0,0).
 En un plan cartesiano se crean cuatro
zonas que llamamos cuadrantes
Es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente
en los casos bidimensionales. Los puntos a representar se
marcan entre paréntesis separados por una coma.

3.  Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una
recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
 Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje y o en una
recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
 Ahora si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación
Distancia
 Para calcular la
distancia entre los
puntos se utiliza la
siguiente formula

4.  Es el punto que se encuentra a la
misma distancia de cualquiera
de los extremos
 El punto medio del segmento
AB, que llamaremos M, es un
punto del segmento que dista lo
mismo de A que de B. Esto
quiere decir que: Si es
un segmento acotado, el punto
medio es el que lo divide en dos
partes iguales. En ese caso, el
punto medio es único y equidista
de los extremos del segmento
 La formula para encontrar el
punto medio entre dos puntos
es:
Punto medio

5. Ecuación y trazado de Circunferencias
 La circunferencia es el lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro
 Una circunferencia queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes
del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
 para cualquier punto, P (x, y) , de una
circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r , la
ecuación ordinaria es

6. De la ecuación ordinaria a la
ecuación general

7.  Dados un punto FF (foco) y una
recta rr (directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos
del plano que equidistan del foco
y de la directriz.
 Simbólicamente:
P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
 El eje focal es el eje
perpendicular a la directriz que
pasa por el foco. Es el eje de
simetría de la parábola.
 El punto de la parábola que
pertenece al eje focal se
llama vértice.
Ecuación y trazado de Parábolas

8. Ecuación reducida o canónica de la
parábola: El vértice de la parábola es el
origen de coordenadas, es decir, el punto
(0,0).
La forma de la ecuación reducida depende
de la orientación de la parábola
Ecuaciones de la parábola
Ecuación ordinaria de la parábola
Cuando el vértice de la parábola es un
punto cualquiera utilizamos la ecuación
ordinaria de la parábola, cuya expresión
es:
Parábola que
esta orientada de
manera vertical
Parábola que esta
orientada de
manera horizontal
Ecuación General de la
parábola
una parábola también puede
ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo
de parábolas se usa
la ecuación general de la
parábola

9.  La elipse es el conjunto de puntos cuya
suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es igual a una constante,
su figura se caracteriza por tener dos ejes:
un eje mayor y un eje menor, los focos se
localizan sobre el eje mayor. Consideremos
una elipse cuyo centro es (h,k) , distancia
focal 2c, eje mayor horizontal 2a , se
genera un eje menor 2b mediante la
siguiente relación:
 También se define la excentricidad como la
relación entre la distancia focal y el eje
mayor o la relación entre la distancia
de cualquier punto de la elipse a un foco y
la distancia del punto a una recta fija
llamada recta directriz
 En la elipse la excentricidad siempre es
menor que 1
Ecuación y trazado de Elipses

10. Ecuaciones
de la elipse
•Para la elipse horizontal con centro
C(h, k)
Efectuando un proceso algebraico en el
que eliminamos los denominadores,
desarrollamos los binomios al cuadrado,
agrupamos términos semejantes e
igualamos a cero, obtenemos la
ecuación
En la que podemos renombrar los
coeficientes constantes y expresarla así
Para la elipse Vertical con centro
C(h, k)
Siguiendo el mismo proceso
algebraico que para la elipse
horizontal, llegamos a la
ecuación:
En la que podemos renombrar los
coeficientes constantes y
expresarla así:
Ecuación General de la elipse
Por lo que la ecuación
general es:

11.  una hipérbola es el lugar geométrico de
los puntos del plano que cumplen la
siguiente condición: el valor absoluto de
la diferencia de las distancias desde un
punto cualquiera de la hipérbola hasta
dos puntos fijos (llamados focos) debe
ser constante.
 el valor de la resta de esas dos
distancias siempre es equivalente a la
distancia entre los dos vértices de la
hipérbola.
Ecuación y trazado de Hipérbola

12. Focos: son dos puntos fijos característicos de
cada hipérbola puntos F y F’ en el gráfico
Eje focal o principal: es la recta que pasa por los
dos focos de la hipérbola.
Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF’
Centro (O): el punto medio de los dos vértices y
los dos focos.
Vértices (A y A’): son los puntos donde se cortan
las ramas de la hipérbola con el eje focal.
Radios vectores (R): son los segmentos que van
desde cualquier punto de la hipérbola hasta
cada foco.
Distancia focal: es la longitud del segmento
compuesto entre los dos focos.
Eje mayor o real: es el segmento que va desde
el punto A hasta el punto A’
Eje menor o imaginario: es el segmento que va
desde el punto B hasta el punto B’
Elementos de la hipérbola

13. Ecuaciones de la Hipérbola
Ecuación ordinaria
Hipérbolas cuyo eje
focal es horizontal
Hipérbolas con un eje
focal vertical
Ecuación reducida o
canónica
Hipérbolas
cuyo eje focal
es horizontal
Hipérbolas
con un eje
focal vertical
Ecuación General

14.  Las cónicas también son
llamadas secciones cónicas, se
presentan cuando un doble cono
se intercepta con planos.
 las cónicas son representadas
mediante círculos, parábolas,
elipses e hipérbolas
 La formula general de las
cónicas es:
Las cónicas

15. Representación grafica y ecuaciones
de las cónicas
Circunferencia Parábola

16. Elipse Hipérbola