1. Facultad de Ingeniería Matemática I
Guía de Teoría y Práctica
Matemática I
Semana Nº 1
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN
Para entender muchos fenómenos físicos, económicos,
eléctricos, etc; y predecir su acción, el hombre ha
utilizado modelos matemáticos basados en funciones.
Las funciones son manera sumamente útil de describir
muchas situaciones del mundo real en las que el valor
de una cantidad varia con, depende de, o determina el
valor de otra.
Estos modelos describen por ejemplo el crecimiento de
una población en un tiempo determinado, los cambios
atmosféricos, la inflación, los resultados electorales, etc.
Por ejemplo, el ingreso “I” que resulta de la venta de “x” artículos a un precio de $10
cada uno es:
I(x) = 10x
Que se lee: El ingreso “I” depende del número de artículos “x” que se venden.
El ingreso “I” está en función del número de artículos “x” que se
venden.
CAPACIDAD A LOGRA Analiza situaciones reales haciendo uso de las funciones de
una variable. Modela situaciones reales y cotidianas.
DESARROLLO TEÒRICO – PRÀCTICO
PAR ORDENADO
Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:
(x; y)
Primera componente Segunda componente
PROPIEDADES:
1. (x; y)  (y; x) (no conmutativa)
2. Si: (x; y) = (a; b)  x = a  y = b
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FUNCIONES
Dados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F  A x B se define: F es una
función de “A” en “B” si y sólo si para cada X  A, existe a lo más un elemento y  B
tal que el par (x ; y)  F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener
la misma primera componente.
Si: F es una función tal que (x;y)  F  (x;z)  F  y = z .
Notación
Si “f” es una función de “A” en “B” se designa por:
f
Se lee “f” es una función de “A” en “B”.
f: A  B ó a b
Ejemplo: A B
A f B
a Siendo: a  b  c diremos:
1
b f
AB
c
f = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función.
M f N
1 a
f
2 b MN
3 c
d
f = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función.
M f S
a
1
f
b MS
2
c
f = {(1; b), (2; a), (2; c)} no es función.
2

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DOMINIO Y RANGO:
Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así:
Dominio: Denominado PRE-IMAGEN, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado.
Notación: Dom(f) = {xЄA/Ξ yЄB/(x; y)Єf}
Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la
correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.
Notación: Ran(f) = { Ξ yЄB /xЄA ν (x; y)Єf}
Ejemplo.
Sea f = {(1; 8), (3; 2), (5; 4), (9; 6)}
Dom(f) = {1; 3; 5; 9}
Ran(f) = {2; 4; 6; 8}
En conclusión: Dom(f)  A  Ran(f)  B .
Gráfica de una función
La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano xy, tal
que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.
El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
Prueba de la recta vertical
Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe
intersecarse con la gráfica en un solo punto.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN CONSTANTE
Regla de Correspondencia: f( x )  C
y f
c
c>0
Dom f = R x
3

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Ran f = {c}
Ejemplo:
1. Graficar: f(x) = 3 , x  R

y=3
x ...  3  2  1 0 1 2 3
Tabulando:
y ... 3 3 3 3 3 3 3
y f
3
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2. Graficar: f(x) = -2 ; x  -5 ; 2
y
-5 2
x
-2
y = -2
FUNCIÓN IDENTIDAD
Regla de Correspondencia: f( x )  x
y
Y=x
a
45°
a x
Dom f = R
Ran f = R
Ejemplo:
1. Graficar f(x) = x ; x  2 ; 5
y
5
2
x
2 5
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Regla de Correspondencia: f( x ) | x |
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Dom f = R ; Ran f = 0 ; +
x  3  2 1 0 1 2 3
Sea y = |x|, tabulando:
y 3 2 1 0 1 2 3
y
y=|x|
x
-3 -2 -1 1 2 3
FUNCIÓN LINEAL
Regla de Correspondencia: f( x )  mx  b ; m  0
Pendiente de la recta
Dom f = R ; Ran f = R
y y
f(x)
b b b>0
m>0 m<0
b>0  
x x
m>0 b<0
b<0 m<0 b
b
Ejemplos:
y = 2x – 6 y = -3x + 1
y y
1
x x
0
-6
Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; 6) punto de corte con el eje y.
Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.
Observación:* Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda.
* Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: f( x )  ax2  bx  c ; a0
Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:
5

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f( x )  a( x  h)2  k ; a0
Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.
Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.
La grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:
1)
y
a0 f
0 h
x
x1 x2
k v
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f (x).
Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es k
Dom f = R
2)
y
v a0
f k
0
x1 x
h x2
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.
Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k.
Ejemplo: f(x) = x2 – 6x + 8
f(x) = (x – 3)2 – (3)2 + 8 = (x – 3)2 – 1
 v = (3 ; -1)
Si: x = 0, y = 8  (0 , 8) es el punto de corte en el eje “y”.
Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el
eje “x” y como l coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia
arriba.
y
f Ran f = -1 ; +
8 (El mínimo valor de
la función es -1) 6
2 3 x
-1 4

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Observe que para hallar el mínimo valor de la función cuando el coeficiente
principal sea positivo, basta calcular el vértice, ya que la segunda componente
indicara el mínimo valor de la función.
FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO
1
f( x ) 
x
y
Dom f = R – {0}
x Ran f = R – {0}
FUNCIÓN POTENCIAL
Regla de Correspondencia: f( x )  xn ; n  Z+ ; n > 1 ; x  R
1er CASO: n es PAR
y y  x6
y  x4 Ran f = 0 ; +
yx 2
Dom f = R
x
2do CASO: n es IMPAR
y
y  x3
y  x5 Ran f = R
x Dom f = R
Observación: Sea y = ax2n ; n  N
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y y  x2
a 1
0 a 1
x
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Regla de correspondencia: f( x )  x ;x0
Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando:
y y x
Ran f = 0 ; +
Dom f = 0 ; +
x
Ejemplo:
1. Obtener la grafica de f( x )  x  2
Solución: La grafica de esta función la obtendremos por desplazamiento
horizontal, a partir de la grafica original y  x .
y y x y
y  x 2
x x
2
2. Graficar: f( x )  x  6  2
y y y
y  x6 2
y x y  x 5 2
x x x
6 6
Dom f = 6 ; + Ran f = 2 ; +
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FUNCIÓN COSTO, INGRESO Y UTILIDAD
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos
x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función
costo de la forma
C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La
pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
Una función ingreso R específica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.
Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta
de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula
P(x) = R(x) - C(x)
Equilibrio se ocurre cuando
P(x) = 0
o, equivalentemente, cuando
R(x) = C(x)
Función demanda y oferta
Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)
como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta
expresa la oferta q (el número de artículos un proveedor está dispuesto a llevar al
mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es
normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el
precio sube.
La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores
correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio.
Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde cruzan las
curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente
por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda
de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.
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EJERCICIOS DE FUNCIONES
1. Hallar el dominio en las siguientes funciones:
 f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3), (-2; a)}
 f(x) = x  2
x2 3
 f(x)  
x5 x3
2. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.
F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)}
F 1)
(  F F(2)  F F( )
3. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}, Hallar: F(0) (1) (2) 0
2  x; x  0
4. De la función: F(x)   , Hallar: F(F )
F
(F )
x  3; x  0 (3) ( 2)
 1; x  0
5. De la función: F(x)   0; x  0
 , Obtener: M  F(F )
F
(F )
 1; x  0 (1) (–1)

6. Halle el dominio de la función:
x5
f(x) 
x4
7. Hallar el rango de la función: f(x) = 2x + 5. Si: x  <-1; 2]
8. Hallar el dominio, si:
1
f 
( x)
1  x2
9. Hallar el rango de la función: f (x) = 3x2 + 12x + 20
10. Hallar el dominio de la función: f (x) = -3x2 – 2x + 5; x  [-2; 3>
11. Sea la función, hallar el dominio de la función:
y
-1
x
0 1 5
12. Hallar el rango de la siguiente función:
y
3
1
x
10

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13. La función polinomial: y = F(x) de grado mínimo tiene una gráfica aproximada.
y
y  f( x )
-1 3
-2 x
-1
Si: (-4;b)  F. Encuentre el valor de “b”.
14. Calcular “P” si: P = F(2) + F(4) . F(-3) + (F-1)
Si:
3 x  1 ; x  3

F(x) = x 2  1;  2  x  3
2x  3 ; x  2

15. Resuelve:
a) Los puntos (-2;-8) y (0;2) pertenecen a la grafica de una función lineal.
Determina la pendiente.
b) ¿Cuál es el rango de la función constante y = 3?
c) ¿Qué pendiente tiene la recta que pasa por (1; 1) y (5; 7)?
16. Un mayorista vende arroz. Si hacen un pedido de no más de 8kg. el mayorista
cobra S/ 3 por kg. Sin embargo, para atraer órdenes mayores, el mayorista cobra
sólo S/ 2.80 por kg si se ordenan más de 8kg.
a) Encuentre el modelo matemático que expresa el costo total de la orden como
una función de la cantidad de kilogramos ordenados del producto.
b) Calcule el costo para dos pedido: de 7,5kg y 13kg.
c) Si el mayorista por un pedido de más de 8 kilogramos cobró 57,60 soles,
entonces ¿cuántos kilogramos vendió?
17. Un celular tiene un valor original de S/.250 y se deprecia en forma lineal durante 4
años, con un valor de desecho de S/.30.
a) ¿Cuál es la tasa de depreciación del celular?
b) ¿Cuál será el valor contable del celular al final del segundo año?
c) Grafica la función de valor contable del celular.
18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representan graficas de demanda? ¿Cuáles
son gráficas de oferta? ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (Supóngase que
y es el precio y x la cantidad)
a) x - 2y = 0 b) 3x + 4y – 10 = 0
c) 2x – 3y +1 = 0 d) 2x + 5y + 4 = 0
e) 3x + 4y – 12 = 0 f) 5x – y – 10 = 0
g) 2x + 3y + 2 = 0
19. Un fabricante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m.) por
artículo.
a. ¿Cuál es el ingreso total al vender 5 000 unidades del producto? ¿Cuál es la
ecuación para la función de ingreso? Grafique la función.
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12. Facultad de Ingeniería Matemática I
b. Los costos fijos son constantes en 3 000 u.m. independientemente del número
de artículos producidos, suponga la gráfica de esta función a la grafica
correspondiente a la parte a.
c. El costo es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta
compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total, ¿Cuál es el
costo total cuando se venden 5 000 unidades del producto? Grafique la función
con superposición a la gráfica de la parte a)
20. Al precio de $5 por unidad, una empresa pondrá a la venta 5 000 linternas
eléctricas de plástico cada mes, al precio de $3.50 cada una, ofrecerá 2 000
unidades. Determine la ecuación de la oferta para este producto y grafique la
ecuación.
21. Un fabricante puede producir calzados a un costo de $20 cada par. Si fija un precio
de x dólares por par, podrá vender 120-x pares de calzado al mes.
a) Expresa la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual
vende cada par de calzado.
b) ¿Cuál es la utilidad mensual máxima que puede obtener el fabricante por la
venta de calzados?
22. Durante una colisión, la fuerza F (en Newton) que actúa sobre un objeto varía con
el tiempo t de acuerdo con la ecuación F(t )  87t  21t , donde t está en
2
segundos. ¿Para qué de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la
fuerza?
23. Un encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierto producto
está dado por la función I  x   50 x  1,5x 2 , donde el ingreso I( x ) se mide en
soles. ¿Cuál es el ingreso máximo y cuántas unidades se tienen que fabricar para
obtener ese máximo?
24. Se espera que el número de hogares con televisores con pantalla LCD crezca de
acuerdo con la siguiente función f(t )  0.18 t  0.68 t  0.60 (0  t  10)
2
donde t se mide en años y t  0 corresponde a inicios del 2007, f(t) se mide en
millones de hogares.
a) ¿Cuántos hogares tenían televisores con pantalla LCD a inicios del 2007?
b) ¿Cuántos hogares tendrán televisores con pantalla LCD al principio del 2012?
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