Apêndice eletro

AA M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O

(propositadamente em branco).

A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
A . 1 I N T R O D U Ç Ã O
Uma das principais dificuldades no estudo do electromagnetismo é a insuficiente prepara-
ção matemática dos alunos. De facto a maior parte das vezes a matemática relevante só é
ensinada nas disciplinas de matemática depois de os conceitos terem sido já utilizados no
electromagnetismo. Vamos neste apêndice apresentar os principais conceitos necessários
numa perspectiva do utilizador, sem uma preocupação de rigor matemático. Admitimos
que os alunos já dominam os conceitos de derivada, incluindo derivadas parciais, e de
integral a uma dimensão.
A . 2 S I S T E M A S D E C O O R D E N A D A S
Para além do usual sistema de coordenadas cartesianas em R3
, é muitas vezes útil usar
outros sistemas de coordenadas mais apropriados à geometria dum determinado pro-
blema. Entre estes estão os sistemas de coordenadas polares em R2
e os sistemas de
coordenadas cilíndricas e esféricas em R3
.
A.2.1 Coordenadas polares
Para problemas que tenham simetria de rotação em duas dimensões introduzem-se as
coordenadas polares em R2
. São definidas através das relações:
x = r cos θ
y = r sin θ (A.1)
onde r e θ estão definidos na Fig. A.1. As relações inversas são
PSfrag replacements
x
y
r
O
θ
P(x, y)
Figura A.1: Coordenadas polares em R2
.
317

S I S T E M A S D E C O O R D E N A D A S
r = x2 + y2
θ = arctan
y
x
. (A.2)
A.2.2 Coordenadas cilíndricas
Para problemas em R3
que tenham simetria de rotação em torno do eixo do z, introdu-
zimos as coordenadas cilíndricas. Estas são coordenadas polares no plano xy a que se
adiciona a cota z do ponto em questão. A sua deﬁnição é
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z = z , (A.3)
conforme se indica na Fig. A.2. O domínio de variação da coordenada ϕ é
ϕ ∈ [0, 2π] (A.4)
As relações inversas para as coordenadas ρ e ϕ são as das coordenadas polares, Eq. (A.2).
PSfrag replacements
x
y
z
z
O
P(x, y, z)
ϕ
ρ
Figura A.2: Coordenadas cilíndricas em R3
.
A coordenada z é a mesma no sistema cartesiano e cilíndrico.
318

A.2.3 Coordenadas esféricas
Para problemas em R3
que tenham simetria esférica, introduzimos as coordenadas esfé-
ricas. A sua deﬁnição é
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ , (A.5)
conforme se indica na Fig. A.3. O domínio de variação das variáveis angulares para cobrir
R3
é
θ ∈ [0, π] ; ϕ ∈ [0, 2π] (A.6)
PSfrag replacements
x
y
z
O
P(x, y, z)
ϕ
θ
r
Figura A.3: Coordenadas esféricas em R3
.
As relações inversas são
r = x2 + y2 + z2
θ = arccos
z
r
ϕ = arctan
y
x
. (A.7)
A . 3 C Á L C U L O I N T E G R A L E M Rn
.
Vamos nesta secção rever o cálculo integral em Rn
. Admitimos que o cálculo integral em
R já é conhecido.
319

C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN .
A.3.1 Integrais a uma dimensão
Para introduzir os integrais, vamos usar o exemplo das distribuições de carga. Comece-
mos pelo integral a uma dimensão. Seja uma barra de comprimento L e secção desprezável
e carga total Q.
Distribuição de carga uniforme
Começamos por dividir o comprimento da barra em N intervalos de comprimento ∆xi =
L/N (ver Fig. A.4).
PSfrag replacements
xO
L1 2
∆x1 ∆x2
Figura A.4: Barra de comprimento L.
Então a carga em cada segmento ∆xi é dada por
∆qi =
Q
N
=
Q
L
L
N
=
Q
L
∆xj . (A.8)
Se deﬁnirmos a densidade de carga por unidade de comprimento:
λ =
Q
L
, (A.9)
podemos escrever
∆qi = λ∆xi (A.10)
e
Q =
N
i
∆qi =
N
i
λ∆xi . (A.11)
No limite N → ∞, a soma passa a integral e obtemos
Q = lim
N→∞
N
i
λ∆xi =
L
0
λ dx . (A.12)
Este caso é de facto trivial, pois
L
0
λ dx =
Q
L
L
0
dx =
Q
L
L = Q . (A.13)
320

Distribuição de carga não uniforme
Se a distribuição não for uniforme, fazemos N suﬁcientemente grande para que no inter-
valo ∆xi a distribuição seja aproximadamente constante e igual ao valor λ(xi). Então, a
carga em ∆xi é
∆qi = λ(xi)∆xi , (A.14)
e portanto a carga total da barra será
Q =
N
i=1
∆qi =
N
i=1
λ(xi)∆xi , (A.15)
e no limite N → ∞ obtemos
Q =
L
0
λ(x) dx . (A.16)
Exemplo A.1
Seja uma barra de comprimento L carregada com carga total Q e densidade λ(x) =
A x(L − x). Determinar a constante A.
Calculemos a carga total a partir da Eq. (A.16):
Q =
L
0
λ(x)dx =
L
0
A x(L − x) dx
= A
L2
6
(A.17)
e
A =
6 Q
L2
. (A.18)
A.3.2 Integrais de superfície
Comecemos por considerar um rectângulo de dimensões Lx × Ly, conforme se indica
na Fig. A.5, e carregado uniformemente com carga total Q. Seguindo o exemplo dos
integrais a uma dimensão, dividimos cada eixo em N intervalos, o que equivale a deﬁnir
intervalos elementares segundo x e segundo y dados por
∆xi1
=
Lx
N
; ∆yi2
=
Ly
N
. (A.19)
321

PSfrag replacements
x
y
Lx
Ly
O
Figura A.5: Partição em rectângulos elementares ∆xi1
× ∆yi2
.
Então o rectângulo ﬁcou dividido em N2
rectângulos elementares de área
∆Si = ∆xi1
∆yi2
(A.20)
Se introduzirmos a densidade de carga em superfície σ por
σ =
Q
Lx × Ly
, (A.21)
podemos dizer que a carga elementar de cada rectângulo ∆Si é dada por
∆qi = σ∆Si . (A.22)
Quando N → ∞, temos
∆qi → dq = σ dS = σ dxdy (A.23)
e
Q =
i
qi → Q =
S
σdS =
Lx
0
Ly
0
σ dxdy . (A.24)
O caso de densidade variável trata-se exactamente da mesma maneira que o exemplo a
uma dimensão, substituindo no integral σ por σ(x, y).
Consideremos agora o caso mais geral descrito na Fig. A.6, onde f(x) é a curva que
limita a região. Não é difícil veriﬁcarmos que o resultado só será alterado nos limites de
integração:
Q =
Lx
0
f(x)
0
σ(x, y) dxdy , (A.25)
322

PSfrag replacements
x
y
y = f(x)
LxO
Figura A.6: Região limitada pela curva y = f(x).
e teremos, primeiro, de efectuar a integração em y e, depois, em x. Vejamos alguns
exemplos.
Exemplo A.2
Área do triângulo indicado na Fig. A.7.
PSfrag replacements
x
y
a
b
O
Figura A.7: Área do triângulo.
Obtemos
I =
S
dS =
a
0
dx
x b
a
0
dy (A.26)
=
a
0
dx
xb
a
=
b
a
a
0
dx x (A.27)
=
b
a
1
2
a2
=
1
2
ab ≡ Área . (A.28)
323

Exemplo A.3
Área do quarto de círculo representado na Fig. A.8.
PSfrag replacements
x
y
R
RO
Figura A.8: Área dum quarto de círculo.
Primeiro, vamos usar coordenadas cartesianas. Então, temos de saber qual a equação do
quarto de circunferência. Temos
y = R2 − x2 . (A.29)
Então,
I =
S
ds =
R
0
dx
√
R2−x2
0
dy
=
R
0
dx R2 − x2 . (A.30)
Sabendo agora a primitiva da função integranda:
R2 − x2 =
x
2
R2 − x2 +
R2
2
arcsin
x
R
, (A.31)
obtemos
I =
x
2
R2 − x2 +
R2
2
arcsin
x
R
R
0
=
π
4
R2
= Área . (A.32)
324

PSfrag replacements
x
y
θ
r
drdθ
rdθ
O
Figura A.9: O elemento de área em coordenadas polares.
Exemplo A.4
Mesmo exemplo em coordenadas polares.
Devemos ter como anteriormente
I =
S
dS . (A.33)
O problema reside agora em saber como se escreve o dS em coordenadas polares. Para
compreendermos o resultado, notemos que em coordenadas cartesianas dS = dx dy é a
área compreendida entre x e x + dx e entre y e y + dy. Então, em coordenadas polares,
dS deverá ser a área compreendida entre r e r+dr e entre θ e θ+dθ. Da Fig. A.9 resulta,
então, que
dS = rdθdr , (A.34)
I =
S
dS =
R
0
dr
π
2
0
dθ r
=
R
0
dr r
π/2
0
dθ
=
π
2
R
0
dr r =
π
2
1
2
R2
=
π
4
R2
. (A.35)
A.3.3 Integrais de volume
Do modo semelhante aos casos anteriores fazemos agora uma partição dum cubo em N3
cubos. Então, a carga de cada cubo elementar é
∆qi = ρ ∆Vi , (A.36)
325

onde
∆Vi = ∆xi1
∆yi2
∆zi3
(A.37)
e
ρ =
Q
L3
. (A.38)
No limite N → ∞, temos
∆qi → dq = ρ dV = ρ dxdydz (A.39)
e
Q =
N
i=1
qi → Q =
V
ρ dV =
L
0
dx
L
0
dy
L
0
dz ρ(x, y, z) . (A.40)
O caso geral dum integral a 3 dimensões será então
I =
b
a
dx
f(x)
c
dy
g(x,y)
d
dz h(x, y, z) , (A.41)
onde primeiro se integra em z, depois em y e ﬁnalmente em x.
Exemplo A.5
Cálculo do volume dum oitavo de esfera em coordenadas cartesianas.
Consideremos o oitavo de esfera representado na Fig. A.10.
PSfrag replacements
x
y
z
R
R
R
Figura A.10: Volume dum oitavo de esfera.
Calculamos o seu volume, generalizando o algoritmo do caso das superfícies, isto é,
I =
V
dV
=
R
0
dx
√
R2−x2
0
dy
√
R2−x2−y2
0
dz
=
R
0
dx
√
R2−x2
0
dy R2 − x2 − y2 . (A.42)
326

Agora, usando o facto de que
α2 − y2 dy =
y
2
α2 − y2 +
α2
2
arcsin
y
α
, (A.43)
obtemos
I =
π
4
R
0
dx (R2
− x2
)
=
π
4
R2
x −
1
3
x3
R
0
=
π
4
R3
−
1
3
R3
=
2π
12
R3
=
1
8
4
3
πR3
. (A.44)
Exemplo A.6
Mesmo exemplo em coordenadas esféricas.
Tal como anteriormente, o volume será dado por
I =
V
dV . (A.45)
A questão é saber agora como se escreve o elemento de volume dV em coordenadas
esféricas. Seguindo o exemplo do elemento de área em coordenadas polares, concluímos
que dV é o volume compreendido entre (r, r + dr), (θ, θ + dθ) e (ϕ, ϕ + dϕ), conforme
indicado na Fig. A.11. Então o elemento de volume dV escreve-se
PSfrag replacements
x
y
z
rdθ
dr
dϕ
dθ
r sin θdϕ
O
Figura A.11: Elemento de volume em coordenadas esféricas.
dV = r dθdr r sin θ dϕ
= r2
sin θ dr dθ dϕ . (A.46)
327

Obtemos, então, para o integral
I =
V
dV =
π/2
0
dϕ
π/2
0
dθ
R
0
drr2
sin θ
=
π/2
0
dϕ
0
dθ sin θ
R
0
drr2
=
1
3
R3
π/2
0
dϕ − cos θ
π/2
0
=
1
3
R3
π/2
0
dϕ =
π
6
R3
=
1
8
4π
3
R3
. (A.47)
Exemplo A.7
Seja uma esfera de raio R e com uma carga total Q e uma distribuição dada por (ver
Fig. A.12)
ρ(r) = ρ0 1 −
r
R
(A.48)
Determine a constante ρ0.
PSfrag replacements
r
ρ0
ρ(r)
O R
Figura A.12: Distribuição radial de carga.
A carga total será
Q =
V
ρ dV . (A.49)
328

Vamos usar coordenadas esféricas. Então,
Q =
2π
0
dϕ
π
0
dθ sin θ
R
0
drr2 ρ0
R
(R − r)
= 4π
ρ0
R
R
0
dr(r2
R − r3
)
= 4π
ρ0
R
1
3
r3
R −
1
4
r4
R
0
= 4πρ0
1
12
R3
. (A.50)
Então, a constante ρ0 é dada por
ρ0 =
3
π
Q
R3
, (A.51)
e podemos escrever para a densidade de carga:
ρ =
3Q
πR4
(R − r) . (A.52)
Exemplo A.8
Volume dum cilindro em coordenadas cilíndricas.
Tal como anteriormente,
I =
V
dV , (A.53)
onde dV é agora (ver Fig. A.13) o elemento de volume compreendido entre (ρ, ρ +
dρ), (ϕ, ϕ + dϕ) e (z, z + dz), ou seja,
dV = ρ dϕdρ dz (A.54)
Então
I =
2π
0
dϕ
R
0
dρ ρ
h
0
dz = h
2π
0
dϕ
R
0
dρ ρ
=
1
2
R2
h
2π
0
dϕ = πR2
h . (A.55)
Exemplo A.9
Volume dum cone.
Vamos usar coordenadas cilíndricas, conforme se indica na Fig. A.14.
329

PSfrag replacements
x
y
z
z
dρρdϕ
dϕ
O
dz
Figura A.13: Elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Obtemos
I =
V
dV
=
2π
0
dϕ
R
0
dρ ρ
h
R (R−ρ)
0
dz , (A.56)
onde
z =
R − ρ
tan α
=
h
R
(R − ρ) (A.57)
PSfrag replacements
h
z
z
RρO
α
α
Figura A.14: Geratriz dum cone em coordenadas cilíndricas.
330

é a equação da geratriz do cone. Obtemos então
I =
2π
0
dϕ
R
0
dρ ρ
h
R
(R − ρ)
= 2π
h
R
R
0
dρ (Rρ − ρ2
)
= 2π
h
R
1
2
R3
−
1
3
R3
=
π
3
R2
h . (A.58)
A . 4 C A M P O S E S C A L A R E S E V E C T O R I A I S
Em física é frequente termos necessidade de especiﬁcar o valor duma grandeza em cada
ponto de espaço. Assim, a cada ponto do espaço P(x, y, z) associamos um número, o
valor da grandeza nesse ponto. Diz-se que a grandeza assim representada em todos os
pontos é um campo escalar.
Consideremos, como exemplo, a temperatura. A um ponto genérico de coordenadas
P(x, y, z) associamos o valor da temperatura nesse ponto:
P(x, y, z) → T(x, y, z) . (A.59)
Nem todas as grandezas podem ser representadas por um único número em cada ponto
P(x, y, z). Assim, se a cada ponto P associarmos um vector, temos aquilo a que se chama
um campo vectorial. Um exemplo simples é o valor da velocidade da água em cada ponto
de um canal
Figura A.15: Campo de velocidades da água num canal.
(x, y, z) → v(x, y, z) , (A.60)
331

S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O
onde
v(x, y, z) = vx(x, y, z) ex + vy(x, y, z) ey + vz(x, y, z) ez . (A.61)
Poderíamos ainda pensar em campos mais complicados como os chamados campos ten-
soriais, que a cada ponto associam um tensor, mas não teremos necessidade deles para
este curso, pelo que não os estudaremos aqui.
O electromagnetismo é descrito por dois campos vectoriais E e B, como teremos opor-
tunidade de ver. Teremos também oportunidade de falar de outros campos vectoriais,
bem como de campo escalares.
A . 5 S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O
A.5.1 Superfícies orientadas
Uma superfície regular S (isto é, sem arestas nem vértices) tem em cada ponto deﬁnida
uma direcção normal. Vamos considerar superfícies orientadas, ou seja, com um sentido
positivo escolhido na direcção normal em cada ponto, de forma que esse sentido varie
continuamente de ponto para ponto da superfície. Quando a superfície é fechada, nor-
malmente convenciona-se que o sentido positivo da direcção normal é, em cada ponto de
S, aquele que aponta para o exterior da superfície. No ponto de coordenadas r, perten-
cente a S, designaremos por n(r) o vector unitário, orientado segundo o sentido positivo
da normal à superfície nesse ponto, conforme se indica na Fig. A.16
PSfrag replacements
S n
Figura A.16: Normal a uma superfície fechada.
A.5.2 Ângulo sólido
Um conceito bastante útil em física é o chamado ângulo sólido. Por deﬁnição, ângulo
sólido segundo o qual se vê uma superfície a partir dum ponto O é a área da esfera de
raio unidade centrada em O que é intersectada pelo sólido que tem por base a superfície
e por vértice o ponto O (ver Fig. A.17). Adoptemos a seguinte convenção de sinais:
332

PSfrag replacements
S
n
O
n
dΩ
dS
er
Figura A.17: Ângulo sólido dΩ.
dΩ > 0, se O vê a face positiva
dΩ < 0, se O vê a face negativa.
(A.62)
Portanto:
dΩ = −
1
r2
er · n dS = −
1
r2 r (r) · n dS = r
1
r
· n dS . (A.63)
Para superfícies fechadas S, teremos



Ponto O interior a S ⇒ Ω = −4π
Ponto O exterior a S ⇒ Ω = 0
Ponto O sobre S ⇒ Ω = −2π
(A.64)
A.5.3 Fluxo dum campo vectorial
Dado um campo vectorial arbitrário C(x, y, z), define-se fluxo do campo C através da
superfície S por
Fluxo =
S
C · n dS , (A.65)
onde n é a normal positiva. Para uma superfície aberta, a definição de n é arbitrária,
mas para uma superfície fechada é, como vimos, convencional definir a normal positiva
como sendo a normal exterior.
Consideremos agora um volume V limitado por uma superfície S. Dividamos o volume
V em dois volumes V1 e V2 por meio duma superfície Sab.
As superfícies S1 e S2 limítrofes dos volumes V1 e V2 são dadas por S1 = Sa + Sab, S2 =
Sb + Sab. Então temos o teorema seguinte:
333

S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O
PSfrag replacements
Sa
Sab
Sb
V1 V2
n1
n2
Figura A.18: Volume V dividido pela superfície Sab.
Teorema A.1
S
C · n dS =
S1
C · n dS +
S2
C · n dS . (A.66)
Demonstração Temos
S1
C · n dS =
Sa
C · n dS +
Sab
C · n1 dS (A.67)
e
S2
C · n dS =
Sb
C · n dS +
Sab
C · n2 dS , (A.68)
mas como n1 = −n2 e S = Sa + Sb, obtemos
S1
C · n dS +
S2
C · n dS =
S
C · n dS , (A.69)
como pretendíamos.
Corolário
Consideremos uma região do espaço formando um volume elementar dV e limitada pela
superfície dS. Como dV é infinitesimal, o campo C tem uma dada direcção nesse elemento
de volume. Então (ver Fig. A.19):
Fluxo através de dS =C · n dS = C · n dS1 + C · n dS2 ,
C · n dS2 > 0
C · n dS1 < 0 . (A.70)
e portanto o fluxo através da superfície elementar é a diferença entre o fluxo que sai e o
fluxo que entra.
334

PSfrag replacements
dS1
dS2
n
n
C
Figura A.19: Fluxo através da superfície que limita o volume dV .
A . 6 O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
No electromagnetismo têm um papel muito importante os chamados operadores diferen-
ciais, gradiente, divergência, rotacional e laplaciano. Vamos nesta secção apresentar estes
objectos. Na tabela seguinte é feito um resumo das suas propriedades fundamentais, isto
é, em que tipo de objectos matemáticos actuam e qual o resultado dessa operação.
Tabela A.1: Operadores diferenciais.
Operador Actua sobre Produz
Gradiente Campo escalar Campo vectorial
Divergência Campo vectorial Campo escalar
Rotacional Campo vectorial Campo vectorial
Laplaciano Campo escalar Campo escalar
Laplaciano Campo vectorial Campo vectorial
A.6.1 Gradiente
Definição
Consideremos o exemplo do campo escalar temperatura T(x, y, z) e que queremos calcular
a diferença de temperatura entre dois pontos vizinhos r e r. Deﬁnimos:
∆r = r − r ≡ (∆x, ∆y, ∆z) . (A.71)
335

O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
Então,
∆T = T(r ) − T(r)
=
∂T
∂x
∆x +
∂T
∂y
∆y +
∂T
∂z
∆z , (A.72)
onde desprezámos termos de ordem superior, por considerarmos que os pontos se encon-
tram infinitesimalmente próximos.
Como a diferença de dois campos escalares continua a ser um campo escalar, ∆T é
um campo escalar. Por sua vez, ∆r ≡ (∆x, ∆y, ∆z) é um vector, o que nos permite
interpretar (∂T
∂x , ∂T
∂y , ∂T
∂z ) como as componentes dum campo vectorial, pois o produto
interno de dois vectores é uma quantidade escalar. A este campo vectorial dá-se o nome
de gradiente. Por definição:
grad T =
∂T
∂x
ex +
∂T
∂y
ey +
∂T
∂z
ez , (A.73)
pelo que tem lugar a igualdade
∆T = grad T · ∆r . (A.74)
Aquilo que acabamos de fazer para a temperatura é válido obviamente para qualquer
campo escalar. A componente do gradiente dum campo escalar segundo uma dada di-
recção é portanto a taxa de variação desse campo nessa direcção.
Operador nabla
É conveniente por vezes introduzir um operador diferencial vectorial, chamado nabla, de
acordo com definição
≡ (
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
) . (A.75)
Em termos deste operador, o gradiente dum campo escalar arbitrário φ(x, y, z) escreve-se
grad φ ≡ φ . (A.76)
No seguimento necessitaremos de algumas propriedades do gradiente, que vamos mostrar.
Gradiente duma distância
Consideremos dois pontos r = (x, y, z) e r = (x , y , z ). A distância entre r e r é um
campo escalar, que designamos por R:
R = |r − r | = (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 (A.77)
336

Este campo escalar tanto pode ser encarado como uma função de r = (x, y, z) para r
fixo como uma função de r para r fixo. Calculemos o gradiente, primeiro, em relação às
coordenadas de r:
rR =
x − x
R
ex +
y − y
r
ey +
z − z
R
ez
=
r − r
R
= eR , (A.78)
onde
eR =
r − r
|r − r |
(A.79)
é o versor unitário na direcção de r − r . Se calcularmos o gradiente em relação às
coordenadas do ponto r , obtemos
r R = −
x − x
R
ex −
y − y
R
ey −
z − z
R
ez = −
r − r
R
= −eR , (A.80)
isto é,
rR = − r R , (A.81)
o que constitui um resultado muito importante.
φ é perpendicular às superfícies φ = constante
Consideremos uma superfície tal que φ(x, y, z) = constante e sobre ela dois pontos r e
r infinitesimalmente próximos. Então, ∆φ = φ · ∆r, onde ∆r = r − r. Mas se sobre
a superfície temos φ = constante, então ∆φ = 0, ou seja,
φ · ∆r = 0 , (A.82)
para qualquer direcção sobre a superfície. Esta equação só pode ser satisfeita, se φ for
perpendicular à superfície.
Integral de linha do gradiente
Dado um campo vectorial arbitrário C(x, y, z), dá-se o nome de integral de linha do
campo vectorial C ao longo da linha Γa,b (com início no ponto localizado no vector a e
fim no ponto correspondente ao vector b) ao integral:
Integral de Linha =
Γa,b
C · d . (A.83)
337

O integral de linha do gradiente goza duma propriedade importante, que é o ser inde-
pendente do caminho, dependendo somente do valor da função nos pontos final e inicial.
Este resultado pode ser posto no seguinte
Teorema A.2
O integral do gradiente da função φ ao longo da linha Γa,b, com início no ponto localizado
pelo vector a e fim no ponto localizado pelo vector b é dado por
Γa,b
φ · d = φ(b) − φ(a) , (A.84)
sendo independente do percurso entre a e b.
Demonstração Vem directamente da Eq. (A.74).
A.6.2 Divergência
Definição
Num sistema de referência cartesiano define-se o operador divergência dum campo vec-
torial C(x, y, z) pela relação
· C =
∂Cx
∂x
+
∂Cy
∂y
+
∂Cz
∂z
(A.85)
Da definição resulta que o operador divergência se aplica a campos vectoriais e produz
um campo escalar.
Teorema da divergência
O conceito de divergência está intimamente ligado ao conceito de fluxo dum campo
vectorial. O teorema fundamental é o chamado teorema da divergência (ou de Gauss).
Teorema A.3
Seja S a superfície fechada que limita o volume V e seja n a normal positiva a S (exterior).
Então,
S
C · n dS =
V
· C dV . (A.86)
Demonstração Dividimos o volume V em volumes elementares. Calculamos o fluxo
através desses volumes elementares e aplicando o teorema 2 obtemos o fluxo através da
superfície que limita o volume V somando todos esses fluxos elementares. Sem perda de
338

x
y
z
PSfrag replacements
1
2
3
4
5
6
Figura A.20: Fluxo através das faces dum paralelepípedo.
generalidade, podemos considerar como volume elementar um paralelepípedo segundo os
eixos, de arestas dx, dy e dz, conforme se indica na Fig. A.20.
O fluxo através da superfície limítrofe do paralelepípedo é a soma dos fluxos através das
suas faces (normal para o exterior). Portanto:
fluxo 1 = −Cy(1) dxdz
fluxo 2 = Cy(2) dxdz (A.87)
e teremos
fluxo através de 1 e 2 = [Cy(2) − Cy(1)] dxdz =
∂Cy
∂y
dxdydz
fluxo através de 3 e 4 =
∂Cz
∂z
dxdydz
fluxo através de 5 e 6 =
∂Cx
∂x
dxdydz , (A.88)
e o fluxo através da superfície que limita o paralelepípedo é então
6
i=1
(C · n)idSi =
∂Cx
∂x
+
∂Cy
∂y
+
∂Cz
∂z
dxdydz = · C dV . (A.89)
Somando todos os fluxos através de todos os paralelepípedos elementares, obtemos o
fluxo através da superfície que limita o volume V , que será
S
C · n dS =
V
· C dV . (A.90)
339

O significado físico da divergência é dado considerando um volume elementar dV limitado
por uma superfície elementar dS. Então,
· CdV = C · n dS . (A.91)
Como vimos para volumes suficientemente pequenos, C tem o mesmo sentido em todo o
volume, pelo que C · n dS representa a diferença entre os fluxos que saem e que entram
no volume dV . A divergência é portanto a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que
entra por unidade de volume.
A.6.3 Rotacional
Definição
Num sistema de referência cartesiano define-se o operador rotacional dum campo vectorial
C(x, y, z) como sendo o campo vectorial
× C =
∂Cz
∂y
−
∂Cy
∂z
ex +
∂Cx
∂z
−
∂Cz
∂x
ey +
∂Cy
∂x
−
∂Cx
∂y
ez . (A.92)
Da definição resulta que o operador rotacional se aplica a campos vectoriais e produz um
campo vectorial denotado por × C.
Circulação dum campo vectorial
O significado do operador rotacional está ligado à circulação de vectores ao longo de con-
tornos (linhas) fechados. Comecemos, então, por definir circulação dum campo vectorial
C(x, y, z):
Circulação =
Γ
C · d , (A.93)
onde Γ é um contorno fechado. A circulação é feita no sentido do vector d .
Consideremos o contorno fechado Γ e dividamos esse contorno em dois contornos Γ1 e
Γ2 por meio da curva Γab (ver Fig. A.21).
Γ = Γa + Γb
Γ1 = Γa + Γab
Γ2 = Γb + Γab . (A.94)
Então temos o seguinte
340

PSfrag replacements
Γa
Γb
Γab
Γ1
Γ2
d 1
d 2
Figura A.21: Circulação em contornos fechados.
Teorema A.4
Γ
C · d =
Γ1
C · d +
Γ2
C · d . (A.95)
Demonstração
Γ1
C · d =
Γa
C · d +
Γab
C · d 1
Γ2
C · d =
Γb
C · d +
Γab
C · d 2 , (A.96)
mas d 1 = −d 2, logo:
Γ
C · d =
Γ1
C · d +
Γ2
C · d . (A.97)
Notemos que as circulações em Γ1 e Γ2 são escolhidas para coincidirem com a circulação
em Γ nos troços comuns.
Teorema de Stokes
Esta propriedade das circulações de campos vectoriais é essencial para a demonstração
do seguinte teorema fundamental:
Teorema A.5
Seja S uma superfície aberta que se apoia sobre o contorno fechado Γ. Seja n a normal
à superfície com o sentido deﬁnido pela progressão dum saca-rolhas que roda no sentido
341

da circulação (regra do saca-rolhas), conforme se indica na Fig. A.22. Dado um campo
vectorial arbitrário C(x, y, z), temos
Γ
C · d =
S
× C · n dS . (A.98)
PSfrag replacements
S
Γ
n
Figura A.22: Superfície aberta S que se apoia no contorno Γ.
Demonstração Dividimos o contorno Γ em contornos elementares e calculamos a
circulação ao longo desses contornos elementares. Pelo teorema anterior, a circulação ao
longo de Γ obtem-se somando todas as circulações elementares.
Em vez de fazer a demonstração em geral, escolhemos um contorno particular ∆Γ, indi-
cado na Fig. A.23.
PSfrag replacements
x
y
1
2
3
4
(x, y) (x + dx, y)
(x, y + dy) (x + dx, y + dy)
∆Γ
O
Figura A.23: Contorno rectangular ∆Γ.
342

Então,
∆Γ
C · d = Cx(1)dx + Cy(2)dy − Cx(3)dx − Cy(4)dy
= [Cy(2) − Cy(4)]dy − [Cx(3) − Cx(1)]dx
=
∂Cy
∂x
−
∂Cx
∂y
dxdy
= ( × C)zdxdy . (A.99)
Mas a direcção z é a direcção normal ao plano do contorno (que foi escolhido ser o plano
Oxy). Logo:
∆Γ
C · d =
∆S
× C · n dS . (A.100)
Para um contorno Γ considerado como a soma de contornos ∆Γ elementares, teremos
então:
Γ
C · d =
S
× C · n dS . (A.101)
Notas
1. A superfície S é qualquer superfície que se apoie em Γ.
2. As componentes de × C obtém-se por permutação cíclica
3. Mais facilmente o rotacional pode ser obtido pelas regras do produto externo
× C =
ex eyez
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Cx Cy Cz
. (A.102)
Do teorema de Stokes resulta a equivalência de duas das deﬁnições de campo vectorial
conservativo. O rotacional de um campo vectorial C conservativo é igual a zero:
× C = 0 , (A.103)
343

se e só se a circulação desse campo ao longo de qualquer linha fechada Γ for igual a zero:
Γ
C · dr = 0 . (A.104)
De facto, se ×C = 0, então a Eq. (A.104) resulta imediatamente do teorema de Stokes,
Eq. (A.98). Mostremos, agora, que a Eq. (A.104) implica a Eq. (A.103). Escolhemos
no ponto r = (x, y, z) uma superfície elementar ∆S(x) perpendicular ao eixo do x e
delimitada pela linha ∆Γ(x) (ver Fig. A.24). Então,
0 =
∆Γ(x)
C · dr
=
∆S
× C · ex dS
× C
x
(x, y, z)
∆S(x)
dS
= × C
x
(x, y, z) ∆S(x) , (A.105)
x
PSfrag replacements ∆Γ(x)
ex
∆S(x)
Figura A.24: Contorno ∆Γ.
e portanto no limite ∆S(x) → 0 obtemos
× C
x
(x, y, z) = 0 . (A.106)
De forma análoga se mostra a igualdade a zero das componentes do rotacional de C
segundo os eixos y e z, pelo que a Eq. (A.103) ﬁca demonstrada.
344

A.6.4 Laplaciano
Define-se o laplaciano dum campo escalar por lap Φ = · Φ = Φ ≡ 2
Φ. Utiliza-
remos indiferentemente as notações lap e 2
. Em coordenadas cartesianas:
2
Φ =
∂2
Φ
∂x2
+
∂2
Φ
∂y2
+
∂2
Φ
∂z2
. (A.107)
O laplaciano dum campo escalar é um campo escalar. Pode definir-se também um lapla-
ciano dum campo vectorial através da seguinte relação
2
C = · C − × × C . (A.108)
Trata-se portanto dum campo vectorial. Em coordenadas cartesianas pode-se mostrar
que
2
C = 2
Cx ex + 2
Cy ez + 2
Cz ez . (A.109)
Noutros sistemas de coordenadas ter-se-á de usar a definição acima.
A.6.5 Identidades importantes
Reunimos a seguir algumas identidades importantes dos operadores diferenciais:



(ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ
· (ΦC) = Φ · C + Φ · C
× (ΦC) = Φ × C + Φ × C
(A.110)



· Φ = 2
Φ
· × C = 0
(A.111)
e 


× Φ = 0
× × C = · C − 2
C .
(A.112)
345

A.6.6 Coordenadas curvilíneas
Em algumas aplicações interessa escrever as expressões dos operadores diferenciais em co-
ordenadas curvilíneas, normalmente coordenadas esféricas ou cilíndricas. Estes sistemas
foram deﬁnidos nas Secções A.2.2 e A.2.3. Para escrever as expressões dos operado-
res diferenciais num sistema arbitrário de coordenadas, é necessário ter em conta que a
variação de comprimento d i na direcção da variação de coordenadas ui é dada por
d i = hi dui i = 1, 2, 3 , (A.113)
onde (u1, u2, u3) são as coordenadas curvilíneas. Então, podemos mostrar (refazendo as
deduções apresentadas no texto) os resultados seguintes:
( Φ)i =
1
hi
∂Φ
∂ui
· C =
1
h1h2h3
∂(C1h2h3)
∂u1
+
∂(C2h3h1)
∂u2
+
∂(C3h1h2)
∂u3
( × C)1 =
1
h2h3
∂(h3C3)
∂u2
−
∂(h2C2)
∂u3
. (A.114)
As outras componentes do rotacional obtêm-se por permutação cíclica dos índices. O
laplaciano é obtido a partir da sua deﬁnição. Usando os valores de hi para os diversos
sistemas de coordenadas:
Cartesianas Cilíndricas Esféricas
hx = 1 hρ = 1 hr = 1
hy = 1 hϕ = ρ hθ = r
hz = 1 hz = 1 hϕ = r sin θ
é fácil obter os resultados seguintes:
346

— Coordenadas cartesianas
Ψ =
∂Ψ
∂x
ex +
∂Ψ
∂y
ey +
∂Ψ
∂z
ez
· C =
∂Cx
∂x
+
∂Cy
∂y
+
∂Cz
∂z
× C =
∂Cz
∂y
−
∂Cy
∂z
ex +
∂Cx
∂z
−
∂Cz
∂x
ey
+
∂Cy
∂x
−
∂Cx
∂y
ez
2
Ψ =
∂2
Ψ
∂x2
+
∂2
Ψ
∂y2
+
∂2
Ψ
∂z2
. (A.115)
— Coordenadas cilíndricas
Ψ =
∂Ψ
∂ρ
eρ +
1
ρ
∂Ψ
∂ϕ
eϕ +
∂Ψ
∂z
ez
· C =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρCρ) +
1
ρ
∂Cϕ
∂ϕ
+
∂Cz
∂z
× C =
1
ρ
∂Cz
∂ϕ
−
∂Cϕ
∂z
eρ +
∂Cρ
∂z
−
∂Cz
∂ρ
eϕ
+
1
ρ
∂
∂ρ
(ρCϕ) −
∂Cρ
∂ϕ
ez
2
Ψ =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρ
∂Ψ
∂ρ
) +
1
ρ2
∂2
Ψ
∂ϕ2
+
∂2
Ψ
∂z2
. (A.116)
347

— Coordenadas esféricas
Ψ =
∂Ψ
∂r
er +
1
r
∂Ψ
∂θ
eθ +
1
r sin θ
∂Ψ
∂ϕ
eϕ
· C =
1
r2
∂
∂r
(r2
Cr) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θCθ) +
1
r sin θ
∂Cϕ
∂ϕ
× C =
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θCϕ) −
∂Cθ
∂ϕ
er
+
1
r sin θ
∂Cr
∂ϕ
−
1
r
∂
∂r
(rCϕ) eθ +
1
r
∂
∂r
(rCθ) −
∂Cr
∂θ
eϕ
2
Ψ =
1
r2
∂
∂r
(r2 ∂Ψ
∂r
) +
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂Ψ
∂θ
)
+
1
r2 sin2
θ
∂2
Ψ
∂ϕ2
. (A.117)
348

P R O B L E M A S A P Ê N D I C E A
A.1 Dada uma função f(x, y, z),
a) calcule o seu gradiente f;
b) mostre que × f = 0;
c) calcule · f.
A.2 Dado o vector
A = Axex + Ayey + Azez ,
a) calcule o seu rotacional × A;
b) mostre que · ( × A) = 0.
A.3 Dado um vector A, mostre que
× ( × A) = ( · A) − 2
A .
A.4 Dados os vectores A e B, mostre que
× (A × B) = A( · B) − B( · A)
+ (B · )A − (A · )B .
A.5 Desenhe linhas de campo de um
campo vectorial tal que:
a) o seu rotacional seja nulo;
b) a sua divergência seja nula.
A.6 Dado o vector de posição
r = x ex + y ey + z ez ,
mostre que o teorema da divergência se ve-
rifica, considerando para isso uma superfí-
cie esférica centrada na origem e de raio R.
A.7 Considere o vector A = 10/3x3
ex. Ve-
rifique o teorema da divergência, aplicando-
o a um cubo de volume a3
, de arestas pa-
ralelas aos eixos e centrado na origem.
A.8 Dado o vector A = kr er, verifique o
teorema da divergência no volume definido
por duas superfícies esféricas concêntricas,
de raios R1 e R2 (R2 > R1).
A.9 Num redemoinho colocamos uma ro-
lha de cortiça. Esta andará à roda em torno
do centro do redemoinho. Fazendo as hipó-
teses simplificadoras que entender, deduza
a relação entre a velocidade angular ω e o
× v. Mostre que se obtém a mesma rela-
ção aplicando o teorema de Stokes. Calcule
· v.
A.10 Seja o campo A = x ey. Represente
A graficamente e calcule o respectivo rota-
cional. Estará × A ligado a algum movi-
mento de rotação?
A.11 Considere o vector
A = xy ex − 2x ey
Verifique o teorema de Stokes sobre o
quarto de círculo, de raio r = 3, situado
no primeiro quadrante do plano (x, y)
A.12 Calcule a circulação do vector A =
(2x + y) ex + y ey + xz ez em torno do rec-
tângulo indicado na figura.
PSfrag replacements
x
y
z
O
5
10
Γ
Verifique depois o teorema de Stokes.

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