Campogravitatorio2

Fuerzas a distanciaCampos de Fuerza

I
N
T
E
R
A
C
C
I
O
N
E
S
F
U
N
D
A
M
E
N
T
A
L
E
S

Las fuerzas a distancia se
explican aplicando un
nuevo concepto
Campo de fuerzas
A cada punto del espacio
donde exista un campo de
fuerzas se le puede asignar un
vector fuerza
Los campos de fuerzas pueden existir en el vacío

El concepto de campos puede aplicarse a otras magnitudes o propiedades:
Campos materiales
Campo de presiones: escalar
Campo de velocidades: vectorial

Todo cuerpo capaz de producir interacciones
a distancia genera un campo de fuerzas

Si en una zona del espacio existe un campo de
fuerzas, al situar un cuerpo adecuado en ese
punto se verá sometido a una fuerza
Si el campo es muy GRANDE la fuerza será grande y
si el campo es DÉBIL la fuerza será pequeña
Campo ¿GRANDE?¿DÉBIL?
El valor del campo es medible: Intensidad del campo

CAMPO GRAVITATORIO
La masa de la tierra provoca el
campo de fuerzas
El valor del campo solo debe
depender de la masa de la tierra
La intensidad del campo gravitatorio en
un punto se define como la fuerza que
soporta la unidad de masa en ese punto
gF
g
m

uur
ur

CAMPO GRAVITATORIO
Una masa considerada puntual ejerce una fuerza sobre otra
situada a una distancia r dada por
2
·
· r
M m
F G u
r
 
ur uur
La intensidad del campo donde está la masa m será
2
· r
M
g G u
r
 
ur uur
Se le llama gravedad

CAMPO GRAVITATORIO
¿Cómo calcularemos la intensidad del
campo gravitatorio en el punto p

CAMPO GRAVITATORIO
Veamos:
sobre un mismo punto se aplican varios vectores
Se trata de encontrar el vector resultante
Es decir aplicamos el principio de superposición
1 2 3
1
....
n
n i
i
g g g g g g

     
ur ur ur ur ur ur
Suma
Vectorial

CAMPO GRAVITATORIO: SUPERPOSICIÓN
Calcula la fuerza gravitatoria que dos cuerpos puntuales de 10 y 20
kg situados respectivamente en los puntos (0,0) y (10,0), sobre un
tercer cuerpo de 4 kg situado en el punto (7,5).

Una vez representadas las masas y las fuerzas se trata de aplicar la
ley de gravitación universal
Distancias por Pitágoras
m2
m2

Ahora toca sumar fuerzas: suma
de vectores. Lo haremos por
componentes.
Calculamos las componentes de
cada fuerza para lo que
calculamos los ángulos
5
arctan( ) 35,5º
7
  
5
arctan( ) 59,04º
3
  
Ojo los ángulos están medidos desde distintos orígenes. Ten en cuenta que
cos(α) y sen(α) son negativos
cos() es positivo y sen() es negativo

Ahora toca sumar fuerzas: suma
de vectores. Lo haremos por
componentes.
Escribimos cada fuerzas en
función de sus componentes
(recuerda i componente x y j nos
da la componente y):

¿Cuál sería la intensidad del
campo en el punto donde se halla
situada m3?
11 11
5,2·10 15,6·10
/
4
i j
g N kg
 


r r
ur
3
F
g
m

ur
ur
Por definición sabemos que
Por tanto

CAMPO GRAVITATORIO
Al alejarnos de un planeta la intensidad de su campo
gravitatorio (gravedad) disminuye. Está claro.
Pero, ¿qué pasa dentro del planeta? ¿Cuál
será la gravedad justo en el centro?
Por lo tanto la gravedad dentro del planeta debe ir…
Exacto: ¡DISMINUYENDO!
Cero: en ese punto los vectores del campo se deben anular

CAMPO GRAVITATORIO
Determina la expresión del
módulo de g en el interior
del planeta (distancia r del
centro)
Pistas:
1. Divide el planeta en dos esferas una de radio r y otra concéntrica hasta la superficie
2. La gravedad dentro de una esfera hueca es cero. (se anula).
3. La masa de una esfera se puede calcular mediante el volumen y la densidad
Investigad, buscad o razonar la solución , pero os la voy a pedir

CAMPO GRAVITATORIO: ENERGÍA POTENCIAL
Haciendo memoria: el trabajo realizado
por las fuerzas conservativas no
dependen del camino recorrido por la
fuerza, solo depende de los estados
inicial y final del sistema
Cuando el sistema va del punto 1 al punto
2 y luego regresa al punto 1, el trabajo
total realizado por la fuerza es cero
O sea si para ir de 1 a 2 realizamos trabajo
sobre el sistema, al volver el sistema nos
debe devolver ese trabajo para que el
trabajo neto sea cero
Por eso un muelle puede almacenar energía y
devolverla cuando la necesitamos

Fuerzas centrales SON conservativas
La fuerza gravitatoria (central) genera
un campo de fuerzas conservativo
Si hacemos trabajo sobre el sistema
este trabajo queda en él en forma de
Energía Potencial
Todos los campos de fuerzas conservativos llevan
asociado el concepto de energía potencial.

¿Cómo medir la energía potencial de un cuerpo
en un punto? Imposible.
Pero podemos medir la diferencia de
energía potencial entre dos puntos
2
1 2 2 1 1 2
1
( )g p p p p pW F dr E E E E E        
uur r
¿Cómo? Piensa en porqué
aparece el concepto de
Energía Potencial
Vale: por el trabajo realizado por
nosotros cuando movemos un
cuerpo entre esos dos puntos, que
es opuesto al trabajo realizado
por la fuerza conservativa.
Recuerda la definición de trabajo…….cuando la fuerza es variable
Esta superficie bajo la curva mide el
trabajo realizado por la fuerza F

Recuerda el teorema del trabajo
1 2 2 1 1 2( )p p p p pW E E E E E       
En el caso del campo gravitatorio
originado por una masa puntual esa
superficie, o sea, el trabajo realizado
por la fuerza gravitatoria al mover una
masa m desde 1 a 2 viene dado por
1 2 1 2
2 1
· · · ·
p p
G M m G M m
W E E
r r
    
Si tomamos como referencia (punto origen) para medir las
Energías potenciales un punto muy alejado del origen del campo
(el infinito) esta expresión queda:
2
2
· · · ·
p p
G M m G M m
E E
r r


  2
2
· ·
p
G M m
E
r
 2
2
· ·
p
G M m
E
r
 

Como veis la energía potencial es
negativa
Inversamente proporcional a la distancia al
origen del campo y proporcional a la masa
causante del campo
Si queremos saber el trabajo exterior
necesario para mover una masa de un
punto 1 a un punto 2 basta con saber la
diferencia de energía potencial entre ellos.
2 1( 1 2) ( 1 2) p pW exterior W gravitatorio E E     
Al alejarnos del planeta nuestra energía potencial aumenta, se hace más positiva
A una distancia “infinita” el efecto del planeta no existe: La Energía Potencial es cero

CAMPO GRAVITATORIO: POTENCIAL GRAVITATORIO
De la misma forma definimos el potencial gravitatorio (V) en un punto
como la energía potencial de la unidad de masa en ese punto.
Al definir la intensidad de campo el valor del campo en un
punto solo depende de la masa origen del campo y de la
distancia a ella.
O lo que es lo mismo: el trabajo necesario para traer la unidad de
masa desde el infinito hasta ese punto.
¿Cuál sería su expresión matemática?
Pero ojo: estamos usando un punto de referencia donde Ep es 0: el infinito
0
1
· · ·p
o
E G M G M G M
V W
m r r

 
       
 

El potencial gravitatorio creado por
varias masas en un punto se calcula
como suma de los potenciales
creados por cada masa en ese punto.
La energía potencial es negativa y se
hace 0 a distancia infinita del planeta

El campo gravitatorio se representa
por las líneas de fuerza y por las
superficies equipotenciales: lugar
geométrico formado por puntos con
idéntico potencial.
Un cuerpo se mueve por la superficie equipotencial 1 y otro
similar se mueve por la superficie equipotencial 2 ¿En qué
caso es mayor el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria?
Efectivamente en ambos casos el trabajo es nulo. El trabajo
gravitatorio viene dado por la diferencia entre los
potenciales inicial y final, y en una superficie equipotencial
estos valores son iguales

Una partícula de masa m1 = 2 kg está situada en el origen de un sistema de
referencia y otra partícula de masa m2 = 4 kg está colocada en el punto A(6,0).
Calcula el potencial gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4).
¿Qué trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta
el punto C?
m1 m2
Coloquemos las masas en el
sistema de ejes de coordenadas
B
C Marcamos los puntos
donde queremos calcular el
potencial

m1 m2B
C
Los potenciales se calculan por
separado
El potencial total se calcula como la
suma de los potenciales individuales
Recuerda que V es un escalar
1 2 1 2
1 2 1 2
· · 2 4
3 3
b
G m G m m m
V G G
r r r r
   
           
  
1 2 1 2
1 2 1 2
· · 2 4
5 5
c
G m G m m m
V G G
r r r r
   
           
  
Distancia desde C hasta las masas vale 5 m

m1 m2B
C
Haciendo los cálculos tenemos
10
11
1,334·10 /
8,004·10 /
B
C
V J Kg
V J K


 
 
¿Qué trabajo se realiza al transportar una
masa de 5 kg desde el punto B hasta el
punto C?
10 11
10
( ) 5· 1,334·10 ( 8,004·10 )
2,668·10
B C B C
B C
W m V V
W J
 



       
 
El trabajo de la fuerza gravitatoria es negativo: el cuerpo no se mueve
solo, va de un punto de menor a otro de mayor energía potencial
Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza
conservativa viene dado por la variación de la Ep
cambiada de signo (Terorema del trabajo)

Como ya sabemos la energía
mecánica no desaparece ni se
crea de la nada, solo se
transforma
Si aplicamos una fuerza a un cuerpo a lo largo de una trayectoria en una
superficie equipotencial el trabajo gravitatorio es 0
Sin embargo el cuerpo se ha movido bajo la acción de una fuerza, se ha
realizado trabajo ¿qué ha pasado con la energía que hemos invertido?
Muy bien: fuerza, por tanto aceleración, por tanto incremento de velocidad
Ha aumentado la energía cinética del cuerpo: Teorema de las Fuerzas Vivas
21
·
2
Ec m v
1 2 2 1c cW E E  

Este trabajo puede hacerlo la fuerza gravitatoria
y estamos ante un hecho evidente: cuando un
cuerpo cae su velocidad aumenta.
Energía mecánica
E. Potencial
E. cinética
La energía potencial disminuye
y aumenta la cinética
La energía mecánica total no varía
Solo que cada vez hay más cinética
y menos potencial
Por supuesto sin fuerzas no
conservativas presentes

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
El siguiente paso es aplicar todo lo aprendido al
planeta donde vivimos

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
Masa de la Tierra: 5,974·1024 Kg
Radio medio de la Tierra: 6,371·106 m
Toca trabajar un poquito: Calculad la gravedad a una altura de la superficie de 340 Km
La estación Espacial Internacional orbita a 340 Km de media ¿porqué los
astronautas flotan en la estación si la gravedad es bastante elevada?
¿Qué energía potencial posee un cuerpo de 1 kg de masa en la superficie
terrestre? ¿Qué energía habría que darle para que su energía potencial
pase a ser 0?
Esa energía se la podemos proporcionar en forma de energía cinética
¿qué velocidad habría que comunicarle al cuerpo?¿Influye la masa?

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