1. Αξιοσημείωτες ταυτότητες
Τετράγωνο αθροίσματος και
τετράγωνο διαφοράς

2. Τι είναι μια ταυτότητα στα
Μαθηματικά;
• Ποιες από τις παρακάτω ισότητες
είναι ταυτότητες;

3. (α) 3 ( χ + 4 ) =30
Η εξίσωση επαληθεύεται για μια μόνο
τιμή του χ. Όταν το χ είναι 6
(β) 3 ( α + 4 ) = 3 α + 12
Η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε
τιμή του α

4. (γ) 4χ + 2 = 3χ + 2 + χ
4χ −3χ –χ = 2 - 2
0χ =0
Επαληθεύεται για όλες τις τιμές του χ
Τα παραδείγματα (β) και ( γ ) λέγονται
αόριστες εξισώσεις ή ταυτότητες

5. Ορισμός της ταυτότητας:
Ταυτότητα είναι μια
ισότητα που περιέχει
μεταβλητές και
επαληθεύεται για
όλες τις τιμές
των μεταβλητών

6. Τετράγωνο αθροίσματος
( α +β ) 2 = (α+β)(α+β)
= α2 + α β + α β + β2
(α + β ) = α + 2 α β + β
2 2 2
Ανάπτυγμα ταυτότητας

7. Το τετράγωνο του
αθροίσματος
δυο μονώνυμων
ισούται με το άθροισμα
των τετραγώνων τους
συν το διπλάσιο
γινόμενο τους.

8. Άσκηση 1:
• Να βρείτε το ανάπτυγμα του ( ψ + 4 ) 2 .
( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β2
( ψ+4) 2
= Ψ 2 + 2 ·ψ·4 + 4 2
= ψ 2 + 8 ψ + 16

9. Άσκηση 2 :
• Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( 2χ + 3ψ)2
( α+β)2 = α2 + 2αβ + β2
( 2χ + 3ψ)2 =(2χ)2 + 2·2χ·3ψ + (3ψ)2
= 4χ2 + 12 χ ψ + 9 ψ2

10. Γεωμετρική ερμηνεία
• Η ταυτότητα
• ( α+β ) 2 = α 2 +2 α β +β 2
Μπορεί ερμηνευτεί και γεωμετρικά

11. • Το τετράγωνο έχει πλευρά α+β
Ε=(α+β)2
α Ε1=α2
Ε1 Ε2 Ε2=α β
Ε3=β2
Ε4 Ε4=α β
Ε3 β
Ε=Ε1+Ε2+Ε3+Ε4
α β ( α + β )2=α2 +αβ+βα+β2
(α +β )2 =α2 +2αβ+β2

12. • Τετράγωνο αθροίσματος
α2 αβ αβ β2
α 2
αβ
(α +β ) 2 =α2 +2 α β +β 2
αβ β2

13. Εργασία για το σπίτι
• Διαβάστε τα παραδείγματα 1, 2, 5,
6 , 7 ,10 (α,γ,δ)
στις σελίδες 38 – 41
• Να λύσετε τις ασκήσεις 47 / 1 , 5,
6, 16 , 18 – 22

14. Τετράγωνο διαφοράς
( α – β ) 2= (α–β)(α–β)
= α2 – α β – α β + β2
(α – β ) = α – 2 α β + β
2 2 2
Ανάπτυγμα ταυτότητας

15. Το τετράγωνο της
διαφοράς
δυο μονώνυμων
ισούται με το άθροισμα
των τετραγώνων τους
πλην το διπλάσιο
γινόμενο τους.

16. Άσκηση 1:
• Να βρείτε το ανάπτυγμα του ( ψ – 4 ) 2 .
( α – β ) 2 = α 2 – 2 α β + β2
( ψ– 4) 2
= Ψ 2 – 2 ·ψ·4 + 4 2
= ψ 2 – 8 ψ + 16

17. Άσκηση 2 :
• Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( 2χ – 3ψ)2
( α–β)2 = α2–2αβ + β2
( 2χ – 3ψ)2 =(2χ)2 – 2·2χ·3ψ + (3ψ)2
= 4χ2 – 12 χ ψ + 9 ψ2

18. Γεωμετρική ερμηνεία
• Και το τετράγωνο της διαφοράς
• (α–β)2=α2 – 2αβ+β2
• μπορεί να ερμηνευθεί και γεωμετρικά
Αυτή όμως είναι η
εργασία που θα έχετε
για το σπίτι μαζί με τις
ασκήσεις
2,3,4,8,9,10,15,17,23
Στη σελίδα 47