Este documento presenta la distribución binomial y sus propiedades. Define una variable aleatoria binomial como el número de éxitos en n experimentos de Bernoulli independientes, donde la probabilidad de éxito es constante p. Explica que la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria se da por la fórmula binomial. Además, detalla que la media es np y la varianza es npq.

1. DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

2. CARRERA: Ingeniería Industrial en Productividad y Calidad
GRUPO: 1-3
PROFESOR: M.C. Alejandro Vega Granillo
ALUMNOS:
Diana Laura Samaniego Sierras
M. Samantha Rivera
Alfredo Benites Rentería
Jesús Gabriel Alcántara A.
Poka-yokes

3. Diana Laura

4. • Es una función que asocia un número real a
cada elemento del espacio muestral (Ω).
Simbología
•Variable
aleatoria.
•Valores
concretos que
asume la V.A.
Letra mayúscula
(X)
Su correspondiente
letra minúscula (x).

5. • El espacio muestral en el que se consideran
cada uno de los posibles resultados cuando se
verifican 3 componentes electrónicos:
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
N significa “no defectuoso” y D “defectuoso”

6. • Definimos la V.A.
X: Número de artículos defectuosos.
• Por lo tanto:
x= 0, 1, 2, 3
Que en la muestra que tomemos nos
pueden “salir” uno, dos, tres o ningún
artículo defectuoso.
¿Qué significa esto?

7. • Sólo puede tomar
valores enteros y un
número finito de ellos.
• Representan datos que
se cuentan.

8. • Número de artículos
defectuosos en una muestra.
• Número de accidentes por año.
• Número de hijos de una familia.
• El valor obtenido al lanzar un
dado.

9. • Es una función que asigna a cada suceso
definido sobre la variable aleatoria la
probabilidad de que dicho suceso ocurra.
TIPOS
•Discretas
•Continuas

10. • Se llama función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta X a la aplicación
que asocia a cada valor de x de la variable su
probabilidad P.
Hipergeométrica
Poisson
Binomial

11. • El conjunto de pares ordenados
(x, f(x)) es una función masa
de probabilidad de la variable
aleatoria discreta X si, para
cada resultado posible de x,
 f(x) ≥ 0
∑ f(x) =1
P(X = x) = f(x)
x
P(X=x)
3
P(X=3)

12. • Cuando la ocurrencia de un evento NO tiene
efecto en la ocurrencia de cualquier otro.
• Si A y B son eventos independientes la
probabilidad de que ambos sucedan es:
Lanzar al aire dos monedas.
P(A y B) = P(A)∙P(B)

13. Gabriel

14. 1. Consiste en n intentos repetidos.
Experimento de
Bernoulli
Intento

15. 2. Es dicotómico: los resultados de cada uno de
los intentos pueden clasificarse como un
éxito o un fracaso.

16. 3. La probabilidad de éxito permanece
constante para todos los intentos.
Probabilidades
• Éxito
•Fracaso
p
q = 1 - pp + q = 1

17. 4. Los intentos repetidos son independientes (el
muestreo debe realizarse con reemplazo).

18. • Tres artículos se seleccionan aleatoriamente
de un proceso de manufactura.
• Se inspeccionan y se clasifican en defectuosos
(D) y no defectuosos (N).
• Los artículos se seleccionan de forma
independiente.
• Produce un 25% de piezas defectuosas.

19. • ¿Cuál es la probabilidad
de que sólo una pieza de
las tres esté defectuosa?

20. = 27 = 0.4219
64
= 9 = 0.1406
64
= 3 = 0.0469
64
= 1 = 0.0156
64
= 9 = 0.1406
64
= 9 = 0.1406
64
= 3 = 0.0469
64
= 3 = 0.0469
64
𝑷 𝟏𝑫 = 𝟑
𝟗
𝟔𝟒
=
𝟐𝟕
𝟔𝟒
= 𝟎. 𝟒𝟐𝟏𝟗

21. • El artículo defectuoso se considera como un
éxito.
• X: # de artículos defectuosos.
• p = ¼
• q = 1- (¼) = ¾
• n = 3
x P(x)
0
1
2
3

22. • Sabemos que si selecciono un artículo:
p + q = 1
• Pero si selecciono varios (3 en este caso):
(p + q) (p + q) (p + q) = 1
Ya que son sucesos
independientes.

23. • Simplificando:
(p + q)3 = 1
• Generalizando para cualquier valor de n:
Binomio al cubo
(p + q)n = 1Binomio de Newton

24. • Desarrollando el binomio al cubo:
p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 =1
• Sustituimos los valores de p y q:
(¼)3 + 3 (¼)2 (¾) + 3 (¼) (¾)2 + (¾)3 =1
P(X=3) P(X=2) P(X=1) P(X=0)

25. Daniel

26. x P(x)
0 27/64
1 27/64
2 9/64
3 1/64
27/64 27/64
9/64
1/64
0
1/16
1/8
3/16
1/4
5/16
3/8
7/16
1/2
P(x)
x
0 1 2 3

27. 27/64 27/64
9/64
1/64
0
1/16
1/8
3/16
1/4
5/16
3/8
7/16
1/2
P(x)
x
0 1 2 3

28. • ¿Si en vez de seleccionar sólo 3 piezas tomásemos
10, 15 o 20?
• Ya no resulta tan atractivo desarrollar el binomio…
Teorema del
Binomio

29. Número de éxitos en
n experimentos de
Bernoilli
Variable aleatoria
binomial
Se le llama:
Su distribución de
probabilidad es:
b (x; n, p)

30. • Un experimento de Bernoulli puede resultar en un
éxito con una probabilidad p y en un fracaso con una
probabilidad q = 1-p. Entonces la distribución de
probabilidad de la V. A. discreta binomial X, el
número de éxitos en n experimentos
independientes, es:

31. • Tenemos:

32. • ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una pieza
de las tres esté defectuosa? (x = 1)
p = ¼
q = 1- (¼) = ¾
n = 3
𝒃 𝟏; 𝟑,
𝟏
𝟒
= 3𝑪1 ⋅
𝟏
𝟒
𝟏
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟐𝟕
𝟔𝟒
≅ 𝟎. 𝟒𝟐𝟏𝟗

33. • La probabilidad de que un paciente se
recupere de una delicada operación de
corazón es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de
que exactamente 5 de los próximos 7
pacientes que se sometan a esta intervención
sobrevivan?

34. X: # de personas que sobrevivirán.
DATOS
p = 0.9
q = 1- (0.9) =0.1
n = 7
x = 5

35. Samantha

36. • La media (μ) y la varianza (σ2) de la
distribución binomial b (x; n, p) están
dadas por:
μ = np
σ2 =npq

37. Encontrar la media y la varianza de la V. A.
binomial del ejemplo 2.
• p = 0.9
• q = 1- (0.9) =0.1
• n = 7
μ = np= (7)(0.9)= 6.3
σ2 =npq= (7)(0.9)(0.1)= 0.63

38. • Al probar una cierta clase de
neumático para camión en un
terreno escabroso se encontró que
25% de los camiones terminaban la
prueba con las llantas dañadas.
• De los siguientes 15 camiones
probados, encuentre la probabilidad
de que:

39. a) Menos de 4 tengan ponchaduras.
• p = 0.25 = ¼
• n = 15
P(X<4)
𝑷 𝑿 < 𝟒 = 𝒃 𝟎; 𝟏𝟓,
𝟏
𝟒
+ 𝒃 𝟏; 𝟏𝟓,
𝟏
𝟒
+ 𝒃 𝟐; 𝟏𝟓,
𝟏
𝟒
+ 𝒃 𝟑; 𝟏𝟓,
𝟏
𝟒
Suma
binomial

40. 1. En Insertar función seleccionamos la
categoría Estadísticas:

41. 2. En el listado, damos clic a DIST.BINOM y
después damos ENTER o Aceptar.

42. 3. Se abre una ventana que llenaremos de la
siguiente manera:
Valor de x o límite
superior de la
sumatoria.
Valor de n
Valor de p
Escribimos VERDADERO si queremos la
Distrib. Acumulada; si no es así,
tecleamos FALSO.

43. a) En un experimento multinomial cada intento
tiene más de 2 resultados posibles.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de
los resultados son constantes y suman 1.
p1+ p2+p3+ …+pk=1
Ligero Aceptable Pesado

44. c) Cada una de las repeticiones del
experimento son independientes.
d) El número de repeticiones del experimento,
n es constante.
x1+ x2+x3+ …+xk = n

45. • Si un intento determinado puede resultar en
cualquiera de los k resultados E1, E2, …, Ek con
probabilidades p1, p2, …, pk, entonces la distribución
de probabilidad de las variables aleatorias X1, X2, …,
Xk, que representan el número de ocurrencias para
E1, E2, …, Ek en intentos independientes es:
𝒇 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒌; 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐, … , 𝒑 𝒌, 𝒏 =
𝒏
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒌
𝒑 𝟏
𝒙 𝟏 ⋅ 𝒑 𝟐
𝒙 𝟐 ⋅⋅⋅ 𝒑 𝒌
𝒙 𝒌

46. • Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y
0.10, respectivamente, de que un delegado
llegue por aire a una cierta convención, llegue
en autobús, en automóvil o en tren.

47. • De entre 9 delegados
seleccionados aleatoriamente
¿Cuál es la probabilidad de
que 4 hayan llegado por aire,
1 en autobús, 2 en auto y 2
por tren?

48. • Se está interesado en la probabilidad de que
el k-ésimo éxito ocurra en el x-ésimo intento.
• El número X de intentos para producir k
éxitos en un experimento binomial negativo
se llama V. A. binomial negativa.

49. • Si repetidos intentos independientes pueden resultar
en un éxito con una probabilidad p y en un fracaso
con una probabilidad q=1-p, entonces la distribución
de probabilidad de la variable aleatoria X, el número
del intento en el cual ocurre el k-ésimo éxito es:
𝒃∗
𝒙; 𝒌, 𝒑 = 𝑥 − 1 𝐂(𝑘 − 1) ∙ 𝒑 𝒌
𝒒 𝒙−𝒌

50. • Encuentre la probabilidad de que una persona
que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea
sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión
en el quinto intento.
• x = 5
• k = 2
• p = ¼
• q = 1-¼ = ¾

51. Gracias