1. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
CHÖÔNG
Giôùi haïn:
doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh
I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN
1. Haøm theá vaän toác:
∂ϕ
∂ϕ
Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho: u x = ; u y =
∂x
Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi:
Ta coù:
B
B
A
B
A
⇒
1 ∂ϕ
∂ϕ
; uθ =
∂r
r ∂θ
(1)
∫ u ds chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B.
A
toàntaïi ϕ thoaû (1)
∫ uds = ∫ ( u x dx + u y dy )
∂y
hay u r =
B
B
∫ uds = ∫ (
A
A
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy )
∂y
∂x
B
Roõ raøng töø chöùng minh treân,
Vaäy:
= ∫ dϕ = ϕ A − ϕ B
B
∫ uds
A
A
chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.
Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔
∂u y ∂u x
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
−
=0
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 0⇔
⎜ ∂y ⎟ ∂y ∂x
∂x
∂y
∂x ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: dϕ = 0 ⇔ u x dx + u y dy = 0
3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ΓAB = ϕ B − ϕ A
4. Tính chaát haøm theá: u
∂
B
ΓAB = ∫ u s ds
A
laø löu soá vaän toác
n
un
u
A
us
∂u y
∂2ϕ ∂ 2ϕ
∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
+
=0⇔ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=0⇔ 2 + 2 =0
Töø ptr lieân tuïc, ta coù: ∂x ∂y
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟
∂x
∂y
⎝ ⎠
x
⇔ rot(u)=0
⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace
THE LUU 1
B
2. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
5. Haøm doøng:
Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù
thoaû ptr lieân tuïc : ∂u x ∂u y
∂ψ
∂ψ
1 ∂ψ
∂ψ
+
= 0 ⇔ ∃ψ / u x =
; uy = −
∂x
∂y
∂y
∂x
ψ goïi laø haøm doøng.
hay
ur =
r ∂θ
; uθ = −
∂r
Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy,
coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá.
6. Haøm doøng trong theá phaúng:
∂u y ∂u x
∂2ψ ∂ 2ψ
∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞
Vì laø doøng chaûy theá neân:
⎜
⎟=0⇔ 2 + 2 =0
−
=0⇔− ⎜
⎟−
∂x
∂y
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟
∂x
∂y
⎝
⎠
Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace.
7. Ñöôøng doøng vaø ptr:
Töø ptr ñöôøng doøng: u x dy − u y dx = 0 ⇔
∂ψ
∂ψ
dy +
dx = 0 ⇔ dψ = 0
∂y
∂x
Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá.
8. YÙ nghóa B m doøng:
haø
B
Ta coù:
Vaäy:
y
B
B
ny
q AB = ∫ u n ds = ∫ unds = ∫ u x n x ds + u y n y ds = ∫ u x cos αds + u y sin αds
A
A
A
A
B
B
∂ψ
∂ψ
= ∫ u x dy − u y dx = ∫
dy −
dx = ∫ dψ = ψ B − ψ A
∂y
∂x
A
A
A
q AB = ψ B − ψ A
α
dy
B
n
dx
nx
ds
(-dx=ds.sinα)
O
9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá:
∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
= u x (− u y ) + u y ( u x ) = 0
+
∂x ∂x ∂y ∂y
Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau.
10. Coäng theá löu:
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ...
ψ = ψ1 + ψ 2 + ...
11. Bieãu dieãn doøng theá:
Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta
cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau::
Theá phöùc f(z):
Nhö vaäy:
vôùi z = x+iy = eiα .
f ( z ) = ϕ + iψ
df
dϕ
dψ
= u x − iu y =
+i
dz
dx
dy
THE LUU 2
x
3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU
1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ
cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc
α.
ux = V0cosα; uy = V0sinα
dψ = uxdy - uydx
ψ=3
ψ = V0ycosα - V0xsinα + C
ψ=2
Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä
ψ=1
ψ=0
⇒ C=0.
ψ=-1
Vaäy:
ψ = V0ycosα - V0xsinα
ψ=-2
Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα
ψ=-3
y
V0
O
α
ϕ=-3
x
ϕ=3
ϕ=2
ϕ=1
ϕ=0
ϕ=-1
ϕ=-2
Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc:
F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)
= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)
= az
vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc.
2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä.
(q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt).
Haøm doøng:
Haøm theá vaän toác:
q ⎫
∂ψ
∂ψ
⎪
dr +
d θ = − u θ dr + ru r d θ = ru r d θ
2 πr ⎬ ⇒ d ψ =
∂r
∂θ
uθ = 0 ⎪
⎭
u r=
q
θ + C ; choïn ψ = 0
2π
q
q
⎛y⎞
⇒ψ=
θ=
arctg ⎜ ⎟
2π
2π
⎝x⎠
⇒ψ=
khi
dϕ=
θ=0
q
∂ϕ ∂ϕ
dr+ dθ = urdr+ ruθdθ = ur dr= dr
2πr
∂θ
∂r
q
⇒ϕ= ln( ) + C; choïn ϕ= 0 khi r =1
r
2π
q
q
⇒ϕ= ln( ) = ln( 2 + y2 )
r
x
2π
4π
ψ=(q/4)
⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O.
q
q
⎧
⎛y⎞
⎪ψ = 2 π θ = 2 π arctg⎜ x ⎟
⎝ ⎠
⎪
q
q
⎪
2
2
ψ=0
ψ=q/2
⎪ϕ = 2π ln( r ) = 4 π ln( x + y )
Keát luaän: ⎪
O
⎨
⎪f (z) = q (ln r + iθ) = q (ln r + ln e iθ )
⎪
2π
2π
⎪
ϕ
q
q
⎪
ln( re iθ ) =
ln z = a ln z
=
⎪
ψ=3q/
2π
2π
Ghi chuù: ⎩
Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä4 ví duï ñaët taïi
,
A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x
phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0).
THE LUU 3
4. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác
Γ = ∫ uds = const
C
⎧
Γ
Γ
⎛y⎞
⎪ ϕ = 2 π θ = 2 π arctg ⎜ x ⎟
⎝ ⎠
⎪
⎪
−Γ
−Γ
⎧u r = 0
ln( r ) =
ln( x 2 + y 2 )
⎪ψ =
⎪
⎪
2π
4π
⇒ ⎨
⎨
Γ
⎪ f ( z ) = Γ ( θ − i ln r ) = − i Γ (ln r + i θ )
⎪ u θ = 2 π r = const
⎩
⎪
2π
2π
⎪
− iΓ
− iΓ
⎪
=
ln( re i θ ) =
ln z = a ln z
⎪
2π
2π
⎩
ϕ=Γ/4
Ghi chuù:
Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà;
Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà;
ϕ = Γ/2
Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0).
Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåm
baát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghi
chuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt.
ϕ=0
O
ψ
ϕ=3Γ/4
Γ>0: xoaùy döông
4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät
ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc).
Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh:
⎛
⎞
Tìm haøm doøng:
⎜
⎟
y ⎟
y
q ⎜
q
arctg
− arctg
(θ n − θ h ) =
ε⎟
ε
2π ⎜
2π
x− ⎟
x+
⎜
⎝
2⎠
2
⎛ ⎛
⎞⎞
⎞ ⎛
⎜ ⎜
⎟ ⎜ y ⎟⎟
⎜ ⎜ y ⎟−⎜
⎟⎟
ε⎞
ε⎞⎞
⎛ ⎛
⎛
ε⎟ ⎜
ε⎟⎟
⎜ ⎜
⎜ y⎜ x − ⎟ − y⎜ x + ⎟ ⎟
⎜x + ⎟ ⎜x − ⎟ ⎟ q
⎜ ⎝
q
2⎠
2⎠⎟
⎝
⎝
2⎠ ⎝
2⎠
arctg ⎜
arctg ⎜
=
⎟=
2
⎟
⎜
2π
2π
⎞
⎞⎛
⎛
ε
⎜
⎜ y ⎟⎜ y ⎟ ⎟
x2 −
+ y2
⎟
⎜
⎜
4
⎠
⎝
⎟⎟
⎟⎜
1+ ⎜
⎜
ε ⎟⎟
ε ⎟⎜
⎜
⎜
⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ ⎟
⎝
2 ⎠⎝
2 ⎠⎠
⎝
ψ = ψn + ψh =
Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát:
ε⎞⎞
ε⎞
⎛ ⎛
⎛
⎛
⎜ y⎜ x − ⎟ − y ⎜ x + ⎟ ⎟
⎜
q ⎜ ⎝
− yε
2⎠
2⎠⎟ q ⎜
⎝
ψ=
=
⎟ 2π ⎜
2π ⎜
ε2
ε2
x2 −
x2 −
+ y2
+ y2
⎜
⎟
⎜
⎝
4
4
⎝
⎠
THE LUU 4
⎞
⎟
y
⎟ → − m0
⎟
2π x 2 + y 2
⎟
⎠
5. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
2
2
⎡ ⎛
⎞
⎛
⎞⎤
Tìm haøm theá vaän toác: ϕ = ϕ n + ϕ h = q ⎢ln⎜ ⎛ x + ε ⎞ + y 2 ⎟ − ln⎜ ⎛ x − ε ⎞ + y 2 ⎟⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜⎝
⎟⎥
4π ⎢ ⎜ ⎝
2⎠
2⎠
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
2
⎡⎛
⎤
⎡
⎤
ε⎞
x + ⎟ + y2 ⎥
⎢⎜
⎢
⎥
q ⎢⎝
2 εx
2⎠
⎥ = q ln ⎢1 +
⎥
=
ln
2
2
⎥ 4π ⎢ ⎛
⎥
4π ⎢ ⎛
ε⎞
ε⎞
⎢⎜ x − ⎟ + y 2 ⎥
⎢ ⎜x − ⎟ + y2 ⎥
2⎠
2⎠
⎢
⎥
⎢ ⎝
⎥
⎣⎝
⎦
⎣
⎦
x2
+ ... vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù:
2
⎞
⎛
⎟
⎜
q ⎜
⎟ m0
2 εx
x
khi ε → 0
ϕ=
⎟ → 2π 2
⎜
2
2π ⎛
x + y2
ε⎞ 2 ⎟
⎜ ⎜x − ⎟ y
⎟
⎜
2⎠
⎠
⎝⎝
Trieån khai ln(1 + x) = x −
Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì:
− m0
− m 0 sin θ
y
=
2π
r
2π x 2 + y 2
m
m cos θ
x
ϕ= 0 2
= 0
2π x + y 2 2π r
ψ
ψ=
m 0 cos θ − i sin θ m 0 cos 2 θ + sin 2 θ m 0 1
f (z) =
=
=
2π
r
2 π r (cos θ + i sin θ) 2π z
-q
+q
5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå:
Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q)
q
q
ln( x 2 + y 2 ) = u 0 r cos θ +
ln r
4π
2π
q
y
q
ψ = u0y +
arctg( ) = u 0 r sin θ +
θ
2π
x
2π
Ñieåm döøng
ϕ = u0x +
Ñieåm döøng A:
u A = 0 ⇔ u xA = 0; u yA = 0
q
q
2x
⎧ ∂ϕ
⎪ ∂ x = u 0 + 4 π x 2 + y 2 = 0 ⇔ x A = − 2 πu
⎪
0
⇔⎨
⇑
⎪ ∂ϕ = q 2 y = 0 ⇔
yA = 0
⎪ ∂y
4π x 2 + y 2
⎩
THE LUU 5
A
6. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin
Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng
ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q).
Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc
hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn,
u0
A
B
2a
q
(x + a)2 + y 2
ϕ = uo x +
ln
4π ( x − a ) 2 + y 2
ψ = uoy +
+q -q
q ⎡
⎛ y ⎞
⎛ y ⎞⎤
⎢arctg⎜ x + a ⎟ − arctg⎜ x − a ⎟ ⎥
2π ⎣
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
Coù hai ñieåm döøng A vaø B:
⎧ ∂ϕ q ⎛
⎞
2y
2y
⎜
⎟
⎪ =
⎜ (x + a) 2 + y 2 − (x − a) 2 + y 2 ⎟ = 0 ⇔ {y = 0
⎠
⎪ ∂y 4 π ⎝
⎪
⎪ ∂ϕ = u + q ⎛ 2(x + a) − 2(x − a) ⎞ = 0
⎜
⎟
0
⎪ ∂x
4π ⎜ (x + a) 2 + y 2 (x − a) 2 + y 2 ⎟
⎧u x = 0
⎪
⎝
⎠
⇔⎨
u=0⇔⎨
⎩u y = 0
⎪theá y = 0 ⇔ u + q ⎛ 2 − 2 ⎞ = 0
⎜
⎟
0
⎪
4π ⎝ (x + a) (x − a) ⎠
⎪
⎪
⎧
q ⎛ 4a ⎞
aq
⇔ u0 +
+ a2
⎜ 2
⎟ = 0 ⇔ ⎨x = ±
⎪
2
πu 0
4π ⎝ x − a ⎠
⎪
⎩
⎩
7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0)
Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0)
ϕ = uox +
⎛
m0
m cos θ
m0
x
= u o r cos θ + 0
= u o r cos θ⎜1 +
2
2
⎜
2π x + y
2π r
2πu 0 r 2
⎝
⎛
m sin θ
− m0
m0
y
ψ = uo y +
= u o r sin θ − 0
= u o r sin θ⎜1 −
2
2
⎜
2π x + y
2π r
2πu 0 r 2
⎝
Do khoâng coù söï trao
m 0 baèng ñöôøng
Thay ñöôøng
ñoåi löu chaát giöõa
r=
R=
troøn
troøn
2 πu 0
trong
vaø
ngoaøi
ñöôøng doøng ψ=0
⎛
R2 ⎞
ϕ = u o r cos θ⎜ 1 + 2 ⎟
⎜
r ⎟
⎝
⎠
⎛
R2 ⎞
ψ = u o r sin θ⎜ 1 − 2 ⎟
⎜
r ⎟
⎝
⎠
Ñieåm döøng
THE LUU 6
⎞
⎟
⎟
⎠
Xeùt ñöôøng doøng ψ=0
⇔
θ=0
⎞
⎟
⎟
⎠
vaø
m0
2 πu 0
r=
m0
2 πu 0
thì baûn chaát
doøng chaûy vaãn
khoâng ñoåi
Ta coù hình aûnh cuûa doøng
chaûy bao quanh truï troøn.
(truï khoâng xoay)
7. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R:
1 ∂ϕ
⎧
= −2 u 0 sin θ
⎪u θ =
r ∂θ r = R
⇒ ϕ = 2 u 0 R cos θ ⇒ ⎨
⎪u = 0
⎩ r
Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï:
uθ = 0 ⇔ θ = 0
vaø
θ=π
⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï.
Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï:
3π
π
u θ = u max ⇔ θ = ; θ =
2
2
u C = −2 u 0 ; u D = 2 u 0
pA = pB = ρu02/2
uC = -2u0
C
B
A
D
uD = 2u0
pC = pD = -3ρu02/2
⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï
coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát.
Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï:
AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï:
2
2
2
2
ρu 2
ρu 2
ρu 0
u tr
ρu 0
4u 0 sin 2 θ
0
dö
p∞ +
= p tr + tr
(1 − 2 ) =
(1 −
)
Giaû sö û p∝=pa p tr =
2
2
2
2
u0
2
u0
ρu 2
ρu 2
pA = pB = 0
Taïi A, B:
p dö = 0 (1 − 4 sin 2 θ)
tr
2
2
2
Taïi C, D: p = p = − 3ρu 0
D
D
Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân
2
Nhaän xeùt:
toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0
7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0):
Doøng ñeàu
Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +)
⎛
R2 ⎞ Γ
ϕ = u o r cos θ⎜1 + 2 ⎟ +
θ
⎜
r ⎟ 2π
⎝
⎠
⎛
R2 ⎞ Γ
ψ = u o r sin θ⎜1 − 2 ⎟ −
ln r
⎜
r ⎟ 2π
⎝
⎠
Phaân boá vaän toác treân maët truï :
Vì r = R neân u r = 0; u θ = −2 u 0 sin θ +
L cöïc
Xoaùy
töï do
1 Γ
R 2π
⎧Γ < 4 πRu 0 → 2.ñieåm.döøng
suy ra:
Γ
Γ
⎪
⇔ sin θ =
⇒ ⎨Γ = 4πRu 0 → 1.ñieåm.döøng
u = 0 ⇔ 2 u 0 sin θ =
2 πR
4 πRu 0
⎪Γ > 4πRu → 0.ñieåm.döøng
0
⎩
Phaân boá aùp suaát treân maët truï :
2
2
ρu
ρu
1 Γ
vôùi uθ = −2u0 sinθ +
p ∞ + 0 = p tr + tr
2
2
R 2π
2
2
2
2 ⎡
⎛
⎞ ⎤
ρu 0
ρu 0
u tr
Γ
Giaû sö û p∝=pa p dö =
⎟ ⎥
⎢ 1 − ⎜ 2 sin θ −
(1 − 2 ) =
tr
⎜
2
u0
2 ⎢
2 π Ru 0 ⎟ ⎥
⎝
⎠ ⎦
⎣
Löïc taùc duïng treân maët truï:
Löu yù :
Phöông x:
Fx =0
2π
2π
Phöông y:
dö
n
--Löïc naâng Jukovs ⇒ Fy = − ∫ p tr R sin θ.dθ = − ρΓU 0
∫ sin θ.dθ =0
0
THE LUU 7
0
8. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Caùc
tröôøng
hôïp xoaùy
Γ>0
Γ/2πRu0=1
Ñieåm döøng
Γ/2πRu0=2
Ñieåm döøng
Fy
Γ/2πRu0=3
Ñieåm döøng
Caùc
tröôøng
hôïp xoaùy
Γ< 0
y
Fy
y
Γ
Γ
r
r
Stagnation
Ñieåm döøng
Point
y
| Γ | /2πRu0=1
Stagnation
Ñieåm döøng
Point
| Γ | /2πRu0=2
Γ
r
Stagnation
ÑieåPoint g
m döøn
| Γ | /2πRu0=3
THE LUU 8
9. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 1:
Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi
haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s.
1. Tìm a, b.
2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng
rieâng loûng baèng 1300kg/m3
Giaûi:
Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù:
∂ϕ
∂ϕ
ux =
= 0,12x 2 + ay 2
; uy =
= 2axy + 3by 2
∂x
∂y
Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân:
∂u x ∂u y
+
= 0 ⇔ 0,24x + 2ax + 6by = 0 ⇔ (0,24 + 2a )x + 6by = 0
∂x
∂y
Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0
(x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12
⇒
uA=0;
uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s
Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù:
2
2
2
pA u2 pB uB
ρ(uB − u2 )
A
A
+
= + ⇔ (pA − pB ) =
⇔ Δ p AB = 1300 ( 3 ) = 5,85 KN / m 2
ρ
2
ρ 2
2
2
Ví duï 2:
Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác
ñöôïc cho nhö sau:
1
ϕ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )
2
(x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái
hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2)
y
x
Giaûi:
y(phi=70)
25
y(phi=60)
∂φ
ux = = −x
∂x
∂φ
; uy = = y
∂y
20
y(phi=50)
y(phi=40)
15
y(phi=30)
∂ψ
= −uy ⇒ ∂ψ = − y∂x
∂x
⇒ ψ = − yx + C(y)
∂ψ
= u x ⇒ − x + C'(y) = − x
∂y
10
y(phi=20)
y(phi=10)
5
y(phi=0)
0
-30
-20
-10
y(phi=-10)
0
-5
10
20
30
y(phi=-20)
y(phi=-30)
⇒ C(y) = const ⇒ ψ = − xy + const
⇒ qAB = ψB − ψA = −2 * 2 + 1*1 = −3m2 / s
THE LUU 9
11. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 5:
Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy
ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí
goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû
thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi
xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α
π/2
α
dF
ds
θ
0
dFx
Giaûi:
Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa
maët truï phaûi baèng khoâng.
Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång
löïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2:
2
AÙp suaát dö treân maët truï:
ρu 0
dö
p tr =
(1 − 4 sin 2 θ)
2
Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët
truï, ta coù:
dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ
π/2
⇒ Fnx = −
∫
0
π/2
2
ρu 0
ρu 2 R ⎡
4
⎤
(1 − 4 sin 2 θ) cos θRdθ = − 0 ⎢sin θ − sin 3 θ⎥
3
2
2 ⎣
⎦0
=
2
ρu 0 R
6
Nhaän xeùt:
Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo
chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng
Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: p
π/2
⇒ Ftx =
∫p
π/2
α
ds =
0
∫p
dö
α
2
ρu 0
=
(1 − 4 sin 2 α )
2
cos θRdθ = p α R[sin θ]0
π/2
α
= pαR
0
ρu 2 R
⇒ Ftx = o (1 − 4 sin 2 α )
2
Ta coù: Fnx + Ftx = 0
2
2
Suy ra: Fnx = − Ftx ⇒ ρu o R = − ρu o R (1 − 4 sin 2 α )
6
2
4
1
⇒ 4 sin 2 α = ⇒ sin 2 α =
3
3
1
⇒ sin α =
3
α = 35,260
THE LUU 11
π/2
α
Ftx
Fnx
0
12. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví dụ 6 (tự giải)
Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai
đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở
xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh.
Tính áp suất tại điểm A(3,4)
ĐS: pckA=0,512 N/m2
HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A
Ví dụ 7 (tự giải)
Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ
2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại
điểm dừng B
ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất.
HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu)
Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ.
Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng
Ví dụ 8 (tự giải)
Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ.
Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại
điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 .
ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2
HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0
THE LUU 12
