Matemática

1. Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos
pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos
ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al
conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como
«a está en A», «a pertenecer a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa
el símbolo ∉.
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos los siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir
dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto
formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Cuando usamos diagramas de Ven, para representar la unió de conjuntos, se sombrean
los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:
Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de
los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que
sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluido.

2. Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:
Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero
no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra
A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de simetrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos
conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado
por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para
indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

3. Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta
operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto
que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se
hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto
A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Números Reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es
igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la
interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
Características de los números reales
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el súper
conjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.
Orden
Todos los números reales tienen un orden:
1>2>3>4>5>6……
…-6<-5<-4<-3<-2<-1<0…
En el caso de las fracciones y decimales:
0,550<0,560<0,565

4. Integral
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en
este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior,
tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,
Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen
final, ya sea del lado positivo como del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal
infinito. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen
cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es
aproximadamente 3,14159265358979...
Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a >
b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades
estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar
dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan
muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y
la multiplicación.
Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la
misma se mantiene

5. Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la
misma se mantiene
La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y
c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En
símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y
³.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir
su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número
real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.

6. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y
a > - b