L'equilibrio nei fluidi (parte03) [prof. santi caltabiano]. Principio dei vasi comunicanti; Applicazioni del principio dei vasi comunicanti; La spinta di Archimede; Corpi che affondano, sospesi e spinti verso l’alto; Corpi che galleggiano; Spinta in aria;

1. L’equilibrio nei fluidi
Il principio dei vasi comunicanti –
Spinta di Archimede.
Prof. Santi Caltabiano

2. L’equilibrio nei fluidi
Il principio dei vasi comunicanti
In figura sono rappresentati
alcuni vasi comunicanti:
recipienti di forme e
dimensioni diverse, che
comunicano tra di loro
attraverso un tubo.
Se versiamo un liquido in uno qualsiasi dei recipienti, esso passa attraverso ilSe versiamo un liquido in uno qualsiasi dei recipienti, esso passa attraverso il
tubo di comunicazione e raggiunge lo stesso livello in tutti i recipienti.
Dati più recipienti, anche di forma diversa fra loro, un liquido versato in uno di
essi raggiunge lo stesso livello in tutti i recipienti.
Il fenomeno si verifica qualunque sia il numero dei recipienti e qualunque sia il
liquido.
Enunciamo quindi il principio dei vasi comunicanti:

3. L’equilibrio nei fluidi
Interpretazione del principio dei vasi comunicanti
Consideriamo i contenitori in figura A.
Supponiamo che nella fase iniziale il contenitore
A contenga più liquido di B (quindi hA>hB).
Nella sezione S, del tubo di comunicazione, la
pressione pA (dovuta al contenitore A) è maggiore
della pressione pB (dovuta al contenitore B).
Di conseguenza, poiché pA> pB , il liquido fluisce
dal contenitore A verso il contenitore B (che
aumenta di livello).
Ovviamente man mano che B aumenta di livello la
pressione pB aumenta. Viceversa A diminuisce di
livello e la pressione pA diminuisce.
Continua
Questo flusso, da A verso B, continua fin quando la
pressione pA e la pressione pB non si equivalgono,

4. L’equilibrio nei fluidi
Interpretazione del principio dei vasi comunicanti
In condizioni di equilibrio:
g·d·hA=g·d· hB
Per la legge di Stevin:
pA= pB
Dividendo ambo i membri per g·d:
hA=hBhA=hB
Cioè i due contenitori raggiungono lo stesso livello, che è il medesimo
risultato osservato sperimentalmente.

5. L’equilibrio nei fluidi
Alcune applicazioni del principio vasi comunicanti
L’applicazione più diffusa è quella degli
impianti idrici.
Il serbatoio è collocato in posizione
elevata.
Per il principio dei vasi comunicanti
l’acqua raggiunge i singoli appartamenti.
Altra applicazione è il travaso.
Si colloca il recipiente pieno a un livello
superiore rispetto a quello da riempire.
Per il principio dei vasi comunicanti, il
liquido nel recipiente posto più in basso
cerca di raggiungere lo stesso livello di
quello posto più in alto.
Continua
Si riempie il tubo di liquido, ad esempio
aspirando.

6. L’equilibrio nei fluidi
Alcune applicazioni del principio vasi comunicanti
Per misurare il livello di un serbatoio è sufficiente
mettere un tubo a fianco come in figura.
Infatti, per il principio dei vasi comunicanti, il liquido nel
tubo avrà lo stesso livello del liquido presente nel
serbatoio.
Per mantenere lo stesso livello d’acquaPer mantenere lo stesso livello d’acqua
nel WC si sfrutta il principio dei vasi
comunicanti.
Quando si tira lo scarico l’acqua in
eccesso defluisce attraverso lo carico.
In condizioni di equilibrio si arriva alla
situazione in figura: l’acqua mantiene il
livello che vediamo, grazie ad un tubo a
gomito detto sifone.
Sifone

7. L’equilibrio nei fluidi
Vasi comunicanti con liquidi diversi
Consideriamo un tubo ad U, contenente un liquido A (ad
esempio acqua che ha dA=1000Kg/m3).
p0 p0
Le estremità sono aperte, quindi sul liquido A agisce la
pressione atmosferica p0.
Supponiamo adesso di aggiungere, nel tubo sinistro, un liquido
B con densità minore rispetto al liquido A e non miscelabile con
quest’ultimo (ad esempio olio che ha dB=920Kg/m3).
I liquidi A e B raggiungeranno altezze diverse che indichiamo
p0 p0
hB
hA
Dette pA e pB la pressione dovuta rispettivamente al liquido A
ed al liquido B, in condizioni di equilibrio avremo:
00 pppp BA 
I contributi dovuti alla pressione atmosferica p0 si elidono:
BA pp 
I liquidi A e B raggiungeranno altezze diverse che indichiamo
rispettivamente con hA e hB.
Continua
Per la legge di Stevin:
BBAA hdghdg 

8. L’equilibrio nei fluidi
Vasi comunicanti con liquidi diversi
Dividendo ambo i membri per g otteniamo la relazione:
BBAA hdhd 
Questa relazione (fondamentale) ci permette di fare le seguenti osservazioni:
1) Nell’esperimento, il prodotto tra l’altezza raggiunta dal liquido e la densità
del liquido è costante. Quindi altezza del liquido e densità del liquido sono
inversamente proporzionali.
2) Dal punto precedente 1) segue che all’aumentare della densità, l’altezza del2) Dal punto precedente 1) segue che all’aumentare della densità, l’altezza del
liquido diminuisce. Pertanto nel esperimento il liquido con densità
maggiore raggiunge un’altezza inferiore.
3) Se le densità sono uguali (dA = dB), allora hA = hB cioè si ricade nel principio
dei vasi comunicanti.
4) Se prendiamo due liquidi A e B non miscelabili (ad esempio non possono
essere acqua e benzina poiché miscelabili), con questo esperimento
possiamo calcolare la densità dB (incognita) di un liquido B. Infatti è
sufficiente leggere le altezze hA e hB ed applicare la formula inversa:
B
A
AB
h
h
dd 

9. L’equilibrio nei fluidi
La spinta di Archimede
Il matematico siracusano
Archimede (287-212 a.C),
osservò che un corpo pesava
di meno quando era immerso
in un liquido.
Quindi concluse che doveva esistere una qualche forza SA,
detta spinta idrostatica o di Archimede, che si opponeva
(cioè contraria) alla forza peso F .
detta spinta idrostatica o di Archimede, che si opponeva
(cioè contraria) alla forza peso FP.
SA
FP
Formulò quindi il noto principio di Archimede:
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal
basso verso l’alto pari al peso del volume di liquido
spostato.

10. L’equilibrio nei fluidi
Calcolo della spinta di Archimede
Ci proponiamo di calcolare il valore della spinta di Archimede.
Quindi dobbiamo calcolare il peso del liquido spostato SA:
(1)gmS liquidoA 
La densità del liquido per definizione è:
liquido
liquido
liquido
V
m
d 
Da questa ricaviamo la massa del liquido (formula inversa):Da questa ricaviamo la massa del liquido (formula inversa):
(2)liquidoliquidoliquido Vdm 
Sostituendo la (2) nella (1):
(3)gVdS liquidoliquidoA 
Nella (3) al posto del volume di liquido Vliquido spostato, possiamo sostituire il
volume del corpo Vcorpo, perché sono uguali:
gVdS corpoliquidoA 

11. L’equilibrio nei fluidi
Corpi che affondano, sospesi e spinti verso l’alto
Immaginiamo di immergere un corpo in un liquido.
Su di esso agiscono le forze (opposte):
gVdgmP corpocorpocorpo 
gVdS corpoliquidoA 
(1) (Forza peso: verso il basso)
(2) (Spinta di Archimede: verso l’alto)
Si possono verificare tre casi.
Caso 1: P>SA
Poiché la forza peso P è maggiore della spinta di Archimede S il corpo Affonda.Poiché la forza peso P è maggiore della spinta di Archimede SA il corpo Affonda.
Ciò avviene perché la densità del corpo è maggiore della densità del liquido.
Infatti tenendo conto della (1) e della (2):
liquidocorpocorpoliquidocorpocorpoA ddgVdgVdSP 
Ad esempio una bottiglia di plastica piena di sabbia
(densità 1600Kg/m3) in un contenitore pieno d’acqua
(densità 1000Kg/m3), affonda.
Continua

12. L’equilibrio nei fluidi
Corpi che affondano, sospesi e spinti verso l’alto
Caso 2: P=SA
Poiché la forza peso P è uguale alla spinta di Archimede SA, la risultante è nulla ed il
corpo rimane in sospeso.
Ciò avviene perché la densità del corpo è uguale alla densità del liquido. Infatti
tenendo conto della (1) e della (2):
liquidocorpocorpoliquidocorpocorpoA ddgVdgVdSP 
Ad esempio una bottiglia di plastica piena di latte (densità
1000Kg/m3) in un contenitore pieno d’acqua (densità1000Kg/m3) in un contenitore pieno d’acqua (densità
1000Kg/m3), rimane in sospeso.
Caso 3: P<SA
Poiché la forza peso P è minore della spinta di Archimede SA il corpo va verso l’alto.
Ciò avviene perché la densità del corpo è minore alla densità del liquido. Infatti
tenendo conto della (1) e della (2):
liquidocorpocorpoliquidocorpocorpoA ddgVdgVdSP 
Ad esempio una bottiglia di plastica piena di d’olio (densità
920Kg/m3) in un contenitore pieno d’acqua (densità
1000Kg/m3), si sposta verso l’alto.

13. L’equilibrio nei fluidi
Corpi che galleggiano
Abbiamo visto che se la densità di un corpo dcorpo è
minore di quella del liquido dliquido (caso 3) allora il corpo
viene spinto verso l’alto. Raggiunta la superficie del
liquido, il corpo galleggia.
Ci sarà quindi una parte del corpo immersa di volume Vi
ed una emersa di volume Ve .
Vi
Ve
Ovviamente:
P
SA
(1)eicorpo VVV 
Ovviamente:
Sul corpo agiscono la forza peso P e la spinta di Archimede SA.
Poiché il corpo galleggia le due sono forze uguali ed opposte:
(2)ASP 
La spinta di Archimede agisce sulla parte immersa del corpo (cioè su Vi) quindi:
(3)gVi  liquidoA dS
Continua

14. L’equilibrio nei fluidi
Corpi che galleggiano
Calcoliamo la forza peso P (ricordando la definizione di densità):
(4)gg  corpocorpocorpo VdmP
Sostituendo la (1) nell’ultimo membro della (4):
(5)g)(  eicorpo VVdP
Sostituendo la (3) e la (5) nella (2) e dividendo ambo i membri per g otteniamo:
iliquidoeicorpo VdVVd  )( iliquidoeicorpo VdVVd  )(
Da questa, con semplici operazioni algebriche (formule inverse) che potete fare
per esercizio, otteniamo la seguente relazione fondamentale che mette in
relazione volume immerso, volume emerso e densità:
corpo
corpoliquido
i
e
d
dd
V
V 

Questa formula è fondamentale a livello ingegneristico. Infatti consente di
calcolare il rapporto tra il volume emerso e quello immerso conoscendo solo le
densità.

15. L’equilibrio nei fluidi
Esempi di corpi che galleggiano
L’iceberg galleggia
poiché la sua
Una nave
galleggia grazie
L’uomo galleggia
poiché la sua
Un sottomarino
riesce a stare a galla
poiché la sua
densità (920
Kg/m3) è minore
di quella del mare
(1030 Kg/m3).
Come si osserva
dalla figura buona
parte dell’iceberg
è sommersa.
galleggia grazie
al fatto, che la
parte immersa
è un corpo cavo
e quindi ha una
densità (media)
inferiore a
quella
dell’acqua.
poiché la sua
densità media (circa
985 Kg/m3) è
minore di quella
dell’acqua (1000
Kg/m3) della piscina.
riesce a stare a galla
o in immersione
alterando la sua
densità media. Ciò
è possibile grazie a
dei comparti che
vengono allagati per
l’immersione e
svuotati per
l’emersione.

16. L’equilibrio nei fluidi
Spinta in aria
La spinta di Archimede vale anche quando un corpo è immerso dentro un gas.
Per esempio, un palloncino in aria è soggetto ad una spinta diretta verso l’alto
di intensità pari al peso del volume di aria che il palloncino sposta. Più grande
è il palloncino maggiore è la spinta che riceve.
La spinta di Archimede che un corpo riceve in aria si chiama spinta aerostatica
e si calcola con la formula:
gVdS  gVdS corpoaria 
Valgono le stesse considerazioni fatte per la spinta di Archimede in un liquido.
Ad esempio, un palloncino pieno di elio vola verso l’alto
poiché la spinta aerostatica è maggiore della forza peso.
Infatti la densità dell’elio (0,899Kg/m3) è inferiore a
quella dell’aria (0,1225Kg/m3).

17. Fine della Lezione