3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de verificarse a la
vez
Se escribe
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
Se llaman coeficientes
Se llaman términos independientes
4. Una SOLUCIÓN del sistema
''' cybxa
cybxa
es cualquier pareja de valores (x, y)
que verifique las dos ecuaciones
Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones
14
32
yx
yx
2.1- 5 = -3
4.1- 5 = -1
Ejemplo
El par (1, 5) es una solución
de este sistema porque:
1x
5y
5.
''' cybxa
cybxa
• Si
''' c
c
b
b
a
a
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
Infinitas soluciones
• Si
• Si
''' c
c
b
b
a
a
SISTEMA INCOMPATIBLE
No tiene solución
'' b
b
a
a
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
Tiene una única solución
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
6. Sistemas Homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se
llama homogéneo si todos sus
términos independientes son cero.
Son de la forma:
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = 0
.........................................
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn = 0
Todo sistema homogéneo es siempre
compatible, pues admite la solución
trivial ( 0,0,...,0)
7. Sistemas No Homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se llama
No homogéneo si todos sus términos
independientes son diferentes de cero.
Son de la forma:
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = 2
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = 3
.........................................
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn = valor dif 0
8. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
en donde son variables; son constantes llamadas
los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
constante de la ecuación.
1 1 2 2 n na x a x a x b
1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a
Ejemplo 1
Solución
Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas
de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
¿Cuántas tiene cada uno?
Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por
tanto:
2 2 103x x
3 4 103x
99
33
3
x
9. Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?
Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.
es la velocidad de la lancha con la corriente en
contra.
x y
x y
Por lo
que: 100
70
x y
x y
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema
2x2 de ecuaciones lineales.
Resolviendo el sistema (*) se obtiene:
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos
o más ecuaciones lineales
………(*)
km km
85 , 15
h h
x y
10. Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así:
Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
3.
2.
1.
La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
obtenida en el paso 1.
¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?
11. Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema 100
70
x y
x y
Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:
….(*)
….(**)
100y x
2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
tiene:
100 70x x
2 100 70x
170
85
2
x
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
obtiene el valor de y
100 85 15y
12. Método por igualación
Este método se resume así:
De cada ecuación se despeja la misma variable.
3.
2.
1.
Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
ecuaciones obtenida en el paso 1.
Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco.
Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió
1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia
del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?
Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el
tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces
13. t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
60
90
1
d
t
d
t
Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:
O sea: 60 0
90 90
t d
t d
90 90 60t t
30 90t
90
3
30
t
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene
que d = 180.
60 0t d
14. Método gráfico
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema 1
2 1
x y
x y
Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
1y x
x
y
0 – 1
01
2 1y x
x
y
0 2
– 1 3
15. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
– 1
0
– 1
2
3
1
x
y
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
2, 3x y
(2, 3)
16. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las
rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan
exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución
del sistema.
Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe: 3 1
4 8
x y
x y
2
1
0
4
2
x
y
3 1x y
4 8x y
(4, 1)
1
17. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
Ejemplo 10 El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:
1
2
2 2
y
x
x y
- 2
10
y
x
1
2
y
x
2 2x y
18. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
El sistema no tiene solución. Observe:
1
2
2 3
y
x
x y
- 2
1
0
y
x
1
2
y
x
2 3x y
- 3
Ejemplo 11
19. Soluciones Matriciales
Considerando que los sistemas de ecuaciones
lineales ocurren en muchísimas situaciones
prácticas, los métodos numéricos se han
desarrollado para eficientizarla resolución de
dichos sistemas. Estos métodos numéricos se
basas en el concepto de matriz, un arreglo
rectangular de coeficientes entre corchetes.
Cada número se nombra elemento de la
matriz.
20. Las matrices en general se representan
como un sistema de coeficientes de las
variables y los valores de las
constantes o términos independientes,
lo que se conoce como matriz
aumentada
21. Linear system of equations
3 2 1x y z
2 2x y z
2x y z
22. Las lineas verticales, separan los
coeficientes de las variables con
respecto a las constantes. Si una matriz
tiene 3 renglones y 4 columnas, su orden
o tamaño es 3x4: El número de los
renglones se indica primero.
23. Matrix Row Transformations
Para cualquier matriz aumentada de un sistema de ecuaciones
lineales, se pueden aplicar las siguientes reglas de transformación
de los renglones, sin que la igualdad se vea afectada:
1. Intercambiar entre dos renglones.
2. Multiplicar o dividir los elementos de cualquier renglón por un
número real diferente de cero.
3. Sustituir cualquier renglón de la matriz por la suma de los
elementos de aquél renglón y un múltiplo de los elementos de
otro renglón
24. Método Gauss-Jordan
El método Gauss-Jordan es una técnica sistemática en donde aplica
transformación de renglones de una matriz, con el objetivo de
reducir la matriz a su forma identidad, como sigue:
De donde las soluciones de las variables se
obtienen fácilmente. Esta técnica se llama Forma
por reducción de renglones.
25. Usando el método Gauss-Jordan
para obtener una matriz identidad
Step 1 Obtener el valor 1 como el primer elemento de la primera
columna y primera fila.
Step 2 Usar el primer renglón para transformar los datos de la columna 1
a cero (excepto el primer valor = 1).
Step 3 Obtain 1 como segundo valor en la segunda fila y segunda
columna.
Step 4 Usar el segundo renglón para transformar los valores de la
segunda columna a cero, excepto el valor unitario de la
segunda fila y segunda columna
Step 5 Continuar en este sentido hasta obtener la matriz identidad
26. Note El método Gauss-Jordan
procede de columna en columna de
izquierda a derecha.
27. Ejemplo 1
Resolver el sistema (encontrar X y Y que satisfagan
la igualdad en ambas ecuaciones.
Solución
3 4 1x y
5 2 19x y
Ambas ecuaciones están en su fórmula general
con las variables ordenadas por columnas con su
respectivo coeficiente
Matriz aumentada
28. Lo mejor es empezar haciendo 1 valor de la
columna 1 y renglón 1 en la matíz aumentada
3 es el primer valor en la primera fila y primera
columna. Se divide el R1 /3 para hacer dicho valor
= 1
29. Para hacer cero el valor del renglón 2 en la primer
columna se multiplica primero R1 * (-5) y se suma
al R2 para obtener un nuevo R2 que sustituirá al
R2 anterior
30. Para hacer 1 el valor de la segunda columna,
renglon 2, el R2 se multiplica por 3
,
26
31. Finalmente, hacemos el valor del renglón 1,
columna 2 igual a cero, multiplicando R2 por
y se suma al R1, para obtener un nuevo R1
4
3
33. Ejemplo 2
Resolver el sistema.
5 6x y z
3 3 10x y z
3 2 5x y z
Solución
34. Ya hay un valor 1 en el primer renglón de la
primera columna, por lo que se procede a hacer
cero el valor del segundo renglón y primera
columna de la siguiente manera: Multiplicar R1 * (-
3) y sumarse a R2 para que sea nuestro nuevo R2
35. Para hacer cero el tercer elemento de la primera
columna se multiplica R1 * (-1) y se suma a R3
para obtener un nuevo R3
36. Se usa el mismo procedimiento para transformas la segunda y
tercera columna.
37. El sistema lineal asociado con la matriz final
es:
1
2
1.
x
y
z
38. Otro ejemplo de resolución de un
sistema 3x3 mediante Gauss-
Jordan
41. EJEMPLO 3 Resolviendo un sistema
inconsistente (infinitas
soluciones o no solución)
2
2 2 5
x y
x y
Solución
42. El siguiente paso sería hace 1 el valor del
segundo renglón y segunda columna, sin
embargo, como tenemos un valor cero es
imposible jugar con las opciones. Por tanto, el
segundo renglón corresponde a la ecuación:
0x + 0y = 1, la cual no tiene solución porque 0
no es igual a 1. Esto es, al menos dos rectas
son paralelas.
43. 2 5 3 1
2 2 8
x y z
x y z
Solución
Un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas
da un número infinito de soluciones, esto es, al
menos dos rectas son superponibles entre si.
RESOLVIENDO PARA INFINITAS SOLUCIONES:
44. No es posible obtener la matriz identidad en
este sistema
45. La ecuación que corresponde a la matriz final es:
16 38 and 7 15.x z y z
Donde :
16 38x z
16 38x z
7 15y z
7 15y z
47. • El sistema Gauss es esencialmente el
sistema Gauss-Jordan, sin embargo, no
se procede a obtener la matriz identidad
completa, sino encontrar una incógnita y
apartir de sustituciones, se encuentran las
demás incógnitas
55. 55
• Sea un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.
• Sea un sistema que es compatible y determinado.
• Sea, por ejemplo, el sistema de orden 3 cualquiera:
• a11x + a12y + a13z = b1
• a21x + a22y + a23z = b2
• a31x + a32y + a33z = b3
• La matriz de los coeficientes será: La matriz ampliada será:
• a11 a12 a13 a11 a12 a13 b1
• (A)= a21 a22 a23 (AM)= a21 a22 a23 b2
• a31 a32 a33 a31 a32 a33 b3
• Si el rango de A es igual al rango de AM y a su vez igual al número de incógnitas, el
sistema es compatible y determinado (que tenga solución única), se podrá resolver
mediante determinantes.
REGLA DE CRAMER
56. • SOLUCIONES POR LA REGLA DE CRAMER
• Si un sistema cumple las premisas de ser compatible y determinado, las soluciones
del sistema serán:
•
a11 a12 a13
• |A| = a21 a22 a23
• a31 a32 a33
• b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1
• b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2
• b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3
• x = --------------------; y = ----------------------- ; z = --------------------
• |A| |A| |A|
•
Obsérvese que en los determinantes del numerador se ha sustituido en |A| los
coeficientes de la incógnita a calcular (X, Y ó Z) por la columna de las soluciones (b)
57. • Ejemplo 1
• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes
será:
• x + y + z = 6 1 1 1
• 2x + z = 5 A = 2 0 1
• 3x - y = 1 3 -1 0
• 1 1 1 1 1
• |A| = 2 0 1 2 0
• 3 -1 0 3 -1
• Siendo las soluciones del sistema:
•
6 1 1 1 6 1 1 1 6
• 5 0 1 2 5 1 2 0 5
• 1 -1 0 2 3 1 0 4 3 -1 1 6
• x = --------------- = ---- = 1 ; y= --------------- = --- = 2 ; Z = --------------= --- = 3
• |A| 2 |A| 2 |A| 2
• Que se puede comprobar que verifican las ecuaciones.
Se agregan las dos primeras columnas y se obtiene el punto
cruz de la matríz principal =
(1*0*0) + (1*1*3) + (1 * 2 * -1) – [(3*0*1) + (-1*1*1) + (0*2*1)]
= 2 = |A| diferente de cero, si aplica ppor regla de cramer
Se resuelve igual que para la |A|, añadiendo las dos primeras
columnas y obteniendo el punto cruz para cada caso, y se
divide entre |A| = 2
58. • Ejemplo 2
• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:
• x + z = 3 1 0 1
• 2.y + z = 8 A = 0 2 1
• 3.x – y = – 5 3 – 1 0
• 1 0 1
• |A| = 0 2 1 = 0 + 0 + 0 – 6 – 0 – (– 1) = – 5
• 3 – 1 0
• Siendo las soluciones del sistema:
•
3 0 1 1 3 1 1 0 3
• 8 2 1 0 8 1 0 2 8
• – 5 – 1 0 5 3 – 5 0 – 10 3 – 1 – 5 – 20
• x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = -----
• |A| – 5 |A| – 5 |A| – 5
• Es decir: x = – 1, y = 2 , z = 4 , que se puede comprobar.
59. • Ejemplo 3
• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:
• x + y + z = 3 1 1 1
• x – y + z = 1 A = 1 – 1 1
• – x + y + z = 1 – 1 1 1
• 1 1 1
• |A| = 1 – 1 1 = – 1 – 1 + 1 – 1 – 1 – 1 = – 4
• – 1 1 1
• Siendo las soluciones del sistema:
•
3 1 1 1 3 1 1 1 3
• 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1
• 1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4
• x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = -----
• |A| – 4 |A| – 4 |A| – 4
• Es decir: x = y = z = 1 , que se puede comprobar.
60. • Ejemplo 4
• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:
Donde a es un parámetro
•
• x + y + z = 3 1 1 1
• x – y + z = 1 A = 1 – 1 1
• a.y + z = 1 0 a 1
• 1 1 1
• |A| = 1 – 1 1 = – 1 + 0 + a – 0 – a – 1 = – 2
• 0 a 1
• El rango de |A| es 3, independientemente de lo que valga el parámetro a.
• Siendo las soluciones del sistema:
•
3 1 1 1 3 1 1 1 3
• 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1
• 1 a 1 –2a -2 0 1 1 – 2 0 a 1 2a– 2
• x = --------------- = -------- ; y = -------------- = ------ ; z = ---------------- = ---------
• |A| – 2 |A| – 2 |A| – 2
• Es decir: x = a + 1, y = – 1 , z = 1 – a , que se puede comprobar.
61. • Ejemplo 5
•
• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:
Donde a es un parámetro
•
• x + y + z = 3 1 1 1
• x – a.y + z = 1 A = 1 – a 1
• 2.x + z = a 2 0 1
• 1 1 1
• |A| = 1 – a 1 = – a + 0 + 2 + 2.a – 0 – 1 = a + 1
• 2 0 1
• El rango de |A| es 3 si (a + 1)<> 0 , si a <> – 1
• Si a = – 1 , el rango de A no es 3 y por tanto NO se puede aplicar Cramer.
• Siendo las soluciones del sistema, si a <> – 1
•
3 1 1 1 3 1 1 1 3
• 1 -a 1 1 1 1 1 -a 1
• a 0 1 2 a 1 2 0 a
• x = --------------- ; y = ---------------- ; z = ----------------
• |A| |A| |A|
62. • … Ejemplo 5
•
• Teníamos las soluciones del sistema, si a <> – 1
•
3 1 1 1 3 1 1 1 3
• 1 -a 1 1 1 1 1 -a 1
• a 0 1 2 a 1 2 0 a
• x = --------------- ; y = ---------------- ; z = ----------------
• |A| |A| |A|
• Que resolviendo los determinantes, queda:
• x = (a2 – 2.a – 1)/(a+1)
• y = 2/(a+1)
• z = (– a2 + 5.a + 2)/(a+1)
• Si a = – 1
• x + y + z = 3
• x + y + z = 1
• 2x + z = – 1
• Como se puede ver el sistema es incompatible, no admite solución: 3 no
es igual a 1
