Física 2ºBACH Tomo1

FÍSICA (2ºBACHILLERATO) COLEGIO LA SALLE (PALENCIA)
Tema 1: Métodos Matemáticos de la Física
Sistema Internacional de Medidas
El Sistema Internacional de unidades (S.I.) está basado en el antiguo sistema
métrico decimal. Una serie de conferencias y acuerdos internacionales nos han hecho
llegar a un conjunto de unidades lógico y coherente para todas las medidas científicas,
industriales y comerciales. Se definen operacionalmente siete unidades básicas. Las demás
unidades se denominan unidades derivadas porque se definen en función de estas unidades
fundamentales. Por ejemplo, la unidad de velocidad es el m/s (=m ·s
−1
)
Unidades Básicas en el Sistema Internacional
Magnitud
Fundamental
Unidad
Fundamental
Símbolo Definición operacional
Longitud Metro m
Longitud del trayecto recorrido por la luz en el
vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos
Masa Kilogramo Kg
Masa del prototipo internacional del kilogramo
(kilogramo patrón)
Tiempo Segundo s
Es la duración de 9192631770 períodos de la radiación
correspondiente a la transición entre dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de
cesio-133.
Intensidad de
corriente
eléctrica
Amperio A
intensidad de una corriente constante que,
manteniéndose en dos conductores paralelos,
rectilíneos, de longitud infinita, de sección
circular despreciable y situados a una distancia de 1
metro uno de otro, en el vacío, produciría entre estos
conductores una fuerza igual a 2x10 newtons por⁻⁷
metro de longitud.
Temperatura
termodinámica
Kelvin ºK
La fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica
del punto triple del agua.
Cantidad de
sustancia
mol mol
Cantidad de sustancia de un sistema que contiene
tantas entidades elementales como átomos hay en
0.012kg de Carbono-12.
Intensidad
Luminosa
Candela cd
Intensidad luminosa en una dirección dada de una
fuente que emite una radiación monocromática de
frecuencia 540·10¹² hertz y cuya intensidad
energética en dicha dirección es 1/683 watt por
estereoradián.
TEMA 1: MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA FÍSICA PÁGINA T1

Unidades Suplementarias en el SI
Magnitud
Fundamental
Unidad
Fundamental
Símbolo Definición operacional
Ángulo plano Radián Rad
Ángulo plano comprendido entre dos radios de un
círculo que, sobre la circunferencia de dicho
círculo, interceptan un arco de longitud igual a
la del radio.
Ángulo Sólido Estereorradián Sr
El ángulo sólido que, teniendo su vértice en el
centro de una esfera, intercepta sobre la
superficie de dicha esfera un área igual a la de
un cuadrado que tenga por lado el radio de la
esfera.
Algunas Unidades del Sistema Internacional derivadas
Magnitud Fundamental
Unidad
Fundamental
Símbolo
Expresión en otras
unidades
Expresión en unidades
básicas
Frecuencia Hercio Hz - s
−1
Fuerza Newton N - m ·kg·s
−2
Presión, tensión Pascal Pa N ·m ⁻ ² m
−1
·kg ·s
−2
Potencia, flujo radiante Vatio W J·s ⁻ ¹ m
2
·kg·s
−2
Carga eléctrica Culombio C - A ·s
Potencial eléctrico, fem Voltio V W·A ⁻ ¹ m² ·kg·s ⁻ ³·A ⁻ ¹
Resistencia eléctrica Ohmio Ω V ·A⁻ ¹ m² ·kg·s ⁻ ³·A ⁻ ²
Conductancia eléctrica Siemens S A ·V⁻ ¹ m ⁻ ² ·kg ⁻ ¹·s³·A²
Capacidad eléctrica Faradio F C·V ⁻ ¹ m ⁻ ² ·kg ⁻ ¹·s⁴·A²
Flujo magnético Weber Wb V ·s m² ·kg·s ⁻ ² ·A ⁻ ¹
Inducción magnética Tesla T Wb·m ⁻ ² kg·s ⁻ ²·A ⁻ ¹
Inductancia Henrio H Wb·A ⁻ ¹ m² ·kg·s ⁻ ² ·A ⁻ ²
Flujo luminoso Lumen lm - cd·sr
Iluminancia Lux lx lm ·m ⁻ ² m ⁻ ² ·cd·sr
Actividad radiactiva Becquerel Bq - s ⁻ ¹

Prefijos para formar Múltiplos y Submúltiplos con Unidades S.I.
Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo Factor
Deci- d 10 ¹⁻ deca- da 10¹
centi- c 10 ²⁻ hecto- h 10²
mili- m 10 ³⁻ kilo- k 10³
Micro- µ 10⁻⁶ mega- M 10⁶
Nano- n 10⁻⁹ giga- G 10⁹
Pico- p 10 ¹²⁻ tera- T 10¹²
Femto- f 10 ¹⁻⁵ peta- P 10¹⁵
Atto- a 10 ¹⁻⁸ exa- E 10¹⁸
Conversión de unidades
Si nos dan la velocidad y el tiempo y queremos conocer la distancia:
x=v ·t=80
km
h
·3 h=240 km
De la misma manera, si una milla terrestre (o milla inglesa) equivale a 1,609344
km, para expresar el resultado en millas terrestres1
.
240 km=240 km·
1 mi
1,609344 km
=149,129 mi
Ejercicio para practicar:
Se sabe que los neumáticos de los coches se desgastan aproximadamente 1 cm cada
60000 km recorridos. Calcular el desgaste que se produce en cada vuelta si el neumático
tiene un radio de 300 mm.
1 No confundir milla terrestre (unidad de medida de longitud inglesa, aprox 1600m) con milla náutica (1NM=1,852km). Esta última se
emplea en navegación aérea o marítima.

Magnitudes Vectoriales
Ejercicio nº1:
Calcula las componentes cartesianas del vector a que tiene por origen el origen de coordenadas,
módulo 5 unidades, y que forma un ángulo de 53º 7' 48'' con el eje de abscisas.
Las componentes del vector pedido son:
{ax
=∣a∣·cos(α)=5 ·cos(53º7 ' 48 ' ')=3
ay
=∣a∣·sen(α)=5 ·sen(53º7 ' 48' ')=4
La expresión del vector en componentes es: ⃗a=ax
̂i +ay
̂j=3 ̂i+4 ̂j
Ejercicio nº2:
Calcula en el plano OXY las componentes cartesianas del vector ⃗a que tiene por origen el
origen de coordenadas, de módulo 7 unidades, y que forma un ángulo de 128º5'25'' con el eje de
abscisas.
Las componentes del vector son:
{ax
=∣a∣·cos(α)=7 ·cos(128º5 ' 25' ')=−4.32
ay
=∣a∣·sen(α)=7 ·sen(128º5 ' 25' ')=5,51
Ejercicio nº3:
Dados los vectores ⃗a=2 ̂i + ̂j−2 ̂k y ⃗b=−5 ̂i +3 ̂j−6 ̂k , calcula su suma, su
diferencia y el vector unitario u a en la dirección y sentido de a.
El vector suma ⃗s=⃗a+⃗b=(2−5)̂i +(1+3) ̂j+(−2−6)̂k=−3 ̂i+4 ̂j−8 ̂k=(−3,4,−8)
El vector diferencia ⃗d =⃗a−⃗b=(2+5)̂i +(1−3) ̂j+(−2+6)̂k=7 ̂i−2 ̂j+4̂k=(7,−2,4)
El módulo del vector ⃗a es ∣⃗a∣=√4+1+4=3

El vector unitario ̂ua
es: ̂ua
=
⃗a
∣⃗a∣
=
⃗a
a
=
2
3
̂i +
1
3
̂j−
2
3
̂k
Ejercicio nº4:
Dados los vectores ⃗a=2 ̂i −4 ̂j+9 ̂k y ⃗b=−5 ̂i +3 ̂j−7 ̂k calcula su suma ⃗s , su
diferencia ⃗d así como los vectores unitarios ̂a y ̂b .
El vector suma: ⃗s=⃗a+⃗b=(2−5)̂i +(−4+3) ̂j+(9−7)̂k=−3 ̂i−1 ̂j+2 ̂k=(−3,−1,2)
El vector diferencia:
⃗d =⃗a−⃗b=(2−(−5))̂i +(−4−3) ̂j+(9−(−7))̂k
⃗d=7 ̂i−7 ̂j+16 ̂k=(7,−7,16)
Los módulos de los vectores son:
{∣⃗a∣=√2
2
+(−4)
2
+9
2
=√101
∣⃗b∣=√(−5)
2
+3
2
+(−7)
2
=√83
Los vectores unitarios son:
{̂ua
=
̂a
∣⃗a∣
=
̂a
a
=
2
√101
̂i−
4
√101
̂j+
9
√101
̂k
̂ub
=
̂b
∣⃗b∣
=
̂b
b
=
−5
√83
̂i +
3
√83
̂j−
7
√83
̂k
Ejercicio nº5:
Dados los vectores ⃗a=2 ̂i −̂j−2 ̂k y ⃗b=6 ̂i −2 ̂j+3 ̂k , calcula el ángulo que forman
entre ellos.
Los módulos de los vectores son:
{∣⃗a∣=√2
2
+(−1)
2
+(−2)
2
=√9=3
∣⃗b∣=√6
2
+(−2)
2
+3
2
=√49=7
El producto escalar de los vectores es: ⃗a·⃗b=2 ·6+(−1)·(−2)+(−2)·3=8
Recordando el producto escalar: ⃗a·⃗b=∣⃗a∣·∣⃗b∣·cos α → cos α=
⃗a ·⃗b
∣⃗a∣·∣⃗b∣
=
8
3 ·7
=0,381
Y el ángulo α=arccos0.381=67.6073=67º36 ' 26 ''
Ejercicio nº6:
¿Para qué valores de m los vectores ⃗a=m ̂i −5 ̂j+2 ̂k y ⃗b=−5m ̂i +3m ̂j+5 ̂k son
perpendiculares?
Para que ambos vectores sean perpendiculares se tiene que verificar que su producto
escalar sea cero. Efectuamos, por tanto, el producto escalar:
⃗a·⃗b=m·(−5m)+(−5)·3m+2 ·5=−5m
2
−15m+10
Igualamos el resultado a 0 para obtener los valores de m:

−5m
2
−15m+10=0 → m=
15±√(−15)
2
−4·(−5)·10
2 ·(−5)
→
{m1
=
15+√425
−10
m2
=
15−√425
−10
Ejercicio nº7:
Hallar el valor de m para que los vectores
{⃗a=2 ̂i +m ̂j+3 ̂k
⃗b=3 ̂i −̂j+2 ̂k
sean perpendiculares.
12
Ejercicio nº8:
Dados los vectores
{
⃗a=−̂i + ̂j+2 ̂k
⃗b=3 ̂i−2 ̂j−̂k
⃗c=̂i −̂j +̂k
calcular ∣⃗a∣ , (⃗a +⃗b)· ⃗c y ⃗a∧⃗c
√6,4,3 ̂i+3 ̂j
Ejercicio nº9:
Dado los vectores
{⃗a=̂i + ̂j+̂k
⃗b=̂i −̂j+3 ̂k
comprobar que: ⃗a∧⃗b=−⃗b∧⃗a

Ejercicio nº10:
Dados los vectores
{⃗a=̂i −2 ̂j+ ̂k
⃗b=2 ̂i+ ̂j +̂k
hallar un vector unitario paralelo a ⃗b , un vector unitario
paralelo a ⃗b−⃗a y y un vector unitario perpendicular a ambos.
2
√6
̂i +
1
√6
̂j+
1
√6
̂k ;
1
√10
̂i+
3
√10
̂j ;−
3
√35
̂i +
1
√35
̂j+
5
√35
̂k
Momento de un Vector Respecto de un Punto
Se llama así al producto vectorial del vector de posición del punto y el vector. Así
M0
=⃗r∧⃗F , siendo el ∣⃗M0∣=∣⃗r∣·∣⃗F∣senθ=∣⃗F∣·d

Ejercicio nº11:
Un cuerpo de 2 kg de masa se halla en el punto P(-2,1,0) con una velocidad ⃗v =(0,2 ,−5) .
Su momento angular ⃗L respecto del origen se define así: ⃗L=⃗r∧m·⃗v 2
. Calcula dicho momento
angular.
Empleamos la fórmula que se nos proporciona donde:
{
⃗r =−2 ̂i + ̂j
⃗v=2 ̂j−5 ̂k
m=2kg
Y así ⃗L=
∣
̂i ̂j ̂k
−2 1 0
0 ·2 2·2 (−5)·2∣=(−10 ̂i −20 ̂j−8 ̂k)kg·m
2
·s
−1
Derivadas e Integrales
Guía Básica3
de derivadas
•
dx
n
dx
=n ·x
n−1
•
d
dx
(
1
x
)=
d x
−1
dx
=(−1)·x
−2
•
d √x
dx
=
d x
1
2
dx
=
1
2 √x
•
da
x
dx
=a
x
·ln a
•
de
x
dx
=e
x
•
d sen x
dx
=cos x
•
d cos x
dx
=−sen x
•
df(t)
dx
=
df
dt
·
dt
dx
•
d sen(a ·x)
dx
=a ·cos x
•
d cos(a·x)
dx
=−a·sen x
•
d e
a · x
dx
=a·e
a · x
Derivadas de operaciones:
• Derivada de una suma/resta:
d(f(x)±g(x))
dx
=
df(x)
dx
±
dg(x)
dx
• Derivada de un producto:
◦ Escalar:
d(⃗u · ⃗v)
dx
=⃗v
d ⃗u
dx
+⃗u
d ⃗v
dx
2 El vector ⃗r hace referencia al vector de posición del punto (del origen a las coordenadas del punto)
3 Nomenclatura básica:
x: variable independiente a: número real cualquiera n: exponente cualquiera e: número e (2,718281828...)

▪ De una magnitud vectorial por un número real:
d(a ·⃗v)
dx
=a
d ⃗v
dx
◦ Vectorial:
d(⃗u∧⃗v)
dx
=
d ⃗u
dx
∧⃗v+⃗u∧
d ⃗v
dx
Guía básica de Integrales:
• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
• ∫c ·f(x)dx=c ·∫f(x)dx
• ∫x
a
dx=
1
a+1
x
a +1
+c (excepto si a =-1)
• ∫
dx
x
=ln∣x∣+c
• ∫e
x
dx=e
x
+c
• ∫a
x
dx=
a
x
ln(a)
+c
• ∫sen xdx=−cosx+c
• ∫cosx dx=sen x+c
• ∫b ·x
a
dx=
b
a+1
x
a+1
+c
• ∫a·cos xdx=a ·senx+c
• ∫e
−a ·x
dx=−
1
a
·e
−a · x
+c
Integrales definidas:
• ∫0
2
3 ·x²dx= x
3
]x=0
x=2
=x
3
]
x=2
−x
3
]x=0
=8−0=8
• ∫0
4
a ·x
2
dx=
1
3
·a ·x
3
]x=0
x=4
=
1
3
·a ·x
3
]
x=4
−
1
3
·a ·x
3
]x=0
=
1
3
·a·64−
1
3
·a·0=
64 ·a
3
• ∫0
∞
e
−a ·x
dx=−
1
a
e
−a ·x
]x=0
x=∞
=−
1
a
e
−a ·x
]
x=∞
−−
1
a
e
−a · x
]x=0
=
1
a
Anexo - Constantes Físicas Fundamentales
Magnitud Símbolo Valor
Velocidad de la luz en el
vacío
c 299792458m/s≃3 ·10
8
m /s
Constante de Planck h 6.62608·10 ⁻ ³⁴J·s
Constante reducida de
Planck (Dirac)
h=
h
2 π
1.054573 ·10 ⁻ ³⁴J·s

Constante de Boltzmann kB 1.38066·10 ⁻ ²³mol ⁻ ¹
Constante de Avogadro NA 6.02214 ·10²³ mol ⁻ ¹
Constante de los gases
ideales
R 8.3145J ·mol ⁻ ¹·K ⁻ ¹=0.082058 atm ·l ·mol ⁻ ¹·K⁻ ¹
Volumen molar, gas ideal
en condiciones normales
V0 22.414.10 ⁻ ³m³·mol ⁻ ¹
Unidad de Masa Atómica u 1.66054·10
−27
kg
Carga elemental e 1.602177 ·10
−19
C
Masa del electrón me 9.10939·10
−31
kg=5.48580 ·10
−4
u
Masa del Protón mp 1.67262·10
−27
kg=1.0072765 u
Masa del Neutrón mn 1.67493 ·10
−27
kg=1.0086649 u
Carga específica del
electrón
e
me
1.75882 ·10¹¹C/kg
Permitividad del vacío ε0 8.854187817...·10
−12
F ·m
−1
Permeabilidad del vacío μ0 4 π·10 ⁻ ⁷ N ·A ⁻ ²=12.56637961...·10 ⁻ ⁷N ·A ⁻ ²
Constante de Coulomb K=
1
4
πε0 10
−7
·c² ·N ·A ⁻ ²=8.98755178...·10
9
N·m²C ⁻ ²
Constante de Rydberg R∞ 1.09737·10
7
m ⁻ ¹
Constante de gravitación
universal
G 6.673 ·10
−11
N ·m²·kg
−2
Aceleración estándar
gravedad
g 9.80665m ·s ⁻ ²
Radio de Bohr a0 5.29177·10
−11
m
Magnetón de Bohr μB 9.27408·10 ⁻ ²⁴ J·T ⁻ ¹
Constante de Stefan-
Boltzmann
σ 5.6703·10
−8
W·m ⁻ ² ·K
−4

Tema 2: Cinemática y Dinámica
Introducción: Una Vuelta a la Cinemática Básica
Formulación Básica:
• Vector de posición: r(t)=rx
(t) ̂i+ry
(t)̂j+rz
(t) ̂k
• Velocidad instantánea: ⃗v=
d ⃗r(t)
dt
=vx
(t) ̂i+vy
(t) ̂j+vz
(t) ̂k
◦ Rapidez o celeridad (módulo de velocidad): v(t)=√vx
2
(t)+vy
2
(t)+vz
2
(t)
• Aceleración:
◦ ⃗a=
d ⃗v(t)
dt
=ax
(t) ̂i+ay
(t)̂j+az
(t) ̂k
◦ Que podemos descomponer en: ⃗a= ⃗at
+ ⃗an
▪ Una componente tangencial4
: at
(t)· ̂t
at
(t)=
d v(t)
dt
=atx
(t) ̂i+aty
(t) ̂j+atz
(t) ̂k *
▪ Otra componente normal o centrípeta: an
(t)· ̂n
an
(t)=
v
2
(t)
R(t)
◦ Y se verifica que a=√at
2
+an
2
De ahí se deducía que:
• En un movimiento rectilíneo uniforme (⃗a=0)
◦ La velocidad es constante (un número real): ⃗v=∫0 dt=c
◦ Y el espacio recorrido: r=∫v dt=v ·t+c2
→s=s0
+v ·t
• En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
◦ La aceleración es constante (un número real): ⃗a=c
◦ La velocidad es ⃗v=∫ ⃗a dt=a·t+c3
→v=v0
+a·t
◦ Y el espacio recorrido: ⃗r=∫⃗v dt=v0
·t+a ·
t
2
2
+c4
→s=s0
+v ·t+
1
2
·a·t
2
◦ De ambas expresiones se obtiene v
2
−v0
2
=2 ·a·(s−s0
)
4 En el caso de movimiento circular.
* Fíjate: la aceleración tangencial es la derivada de la rapidez (no de la velocidad instantánea)
TEMA 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA PÁGINA T11

Ejercicio nº1:
La posición de una partícula que se desplaza en línea recta es x(t)=t
3
−2t+5 metros.
Determina la posición, velocidad y aceleración en el instante t=2 segundos.
Las funciones del movimiento son:
{
Posición : ⃗x(t)=t
3
−2t+5
Velocidad : ⃗v (t )=
d ⃗x
dt
=3t
2
−2
Aceleración :⃗a(t)=
d ⃗v
dt
=6t
En el instante t=2s
{
x(2)=2
3
−2 ·2+5=9m
v(2)=3·2
2
−2=10
m
s
a(2)=6·2=12
m
s
2
Ejercicio nº2:
El vector de posición de una partícula viene dado por la expresión ⃗r (t)=(4t
2
−1)̂i +(t
2
+3) ̂j
metros. Deduce las expresiones de los vectores ⃗v y ⃗a . Calcula la posición, la velocidad y la
aceleración en el instante t= 1s. Deduce la ecuación de la trayectoria, y dibújala. Halla la ecuación de la
rapidez v(t) y su valor en t = 1 s.
La posición del móvil en todo instante viene dada por el vector de posición que indica el
enunciado ⃗r (t )=(4t
2
−1)̂i +(t
2
+3) ̂j o por las ecuaciones:
{x(t)=4t
2
−1
y(t)=t
2
+3
. Despejando t e
igualando obtenemos la expresión de la trayectoria en función de x e y:
{t =
√x+1
4
t=√y−3
〉→
√x+1
4
=√y−3→
x+1
4
=y−3 →y=
x+1
4
+3=
x
4
+
13
4
En el instante t=1s el móvil se encuentra en
{x(1)=4·1
2
−1=3
y(1)=1
2
+3=4 〉=P (3,4) . Su
velocidad en todo instante ⃗v=
d ⃗r
dt
=(8t)̂i +(2t) ̂j
m
s
y en t=1s ⃗v (1)=(8·1)̂i+(2 ·1) ̂j
m
s
.
La rapidez es el módulo de dicha velocidad v(t )=√(8 ·t )
2
+(2 ·t)
2
=2t √17→v(1)=2 √17
m
s
.
De la misma manera la aceleración ⃗a (t )=
d ⃗v
dt
=8 ̂i +2 ̂j que, al no depender de t,
coincide con el valor en t=1s. Y el módulo: a(t )=√8
2
+2
2
=√68
m
s
2

Ejercicio nº3:
Una partícula está animada con una velocidad ⃗v (t )=2 t ̂i +2 ̂j
m
s
. Calcula las aceleraciones
tangencial y normal, así como el radio de curvatura, en el instante t=2s. Halla el vector de posición y la
ecuación de la trayectoria, sabiendo que el móvil, en el instante t=0s, se encuentra en P0
(−1,5) .
La aceleración es: ⃗a=
d ⃗v
dt
=2 ̂i
m
s
2
→a=2
m
s
2
La rapidez o módulo de la velocidad es: v(t )=√(2t)
2
+2
2
=2 √t
2
+1
m
s
La aceleración tangencial es at
(t)=
d v
dt
=
2t
√t
2
+1
→at
(2)=
4
√5
m
s
2
La aceleración normal es an
(t )=√a
2
−at
2
=
√4−
4t
2
t
2
+1
→an
(2)=
2
√5
m
s
2
El radio de curvatura es R (t )=
v
2
an
(t)
=
4(t
2
+1)
2
√t
2
+1
=2 (t
2
+1)
3
2
→R (2)=10√5 m
Para calcular el vector de posición es necesario realizar la integral:
⃗r (t )=∫(2t ̂i +2 ̂j)dt=̂i∫2t dt+ ̂j∫2 dt=t
2
̂i+c1
̂i +2t ̂j+c2
̂j=t
2
̂i +2t ̂j+⃗c
La condición de que para t=0s el móvil está en P0
(−1,5)→⃗r(0)=−̂i +5 ̂j . Pero
para t=0s, ⃗r (0)=0
2
̂i +2 ·0 ̂j+⃗c . Luego ⃗c=−̂i +5 ̂j . Y entonces el vector de posición
es ⃗r (t )=t
2
̂i +2t ̂j+(−̂i+5 ̂j)=(t
2
−1)̂i +(2t+5) ̂j .
La ecuación de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo t en el sistema
{x(t)=t
2
−1
y(t )2t +5
resultando 4x=y
2
−10y+21 que es una parábola.
Ejercicio nº4:
Deduce las ecuaciones del movimiento para una partícula que se mueve en línea recta, sabiendo
que:
1. La aceleración es a=2 m/s²

2. En el instante t=2s pasa por el origen de coordenadas
3. En ese mismo instante su velocidad es 3 m/s.
Elegimos como trayectoria del movimiento el eje OX. Dado que El vector suma:
⃗a=
d ⃗v
dt
→⃗v=∫2 dt→⃗v (t )=2t+C1
. Como v(2)=3(enunciado)=2 ·2+C1
→C1
=−1 y,
entonces: ⃗v=(2t−1)
m
s
.
De la misma manera, ⃗x=∫⃗v dt=∫(2t−1)dt=t
2
−t +C2
. Como x(2)=0 (en el
instante t=2s el móvil pasa por el origen de coordenadas) y x(2)=2
2
−2+C2
→C2
=−2 .
Entonces ⃗x (t )=t
2
−t−2 m
Ejercicio nº5:
Dado el vector de posición de un móvil ⃗r (t )=(t
2
−4)̂i +t
3
̂j+(t +2)̂k expresado en el
S.I., calcular:
1. La posición y las componentes cartesianas de la velocidad y de la aceleración en el
instante t=2s, así como el valor de la aceleración en dicho instante (módulo).
2. La aceleración tangencial, la aceleración normal y el radio de curvatura en todo instante.
Su valor en el instante t=2s.
Las funciones del movimiento y los valores de las mismas en t=2s son:
{
⃗v(t)=
d⃗r
dt
=2t ̂i +3t
2
̂j+̂k
m
s
v(t)=√(2t)
2
+(3t
2
)
2
+1
2
=√9t
4
+4t
2
+1
⃗a(t)=
d⃗v
dt
=2 ̂i +6t ̂j
m
s
2
→
{
⃗r (2)=(2
2
−4)̂i +2
3
̂j+(2+2)̂k=8 ̂j+4 ̂k→P (0,8,4)
⃗v(2)=2 ·2 ̂i +3 ·2
2
̂j+̂k=4 ̂i +12 ̂j+ ̂k
m
s
⃗a(2)=2 ̂i +6 ·2 ̂j=2 ̂i+12 ̂j→a=√2
2
+12
2
=12,17
m
s
2
La aceleración tangencial se corresponde con la expresión:
at (t)=
dv
dt
=
d
dt
√9t
4
+4t
2
+1=
36t
3
+8t
2·√9t
4
+4t
2
+1
=
2t(9t
2
+2)
√9t
4
+4t
2
+1
m
s
2
→at (2)=
2 ·2(9 ·2
2
+2)
√9·2
4
+4·2
2
+1
=11,98
m
s
2
La aceleración normal
an
=√a
2
−at
2
=
√(√2
2
+(6t)
2
)
2
−(
2t(9t
2
+2)
√9t
4
+4T
2
+1
)
2
=2
√9t
4
+9t
2
+1
9t
4
+4t
2
+1
m
s
2
→an
(2)=2.12
m
s
2

Y para calcular el radio en función del tiempo:
an
=
v
2
R(t)
→R(t)=
v
2
an
=
9t
4
+4t
2
+1
2
√9t
4
+9t
2
+1
9t
4
+4t
2
+1
=
(9t
4
+4t
2
+1)
3
2
2√9t
4
+9t
2
+1
→R(2)=...=75.92 m
Ejercicio nº6:
Un móvil A se dirige hacia O decreciendo su velocidad a razón de 2 m/s². En el instante inicial
se encuentra 55 m a la izquierda del observador O, y su velocidad es de 28 m/s. Un móvil B, en ese
instante también se está acercando hacia O y se halla a 120 m de él, a su derecha, siendo su velocidad
de 12 m/s, pero va acelerando a razón de 0’5 m/s².
1. Hallar el instante del encuentro y su posición
2. ¿En qué posición el móvil A cambia el sentido del movimiento?
En el caso del móvil A podemos deducir las expresiones
{
⃗aA
(t)=−2 ̂i
m
s
2
⃗vA
(t)=∫⃗adt=∫−2dt=−2t+C1
m
s
→ ⃗vA
(0)=28
m
s
→C1
=28
⃗rA (t)=∫⃗v (t)dt=∫(−2t+28)dt=−t
2
+28t+C2 m→ ⃗rA(0)=−55→C2=−55
En resumen:
{
⃗aA
(t)=−2 ̂i
m
s
2
⃗vA
(t)=(−2t+28)̂i
m
s
⃗rA (t)=(−t
2
+28t−55)̂i m
En el caso del móvil B:
¿
⃗aB
(t)=−0.5 ^i
m
s
2
=
−1
2
^i
m
s
2
⃗vB
(t)=∫ ⃗aB
(t)dt=∫
−1
2
dt=
−t
2
+C3
m
s
→vB
(0)=−12
m
s
→C3
=−12
¿

⃗rB
(t)=∫ ⃗vB
(t)dt=∫(
−t
2
−12)dt=
−t
2
4
−12t+C4
→⃗rB
(0)=120 →C4
=120 ¿¿¿
→
{
⃗aB
(t)=
−1
2
î
m
s
2
⃗vB
(t)=(
−t
2
−12)î
m
s
⃗rB
(t)=(
−t
2
4
−12t+120)î
Para determinar el momento en el que coinciden ambos móviles se igualan los vectores de
posición ⃗rA
(t)=⃗rB
(t) y se resuelve la ecuación resultante:
−t
2
+28t−55=
−t
2
4
−12t+120→
3
4
t
2
−40 t+175=0 →t=
40±
√40
2
−4·
3
4
·175
2 ·
3
4
Siendo la solución:
{t1=4.81s para x=56.52m
t2
=48.52 s para x=1050m
El instante en el que el móvil A cambia de sentido su movimiento es aquel en el que
⃗vA
(t)=0 por tanto simplemente hay que solucionar la ecuación: −2t+28=0 →t=14s .
En el instante t=14s el móvil A cambia de sentido en su movimiento, en x=141m.
Ejercicio nº7:
Un avión vuela con rumbo al NE con una velocidad de 300km/h. ¿Cuáles serán la velocidad del avión
respecto al suelo y el ángulo de deriva, si sopla viento del E de 35 nudos?
(1 nudo≡1 milla nautica /h≡1.853 km /h≃0,5 m/s)
258km/h, 10º

Ejercicio nº8:
Un avión emplea 1h10' para ir de un punto A a otro B distantes ntre sí 350km. En cambio, para ir
de B hacia A sólo necesita 51'. Suponiendo que sopla toda la trayectoria un vinto constante cuya
dirección forma un ángulo de 60º con la de la trayectoria, calcúlese la veocidad del viento y la del avión.
300km/h,411.8 km/h
Ejercicio nº9:
Calcúlese la velocidad lineal y la velocidad angular expresada en revoluciones por minuto que
corresponden al movimiento uniforme de un punto que describe una circunferencia de 20 metros de
radio sabiendo que dicho punto está sometido a una aceleración centrípeta de 0.6m/s
2
1,65rpm
Ejercicio nº10:
El vector de posición de una partícula móvil dado, en función del tiempo, por
⃗r =sen(2t)̂i +cos (2t) ̂j+4 ̂k . Hallar la velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante.
2 cos(2t)̂i−2 sen(2t) ̂j ;−4 sen(2t) ̂i−4cos(2t) ̂j

Dinámica del Movimiento
• Recordando del curso anterior: ⃗F=m · ⃗a
◦ Para que exista una aceleración ha de existir una fuerza o viceversa.
• La consecuencia de que existan dos aceleraciones será que habrá dos fuerzas:
◦ ⃗Ft
=m · ⃗at
y ⃗Fn
=m· ⃗an
• La fuerza resultante: ⃗F= ⃗Ft
+ ⃗Fn
siendo el módulo ∣⃗F∣=√∣⃗Ft
2
∣+∣⃗Fn
2
∣
• Fuerza central es aquella que
◦ Pasa siempre por un determinado punto fijo O (denominado centro o polo de
atracción).
▪ Ejemplo: la fuerza de atracción del Sol sobre los planetas.
Momento dinámico o Momento de una Fuerza:
• Aplicar una fuerza sobre una puerta no implica moverla (si se aplica en la bisagra).
El momento da idea de la capacidad de una fuerza o sistema de fuerzas para
cambiar el estado de la rotación de un cuerpo alrededor de un eje.
• Se define como el producto vectorial de el vector director del punto de aplicación
de la fuerza por la fuerza
◦ ⃗M0
=⃗r∧⃗F .
▪ Módulo: ∣⃗M0∣=∣⃗r∣·∣⃗F∣·senα=∣⃗F∣·d
▪ Dirección: perpendicular al plano formado por el vector de posición y el
vector Fuerza
▪ Sentido: regla de la mano derecha
◦ El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de
distancia. Su símbolo debe escribirse como Nm o N•m (nunca mN, que indicaría
milinewton).
Momento Lineal
• Momento Lineal o Cantidad de Movimiento: ⃗p=m ·⃗v
◦ Utilidad: la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno
que no es afectado por fuerzas exteriores y cuyas fuerzas internas no son
disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.
◦ Ejemplo: Disparo de una pistola

Ejercicio nº11:
Una granada, inicialmente en reposo, explota en tres fragmentos iguales. Uno sale hacia el oeste,
a 80 m/s; otro hacia el sur, a 60 m/s. ¿Cuál es la velocidad y dirección del tercer fragmento?
Las fuerzas de la explosión son internas al sistema “granada”, por lo que se conserva su
momento lineal: el momento lineal de la granada antes de la
explosión es igual al momento lineal de la granada después de
la explosión . ⃗pantes
= ⃗pdespués
Como antes de explotar la granada no se encontraba
en movimiento: ⃗pantes
= ⃗pdespués
=0
Así, entonces, al ser los tres fragmentos iguales,
estos tienen la misma masa: ⃗pdespués
=m· ⃗v1
+m· ⃗v2
+m· ⃗v3
=−m·80 ̂i −m·60 ̂j+m· ⃗v3
=0
De donde se deduce que: ⃗v3
=80 ̂i +60 ̂j
Ejercicio nº12:
Un cuerpo de 2 kg de masa se mueve en línea recta con momento lineal ⃗p=4t−t
2
.
Determinar:
1. La fuerza, la aceleración y la velocidad en el instante t=5s.
2. ¿En qué instante el cuerpo retrocede?
Empleando la fórmula del momento lineal: ⃗p=m·⃗v es posible obtener la velocidad:
⃗v=
⃗p
m
=
4t−t
2
2
=(2t−
t
2
2
)
m
s
También la aceleración: ⃗a=
d⃗v
dt
=
d(2t−
t
2
2
)
dt
=(2−t)
m
s
2
Y la fuerza ⃗F=m·⃗a=2·(2−t)=(4−2t)N
Y, entonces, en el instante t=5s
{
v (5)=2·5−
5
2
2
=−2.5
m
s
a(5)=2−5=−3
m
s
2
F(5)=4−2 ·5=−6 N
El instante en el que el cuerpo retrocede es el momento en el que la velocidad se hace
nula. Ese instante es, por tanto: ⃗v=(2t−
t
2
2
)=0→
{t=0s
t=4 s

Ejercicio nº13:
La fuerza ⃗F=2 ̂i −4 ̂j−̂k está aplicada en el punto P(1,-1,2). Hallar el momento de F respecto
al punto O(0,3,-2).
20 ̂i +9 ̂j+4 ̂k
Ejercicio nº14:
La Fuerza ⃗F=4 ̂i −3 ̂j está aplicada en el punto P(1,2). Calcular la distancia del origen de
coordenadas a la recta de ⃗F .
2,2u
Ejercicio nº15:
El vector AB está definido por los puntos A(1,3) y B(4,5). Hallar el momento de dicho vector
respecto al origen de coordenadas.
−7 ̂k

Ejercicio nº16:
Calcular el momento respecto al origen O de la fuerza ⃗F=2 ̂i −3 ̂j+ ̂k que está aplicada en el
punto A, suponiendo que el vector de posición de dicho punto es ⃗rA
=̂i + ̂j +̂k .
4 ̂i+ ̂j−5 ̂k
Ejercicio nº17:
Dado el vector ⃗a=2 ̂i − ̂j+2 ̂k aplicado en el punto A(1,-1,2), calcular el momento de ⃗a
respecto del eje definido por la recta
x−1
2
=
y
1
=
z−2
−1
.
−6 /√6
Momento Angular
• Se llama momento angular de una partícula de masa m que se mueve con una
velocidad v con respecto al punto O al momento de su momento lineal o cantidad
de movimiento.
◦ ⃗L0
=⃗r∧⃗p=⃗r∧m ·⃗v
Teorema del Momento Angular
◦ Si derivamos:
d ⃗L0
dt
=
d ⃗r
dt
∧⃗p +
⃗r∧d ⃗p
dt
=⃗v∧m· ⃗v+
⃗r∧d (m ·⃗v)
dt
=⃗r∧m· ⃗a=⃗r∧⃗F= ⃗M0
▪ La variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto
en la unidad de tiempo es igual al momento resultante de las fuerzas que
actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto.

◦ Consecuencias:
▪ Si el Momento resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es
nulo entonces ⃗L0
=⃗r∧m ·⃗v va a ser constante
• Lo que significa que:
◦ Si se conserva el módulo del momento angular implica que el vector
de posición barre áreas iguales en tiempos iguales (su velocidad areolar
es constante)
◦ Si el momento angular conserva su dirección, entonces la trayectoria
de la partícula siempre está en el mismo plano pues ⃗r y ⃗v están en
el mismo plano.
◦ La partícula recorre siempre su trayectoria en el mismo sentido.
◦ En el caso de fuerzas centrales:
▪ Su módulo depende sólo de la distancia a dicho polo y la trayectoria de un
punto que se mueva bajo la acción de esa fuerza será siempre plana.
▪ Por eso las trayectorias de los planetas son planas.
Ejercicio nº18:
El vector de posición de una partícula de cuya masa tiene un valor de 2 kg es
⃗r (t)=t
3
̂i +3t
2
̂j+2t ̂k . Calcular:
1. El momento angular de la partícula respecto del origen en el instante t=1s.
2. La fuerza que actúa sobre ella y su momento, en ese mismo instante.
Para calcular el momento angular se emplea la fórmula ⃗L0
=⃗r ∧m·⃗v .
Para conocer la velocidad de la partícula: ⃗v=
d⃗r
dt
=3t
2
̂i +6t ̂j+2 ̂k
Por tanto: ⃗L0
=⃗r ∧m·⃗v=
∣
̂i ̂j ̂k
t
3
3t
2
2t
2·3t
2
2 ·6t 2·2
∣Resolviendo el determinante:
(3t
2
·2 ·2−2t ·2 ·6t)̂i −(t
3
·2 ·2−2t·2·3t²) ̂j+(t
3
·2·6t−3t
2
·2·3t
2
) ̂k=−12t
2
̂i +8 t
3
̂j−6 t
4
̂k
Para t=1s ⃗L0 1s
=−12 ̂i +8 ̂j−6 ̂k
Para calcular la fuerza es necesario tener presente que
d ⃗L0
dt
=⃗r∧⃗f= ⃗M0
.

Entonces
d ⃗L0
dt
=
d (−12t
2
̂i+8 t
3
̂j−6t
4 ̂k)
dt
=−24t ̂i+24t
2
̂j−24t
3 ̂k
Y planteando el determinante
d ⃗L0
dt
=−24t ̂i+24t
2
̂j−24t
3 ̂k=
∣
̂i ̂j ̂k
t
3
3t
2
2t
Fx
Fy
Fz
∣
En el instante t=1s −24 ̂i+24 ̂j−24 ̂k=
∣
̂i ̂j ̂k
1 3 2
Fx
Fy
Fz
∣
Y entonces:
{
−24=3 Fz
−2Fy
24=−Fz
+2Fx
−24=Fy
−3 Fx
cuya solución es
{
Fx
=12
Fy
=12
Fz
=0
→⃗F (12,12,0)N
Ejercicio nº19:
Una partícula de masa 3kg se mueve con movimiento circular uniforme de velocidad 20 m/s bajo la
acción de una fuerza central de valor ⃗F=
3
r
2
en unidades SI y dirigida hacia el origen de
coordenadas.
1. Calcular el momento angular de la partícula respecto al centro o polo de fuerzas.
2. ¿Se conserva dicho momento angular? ¿Por qué?
El momento angular de la partícula respecto al origen de coordenadas es:
⃗L0
=⃗r ∧m·⃗v=r ·m·v ̂k
Como la partícula sigue un movimiento circular uniforme, sólo posee aceleración centrípeta
o normal. Por tanto: ⃗F=m· ⃗an→∣⃗F∣=m·∣⃗an∣→
3
r
2
=m ·
v
2
r
.
Despejando el radio: r=
3
m·v
2
=
3
3·20
2
m=2.5·10
−3
m
Y sustituyendo en la expresión: ⃗L0=r ·m·v ̂k=2.5·10
−3
m·3 kg·20
m
s
̂k=0.15 ̂k
kg·m
2
s
Teniendo en cuenta que r,v ,m y ̂k son constantes hay que concluir que el momento
angular entonces también lo es (y, por tanto, se conserva).
Para dar una explicación más concreta, calculamos el momento de la fuerza central ⃗F

respecto al punto O: ⃗M0
=⃗r ∧⃗F=⃗r∧(
−3
r
2
) . Como la fuerza y el vector de posición son
paralelos, entonces el momento ⃗M0
=0 , que es la explicación por la que se deduce que se
conserva el momento angular de la partícula respecto al eje de coordenadas.
Trabajo y Energía
Trabajo
• Cuando una fuerza ⃗F contribuye al desplazamiento de un cuerpo se dice que esa
fuerza realiza un trabajo. Cuyo valor es el producto escalar de fuerza y
desplazamiento.
• ¿Cómo calcular el trabajo que realiza una fuerza?
◦ De manera general: W=∫⃗F·dr
▪ Si la fuerza es constante: W=F·d
◦ Si se desea conocer el trabajo que realiza una fuerza entre dos puntos
W=∫A
B
⃗F dr
◦ En tres dimensiones: W=∫Fx
dx+∫Fy
dy+∫Fz
dz
Teorema de las fuerzas vivas
El trabajo de cualquier fuerza que no aumenta la energía interna de un cuerpo (por
ejemplo, variando su temperatura) se convierte en variación de energía cinética.
Ejercicio nº20:
La fuerza que actúa sobre una masa puntual viene dada por la expresión
⃗F=6x
2
̂i +2y ̂j+4z ̂k . ¿Qué trabajo realiza para desplazarse entre los puntos (0,0,0) y (1,1,1)?
Al ser la fuerza variable, la expresión del trabajo será:
W=∫0
1
Fx
dx+∫0
1
Fy
dy+∫0
1
Fz
dz=2x
3
]0
1
+y
2
]0
1
+2z
2
]0
1
=2−0+1−0+2−0=5J
Ejercicio nº21:
El tubo de cartón que lanza los voladores, repletos de caramelos, en las fiestas de los pueblos,
tiene una longitud de 1 m. Si la masa de los paquetes es de 100 g y la fuerza que se aplica a lo largo
del tubo es de F = 2·(2–x) N, donde x es la dimensión que mide la longitud del tubo, calcula la velocidad
del volador al salir del tubo.

La fuerza que realiza el trabajo no es constante sino que varía a lo largo del tubo
(eje X), teniendo valor sólo dentro de él. Por ejemplo, en el instante del disparo, x=0m,
F(0)=4N; y a la salida, para x=1m, F=2N. Así que, el trabajo:
WA→B
=∫A
B
⃗F dx=∫A
B
2 ·(2−x)dx=4x−x
2
]0
1
=3 J
Sabemos que el trabajo de las fuerzas de ese campo se emplea íntegramente en
transferir velocidad a lo caramelos. Por este motivo:
WA→B
=ΔEc=
1
2
m ·v1
2
→v1
=
√2·
WA →B
m
=
√2 ·
3
100 ·10
−3
=7.75
m
s
Ejercicio nº22:
Una partícula de 20 g de masa, que inicialmente se encuentra en reposo, se mueve según la
horizontal recorriendo una distancia de 4 m bajo la acción de una fuerza que tiene un valor constante de
2.5 N en los dos primeros metros y que luego decrece según la gráfica, hasta alcanzar al final el valor
de 1.0 N. Calcula:
1. El trabajo desarrollado en los dos primeros metros, y el trabajo total al término del recorrido.
2. Cuál es la velocidad al final del recorrido.
El trabajo realizado por la fuerza los dos primeros metros será, al ser la fuerza
constante: W0→2
=F ·d=2.5·2=5 J
El trabajo de 2 a 4 será
W2→4
=∫2
4
⃗F ·dx=∫2
4
(
−1.5
2
x+4)dx=
−1.5x
2
4
+4x
]2
4
=(
−1.5·4
2
4
+4 ·4)−(
−1.5 ·2
2
4
+4 ·2)=3.5J
La suma de ambos da el trabajo total que es 8.5 J.
Para calcular la velocidad al final del recorrido planteamos que todo el trabajo se ha
convertido en energía cinética, con lo que: W0→4
=
1
2
m v4
2
→v4
=
√2·
8.5
20
·10
−3
=29.15
m
s

Colección de ejercicios:
Junio 2011
Ejercicio A5
Un niño está quieto dentro de un tren y se entretiene lanzando hacia arriba una moneda y
recogiéndola después:
1. ¿Cómo es la trayectoria que sigue la moneda con respecto a dicho niño? Después el tren se
pone en marcha y, al cabo de un cierto tiempo, el niño vuelve a lanzar la moneda al aire y
comprueba que la moneda cae de nuevo sobre su mano. ¿Cómo es la trayectoria seguida ahora por
la moneda? (1 punto)
2. A continuación, el tren pasa sin parar por el andén de una estación y un señor que está de pie
en el andén ve cómo el niño del tren lanza y recoge la moneda de la forma indicada. ¿Cómo ve el
señor del andén la trayectoria seguida por la moneda? (1 punto)
Realiza un dibujo de la trayectoria en los tres casos citados

FÍSICA (2ºBACHILLERATO) SOLUCIONES EJERCICIOS P.A.U. COLEGIO LA SALLE (PALENCIA)
Junio 2011
Ejercicio A5
Un niño está quieto dentro de un tren y se entretiene lanzando hacia arriba una moneda y
recogiéndola después:
1. ¿Cómo es la trayectoria que sigue la moneda con respecto a dicho niño? Después el tren se
pone en marcha y, al cabo de un cierto tiempo, el niño vuelve a lanzar la moneda al aire y
comprueba que la moneda cae de nuevo sobre su mano. ¿Cómo es la trayectoria seguida ahora por
la moneda? (1 punto)
El tipo de movimiento que realiza un cuerpo depende del observador. La trayectoria
seguida por la moneda, en los dos casos propuestos, con respecto al niño, es una línea recta; la
moneda se mueve en línea recta hacia arriba y, después, en línea recta hacia abajo, a lo largo
de la misma vertical. Se trata de un tiro vertical. En ambos casos el observador (el niño) se
encuentra en reposo con respecto al tren que, en el primer caso, está detenido y, en el
segundo, se mueve con una determinada velocidad constante.
Las ecuaciones del movimiento son:
{
vy
=v0y
−g ·t
y=v0y
·t−
1
2
· g·t
2
La trayectoria en los dos casos será:
2. A continuación, el tren pasa sin parar por el andén de una estación y un señor que está de pie
en el andén ve cómo el niño del tren lanza y recoge la moneda de la forma indicada. ¿Cómo ve el
señor del andén la trayectoria seguida por la moneda? (1 punto)
Realiza un dibujo de la trayectoria en los tres casos citados
Para el señor del andén (situado en un sistema de referencia inercial fijo) la moneda
tiene una componente vertical de la velocidad (producida por la velocidad inicial con la que se
TEMA 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA PÁGINA SOL-EJ-PAU27

lanza y la aceleración de la gravedad hacia abajo) y una componente horizontal que coincide con
la velocidad del tren. Por tanto, la trayectoria que describe la moneda será parabólica.
Las ecuaciones de este movimiento son:
• En el eje Y:
{
vy
=v0y
−g ·t
y=v0y
·t−
1
2
· g·t
2
• En el eje x: {x=v0x
·t
Por tanto, las ecuaciones de la posición y de la velocidad serán:
{⃗r=x ·̂i +y · ̂j=v0x
·t ·̂i +(v0y
·t −
1
2
· g·t
2
)· ̂j
v=vx
·̂i +vy
· ̂j=v0x
·̂i +(v0y
−g ·t )· ̂j
La trayectoria en este caso:
TEMA 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA PÁGINA SOL-EJ-PAU28

Tema 3: Teoría de la Gravitación Universal
Introducción
• ¿Qué existe más allá de lo que vemos?
◦ De las primeras preguntas: ¿Qué hay más allá del horizonte?
◦ Ejemplos: estrellas, planetas, eclipses de sol y luna...
◦ Comenzamos con cómo está organizado el Universo
• La importancia del método. Método científico:
◦ Para ser llamado científico, un método de
investigación debe basarse en la empírica y
en la medición, sujeto a los principios
específicos de las pruebas de razonamiento.
◦ El Oxford English Dictionary, dice que el
método científico es: "un método o
procedimiento que ha caracterizado a la
ciencia natural desde el siglo XVII, que
consiste en la observación sistemática,
medición y experimentación, y la formulación,
análisis y modificación de las hipótesis."2
◦ El método científico está sustentado por dos
pilares fundamentales.
▪ Reproducibilidad: capacidad de repetir un
determinado experimento, en cualquier lugar y por cualquier persona.
▪ Refutabilidad: es posible demostrar que lo que se propone es falso.
• Ejemplo: Los Babionios en 3000 a.C. … “La tierra flota como si fuese un disco
circular en un mar de agua. Se halla cubierta por un techo de bronce (firmamento)
que da soporte a las estrellas.
Los dos Modelos de Universo
◦ Observación:
▪ Mirar el cielo e inducir teorías (o mirar y deducir)
▪ El Sol y la Luna parecen moverse de una forma más o menos regular, a lo
largo del espacio, avanzando siempre de este a oeste.
TEMA 3: TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL PÁGINA T29
Ilustración 1: Resumen del Método
científico

▪ Modelo Geocéntrico
• Anaximandro (s.V a.C.) Apolonio (s.III a.C.) plantean: “La Tierra está inmóvil y ocupa
el centro del Universo. El Sol, la Luna, los planetas y las estrellas giran a su
alrededor”.
• Ptolomeo, s.II: diseña un complejo
entramado de órbitas (epiciclos y
deferentes) con movimientos retrógrados y
elípticos.
◦ Los planetas definen pequeños círculos
(epiciclos) con movimiento uniforme.
El centro de estos epiciclos define a
un círculo o a una órbita mayor,
llamada deferente, que rodea a la
tierra. La trayectoria compuesta por
ambos movimientos se llama
epicicloide.
• Con esto resolvía dos problemas:
◦ La retrogradación de los planetas y su
aumento de brillo mientras retrogradan.
▪ Los cuerpos celestes son en
formaciones fijas (constelaciones)
excepto siete que modifican permanentemente su posición: Sol, Luna,
Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno
▪ Sol y Luna “viajan” de una
manera regular. Siempre de este
a oeste.
▪ Hay cinco planetas (Mercurio,
Venus, Marte, Júpiter, Saturno)
que viajan de una forma más
irregular, se desplazan a lo
largo del espacio de oeste a
este, aunque dicho movimiento
se ve interrumpido durante
breves intervalos (días) por un
movimiento retrógrado de este a
oeste.
◦ La distinta duración de las revoluciones siderales5
de los planetas
• Pero aún así no se lograba explicar del todo la retrogradación y la variación del
5 Revolución sideral es una vuelta de un planeta sobre sí mismo teniendo como referencia el Universo. Revolución sinódica es una
vuelta de un planeta sobre sí mismo teniendo como referencia al Sol.
Ilustración 3: Retrogradación de los Planetas
Ilustración 2: Epiciclos y Deferentes

tamaño y de la luminosidad de ciertos planetas.
◦ Efecto: diferente luminosidad
◦ La distinta duración de las revoluciones siderales
• Sin embargo:
◦ Sus teorías astronómicas geocéntricas tuvieron gran éxito e influyeron en el
pensamiento de astrónomos y matemáticos hasta el siglo XVI6
.
◦ Aplicó el estudio de la astronomía al de la astrología, creó los horóscopos.
• Modelo heliocéntrico: Aristarco (s.III) y Copérnico (s.XVI)
◦ El sol es el centro del universo (y el del sistema de referencia del movimiento
de los cuerpos celestes)
Modelo Heliocéntrico
• Ptolomeo empleó un sistema de referencia cuyo centro era la tierra.
• Copérnico (s.XVI) buscó un modelo distinto basándose en que el sol tenía un tamaño
mayor.
◦ Plantea que el centro del universo se encuentra en el sol y que todos los demás
planetas giran al rededor de él (aún no se conocían Urano, Neptuno y Plutón).
◦ La Tierra gira, además, sobre su eje y la Luna al rededor de la tierra
◦ Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o compuestos de
diversos ciclos (epiciclos).
◦ Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan
alrededor del Sol.
• Cuestiones:
◦ El movimiento retrógrado de los planetas es explicado por el movimiento de la
Tierra.
◦ Ventajas:
▪ Sencillez del modelo.
▪ Supera la concepción filosófica de que la Tierra era el centro de todo.
Leyes de Kepler
• Tycho Brake fue el primer matemático de la corte del rey Rodolfo II en Praga (hoy
Rep. Checa). consiguió obtener datos acerca de la posición de planetas y estrellas
con una precisión extraordinaria.
• Kepler se refugió en su observatorio a raíz de las persecuciones a los protestantes en
6 La palabra planeta viene del término planete en griego, que significa vagabundo o errante.

Austria.
▪ Descubre que las trayectorias de los planetas son elipses.
▪ Descubre que las velocidades de los planetas no
son constantes sino que dependen de su distancia
al Sol. Cuando un planeta está más cerca del sol
se mueve más deprisa que cuando está más lejos.
• Convencido de la teoría heliocéntrica de Copérnico,
supo interpretar estos datos de una manera más ajustada
a la realidad. La plasmó en tres leyes.
Primera Ley de Kepler o Ley de las Órbitas
• Los planetas se mueven en órbitas elípticas7
en uno de cuyos focos está el Sol
◦ Animación
Segunda Ley de Kepler o Ley de las Áreas
• En su movimiento, el radiovector de los
planetas con respecto al sol barre áreas iguales
en tiempos iguales
◦ Consecuencia de la conservación del
momento angular.
◦ Animación
Tercera Ley de Kepler o Ley de los Períodos
• Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del sol son
proporcionales a los cubos de las distancias medias de los respectivos planetas al Sol.
◦ T
2
=C·r
3
Donde c es una constante
• Posteriormente se reformuló: Los cuadrados de los períodos de revolución de los
planetas alrededor del sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de
sus órbitas.
Ejercicio nº1:
¿Cuál es el período de la órbita de Júpiter alrededor del Sol si la distancia media al sol de la
tierra es de 1UA y la de Júpiter 5,20 UA?
Aplicando la tercera Ley de Kepler:
7 La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos (llamados focos) es constante.
Ilustración 4: Perihelio y Afelio
en una órbita elíptica
Ilustración 5: Segunda Ley de Kepler

{Tierra : T Tierra
2
=C ·rTierra
3
Júpiter : T Júpiter
2
=C ·rJúpiter
3
〉→
T Tierra
2
T Júpiter
2
=
rTierra
3
rJúpiter
3
Y entonces:
T Júpiter
=
√T Tierra
2
·
rJúpiter
3
rTierra
3
=
√(1año)
2
·
(5,2UA)
3
(1UA)
3
=11,86 años
Ley de Gravitación Universal
• La tarea de Kepler fue extraordinaria. Sin
embargo, su estudio es solo cinemático y no
estudia la causa que las ocasiona.
• Fue Newton quien atribuyó al sol la
aceleración que se produce en cada planeta.
También formuló la hipótesis de que entre
dos cuerpos cualesquiera del universo existe
una fuerza. Newton, pues, estudia las causas
y consigue expresiones que modelizan la
naturaleza y expresión cuantitativa de la
misma8
.
◦ Dos partículas materiales experimentan
una fuerza de interacción gravitatoria
directamente proporcional al producto de
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
▪ F=G
m1
·m2
r
2
←→⃗F=G
m1
·m2
r
2
^r
• G es una constante universal9
• r se refiere a la distancia entre los centros de dichas partículas
• La dirección de la fuerza es la de la recta que une los centros de masas
(centro de gravedad, punto de aplicación del peso).
▪ Hubo que esperar a 1686 para que Henry Cavendish determinara
experimentalmente y con exactitud el valor de G=6,673 ·10
−11
N ·m
2
·kg
−2
8 Palabra de Newton: ”He comparado la fuerza necesaria para mantener la Luna en su órbita con la fuerza gravitatoria sobre la
superficie de la Tierra y los resultados son bastante cercanos”.
9 Henry Cavendish utilizando una balanza de torsión logró medir con precisión el valor de la constante G. Logró, experimentalmente,
llegar al valor de G=6,6·10 ¹¹ N m² Kg ². La balanza de torsión fue inventada independientemente por Mitchell en Inglaterra y⁻ ⁻
Coulomb en Francia.
Ilustración 6: Balanza de Torsión de
Cavendish

Deducción de la Tercera Ley de Kepler
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de un planeta: F=mp
·ac
Si la aceleración centrípeta es ac
=
v
2
r
=ω
2
·r=(
2 π
T
)
2
·r donde v es la velocidad
del planeta, r el radio de su órbita (suponiendo una órbita circular) y T el período de
revolución.
Igualando fuerzas: F=G
ms
·MP
r
2
=ms
·(
2 π
T
)
2
·r de donde T
2
=
4 π
2
G MP
r
3
=C·r
3
.
Ejercicio nº2:
Phobos, el satélite de Marte, tiene un período de 460 minutos y un radio orbital medio de 9400
km. ¿Cuál es la masa de Marte?
Aplicando la tercera Ley de Kepler para el caso de Phobos:
TPhobos
2
=
4 π
2
G ·MMarte
RPhobos
3
→MMarte
=
4 π
2
G ·TPhobos
2
RPhobos
3
=
4 π
2
6.67 ·10
−11
·(460·60s)
2
(9400·10
3
m)
3
Y se obtiene MMarte
=6,45·10
23
kg
Ejercicio nº3:
Dos satélites idénticos están recorriendo sendas órbitas del mismo radio, el primero alrededor
de la Tierra y el segundo alrededor de la Luna. ¿Cuál de ellos se mueve a mayor velocidad? ¿por qué?
¿cuál es la relación entre sus velocidades si las masas de la Tierra y la Luna son 5.98 ·10
24
kg y
7.3· 10
22
kg respectivamente?
El de la Tierra. 9.

Campo Gravitatorio Terrestre
• Imaginándonos un espacio vacío, al colocar un primer objeto no habría ningún tipo
de fuerza sobre él.
• Si colocamos un segundo aparecerá una fuerza de atracción hacia el otro en cada
uno de ellos:
◦ Su módulo será F12
=−F21
=G
m1
·m2
d12
2
, dirección la línea que une los centros de
masas y sentido de atracción entre ambos objetos.
◦ Si colocamos el cuerpo en cualquier otro lugar del
espacio, la expresión de la fuerza es análoga
• Por tanto, todo cuerpo material crea, en el espacio que le
rodea, un campo gravitatorio10
.
◦ Cuya intensidad tiene carácter vectorial (Se mide
en en N/kg)
◦ ⃗g=G
m
r
2
· ̂ur
siendo en la tierra:
{m=MT
r=RT
〉→∣⃗gT∣=g
Ejercicio nº4:
¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de un transbordador espacial (a
unos 400 km de la superficie terrestre)?
10 Campo gravitatorio será una perturbación de las propiedades del espacio que rodea un cuerpo material.
Ilustración 7:
Líneas de campo gravitatorio
Illustration 8: Concepción relativista del campo gravitatorio.

La aceleración se expresa como a=
F g
m
=
G ·
m·M
r
2
m
=
G MT
r
2
La distancia r es la suma del radio de la tierra (6370 km) y los 400 km. La
aceleración será, por lo tanto
a=
G MT
(6370+400 km)
2
=[S.I. ]=6.673·10
−11
·5,98 ·10
24
kg
6770 ·10
3
m
=8,70
m
s
2
Ejercicio nº5:
¿A qué distancia por encima de la superficie de la Tierra la aceleración de la gravedad vale la
mitad del valor que tiene con el nivel del mar?
Como la aceleración de la gravedad es a=
F g
m
=
G ·
mp·
M T
r
2
mp
=
G MT
r
2
. Planteamos:
• En la superficie terrestre:
asuperficie
=
GM T
RT
2
• A la distancia determinada (A m):
aA
=
GM T
(R T
+A)
2
E igualamos ambas teniendo en cuenta que:
asuperficie
2
=aaltura determinada
→
G M T
RT
2
2
=
GM T
(R T
+A)
2
→(RT
+A)
2
=2RT
2
Como el radio medio de la tierra es de 6370 Km
(RT
+A)
2
=2 ·R T
2
→A
2
+2 ·R T
·A−RT
2
=0→
{A1
=
−2 ·RT
+√(2 R T
)
2
−4·1·(−R T
2
)
2 ·1
=2640 km
A2
=
−2 ·R T
+√(2 R T
)
2
−4 ·1·(−R T
2
)
2 ·1
=−1540km
La altura a la que la gravedad es la mitad será aproximadamente la de 2640 km
sobre la superficie.

Ejercicio nº6:
La Estación Espacial Internacional (ISS) se mueve en una órbita prácticamente circular
alrededor de la tierra a 385 km por encima de su superficie. En un lugar determinado, calcular cuánto
tiempo hay que esperar para lograr dos avistamientos sucesivos de la estación.
Nos están pidiendo cuál es el período de la Estación Espacial Internacional (cuanto tiempo
tarda en dar una vuelta completa alrededor de la tierra). Por este motivo planteamos
F =G ·
MT
·mISS
r
2
=mISS
·aISS
=mISS
·
vISS
2
r
(r= distancia del centro de la tierra a ISS).
La velocidad de la ISS será una vuelta en la unidad de tiempo (período): vISS
=
2 ·π·r
T
Sustituimos: G·
M T
·mISS
r
2
=mISS
·
(
2 ·π·r
T
)
2
r
=mISS
·
4π
2
r
T
2
Despejamos T: T =
√4·π
2
G ·MT
·r
3
=
∣
MT
=5.98 ·10
24
kg
r=R T
+385=6,76·10
6m
G=6.67·10
−11 ∣=5528s≡92.1min
Ejercicio nº7:
Calcula la densidad media del planeta Mercurio sabiendo que su radio es de 2440km y la
intensidad del campo gravitatorio en su superficie es de 3.7N/Kg.
La densidad media de un cuerpo se define como el cociente de la masa entre su volumen
(d=
M
V ) . En el caso de un cuerpo esférico, como un planeta, el volumen viene dado por
V=
4
3
·π·R
3
. Así que d=
M
V
=
M
4
3
·π·R
3
La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa M a una distancia R de su
centro es un vector de módulo g=G·
M
R
2
Sustituimos los valores dados para el planeta Mercurio en las fórmulas de la densidad e
intensidad del campo gravitatorio:

{
g=G ·
M
R
2
→3.7=6.67 ·10
−11
·
MM
(2440·10
3
)
2
→MM
=3.3 ·10
23
kg
→d=
3.3·10
23
4
3
π(2.44 ·10
6
)
3
=5423.2 kg/m
3
Ejercicio nº8:
Dos cuerpos de masa 1 Kg se encuentran sobre una superficie horizontal separados por una
distancia de 1m. Si el coeficiente de rozamiento entre dichos cuerpos y el suelo es de 0.1, calcula la
relación entre la fuerza de rozamiento máxima que hay entre dichos objetos y el suelo y la interacción
gravitatoria entre ambos cuerpos.
F R
/Fg=1.5 ·10
10
Ejercicio nº9:
Sabemos que la distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de unos
3.84 ·10
5
km y que la masa de la Luna es de 0.012 veces la de la Tierra. Según estos datos, calcula
en qué punto, entre la tierra y la Luna, un objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción
ejercida por ambos astros. ¿Es estable o inestable el equilibrio? ¿Por qué?
3.46 ·10
5
km , Equilibrio inestable

Ejercicio nº10:
¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra se debe encontrar un cuerpo para que su peso
disminuya un 10% respecto del que tiene en la superficie? (radio de la tierra 6370 km)
345 km
Ejercicio nº11:
Un astronauta hace experimentos con un péndulo de 1m de longitud en un planeta que tiene un
radio que es 0.7 veces el de la tierra. Si el período de oscilación del péndulo es de 2.5s, ¿cuál es la
masa del planeta?
1.88·10
24
kg
Distribuciones discretas de masas: Principio de superposición.
• Si introducimos en un espacio cerrado dos masas, entre ambas aparece una fuerza de
atracción (como ya hemos visto)
• ¿Y si introducimos 3 masas?
◦ Aparecen fuerzas de interacción entre las tres masas: ⃗F12
; ⃗F21
; ⃗F13
; ⃗F31
; ⃗F23
; ⃗F32
• De manera general, si llamamos ⃗Fi
a la fuerza que ejerce la masa mi
sobre la
masa m, la fuerza total que se ejerce sobre m será ⃗F=∑
i=1
n
⃗Fi

◦ Y el campo ⃗g=∑
i=1
n
⃗gi
.
• Esta intensidad de campo gravitatorio debida a la acción de dos o más masas
puntuales es la suma vectorial de las intensidades de campo individuales. Este
principio recibe el nombre de Principio de Superposición.
◦ Derivado del Principio de Independencia de las Fuerzas.
Ejercicio nº12:
Dadas tres masas puntuales de 1 kg cada una situadas en tres de los vértices de un cuadrado
de 1m de lado, calcula la intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice.
Si las cargas se encuentran situadas en los vértices A(sup.izda.), B(sup.drcha.) y
C(inf.izda.) del cuadrado, entonces en el vértice D(inf.drcha.) sucederá que:
{
⃗gAD
=G
m
rAD
2
·sen 45 î−G
m
rAD
2
·cos 45 ^j
⃗gBD
=−G
m
rBD
2
^j ⃗gCD
=G
m
rCD
2
î ⟩⃗g= ⃗gA
+ ⃗gB
+ ⃗gC
⃗g=G·m (
1
rAD
2
·sen 45+
1
rCD
2
) î +G·m(
−1
rAD
2
·cos45−
1
rBD
2
)^j→
| rAD
=√2
rBD
=rCD
=1|
Obteniéndose como resultado que ⃗g=6.67 ·10
−11
(1+
√2
4
)(−î−^j)
m
s
2
Cuyo módulo es
|⃗g|=
√(−6.67 ·10
−11
(1+
√2
4
))
2
+(−6.67 ·10
−11
(1+
√2
4
))
2
=1.4 ·10
−10 m
s
2
Variación del Campo Gravitatorio en el interior de la tierra
• Newton demostró que la intensidad del campo gravitatorio en el interior de una
esfera es nula.
◦ Si nos encontramos en un pozo (en el interior de la tierra) ¿deja de haber
intensidad de campo gravitatorio?
◦ No. Simplemente es debido a lo que “hay bajo los pies” y que va disminuyendo
conforme nos acercamos al centro de la tierra de manera proporcional al valor
de la superficie (g): gi
=g0
r
R

Energía potencial Gravitatoria
• La fuerza ejercida por un campo ejerce un trabajo sólo si logra desplazamiento en
la dirección del campo.
◦ Se dice que un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado
por las fuerzas del campo es independiente del camino elegido para moverse de
un punto a otro.
▪ Un ejemplo: imaginemos un ascensor que al subir consume lo mismo que
genera al bajar. El trabajo que realice para llevar la caja al último piso será
independiente de la trayectoria seguida (de las paradas, subidas y bajadas que
realice).
• En este tipo de campos, se puede demostrar que existe una cierta función de la
posición Ep
(r) tal que: WA→B
=∫A
B
⃗F dr=−EpB
(r)−(−EpA
(r))=EpA
(r)−EpB
(r)=−ΔEp
◦ Un ejemplo: un esquiador que sube en un telesilla:
▪ Interpretación: Cuando asciende, el trabajo que realiza el telesilla le
confiere energía potencial al esquiador que es la que le permite descender
por la montaña.
▪ Es negativo pues es un trabajo contra las fuerzas del campo.
• A esta función se la llama energía potencial.
◦ Da idea de la capacidad de realizar trabajo que tiene una partícula
(moviéndose en la dirección y bajo las fuerzas de un campo).
◦ No interesa tanto el valor como su variación (pues en la integración se
obtendría una constante). Tenemos libertad para dar el valor 0 en cualquier
punto de referencia.
• El campo gravitatorio es un campo conservativo
◦ Si aplicamos la definición a la fuerza de atracción gravitatoria:
WA→B
=∫A
B
⃗F dr=∫A
B
−G
M·m
r
2
dr=−G ·M ·m[
1
r
]
rA
rB
=
G ·M ·m
rA
−
G ·M·m
rB
=EpA
(r)−EpB
(r)
◦ Cuando el trabajo realizado por el campo es positivo, disminuye el valor de
Ep
(r) . Cuando sucede lo contrario, el trabajo se invierte en aumentar su
energía potencial.
Potencial Gravitatorio
• Se define así a la energía potencial por unidad de masa en el punto (J/Kg):

◦ V=
Ep
m
=
−G
M·m
r
m
=−G
M
r
◦ Y así: WA→B
=EpA
(r)−EpB
(r)=m(VA
−VB
)
• Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del campo,
para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito.
Diferencia de potencial entre dos puntos.
• Es igual al trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de masa de un punto
a otro (ojo a los signos, pues la fuerza necesaria es contraria al campo).
Illustration 9: Representación del Potencial Gravitatorio mediante www.wolframalpha.com
Ejercicio nº13:
Un satélite artificial de 1,2t de masa se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la
tierra y recibe un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una órbita circular alrededor
de ella. Datos: RT
=6360 km ; go
=9,8
m
s
2
. Calcular:

1. La velocidad que han de transmitir los motores para que tenga lugar este movimiento.
Recordando que FG
=G ·
MT
·ms
r
2
=ms
·
v
2
r
→v=
√G ·MT
r
y al no darnos el dato de
la masa de la tierra, debemos conocer que g0
=
GMT
RT
2
→G ·MT
=g0
·RT
2
Entonces la velocidad que han de transmitir los motores será:
v=
√g0
·RT
2
r
=
√9,80·(6360 ·10
3
)
2
(6500·10
3
)
=7809.32
m
s
2. ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio al llevar el satélite
desde la superficie de la tierra hasta esa altura?
El trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio es de oposición a que el
satélite alcance esa altura. Será, por tanto, negativo y de valor la energía potencial
W1→2
=ΔEp(r)=−G
MT
·ms
RT
+G
MT
·ms
r
=g0
·RT
2
·ms
·(−
1
RT
+
1
r
)
Sustituyendo:
W1→2
=ΔEp(r)=9,8 ·(6360·10
3
)
2
·1200·(−
1
6360 ·10
3
+
1
(6500 ·10
3
)
)=−1.61 G J
3. ¿Cuál es la energía total del satélite?
La energía total del satélite será cinética y potencial:
ET
=Ep
+Ec
=−1.61 ·10
9
+
1
2
m ·vs
2
=−1.61 ·10
9
+
1
2
·1200 ·7809.32
2
=56,3G J
Ejercicio nº14:
Un proyectil se dispara hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial
v0
=15
km
s
. Determinar, despreciando la resistencia del aire, la velocidad del proyectil cuando esté
muy lejos de la tierra.
Aplicando el principio de conservación de la energía:
1
2
mp
·vp0
2
−G
MT
·mp
RT
=
1
2
mp
·vp1
2
+0→v1
=
√v0
2
−2
G ·MT
RT
=
√(15·10
3
)
2
−2
6.673 ·10
−11
·5.97 ·10
24
6370
Resultando la velocidad final 10
4
m/s

Ejercicio nº15:
Calcula la energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000kg de masa desde la
superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad del campo gravitatorio sea la
cuarta parte de su valor en la superficie.
Como no se consideran rozamientos, el trabajo de las fuerzas de rozamiento al enviar la
nave es nulo y la energía mecánica se conserva: Em0
=Em1
.
• La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m situado a una distancia R de M
viene dada por: Ep=−G
M·m
R
• La velocidad orbital de una nave a una altura R medida sobre el centro del planeta viene
dada por v=
√G·M
R
y, por tanto, la energía cinética será:
Ec=
1
2
·m·
(√G·M
R )
2
=
1
2
G·
M·m
R
Por tanto (Em0
=Em1
) :
{ Ep0
+Enec
=−G
M·m
R
+Enec
Ep1
+Ec=−G
M·m
R +h
+
1
2
G
M·m
R+h
=
−1
2
G
M·m
R +h
→−G
M·m
R
+Enec
=
−1
2
G
M·m
R+h
Para poder calcular el radio (R+h) de la órbita nos dicen que la gravedad a esa altura
es la cuarta parte de la gravedad en la superficie del planeta:
{
g0
=3.7=
G·M
R
→G·M=3.7R
g=
3.7
4
=
G·M
(R +h)
2
→(R +h)=
√
3.7R
3.7
4
→R+h=2 ·R→h=R
Sustituyendo en la expresión anterior y despejando obtenemos:
−G
M ·m
R
+Enec
=
−1
2
G
M·m
2 R
→E nec
=
3
4
G
M ·m
R
=
3
4
6.67 ·10
−11
3.3 ·10
23
·5000
2.44·10
6
=3.38 ·10
10
J

Ejercicio nº16:
Dadas dos masas m1
=2 Kg , m2
=4 Kg situadas
respectivamente en los puntos O(0,0) y A(6,0) donde las
coordenadas están expresadas en metros, hallar:
1. El campo gravitatorio en los puntos P(3,4) y M(3,0).
⃗gP
= ⃗gP 1
+ ⃗gP 2
→
{⃗gP 1
=gP 1
·(−cosα−senα)=−6.67 ·10
−11
·
2
5
2
(
−3
5
−
4
5
)=−3.2 ·10
−12
î +4.24·10
−12
^j
⃗gP 2
=gP 2
·(cos α−sen α)=−6.67·10
−11
·
4
5
2
(
3
5
−
4
5
)=6.4·10
−12
î+8.54 ·10
−12
^j
→ ⃗gP
=3.2 ·10
−12
î−12.81·10
−12
^j(N /Kg)
2. El trabajo necesario para transportar otra masa de 3 kg desde el punto P al M.
El trabajo necesario será la diferencia de energías potenciales:
WP →M
=m·(V
P
−VM
)→
{V
P
=VP 1
+VP 2
=−G
m1
rOP
−G
m2
rAP
=
−2
5
G−
4
5
G=
−6
5
G
VM
=VM 1
+V
M 2
=−G
m1
rOM
−G
m2
rAM
=
−2
3
G−
4
3
G=−2G
→WP →M
=−1.6 ·10
−10
J
Como este trabajo es negativo, es el campo gravitatorio quien lleva la masa desde P
hasta M y la fuerza que se realiza es a favor de las fuerzas del campo.
Ejercicio nº17:
Tres masas de 1, 2 y 3 kg se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de lado l=1m.
Calcula el potencial gravitatorio y la energía potencial de una masa de 10kg en el centro del cuadrado.
Recordando la expresión del potencial: V0
=−G
M
r
y teniendo en cuenta que el
potencial tiene que ver con las 3 masas, según el principio de superposición:
VO
=−G
mA
OA
−G
mB
OB
−G
mC
OC
=−6,673·10
−11
·
(1+2+3)
(
√2
2
)
=−5.66 ·10
−10
JKg
−1

La energía potencial gravitatoria en ese punto dependerá de la masa de 10kg y no de
las otras tres masas. Vendrá dada por la expresión:
EpO
=m ·V0
=10 kg·(−5.66·10
−10
J Kg
−1
)=−5.66 10
−9
J
Ejercicio nº18:
Se tienen tres masas iguales de 100kg en los vertices de un triángulo equilátero de lado 1m.
Calcula, considerando solo la acción de las masas mencionadas, la intensidad de campo y el potencial
gravitatorio en el baricentro del triángulo, la intensidad de campo en un punto situado a 1m sobre la
vertical del baricentro. Calcula el trabajo realizado por las fuerzas del campo cuando un objeto de masa
10Kg pasa del segundo punto al primero. G=6.673 ·10
−11
N m
2
kg
−2
-3.47·10 J/kg; 1.3·10 N/kg; 1.74 ·10 J⁻⁸ ⁻⁸ ⁻⁷
Ejercicio nº19:
Considera cuatro masas puntuales iguales en los vértices de un cuadrado de lado L. Calcula la
intensidad de campo y el potencial gravitatorio en un punto situado sobre la perpendicular al plano del
cuadrado por su centro y a distancia L y en el centro del cuadrado. Calcula, además, la velocidad de una
masa m abandonada en reposo en el punto P, al llegar al centro del cuadrado.
gP
=
8√2
3 √3
G
m
L
2
;vP
=−4
√2
3
G
m
L
; gO
=0 ;vO
=−4√2 G
m
L
; v=
√4.78 G m
L

Ejercicio nº20:
Dos satélites artificiales de masa m0 y 2m0 respectivamente, describen órbitas circulares
del mismo radio r=2RT
siendo RT
el radio de la Tierra. Calcula la diferencia de energías mecánicas
de ambos satélites.
1
4
G
MT
m0
R T
Ejercicio nº21:
Un satélite artificial de 1.2t de masa se eleva a una distancia de 6500km del centro de la
Tierra y recibe un impulso, mediante cohetes propulsores, para que describa una órbita circular alrededor
de la Tierra. RT
=6360 km; g0
=9,8 ms
−2
¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga
lugar este movimiento? ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio al llevar
el satélite desde la superficie de la Tierra hasta esa altura? ¿Cuál es la energía total del satélite?
7809ms
−1
;−1.61GJ ;−36.6 GJ

Ejercicio nº22:
Considera cuatro masas puntuales de igual valor m colocadas en los vértices de un cuadrado de
lado L. Calcula la intensidad de campo y el potencial gravitatorio en el centro del cuadrado y en el
centro de uno de los lados.
g0
=0;v0
=
−4 √2 G m
L
Ejercicio nº23:
Considera dos masas puntuales de valor 5kg y 10kg situadas en los puntos de coordenadas (2,0)
y (0,2) medidas en metros. Si G=6.673·10 ¹¹. Calcula la intensidad de campo y el potencial gravitatorio en⁻
el origen de coordenadas en el punto medio de la línea que los une, las coordenadas de un punto en el
que el campo resultante valga cero y el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de 2kg
desde el origen de coordenadas hasta el punto P, que equidista de las masas.
⃗gO
=8.3·10
−11
̂i+1.7 ·10
−10
̂j N /Kg;vO
=−5.0·10
−10
J /kg;
⃗gP
=−1.18·10
−10
̂i +1.18·10
−10
̂jN /kg;(1.17 ,0.83);W=−4.16 ·10
−10
J

Ejercicio nº24:
Una masa de 8Kg está situada en el origen. Calcular:
1. Intensidad del Campo Gravitatorio y el Potencial Gravitatorio en el punto (2,1). Unidades SI.
2. Fuerza con la que atraería a una masa de 2Kg y energía almacenada por dicha masa.
3. Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al traslaar la masa desde el punto (2,1) al punto (1,1).
(−9.55 ^i−4.77 ^j)·10
−11
N/Kg,−2.39 ·10
−10
J /Kg,
−1.91·10
−10
^i−9.55 ·10
−11
^j N ,−4.78·10
−10
J ,
2.77·10
−10
J
Ejercicio nº25:
Imagina que, por alguna causa interna, la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa.
¿Cuál sería la intensidad de la gravedad en su nueva superficie? ¿se modificaría sustancialmente su
órbita alrededor del Sol?
4 veces mayor, no se modifica.

Lineas de Campo
• Cualquier campo en el que actúa una determinada fuerza se puede representar
mediante las llamadas Líneas de Campo
◦ Líneas tangentes en todo momento al vector intensidad de campo
◦ No existe origen de las líneas, pero las masas puntuales actúan como sumideros.
• Analogía con las trayectorias de las partículas que se dirigen hacia un, dos, tres...
desagües
Superficies equipotenciales
• Es el lugar geométrico de los puntos en los cuales el "potencial de campo" es el
mismo
◦ El caso más sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una
masa puntual:
▪ Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas
▪ El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, será pues, por
definición, cero.
• En el caso del campo gravitatorio V=−G
M
r
. El valor de r ha de ser constante
◦ r=√x
2
+y
2
+z
2
=cte→x
2
+y
2
+z
2
=cte
• Líneas de Campo y Superficies Equipotenciales son perpendiculares entre sí.
◦ EpB
(r)−EpA
(r)=0→∫A
B
⃗F d ⃗r=0 Lo cual sólo se produce si son perpendiculares.
◦ La dirección en la que la variación de potencial es máxima es la de las líneas
de campo, que tienen sentido de potenciales decrecientes.
Introducción al Movimiento de Satélites Artificiales
• Estamos acostumbrados a realizar problemas en los que se lanza un proyectil y vuelve
a caer a la tierra. Estudiamos ahora el caso de un lanzamiento a tal velocidad que
sea capaz de no caer al suelo y dar una vuelta a la tierra para volver a caer en el
mismo lugar de lanzamiento11
.
◦ Despreciamos resistencia del aire (atmósfera)
◦ La fuerza de la gravedad tan sólo ha curvado la trayectoria
• La energía de un satélite en órbita viene dada por E=Ec+Ep=
1
2
mv
2
−G
M·m
r
11 Las consecuencias de los estudios de Newton no sólo son aplicables al estudio planetario, también al de satélites.

◦ Posición y velocidad están, pues relacionadas. Para una posición concreta el
satélite tiene una velocidad concreta.
◦ En los puntos más alejados de la órbita (r mayor) la Energía Potencial
almacenada será mayor, con lo que la Energía cinética será menor y la
velocidad también disminuirá. De la misma forma, al ir acercándose al planeta,
su Energía Potencial disminuirá produciendo un
aumento de la Energía Cinética y, por lo tanto,
de la velocidad.
• Los puntos de máximo acercamiento y máximo
alejamiento del stélite al cuerpo central reciben
nombres propios. Para un satélite que orbita
alrededor de la Tierra se habla de apogeo
(alejamiento máximo) y de perigeo (distancia
mínmoa). Para el Sol, las palabras usadas son
Afelio y Perihelio. En ambos puntos la velocidad es
perpendicular al radio.
Velocidad de Escape
• Se denomina así a la mínima velocidad que debe adquirir un proyectil, en la
posición en la que esté, para escapar del campo gravitatorio del planeta en el que
se encuentre o alrededor del cual orbite.
◦ Se considera que el proyectil es lanzado desde la superficie del planeta.
• Aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica en un punto
cualquiera y en el infinito (donde la energía es nula pues ha escapado del campo):
◦ Ec
+EP
=0 →
1
2
mve
2
+(−G
M m
r
)=0 →ve
=
√2 ·G·M
r
=√2 ·g0
·r
Ejercicio nº26:
La masa de la Tierra es de unos 6.0· 10
24
kg y la de la Luna de 7.3· 10
22
kg y sus radios
respectivos 6380 km y 1740 km ¿En cuál de los dos es mayor la velocidad de escape? ¿cuál es la
relación entre ambas?
En la Tierra, 4,74.
Illustration 10: Velocidad de Escape

Velocidad orbital de un satélite
• En un satélite que se encuentre en órbita alrededor de la tierra sólo actúa la
fuerza gravitatoria.
◦ Es centrípeta dirigida hacia el centro de la Tierra.
◦ Aplicando la segunda Ley de Newton G
M ·m
r
2
=m ·ac
=m·
vo
2
r
→ vo
=
√G ·M
r
Ejercicio nº27:
Un satélite de masa 500kg describe una trayectoria circular de 10000km de radio en torno a la
superficie terrestre. En un momento dado se decide, desde su base en la Tierra, cambiarle de órbita,
para lo cual se le comunica un impulso tangente a su trayectoria encendiendo un cohete propulsor. Si la
nueva órbita en la que queda estabilizado el satélite es de 12000 km de radio, calcula la velocidad
orbital del satélite en cada órbita. mTierra
=5.97 ·10
24
kg; G=6.673 · 10
−11
N m
2
kg
−2
.
6.31·10³m/s; 5.76·10³m/s
Ejercicio nº28:
Con la misión de observar la superficie de la Luna para estudiar sus características se coloca un
satélite en una órbita lunar de modo que su altura sobre la superficie de la Luna es de 300 km. Calcula
la velocidad orbital del satélite, la energía potencial del satélite debida al campo gravitatorio de la Luna
y halla la energía total del satélite si se considera sólo la interacción con la Luna.
mLuna
=7.3· 10
22
kg ; msatélite
=500 kg; rLuna
=1740km; G=6.673 · 10
−11
N m
2
kg
−2
5.6·10
3
km /h ;−1.2·10
9
J ;−6.1·10
8
J

Período de Revolución de un Satélite
• Tiempo necesario para que el satélite describa su órbita T=
2 πr
vo
=
√4 ·π
2
·r
3
G ·M
Energía Orbital de un Satélite
• Es la suma de la cinética y la energía potencial gravitatoria
E0
=
1
2
m ·vo
2
+(−G
M·m
r
)=
1
2
m(
√G ·M
r
)
2
−G
M·m
r
=−
1
2
G
M·m
r
Energía necesaria para cambiar de órbita un satélite
• Cuando se desea cambiar de órbita un satélite es necesario hacerle ganar o perder
una determinada cantidad de energía. Para calcular esa cantidad de energía:
ΔE=E0,2
−E0,1
=(−
1
2
G
M ·m
r2
)−(−
1
2
G
M·m
r1
)=
G ·M·m
2
·(
1
r1
−
1
r2
)
Satélites geoestacionarios
• Se denominan así a aquellos satélites que siempre se encuentran sobre el mismo
punto de la superficie terrestre (ejemplo: Satélite METEOSAT)
◦ Recorren su órbita en el mismo tiempo en el que la tierra efectúa una rotación
completa.
◦ Su período es de 24h
• Para calcular el radio de la órbita:
T=
2 πr
vo
=
√4 ·π
2
·r
3
G ·M
→r=
3
√T
2
·G ·M
4 π
2
=...=4.2233 ·10
7
m
◦ Restando el radio de la tierra obtenemos la altura: 35863 km
Ejercicio nº29:
Calcula la masa del sol a partir del periodo orbital de la tierra.
(T oT
=365 ’ 26 días , roT
=1.49 ·10
11
m)
La atracción ejercida por el Sol sobre la Tierra es una fuerza central. Por tanto,
T=
2 πr
vo
=
√4 ·π
2
·r
3
G ·MS
→MS
=
4 ·π
2
·r
3
G·T
2
=
4 ·π
2
·(1.49 ·10
11
)
3
6.67 ·10
−11
·(365.26 ·24·60·60 )
2
=1.97 ·10
30
kg

Ejercicio nº30:
El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la luna 113 km por
encima de su superficie. (MLuna
=7.36 ·10
22
Kg ,RLuna
=1740 Km) Calcula:
1. El periodo del movimiento..
T=
2 πr
vo
=
√4 ·π
2
·r
3
G ·MS
=
√4 ·π
2
·(1740000+11300)
3
6.67 ·10
−11
·7.36 ·10
22
=7153 s≃2 h
2. La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición.
ve
=
√2 ·G·M
R
=
√2·6.67 ·10
−11
·7.36 ·10
22
(1740000+113000)
=1626 m/s
Ejercicio nº31:
¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra ha de colocarse un satélite para que su ór-bita
sea geoestacionaria sobre el ecuador terrestre?. (RT
=6370 km, go
=9.8 m/s
2
)
La órbita del satélite es estacionaria cuando éste permanece sobre un punto determinado
del ecuador; ello supone que el periodo del satélite ha de coincidir con el de rotación terrestre.
Por tanto, T=24 h≡8.64 ·10
4
s . Por otro lado:
T=
√4 ·π
2
·r
3
G·MT
=
√4 ·π
2
·r
3
g ·RT
2
=
√ 4· π
2
·r
3
9.8·6370000
2
=8.64 ·104 s→r=4.221·10
7
m
Siendo la altura sobre la superficie terrestre de
h=4.221·10
7
−6370 ·10
3
=3.584·10
7
m≡35800 km
Ejercicio nº32:
En la superficie de un planeta de 1000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 2 m/s².
Calcula la energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie del
planeta, la velocidad de escape desde la superficie del planeta y la masa del planeta. (G=6.67·10 ¹¹)⁻

-10 J; 10 J; 3·10²² kg⁸ ⁸
Ejercicio nº33:
Un satélite artificial se desplaza en una órbita circular a una altura de 300 km sobre la
superficie de la Tierra. Encuentra su velocidad, su período de revolución y su aceleración centrípeta.
7.7·10
3
m/s ;5440 s; 8.9 m/s
2
Anexo I: Masa inercial y masa gravitatoria
Hasta ahora hemos hablado de dos tipos de masas que no hemos diferenciado. Por un
lado y derivado de la segunda Ley de Newton, hemos empleado la letra m para designar a
la propiedad de un objeto que mide su resistencia frente a la aceleración. Este concepto
es la “masa inercial” (o inerte). Sin embargo, en este tema hemos abordado el concepto
masa desde el punto de vista de su responsabilidad en la fuerza de atracción gravitatoria.
Experimentalmente estas dos masas son proporcionales pero esto sólo sucede en el caso
de encontrarnos estudiando la fuerza de la gravedad. Por este motivo realizamos la

siguiente simplificación: F=G
mp
·MT
r
2
=mp
·a
Anexo II: Visión actual del Universo
Los descubrimientos realizados en el siglo XX pusieron de manifiesto que ni el Sol,
ni la Tierra, ni la propia Vía Láctea, se encuentran en el centro del Universo. Y, además,
este es más dinámico de lo que pensábamos.
El modelo copernicano situaba al Sol en el centro del Universo, postura que
mantuvieron astrónomos tan importantes como Johannes Kepler (1571-1630) e Isaac Newton
(1642-1727).
Más tarde, los estudios de Harlow Shapley (1885-1972) y Walter Baade (1893-1960)
demostraron que el Sol era una estrella más de la galaxia conocida como Vía Láctea. Y,
además, se supo entonces que se encontraba desplazado hacia la periferia de nuestra
galaxia... muy lejos del centro del Universo.
Pero quedaban muchos datos por descubrir sobre el cosmos. ¿Cuál sería su extensión? ¿Y
su edad?
Edwin P. Hubble descubrió algo
muy importante: que, midiendo la
distancia que nos separa de las
galaxias que podemos observar, casi
todas ellas se están alejando de
nosotros.
Esto reavivó la cuestión de si
la Vía Láctea desempeñaba algún
papel especial en el origen del
Universo, o de si realmente se
encontraba en el centro. Al fin y
al cabo, el resto de las galaxias se
estaban separando de ella...
En la actualidad se sabe que
el efecto visto desde nuestra
galaxia sería el mismo si lo observáramos desde cualquier otra parte del Universo. A gran
escala, todas las galaxias se están alejando unas de otras: el Universo se expande.
El descubrimiento de Hubble hizo que en las décadas de 1920 y 1930 los astrónomos
comenzasen a pensar que si las galaxias se estaban alejando, en el pasado tuvo que haber
un instante en que estaban muy cerca unas de otras. Esto supuso el comienzo de las
teorías que explicaban que el Universo se formó con una gran explosión, el llamado Big
Bang.
Conociendo la velocidad a la que se separan las galaxias, y pensando que en algún
Illustration 11: Telescopio Hubble

momento estuvieron unidas, es posible calcular la edad del Universo. Así, se ha estimado
que el Universo tiene una edad de unos 13.700 millones de años. A su lado, la Tierra es un
planeta joven, ya que tiene “solo” 4.500 millones de años.
Según la teoría del Big Bang o Gran Explosión, al principio toda la materia y toda
la energía estaban concentradas en un punto. La materia estaba formada por partículas
elementales (protones, electrones...) con gran cantidad de energía. Tras la Gran Explosión,
las partículas se unieron para formar átomos. Así, el Universo comenzó a hacerse cada vez
más grande.
Poco a poco se fue produciendo el enfriamiento del Universo, que al principio estaba
a una gran temperatura. Se piensa que este proceso de enfriamiento continúa aún en la
actualidad.
Como consecuencia de esa explosión, debió quedar un residuo de radiación. Aunque
esto se suponía desde que se planteó la teoría del Big Bang, no se pudo comprobar hasta
1964, cuando Arno Penzias y Robert Wilson midieron lo que llamaron la radiación de fondo.
Se trata de una radiación de microondas que baña todo el Universo, cualquiera que sea la
dirección en la que se observe. Esta radiación se debió originar unos 380.000 años después
de la Gran Explosión, cuando se comenzaron a formar los primeros átomos. Aunque esta
radiación es muy uniforme, en los últimos años del siglo XX se comprobó, gracias a las
mediciones del satélite COBE (Cosmic Background Explorer), que había ciertas variaciones
en su intensidad. Estas desviaciones de la uniformidad en la radiación permitían explicar
la formación de galaxias: si el Universo fuera completamente uniforme, no se habrían
formado galaxias.

Mapa Conceptual del tema

Colección de Ejercicios:
Septiembre 15
Ejercicio A1
Dos masas iguales de 10 Kg están situadas en los puntos de coordenadas (3,0) y (-3,0),
medidas en metros. Calcule:
1. La Intensidad del campo gravitatorio creado por las dos masas en el punto (0,2). (1 Punto)
2. El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
Ejercicio B1
1. ¿Dónde tendrá mayor velocidad orbital un satélite terrestre con órbita elíptica: en el apogeo
(punto más distante de la tierra) o en el perigeo (punto más cercano a la tierra). Explique por
qué. (1 Punto)
2. Defina la velocidad de escape de un objeto en un planeta y explique cómo varía si se duplica la
masa del objeto. (1 punto)

Junio 15
Ejercicio A1
1. Un satélite artificial describe una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra con una
velocidad de 3073 m/s . ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra está orbitando?
Determine su periodo de rotación en horas. (1 punto)
2. ¿Qué es una órbita geoestacionaria? ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en dicha órbita?
(1 punto)
Ejercicio B1
Sobre el cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko (de masa M = 10 13 kg y 25 km 3 de volumen) se
posó el módulo espacial Philae (de masa m = 100 kg), transportado por la sonda espacial Rosetta.
Debido a que el módulo Philae no dispone de propulsión propia, la sonda Rosetta se aproximó hasta 22,5
km de la superficie del cometa y allí abandonó al módulo Philae en caída libre con una velocidad inicial nula
respecto al cometa, que supondremos esférico. Calcule:
1. La velocidad con la que Philae impactó sobre el cometa. (1 punto)
2. El peso del módulo Philae sobre la superficie del cometa. (1 punto)

Septiembre 14
Ejercicio A1
1. Calcule el valor de la gravedad a una altura sobre la superficie de la Tierra igual a la cuarta
parte de su radio. ¿Cuánto pesará un objeto de masa 100 kg a dicha altura? (1 punto)
2. Si no existiese atmósfera y se dejase caer el objeto anterior desde dicha altura, ¿con qué
velocidad llegaría a la Tierra? (1 punto)
Ejercicio B1
1. La Luna describe una órbita circular en torno a la Tierra, con un periodo de 27,3 días y un radio
de 3.84 ·10
5
km . Aplicando las leyes de Kepler, determine el periodo de un satélite
artificial que gira alrededor de la Tierra a una altura sobre su superficie igual al radio terrestre.
(1 punto)
2. Explique si la Luna y el satélite artificial mencionado tienen la misma velocidad areolar. (1 punto)

Junio 14
Ejercicio A1
En el caso del campo gravitatorio creado por un planeta:
1. Demuestre que la velocidad de escape de un cuerpo es independiente de su masa. (1 punto)
2. Demuestre que para un cuerpo en órbita circular la Ecinética
=
1
2
Epotencial
. (1 punto)
Ejercicio B1
1. Enuncie las tres leyes de Kepler. (1,2 puntos)
2. Describa algún procedimiento que permita la determinación experimental de g. (0,8 puntos)

Septiembre 13
Ejercicio A1
Dos partículas de masas 4 kg y 0,5 kg se encuentran en el vacío y separadas 20 cm. Calcule:
1. La energía potencial inicial del sistema y el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al
aumentar la separación entre las partículas hasta 40 cm. (1 punto)
2. El trabajo de la fuerza gravitatoria para separar las partículas desde la posición de partida hasta
el infinito y el trabajo de la fuerza gravitatoria necesario para restablecer la distribución inicial.
(1 punto)
Ejercicio B1
1. Enuncie las leyes de Kepler. (1 punto)

2. Alrededor del Sol, entre las órbitas de Marte y Júpiter, giran una serie de objetos de
pequeño tamaño llamados asteroides. El mayor de ellos es Ceres, considerado hoy como un
planeta enano. Considerando que las órbitas son circulares, use los datos de la tabla para calcular
el periodo de rotación orbital de Ceres en
años terrestres y la masa del Sol. (1
punto)
Junio 13
Ejercicio A1
1. Defina con precisión los siguientes conceptos relacionados con el campo gravitatorio: velocidad
de escape; líneas del campo gravitatorio; potencial gravitatorio; superficies equipotenciales;
energía de enlace. (1,5 puntos)
2. ¿Pueden cortarse las líneas de campo gravitatorio? Razone la respuesta. (0,5 puntos)

Ejercicio B1
La masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra, el radio lunar es 0,27 veces el radio
de la Tierra y la distancia media entre sus centros es 60,3 radios terrestres.
1. Calcule la gravedad en la superficie lunar. (0,8 puntos)
2. ¿En qué punto intermedio entre la Tierra y la Luna se equilibran las fuerzas que ambas ejercen
sobre un cuerpo de masa m? Realice un esquema ilustrativo de las fuerzas. (1,2 puntos)
Septiembre 12
Ejercicio A1
La lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 250 km de altura sobre la
superficie terrestre. Para reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nueva órbita
circular situada a 610 km de altura sobre la Tierra. Sabiendo que la masa del Columbia era 75000 kg,
calcule:
1. El periodo y la velocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia. (1 punto)

2. La energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble. (1 punto)
Ejercicio B1
Galileo observó por primera vez las lunas de Júpiter en 1610. Encontró que Io, el satélite más
cercano a Júpiter que pudo observar en su época, poseía un periodo orbital de 1,8 días y el radio de su
órbita era, aproximadamente, 3 veces el diámetro de Júpiter. Asimismo, encontró que el periodo orbital
de Calisto (la cuarta luna más alejada de Júpiter) era de 16,7 días. Con esos datos, suponiendo órbitas
circulares y usando que el radio de Júpiter es 7.15 ·10
7
m, calcule:
1. La masa de Júpiter. (1 punto)
2. El radio de la órbita de Calisto. (1 punto)

Junio 12
Ejercicio A1
Dos masas puntuales, m1=5kg y m2=10 kg, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos de
coordenadas (x1,y1)=(0,1) y (x2,y2)=(0,7), respectivamente. Sabiendo que todas las coordenadas están
expresadas en metros, calcule:
1. La intensidad del campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto (4,4). (1 punto)
2. El trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto (0, 4) hasta el punto
(4, 4), en presencia de las otras dos masas, indicando la interpretación física que tiene el signo
del trabajo calculado. (1 punto)
Ejercicio B1
1. ¿Cómo se modifica el peso de un objeto cuando se eleva desde el nivel del mar hasta una
altura igual a dos veces el radio terrestre? (1 punto)

2. Júpiter tiene una densidad media de 1.34 ·10
3
kg/m
3
y un radio igual a 7.18· 10
7
m . ¿Cuál es
la aceleración de la gravedad en su superficie? (1punto)
Septiembre 11
Ejercicio A1
La distancia media de la Tierra al Sol es 1,495· 10
8
km y la Tierra tarda 365,24 días en dar
una vuelta a su alrededor. Mercurio tiene un periodo de 88 días en su giro alrededor del Sol.
Suponiendo órbitas circulares, determine:
1. La distancia media entre Mercurio y el Sol (1 punto)
2. La velocidad orbital media de Mercurio (1 punto)

Ejercicio B1
Dibuje un esquema de las líneas de campo y las superficies equipotenciales asociadas al campo
gravitatorio creado por la Tierra. (1 punto)
¿Qué relación existe entre el potencial gravitatorio y la energía potencial gravitatoria? (1 punto)
Junio 11
Ejercicio A1
La masa de Marte, su radio y el radio de su órbita alrededor del Sol, referidos a las
magnitudes de la Tierra, son, respectivamente: 0,107, 0,532 y 1,524. Calcule:
1. La duración de un año marciano (periodo de rotación alrededor del Sol); (1 punto)
2. El valor de la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte en relación con las
de la Tierra. (1 punto)

Ejercicio B1
Desde la superficie de la Tierra se pone en órbita un satélite, lanzándolo en dirección vertical
con una velocidad inicial de 6000m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, determina:
1. La altura máxima que alcanza el satélite. (1 punto)
2. El valor de la gravedad terrestre a dicha altura máxima. (1 punto)
Septiembre 10
Ejercicio B1
Se tienen dos masas MA = 100 kg y MB = 400 kg colocadas en los puntos de coordenadas
A(2,0) y B(-1,0) medidas en metros.
1. Calcule en qué punto de la recta que une ambas masas se anula el campo gravitatorio debido a
ellas (1 punto)
2. Determine el trabajo necesario para trasladar un objeto de masa m = 10 kg desde dicho punto
al origen de coordenadas. Interprete el signo. (1 punto)

Junio 10
Ejercicio B1
Desde la superficie de la Tierra se pone en órbita un satélite, lanzándolo en dirección vertical
con una velocidad inicial de 6000 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, determine:
1. La altura máxima que alcanza el satélite. (1 punto)
2. El valor de la gravedad terrestre a dicha altura máxima. (1 punto)
Junio 10
Ejercicio A1
1. Enuncie las leyes de Kepler. (1 punto)

2. Suponiendo órbitas circulares, deduzca la tercera ley de Kepler a partir de la ley de
Gravitación Universal. (1 punto)
Ejercicio B1
En tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay tres masas iguales de 2 kg. Calcule:
1. La intensidad del campo gravitatorio en el otro vértice. (1,5 puntos)
2. La fuerza que actúa sobre una masa de 5 kg colocada en él. (0,5 puntos)

Septiembre 10
Ejercicio A1
Un satélite artificial de 250 kg se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una
altura de 500 km de su superficie. Si queremos transferirlo a una nueva órbita en la que su periodo de
revolución sea tres veces mayor:
1. Calcule la altura de esta nueva órbita y su velocidad lineal. (1 punto)
2. Obtenga la energía necesaria para realizar la transferencia entre ambas órbitas. (1 punto)

Septiembre 15
Ejercicio A1
Dos masas iguales de 10 Kg están situadas en los puntos de coordenadas (3,0) y (-3,0),
medidas en metros. Calcule:
1. La Intensidad del campo gravitatorio creado por las dos masas en el punto (0,2). (1 Punto)
{⃗gM1
=−G·
M1
dM1
−P
2
(sen 56,3099º^i−cos 56,3099º ^j)
⃗gM2
=−G ·
M2
dM2
−P
2
(−sen56,3099º^i−cos56,3099 º ^j)
→ ⃗gT
=⃗g1
+ ⃗g2
=−7.4 ·10
−10
N/Kg
2. El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
VO
=−G·
M1
dM1
−O
−G·
M2
dM2
−O
=−6,67·10
−11
·
10Kg
3m
−6,67·10
−11
·
10Kg
3m
=−4,45·10
−10
J /Kg
Ejercicio B1
1. ¿Dónde tendrá mayor velocidad orbital un satélite terrestre con órbita elíptica: en el apogeo
(punto más distante de la tierra) o en el perigeo (punto más cercano a la tierra). Explique por
qué. (1 Punto)
Según la 2ªLey de Kepler, los planetas se mueven con
velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición de
cada satélite barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto
implica que, en puntos más cercanos a la tierra y para que
esa velocidad areolar se mantenga constante, la velocidad
orbital del satélite sea mayor. Por tanto, en el perigeo.
TEMA 3: TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL PÁGINA SOL-EJ-PAU74

2. Defina la velocidad de escape de un objeto en un planeta y explique cómo varía si se duplica la
masa del objeto. (1 punto)
La velocidad de escape es la velocidad mínima con la que debe lanzarse un cuerpo para
que escape de la atracción gravitatoria de dicho planeta de forma que, al escapar de su
influjo, la velocidad del cuerpo sea 0.
Conocemos que:
ve
=
√2·G·M
R
Por tanto, si un objeto duplica su masa la velocidad de escape no aumentará puesto que
no depende de la masa del objeto sino de las constantes M, G y de la distancia al centro del
planeta.
Junio 15
Ejercicio A1
1. Un satélite artificial describe una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra con una
velocidad de 3073 m/s . ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra está orbitando?
Determine su periodo de rotación en horas. (1 punto)
m·
v
2
r
=G·
M·m
r
2
→m·
3073
2
r
=6.67·10
−11
·
5.98 ·10
24
·m
r
2
→r=4.22·10
7
m
Que corresponde a una altura de h=4.22·10
7
m−6.37·10
6
m=3.59 ·10
7
m
El período de rotación será T =
√4 π
2
r
3
G·M T
=
√ 4 π
2
(4.22·10
7
)
3
6.67·10
−11
·5.98·10
24
=86245,422≃1día
Es, por tanto, un satélite que podríamos considerar geoestacionario.
2. ¿Qué es una órbita geoestacionaria? ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en dicha órbita?
(1 punto)
Se denomina así a las órbitas que realizan los satélites que estan siempre sobre la
misma vertical terrestre. Su período de rotación es, por tanto, de 24 horas. Un ejemplo claro
es el satélite METEOSAT, que realiza fotografías siempre sobre la misma vertical terrestre.
La aceleración de este tipo de satélites se calcula a partir de:

g=G·
M T
r
2
=
v
2
r
v=
2 ·π ·r
T
}→rgeoestacionario
=
3
√
G·MT
·T
4 π
2
=
3
√6.67 ·10
−11
·5.98 ·10
24
·(24·60·60)
4 π
2
rgeoestacionario
=4.2156·10
7
m
g=G·
M T
r
2
=6.67 ·10
−11
·
5.98 ·10
24
4.2156·10
7
=0,2244m/s
2
Ejercicio B1
Sobre el cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko de masa 10
13
Kg y 25 km
3
de volumen se
posó el módulo espacial Philae (de masa 100 kg) transportado por la sonda espacial Rosetta. Debido a
que el módulo Philae no dispone de propulsión propia, la sonda Rosetta se aproximó hasta 22,5 km de la
superficie del cometa y allí abandonó al módulo Philae en caída libre con una velocidad inicial nula
respecto al cometa, que supondremos esférico. Calcule:
1. La velocidad con la que Philae impactó sobre el cometa. (1 punto)
Para realizar este cálculo suponemos un único campo gravitatorio debido al cometa (no
consideramos influencias exteriores). Aplicamos energías:
E1
=−G
MCometa
·msonda
r1
E2
=
1
2
·msonda
·vsonda
2
−G
MCometa
·msonda
r2
}→E1
=E2
→
→−G
MCometa
·msonda
r1
=
1
2
·msonda
·vsonda
2
−G
MCometa
·msonda
r2
→vsonda
=
√2 ·G·MCometa
·(
1
r2
−
1
r1
)
Para calcular el radio del cometa empleamos la fórmula del volúmen de la esfera:
VCometa
=
4
3
πrcometa
3
→rcometa
=
3
√3
4
VCometa
π =
3
√3
4
(25·10
9
m
3
)
π =1813.9144m
Y entonces vsonda
=
√2 ·6.67 ·10
−11
·10
13
·(
1
1813.9144
−
1
(1813.9144+22500)
)=0.825m/s
2. El peso del módulo Philae sobre la superficie del cometa. (1 punto)
P=m·g=m·G ·
MCometa
rCometa
2
=100·6.67 ·10
−11
·
10
13
1813.9144
2
=0,0203Kg

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