1. Хугацаан цуваа буюу ДИНАМИК ЭГНЭЭ
(Time Series)

2. Öàã õóãàöààíû öóâàà ãýæ þó âý?
T1 T2 T3 T4 … Tn-2 Tn-1 Tn
Y1 Y2 Y3 Y4 … Yn-2 Yn-1 Yn
Õóãàöààíû òîäîðõîé àãøèí ýñâýë çàâñàðò øèíæëýí áóé
¿çýãäýë þìñûí õýìæýýã èëòãýæ áàéãàà ¿ç¿¿ëýëò¿¿äèéã
äèíàìèê ýãíýý ãýæ íýðëýäýã.
Äèíàìèê ýãíýýíèé ò¿âøèí
Öàã õóãàöàà

3. Òîî ìýäýýíèé àíãèëàë (á¿ðòãýãäñýí öàã
õóãàöààíààñ íü õàìààòóóëñàí)
3
 Õºíäëºí îãòëîëä áóþó íýã öàã õóãàöààíä á¿ðòãýãäñýí òîî ìýäýý
(cross sectional)
 Öàã õóãàöààíû öóâàà (time series)
 Pooled cross section òîî ìýäýý
(Çàðèì òîî ìýäýý öàã õóãàöààíû öóâàà áîëîí íýã öàã õóãàöààíä á¿ðòãýãäñýí
òîî ìýäýýíèé àëü àëèíûõ íü øèíæèéã äàâõàð àãóóëæ áàéäàã. Æèøýý íü
1999, 2004 îíä ºðõèéí ñóäàëãààã ñàíàìñàðã¿é ò¿¿âðèéí àðãààð èæèë
àñóóëãûí õóóäàñ àøèãëàí ÿâóóëñàí ãýæ ¿çüå. Ýíý òîõèîëäîëä ò¿¿âðèéí
õýìæýýã ºñãºõèéí òóëä õî¸ð îíû ºðõèéí ìýäýýëëèéã íýãòãýæ áîëäîã.)
 Panel áóþó longitudinal òîî ìýäýý
(Æèøýý íü 1980, 1985, 1990 îíû áàéäëààð 5 àéìãèéí õ¿í àìûí òîî, ýð¿¿ë
ìýíäèéí çàðäëûí îðîí íóòãèéí òºñºâò ýçëýõ õýìæýýíèé òàëààð òîî ìýäýý
öóãëóóëàõ)

4. Хэлбэлзлийнх нь зүй тогтлоос хамааруулаад
•Чиг хандлагат динамик эгнээ гэнэ.
•Цикл хэлбэлзэлтэй динамик эгнээ.
•Улирлын хэлбэлзэлтэй динамик эгнээ
•Гэнэтийн буюу шокын өөрчлөлттэй динамик эгнээ.

5. Хүн амын дундах нийт сүрьеэгийн өвчлөл
(10000 хүн тутамд), 1962-2010 он
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010

6. 2002-2015 он хүртэлх уушигны сүрьеэгийн
өвчлөлийн хандлага (сараар)

7. Экстраполяци хийх энгийн
арга

8. Судлагдаж байгаа юмс үзэгдлийн ирээдүйн чиг
хандлагыг экстраполяцийн тусламжтайгаар
хугацааны тодорхой үед прогнозчлоход дараахь
энгийн аргуудыг ашиглана.
Өсөлтийн дундаж хурдыг ашиглан чиг хандлагыг
тооцохдоо дараахь 3 аргыг хэрэглэнэ.

9. 1. Арифметик дунджийн арга.
Энэ аргыг хугацааны үе бүхэнд абсолют өөрчлөлт нь тогтмол, харьцангуй
өсөлтийн хурд буурах хандлагатай динамик үзүүлэлтийн хувьд ашиглахад тохиромжтой.
Томъѐолбол:
Үүнд: - суурь оны тоо хэмжээ
- n оны тоо хэмжээ
- Арифметик өсөлтийн дундаж хурд
n - хоѐр үеийн хоорондох хугацаа
)1(12 арифkyy
)21(13 арифkyy
))1(1(1 арифn
knyy
1
y
n
y
k
)1(1
1
ny
yy
k n
ариф

10. 2. Геометр дундажын арга
Энэ аргыг абсолют өөрчлөлт нь модулиараа хугацаа ахих тусам нэмэгддэг, харьцангуй
өсөлтийн хурд нь тогтмолдуу динамик үзүүлэлтийн хувьд ашиглахад тохиромжтой.
Томъѐолбол:
Үүнд: - суурь оны тоо хэмжээ
- n оны тоо хэмжээ
- Геометр өсөлтийн дундаж хурд
n - хоѐр үеийн хоорондох хугацаа
)1(12 геоkyy
2
13
)1( геоkyy
1
1
)1(
n
геоn
kyy
1
y
n
y
k
1
1
1n
n
гео
y
y
k

11. 3. Экспоненциаль дунджийн арга
Экспоненциаль дундаж нь тухайн үзүүлэлт маш богино хугацаанд тасралтгүй өсөхийг харуулна.
Геометрийн дунджаар тооцсон тухайн үзүүлэлтийн өсөлтийн дундаж хурд нь геометр дунджийнхаас
илүү байна.
Экспоненциаль дундаж нь 20-25 жил буюу урт хугацааны өсөлтийн хурдыг тооцоход тохиромжтой
Томъѐолбол:
Үүнд: - суурь оны тоо хэмжээ
- n оны тоо хэмжээ
- Экспоненциаль өсөлтийн дундаж хурд
n - хоѐр үеийн хоорондох хугацаа
)1(12
экспонk
eyy
)1(
2
13
экспонk
eyy
)1(
)1(
1
экспонkn
n
eyy
1
y
n
y
k
)1(
)ln(
1
n
y
y
k
n
экспон

12. Жишээ: Хүн амын тооны сүүлийн 5 жилийн талаарх мэдээллийг ашиглан 2008
оны өсөлтийн дундаж хурдыг тооцвол:
(мянгаар)
Хүн амын өсөлтийн чиг хандлагаас харахад 2003-2007 оны хооронд абсолют
утга жил бүр өсөх хандлагатай байгаа учир өсөлтийн дундаж хурдыг геометр
дундажаар тооцъѐ.
Хүн амын 2008 оны тоо: мянгад
хүрэхээр байна
Он 2003 2004 2005 2006 2007
Хүн амын тоо 2504 2533.1 2562.3 2594.8 2635.2
Өсөлт,
хэлхээ
аргаар
Үнэмлэхүй - 29.1 29.2 32.5 40.4
Хувь - 101.16 101.15 101.27 101.56
0128.01
0.2504
2.2635
4k
4.2668)0128.01(0.2504
5
2008
y
11
1
n
n
гео
y
y
k

13. Àíàëèòèê æèãäð¿¿ëýëò
•Ìàòåìàòèê òîìú¸îëîëûí òóñëàìæòàéãààð
äèíàìèê ýãíýýíèé îíîëûí ò¿âøèíã
òîäîðõîéëîõ àðãà íü àíàëèòèê æèãäð¿¿ëýëò þì
• Àíàëèòèê æèãäð¿¿ëýëòèéã øóëóóí øóãàì,
õî¸ðäóãààð, ãóðàâäóãààð ýðýìáèéí ïàðàáîë,
ãèïåðáîë, èëòãýãч ôóíêöèéí õýëáýð¿¿äèéã
àøèãëàäàã.

14. Динамик эгнээний аналитик арга
Динамик эгнээг ашиглан судалж буй үзэгдлийн
хандлагын шинжилгээ хийж тэгшитгэлээр
илэрхийлснээр дараа үеүүдийн чиг хандлагыг
урьдчилан прогнозчлох боломжтой.
Динамик эгнээний тоон утгын өөрчлөлт, график
дүрслэлийг хослуулан түүний хэлбэрийг сонгоно.

15. Эдгээр тэгшитгэлийн томъѐо дараах байдалтай байна.
1. Шугаман тэгшитгэл
Нэг параметртэй
Хоѐр параметртэй
- тэгшитгэсэн төв
- параметр
- хугацааны дугаар
2. II- эрэмбийн парабол
Нэг параметртэй
Хоѐр параметртэй
Гурван параметртэй
tayt 1
taayt 10
t
y
a
t
tayt 2
2
2
tayt
2
210
tataayt

16. 3. III эрэмбийн парабол
4. Гипербол
5. Илтгэгч функц
хоѐр параметртэй
гурван параметртэй
6. Зэрэгт функц
7. Логарифм функц
8. Логистик функц
3
3
2
210
tatataayt
taat
R
y
10
101
t
t
aay 10
2
210
10
tataa
t
y
1
0
a
t
tay
tataayt
ln210
t
a
ayt
1
0

17. Динамик эгнээний тоон утгын өөрчлөлтөөр
тэгшитгэлийг сонгох
1. Хэрвээ динамик эгнээний түвшингүүдийг абсолют
өөрчлөлт нь тогтмол тооны орчим өөрчлөгдөж байвал
шулуун шугаман тэгшитгэлийг сонгоно.
1342312
........ nn
yyyyyyyy

18. 2. Хэрэв динамик эгнээний түвшингүүдийн II эрэмбийн абсолют
өөрчлөлт нь тодорхой нэг тооны орчимд өөрчлөгдөж байвал II-
эрэмбийн парабол тэгшитгэлүүдээс сонгоно.
Хоѐрдугаар эрэмбийн абсолют өөрчлөл (хоѐрдугаар эрэмбийн ялгавар)
Мөн адил гуравдугаар эрэмбийн абсолют өөрчлөлт нь тодорхой тооны
орчимд өөрчлөгдөж байвал логистик функц тэгшитгэлийг сонгоно.
)()(............)()()()( 211233412231 nnnnnn
yyyyyyyyyyyyd

19. Динамик эгнээний үзүүлэлтийн өсөлтийн хурд тогтмол
байвал илтгэгч хэлбэрийн тэгшитгэл буюу тэгшитгэлийг
сонгоно.
Энэ гурван тохиолдлоос бусад үед тэгшитгэлийг
график дүрслэл болон үзүүлэлтийн статистикийн ач
холбогдлыг шалган сонгоно.

20. Динамик эгнээний графикаар
тэгшитгэлийг сонгох
1. Динамик эгнээний утга пропорциональ байдлаар бага
хурдаар өөрчлөгдөж байвал шулуун шугаман тэгшитгэл (Зураг-
1)-ийг сонгоно.

21. 2. График нь нэг оройтой нуман муруй хэлбэртэй юмуу, мөн тийм
болох төлөвтэй, бас хэлхээ цэвэр өсөлт нь шугаман хандлагаар
өөрчлөгдөж байгаа цуваанд II эрэмбийн параболын тэгшитгэл
(Зураг 2)-ийг сонгоно.

22. 3. График нь хэвийн тархалтын муруйн тал шиг юмуу хоѐр
оройтой, муруй хэлбэртэй бол III эрэмбийн параболын тэгшитгэл
(Зураг 3)-ийг сонгоно.

23. 4. Хугацаа ахих тутам түвшин буурч, тэгш өнцөгт координатын
системийн абсцисс, ординат тэнхлэгтэй параллель маягаар
өөрчлөгдөж байвал гипербол (Зураг 4)-ийг сонгоно.

24. 5. Түвшнүүдийн өөрчлөлт огцом юмуу нэлээд төвөгтэй нөхцөлд
илтгэгч функц, нэлээд удаан үед логарифм функцийг сонгоно.
6. График нь II эрэмбийн парабол, гиперболынхтой төсөөтэй
боловч нэлээд ялгаатай, дундаж өөрчлөлт нь ямар нэг тодорхой
хязгаартай бол зэрэгт функц (Зураг 5)-ийг сонгоно.

25. 7. Динамик эгнээний утга нэг үе тогтонги байснаа хязгаартай өсч,
дараа нь бас тогтонги байвал логистик функц (Зураг 6)-ийг
сонгоно.

26. Жишээ: Хүн амын 1997- 2007 оны тоон мэдээлэлд үндэслэн
2008-2028 оны хэтийн тооцооллыг хийе. Хүн амын 1997-2007
оны тооны өөрчлөлтөөс харахад өсч буурсан төвөгтэй
өөрчлөлттэй (Зураг 7) байгаа учир дээр дурьдсан
тэгшитгэлүүдээс хоѐр параметртэй илтгэгч тэгшитгэлийг сонгох
нь тохиромжтой байна.
t
t
aay 10
taayt 10
logloglog
tytata
ytana
t
t
log
log
2
10
10

27. 5225.2650666
3152.46611
10
10
aa
aa
3578.00
a 0057.01
a
3578.0log 0
a 0057.0log 1
a
27986.20
a 01330.11
a
tt
t
aay 01330.127986.210
6712.201330.127986.2
12
)12(2008
y
8537.2)17(2013
y
0486.3)22(2018
y
2568.3)27(2023
y
4792.3)32(2028
y
Манай улсын хүн ам 1997 оны түвшингээс 12 жилийн дараа буюу 2008 онд 2.671 сая, харин
2013 он буюу 17 жилийн дараа 2.853 сая болохоор байна.

28. Динамик эгнээний интерполяци
Экстраполяцийн аргыг ашиглах үед динамик
эгнээний тодорхой хугацааны түвшин мэдэгдэхгүй
байх тохиолдол гарна. Энэ үед уг түвшинг тооцож
олоход интерполяцийн аргыг хэрэглэнэ

29. Хүн амын 1999-2001 оны динамикаас (Хүснэгт 1) 2000
оны тоо нь мэдэгдэхгүй байвал 2000 оны хүн амын тоог
дараахь аргаар олно.
1. Төвийн аргаар тодорхойлох нь:
2. Цэвэр өсөлтийг ашиглан тооцох нь:
2408
2
5.24425.2373
2
20001999
yy
y
5.34
2
5.23735.2442
2
19992001
yy
y
24085.345.237319992000 y
yy

30. Эдгээр аргаар тодорхойлсон хүн амын 2000 оны тоо нь жинхэнэ
утгаас нэгдүгээр болон хоѐрдугаар аргаар тооцсоноор 0.02 хувиар,
гуравдугаар аргаар тооцсоноор бол 0.03 хувиар тус тус хэлбэлзэж байна.
3. Өсөлтийн дундаж хурдыг ашиглан хэрэгцээт түвшингүүдийг тодорхойлж
болно.
Хүн амын 2002 болон 1998 оны тоог ашиглан 2000 оны хүн амын тоог
тодорхойлбол:
014.1
1.2340
4.2475
44
1998
2002
1
1
0
y
y
y
y
k n
n
жилn 5
7.2406014.15.2373019992000
kyy

31. Äèíàìèê ýãíýýíèé øèíæèëãýý,
ïðîãíîçчèëàë
• Ñóäëàãäàæ áàéãàà þìñ ¿çýãäëèéí èðýýä¿éã
ýêñòðàïîëÿöèéí òóñëàìæòàéãààð õóãàöààíû òîäîðõîé
ìóæèä ïðîãíîç èëàõ çàìààð òîäîðõîéëîõ ýíãèéí
áîëîìæ áàéäàã. ¯¿íä:
• Òóõàéí ò¿âøèí äýýð àáñîëþò öýâýð ºñºëòèéí
äóíäæèéã äàðààëóóëàí íýìýõ çàìààð (öýâýð ºñºëò íü
íü ìàø áàãà õýëáýëçýëòýé)
• Ñóäàëæ áàéãàà þìñ ¿çýãäëèéí äèíàìèêèéí ºñºëòèéí
êîýôèöåíòýä òîãòìîë øèíæ õàäãàëàãäàæ áàéâàë
äàðààëóóëàí ºñºëòèéí êîýôôèöèåíòýýð ¿ðæ¿¿ëæ
äàðàà äàðààãèéí äèíàìèêèéí ò¿âøèíã òîäîðõîéëæ
áîëíî.

32. Äèíàìèê ýãíýýíèé
øèíæèëãýý, ïðîãíîçчèëàë
• Õýä õýäýí ¿ç¿¿ëýëò¿¿äèéí äèíàìèê ººðчëºëò¿¿äèéí
õîîðîíä õàðèëöàí õàìààðëûã áîäîëöîí ¿çýæ íýã äèíàìèê
ýãíýýã íºãººãèéí ººðчëºëòòýé óÿëäààòàéãààð
ýêñòðàïîëÿöàëæ áîëíî.
• Äèíàìèê ýãíýýíèé òýãøèòãýëèéí òîìü¸îãîîð äàðàà
äàðààãèéí ¿å õóãàöààíû ò¿âøèíã òîäîðõîéëîõ çàìààð
ýêñòðàïîëÿöëàæ áîëíî. Ýíý íü òóõàéí ñóäàëæ áàéãàà þìñ
¿çýãäëèéí ººðчëºãäºõ õàíäëàãûã àøèãëàæ áàéãàà õýëáýð
þì.
• Àâòîðåãðåññèéí òýãøèòãýë áóþó àâòîêîððåëÿöèéí àðãà
ç¿éãýýð àíàëèòèê àðãààð ýêñòðàïîëÿöëàõ òîõèîëäîë
áàéäàã.

33. Ïðîãíîçчëàë íü ºíãºðñºí ¿åèéí ìýäýýëýëä
áîëîâñðóóëàëò õèéõ çàìààð àâч ¿çýæ áàéãàà íü
òóõàéí ñóäàëæ áàéãàà þìñ ¿çýãäýëä íºëººëæ áàéäàã
îëîí õ¿чèí ç¿éëñ¿¿äèéã áîäîëöîæ ¿çýýã¿é íü
ýðñäýëòýé áàéõ òàëòàé áàéäàã. Ïðîãíîçчëàëûã
òºëºâëºãººòýé õóòãàí ¿çýæ áîëîõã¿é.
Äèíàìèê ýãíýýíèé
øèíæèëãýý, ïðîãíîçчèëàë

34. Энгийн регрессийн шинжилгээ
Магадлалын онол математик статистик хичээл дээр үзэж
байсанчлан регрессийн тэгшитгэл гэдэг нь Y буюу хамааран хувьсагчийн
нөхцөлт дунджийн Х хүчин зүйлээс хамаарсан функц юм.
Функцийн хэлбэр ямар байхаас хамаараад регрессийн тэгшитгэл нь
шугаман ба шугаман бус хэлбэртэй байна. Мөн хүчин зүйлийн
тооноос хамааруулан хосын регрессийн тэгшитгэл, олон хүчин
зүйлийн регрессийн тэгшитгэл гэж ангилдаг.
Нэг Ү, нэг Х-ийн хамааралыг илэрхийлсэн регрессийн тэгшилгэлийг
хосын, нэг Ү, хоѐроос дээш Х-ийн хамааралыг харуулсан
регрессийн тэгшитгэлийг олон хүчин зүйлийн гэдэг.

35. Анхаарал хандуулсанд баярлалаа.