статистик тархалт

© Boardworks Ltd 20061 of 58
Түгээмэл хэрэглэгддэг
статистик тархалтууд

Яагаад тархалт чухал байдаг вэ?
1. Ихэнхи юмс үзэгдэл шинж чанарыг хувьд
ойролцоо байдаг.
2. Тухайн үзэгдэлийн боломжит магадлал
харилцан адилгүй байж болно.

Жишээ нь: Мозамбик улсын Maputo, Cuamba хотын хүн
амын нийгэм эдийн засгийн судалгаа.
Maputo Cuamba P
Literate 1671/1789 (93%) 598/943 (63%) <0.0001
Access to toilet in the home 659/1785 (37%) 5/941 (1%) <0.0001
Access running water in the
home
1068/1789 (60%) 67/942 (7%) <0.0001
Hunger in the past 3 months 378/1772 (21%) 343/935 (37%) <0.0001
Poverty 913/1772 (52%) 460/942 (49%) 0.18
Mean age of key informant
(years)
32.2 (12.8,1795) 36.0 (14.4,888) <0.0001
Years of education
7.3±2,3
(1796)
3.6±2,0
(943)
<0.0001
Number of rocms
2.6±1,0
(1796)
2.4±1,0
(943)
<0.0001
Number of people
6.1±2,8
(1788)
5.2±2,5
(943)
<0.0001
Crowing (number of people
room)
2.6±1,5
(1781)
2.4±1,6
(912)
0.04

Жишээ: (үргэлжлэл)
1. Боловсролын түвшин ойролцоогоор
хэвийн тархалттай байна гэж үзье. Тэгвэл
Maputo хотын хүн амын дунд 10-с дээш
жил боловсрол эзэмшсэн байх магадлалыг
(тархалт) тооц.
a) P(X>10) = 10-с дээш жил / нийт хүн ам ?
Тэгвэл: Хэрхэн тооцох вэ?

Хэвийн тархалт

Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагч нь хязгааргүй олон
эерэг тоон утгатай ч зарим тохиолдолд тодорхой
интервал бүхий утгыг авч байдаг. Үүнийг дараах
интервалаас харж болно.
Нэг өдөрт суралцах хугацаа
0 63 9 1512 18 2421
Нэг өдөрт суралцах
боломжит утга нь 0-24
цагийн хооронд байна.
Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчын тархалтыг
тасралтгүй магадлалт тархалт гэнэ.

Хамгийн түгээмэл ашиглагддаг магадлалт тархалт ~
Хэвийн тархалт нь: Х санамсаргүй хувьсагчын
тасралтгүй магадлалт тархалтыг хэлнэ.
Хэвийн тархалтын муруй ~ Давтамжын полигон
Хэвийн
тархалтын муруй
x

Хэвийн тархалтыг тодорхойлох
1. Дундаж = Медиан = Моод
2. Хэвийн тархалтын муруй нь хонхон хэлбэртэй, тэгш
хэмтэй.
3. Нийт дүрсийн талбай нь 1 тэнцүү.
4. Хэвийн тархалтын муруй нь Х тэнхлэгтэй огтлолцохгүй.
5. Хэвийн тархалт нь μ − σ ба μ + σ (муруйн төв хэсэг),
мэдээллийн төв хэсэг оршино. Уг цэгийн хазайлтын цаг
гэх бөгөөд мэдээллийн 5% оршино.

μ − 3σ μ + σμ − 2σ μ − σ μ μ + 2σ μ + 3σ
Хазайлтын цэг
Нийт талбай= 1
Х ~ тасралтгүй тоон хувьсагч
µ - дундаж
σ – стандарт хазайлт
2 2
( ) 21
=
2
xμ σ
y e
σ π
- -
. = 2.178 = 3.14eπ
x

Дундаж ба Хэлбэлзэл
Хэвийн тархалт нь мэдээллийн шинж чанараас
хамаараад өөр байна.
Дундаж : μ = 3.5
Стандарт хазайлт :
σ ≈ 1.3
Дундаж : μ = 6
Стандарт хазайлт :
σ ≈ 1.9
Дундаж утга нь тэгш
хэмийн шугамтэй
давхцана
Стандарт хазайлт нь мэдээллийн далайцыг илтгэнэ.
Хазайлтын
цэг
Хазайлтын
цэг
3 61 542
x
3 61 542 97 11108
x

Дундаж ба Хэлбэлзэл
Жишээ нь:
1. Аль тархалтын дундаж илүү вэ?
2. Аль тархалт нь илүү хэлбэлзэлтэй вэ?
31 5 97 11 13
A
B
x

График ~ Тайлбар
Жишээ нь:
Эмч эмнэлгийн ажиллагсадын ажлын ачааллыг судлаж
үзэхэд 2014 онд дотрын эмч 1 өвчтөнд зарцуулах хугацаа
8 минут байсан бол өмнөх онд хэд байсан бэ?
μ = 8 σ ≈ 0.7
6 87 9 10
Хугацаа (минут)
x

Хэвийн тархалт яагаад чухал вэ?
• Олон үзэгдлүүд хэвийнтэй ойролцоогоор
тархсан байдаг. Жишээ нь давсны
хэрэглээ, өндөр, артерын даралт г.м
• Статистикийн олон аргууд хэвийн
тархалтаар тархсан олонлогт
зориулагдсан байдаг.
–Т тестүүд
–ANOVA
–Регрессийн шинжилгээ гэх мэт 13

Хэвийн тархалтыг шинжлэх
14
Графикийн аргууд Тоон аргууд
Дескриптив Навч-ба-үндэс,
box plot,
гистограмм
Skewness, Kurtosis
Онол P-P plot
Q-Q plot
Kolmogorov-
Smirnov test,

Стандарт нормал
тархалт

−3 1−2 −1 0 2 3
z
Стандарт нормал тархалт
Стандарт нормал тархалт: 0 дундажтай 1 дисперстэй
хэвийн тархалт
Хэвтээ тэнхлэг дагуу
z-scores.
- -Value Mean
= = .
Standard deviation
xμ
z
σ

Хэрэв санамсаргүй хуьсагч нь хэвийн тархалттай бол
бүх утгыг z-оноо болгон хувиргах ба үр дүн нь стандарт
нормал тархалт байна.
Z оноонд харгалзах магадлалт тархалтын утгыг
Хавсралт В харна.
−3 1−2 −1 0 2 3
z

Стандарт нормал тархалтыг үнэлэх
1. Тархалтын доод хил 0 байх ба түүн харгалзах оноо z = −3.49
байна.
2. Тархалтын хувь нэмэгдэхэд z-оноо мөн нэмэгдэнэ.
3. z = 0 үед нийт тархалтын 0.5000 буюу 50% оршино.
4. Tархалтын дээд хил 1 байх ба түүнд харгалзах оноо z = 3.49
байна.
z = −3.49
Area is close to 0.
z = 0
Area is 0.5000.
z = 3.49
Area is close to 1.
z
−3 1−2 −1 0 2 3

Жишээ:
• Судалгаанд оролцогчдын дундаж
даралт 80, стандарт хазайлт 12 байсан
гэвэл эдгээр хүмүүсийн диастолын
даралт нь хөнгөн зэргийн даралт ихсэлт
байх магадлалыг тооц.
%5.15
155.0
7977.09522.0
)83.0()67.1(
)67.183.0Pr(
)
12
80100
12
8090
Pr()10090Pr(
=−
=Φ−Φ
=<<
=
−
<<
−
=<<
x
xx

Стандарт нормаль тархалт
Жишээ:
Z=2.71 үе дэх тархалтыг олох.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964
2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974
2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981
Зүүн алын баганаас харгалзах Z-оноог олно.
Мөрийн дагуу 0.01 байхаар сонгоно.
Зүүн талт утга z = 2.71 үед 0.9966.
Appendix B: Standard Normal Table

Стандарт нормаль тархалт
Жишээ:
z-оноо −0.25 үе дэх тархалтыг олох
z .09 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 .00
−3.4 .0002 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003
−3.3 .0003 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0005 .0005 .0005
Зүүн талын бага дахь утгыг харах Z= −0.2 ,
Мөрийн дагуу 0.05 байхаар харна.
Зүүн талт утгаz = −0.25 is 0.4013
−0.3 .3483 .3520 .3557 .3594 .3632 .3669 .3707 .3745 .3783 .3821
−0.2 .3859 .3897 .3936 .3974 .4013 .4052 .4090 .4129 .4168 .4207
−0.1 .4247 .4286 .4325 .4364 .4404 .4443 .4483 .4522 .4562 .4602
−0.0 .4641 .4681 .4724 .4761 .4801 .4840 .4880 .4920 .4960 .5000

Тархалтыг үнэлэх
1. Стандарт нормаль тархалтын муруйн доод магалалыг
тооцох.
a. To find the area to the left of z, find the area that
corresponds to z in the Standard Normal Table.
1. Use the table to find
the area for the z-score.
2. The area to the
left of z = 1.23
is 0.8907.
1.230
z

Магадлалыг тооцох
Finding Areas Under the Standard Normal Curve
b. To find the area to the right of z, use the Standard
Normal Table to find the area that corresponds to z.
Then subtract the area from 1.
3. Subtract to find the area to
the right of z = 1.23:
1 − 0.8907 = 0.1093.
1. Use the table to find
the area for the z-score.
2. The area to the
left of z = 1.23 is
0.8907.
1.230
z

Finding Areas Under the Standard Normal Curve
c. To find the area between two z-scores, find the area
corresponding to each z-score in the Standard Normal
Table. Then subtract the smaller area from the larger
area.
Guidelines for Finding Areas
4. Subtract to find the area of
the region between the two z-
scores: 0.8907
− 0.2266 = 0.6641.
1. Use the table to find the area for the
z-score.
3. The area to the left
of z = −0.75 is
0.2266.
2. The area to the
left of z = 1.23
is 0.8907.
1.230
z
−0.75

Жишээ:
z = −2.33 дээш байх магадлалыг тооц
Стандарт нормаль тархалтын хүснэгтээс харвал
0.0099 байна.
Тархалтын муруйг
байгуулах !
−2.33 0
z

Жишээ:
Нормаль тархалтын утга нь z = 0.94 дээш
байх магадлалыг тооцох.
байгуулах
0.8264
1 − 0.8264 = 0.1736
0.940
z

Жишээ:
Нормаль тархалтын утга z = −1.98 z = 1.07
хооронд байх магадлалыг тооцох.
байгуулах
0.8577 − 0.0239 = 0.8338
0.8577
0.0239
1.070
z
−1.98

Хэвийн тархалт:
Магадлал

Магадлал ба Хэвийн тархалт
Нийслэлийн өргөө амаржих газарт төрж буй
хэвийн төрөлтийн давтамж нь хэвийн
тархалттай байдаг гэвэл хоногт 15 доош хэвийн
төрөлт тохиолдох магадлалыг ол.
P(x < 15)
μ = 10
σ = 5
15μ =10
x

Ижил төстэй
P(x < 15) = P(z < 1)
15 доош хэвийн төрөлт тохиолдох магадлал
= 0.8413
15μ =10
P(x < 15)
μ = 10
σ = 5
x
1μ =0
μ = 0
σ = 1
z
P(z < 1)

Жишээ:
Оюутнуудын статистикийн тестийн дундаж оноо 78
стандарт хазайлт 8. Хэрэв шалгалтын оноо хэвийн
тархалттай байдаг гэвэл шалгалтанд 90 доош оноо авах
магадлалыг ол.
P(x < 90) = P(z <1.5) = 0.9332
-
=
90-78
=
8
xμ
z
σ
= 1.5
μ =0
z
?1.5
90μ =78
P(x < 90)
μ = 78
σ = 8
x

Жишээ:
Хэрэв оюутнуудыг шалгалтын дундаж оноо 78 стандарт
хазайлт нь 8 байдаг гэвэл санамсаргүй нэг оюутан
сонгоход 85 дээш оноо авсан байх магадлал хэд байх
вэ? (шалгалтын оноо хэвийн тархалттай)
P(x > 85) = P(z > 0.88) = 1 − P(z < 0.88) = 1 − 0.8106 = 0.1894
85-78
= =
8
x -μ
z
σ
≈= 0.875 0.88
μ =0
z
?0.88
85μ =78
P(x > 85)
μ = 78
σ = 8
x

Жишээ:
Хэрэв оюутны шалгалын дундаж оноо 78 стандарт
хазайлт нь 8 байсан гэвэл 60-с 80 хооронд үнэлгээ
авсан байх магадлал хэд байх вэ? (шалгадтыг оноо
хэвийн тахалттай)
P(60 < x < 80) = P(−2.25 < z < 0.25) = P(z < 0.25) − P(z < −2.25)
- -
1
60 78
= =
8
xμ
z
σ
-= 2.25
2
- -
=
80 78
=
8
xμ
z
σ
= 0.25
μ =0
z
?? 0.25−2.25
= 0.5987 − 0.0122 = 0.5865
60 80μ =78
P(60 < x < 80)
μ = 78
σ = 8
x

Хэвийн тархалт:
Критик утга үнэлэх

Z оноог тооцоолох
Жишээ:
Тархалтын утга нь 0.9973 байх Z оноог ол.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964
2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974
2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981
1. Стандарт тархалтын хүснэгтээс тархалтын утгыг олно.
2. Багана болон мөрийн дагуу критик утгыг харна.
z-оноо 2.78.
2.7
.08

Жишээ:
Бага ангийн сурагчдын цүнхий дундаж жин 1.25 стандарт
хазайл 0.1 бүхий хэвийн тархалттай байдаг. Нийт сурагчдын
8 хүртэлх хувь нь хэдэн кг жин байх вэ?
=xμ+ zσ? 0
z
8%
P(z < ?) = 0.08
P(z < −1.41) = 0.08
−1.41
1.25
x
?
1.25 ( 1.41)0.1= + −
= 1.11
1.11

Бином тархалт

Бодит амьдрал дээрх ихэнхи юмс үзэгдэлийг статистик
тархалтын тусламжтайгаар загварчилж болдог. Үүнд:
Статистик тархалтын хэрэглээ
Нийт насанд хүрэгчдийн дунд 120-с дээш IQ-тэй хүн
амын эзлэх хувийг тооц?
Стастистик мэдээллээс харахад мотоциклтой холбоотой
осол гэмтэл 2 өдөр дундажаар 1 удаа тохиолддог байна.
Тэгвэл 7 хоногт хэдэн удаа тохиолдох вэ?
Нийт хүн амын 12% нь зүүн гартай байдаг. Нэг ангийн 30
оюутанаас 6 нь зүүн гартай байх магадлал хэд байх вэ?

Бином тархалт нь дараах нөхцөлтэй байна:
Томъёо: X ~ B(n , p).
Туршилтаас гарах үр дүн тоологдом (n)
Туршилтаас гарах үр дүн бие биеэсээ үл хамаарах
2 эсрэг утга бүхий үр дүн
Туршилт бүр дэх үр дүнгийн магадлал тогтмол (p)
n ба p параметр

Дараах тохиодолоос аль нь бином тархалтаар
загварчлагдах вэ?
Binomial
Not
binomial
Binomial
Жон шалгалтын явцад 40 асуултаас
санамсаргүйгээр сонгох ба асуултанд буруу
хариулах магадлал.
А цүнхэд 6 цэнхэр 8 ногоон бөмбөлөг байсан
бол санамсаргүйгээр 5 бөмбөлөг сонгоход
бүгд цэнхэр байх магадлал.
Цүхнэд 6 цэнхэр 8 ногоох бөмбөлөг байсан.
Санамсаргүйгээр 5 бөмбөлөг сонгоход
цэнхэр өнгийн бөмбөлөг гарах магадлал
Үр дүн үл хамаарах биш
1
2
3

Дараах мэдээллээс аль нь Бином тархалттай вэ?
Not
binomial
Not
binomial
Binomial
Шоог 6 буух хүртэл орхижээ. Хэдэн удаа
орхиход 6 буух вэ?
А зам дээрх хурд хэтрүүлэн явж буй
жолоочын тоо.
Жош 10 хүүхэдтэй. Охинтой байх
магадлал.
1
2
3
Туршилтын тоо тодорхой бус
Туршилтын тоо тодорхой биш

Хэрэв X ~ B(n , p), буюу
үүнд q = 1 – p.
( ) , , ,...P for 0 1 2n x n x
xX x C p q x n−
= = =
( ) . . .12 1 11
1P 1 0 4 0 6 0 01741X C= = × × =
( ) . . .12 3 9
3P 3 0 4 0 6 0 142X C= = × × =
Number of
possible
sequences
Probability
of x
successes
Probability
of n – x
failures
( ) . . . .12 0 12 12
0P 0 0 4 0 6 0 6 0 00218X C= = × × = =
P(X > 1) = 0.980
a)
b) P(X > 1) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1).
Жишээ: X ~ B(12, 0.4).
a) P(X = 3)
b) P(X > 1).

( ) . . .10 4 6
4P 4 0 51 0 49 0 197X C= = × × =a)
b)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
. . . .
.
.
. . .
10 8 2 10 9 10
8 9
P 8 P 8 P 9 P 10
0 51 0 49 0 51 0 49 0 51
0 04945 0 01144 0 0011
0 21
9
06
X X X X
C C
≥ = = + = + =
= × × + × × +
= + +
=
Жишээ: Хэрэв эрэгтэй хүүхэд төрөх магадлал 0.51
байдаг. Тэгвэл 10 хүүхэдтэй айлд:
a) 4 хүүхэд нь эрэгтэй байх;
b) Доод тал нь 8 эрэгтэй хүүхэдтэй байх .

40-с дээш насны эмэгтэйчүүдийн дундах чихрийн
шижингийн тархалт 0.25 хувьтай гэвэл санамсаргүйгээр
16 хүн сонгоход хэдэн хүн илрэх вэ?
Жишээ:
Хэрэв X ~ B[16, 0.25], үед
E[X] = 16 × 0.25 = 4
ба Var[X] = 16 × 025 × 0.75 = 3
Х санамсаргүй хувьсагч бином тархалттай болX ~ B(n, p),
E[X] = np
Ба Var[X] = np(1 – p) = npq.
Бином тархалтын дундаж ба
хэлбэлзэл
E[X] засварлагдсан
дундаж буюу
хазайлтгүй үнэлгээ.

0-5 хүртэлх насны хүүдүүдийн
дундах осол гэмтэлд өртөх
магадлал 0.3) байдаг
Тэгвэл: B(10, 0.3)
Магадлалын утга өсөн нэмэгдэх байна P(X ≤ x).
Бином тархалтын магадлалын
хүснэгт
x P(X ≤ x)
0 0.0824
1 0.3294
2 0.6471
3 0.8740
4 0.9712
5 0.9962
6 0.9998
7 1.0000
P(X ≤ 5) = 0.9962
P(X = 4) = P(X ≤ 4) – P(X ≤ 3)
= 0.9712 – 0.8740
= 0.0972
P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0.6471
= 0.3529

Жишээ: Хүн амын дундах сүрьеэгийн халдвар хүн
тутмын 1 тохиолддог. Хэрэв санамсаргүйгээр 20 хүн
сонгоход халдвартай байх магадлалыг тооц.
a)Халдавртай 3 тохиолдол илрэх;
b) 6 буюу түүнээс дээш халдвар илрэх
Бином тархалтыгн хүснэгт ашиглах:
B(20, 0.25)
a) P(X = 3) = P(X ≤ 3) – P(X ≤ 2)
= 0.2252 – 0.0913
= 0.1339
b) P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – 0.6172
= 0.3828
Бином тархалтын магадлал
x P(X ≤ x)
0 0.0032
1 0.0243
2 0.0913
3 0.2252
4 0.4148
5 0.6172
6 0.7858
… …

Пуассоны тархалт

Жишээ
Хэрэв Баруун Нилийн халуурал сар
тутамд 2 хүнд тохиолддог гэвэл 1000
хүнд 0,1,2,3,4,5,6 тохиолдол илрэх
магадлалыг тооц

1) 15 минутын хугацаанд зөрж өнгөрөх авто
машины тоо.
Could be Poisson
Poisson
Not Poisson
2) Минутанд алдагдах цацраг идэвхит
бодисын хэмжээ.
3) Нэг өдөр эмнэлгээс гарах хог
хаягдалын хэмжээ.

4) 1мл усан дахь бохирдолын хэмжээ.
5) Шалгалтын тестэнд алдаатай хариулах
тохиолдол.
6) Х өдөрт гарах зам тээврийн ослын тоо.
Could be Poisson
Could be Poisson
Not Poisson

X ~ Po(λ), үед
x = 0, 1, 2, 3, …
!
P( = ) =
x
e
X x
x
−λ
λ
Магадлалыг тооцоолох
( )
!
0.85 3
0.85
P = 3 =
3
e
X
−
×
= 0.0437
Чихрийн шижинтэй хүмүүсийн хувьд 100 хүн тутмын 85
нь олдмолоор тохиолдсон байдаг бол
Тэгвэл X ~ Po(0.85). байх P(X = 3).

P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2).
.
.
!
0 85 0
0 85
P( = 0) =
0
e
X
−
×
Тэгвэл, P(X > 2) = 1 – 0.9451
= 0.0549
= 0.4274
.
.
!
0 85 1
0 85
P( =1) =
1
e
X
−
×
= 0.3633
.
.
!
0 85 2
0 85
P( = 2) =
2
e
X
−
×
= 0.1544
X ~ Po(0.85). үед P(X > 2).

a) Дээрх мэдээлэл Пуассоны тархалттай байдаг гэвэл:
(i) 4 дуудлага;
(ii)2-с дээш дуудлага.
Яаралтай түргэн тусламжын төвд 1 минутанд
дундажаар 1.75 дуудлага ирдэг байнабайдаг.

a) X = нэг минутанд ирэх дуудлагын тоо. X ~ Po(1.75).
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
.
.
!
1 75 4
1 75
P( = 4) =
4
e
X
−
×
.
.
( )
!
1 75 0
1 75
P 0
0
e
X
−
×
= =
Тэгвэл, P(X ≤ 2) = 0.744
= 0.0679
= 0.1738
.
.
( )
!
1 75 1
1 75
P 1
1
e
X
−
×
= = = 0.3041
.
.
( )
!
1 75 2
1 75
P 2
2
e
X
−
×
= = = 0.2661

Binomial distributions
Mean and variance of a binomial
Use of binomial tables
The Poisson distribution
Poisson tables
Mean and variance
Approximating a binomial by a Poisson
Contents
Poisson tables

Tables of probabilities exist for many Poisson distributions.
The tables are cumulative, that is they give P(X ≤ x).
Пуассон тархалт
λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821
x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873
x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438
x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576
x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912
x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580
x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858
If X ~ Po(1.5), P(X ≤ 4) = 0.9814

If X ~ Po(1.5), P(X = 2) = P(X ≤ 2) – P(X ≤ 1)
= 0.8088 – 0.5578
= 0.251
λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821
x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873
x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438
x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576
x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912
x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580
x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858
Poisson tables

If Y ~ Po(2), P(Y > 1) = P(Y = 2, 3, 4, …)
= 1 – P(Y ≤ 1)
= 1 – 0.4060
= 0.594
λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821
x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873
x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438
x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576
x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912
x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580
x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858
Poisson tables

a) Calculate the probability that
i) more than 10 customers will arrive in a 15 minute interval;
ii) exactly 2 customers will arrive in a 1 minute interval.
b) Find the time interval such that the probability of no
customers arriving during that interval is 0.2.
Examination-style question
A corner shop has on average 18 customers per hour.
Assume that a Poisson distribution is appropriate.

a) Let X1 be the random variable for the number of customers
arriving in a 15 minute interval.
X1 ~ Po(18 ÷ 4), so X1 ~ Po(4.5).
P(X1 > 10) = 1 – P(X1 ≤ 10)
= 1 – 0.9933 (using tables)
= 0.0067
= 0.9964 – 0.9631 (from tables)
Let X2 be the random variable for the number of customers
arriving in a 1 minute interval.
X2 ~ Po(18 ÷ 60), so X2 ~ Po(0.3).
P(X2 = 2) = P(X2 ≤ 2) – P(X2 ≤ 1)
= 0.0333

b) Let Y be the number of customers arriving in an interval of
length t minutes.
!
0.3 0
0.3(0.3 )
=
0
t
te t
e
−
−
0.3
= 0.2t
e−
Then Y ~ Po(18t ÷ 60), so Y ~ Po(0.3t).
From the question, P(Y = 0) = 0.2
We can find P(Y = 0) in terms of t:
P(Y = 0) =
t−0.3 =ln0.2
t
−
ln0.2
=
0.3
= 5.36 minutes

Poisson tables
Mean and variance
Contents
Mean and variance

Suppose that X ~ Po(λ).
It can be shown that the mean and variance of X are equal:
This result provides us with a useful, informal way to test
whether a variable could be modelled by a Poisson
distribution.
E(X) = Var(X) = λ
Mean and variance

Example: The table below shows the number of goals
scored by each team in matches in the Premiership during
the period from August 21st
to September 12th
2005.
Mean and variance
r 0 1 2 3 4 5 or more
Frequency, f 21 19 10 3 3 0
Calculate the values of the mean and variance of this
data. Discuss whether these values support the use of
a Poisson distribution as a model for the data.

Now calculate the variance:
It can be seen that the mean and the variance are
approximately equal, suggesting that a Poisson distribution
might be a suitable model for this data.
Mean and variance
2 2 2 2
=(0 ×21)+(1 ×19)+...+(4 ×3) =134x f∑
2
221 134 60
Variance =
n 56 56
x f x
 
− = − ÷
 
∑
The mean of the data is:
= 1.245 (4 s.f.)
(0×21)+(1×19)+(2×10)+(3×3)+(4×3) 60
= = =1.071
56 56
x

Using a Poisson distribution with the same mean as the data,
calculate the theoretical frequencies for 0, 1, 2, 3, 4, or at
least 5 goals in a match.
Fitting a Poisson model to data
r 0 1 2 3 4 5 or more
Frequency, f 21 19 10 3 3 0
It is possible to fit a Poisson model to a set of data.
The table below shows the number of goals scored by each
team in matches in the Premiership during the period from
August 21st to September 12th 2005.

.
.
! !
1 071 0
1 071
P( 0)
0
r
e e
X
r
λ
λ− −
= = =
.
.
.
!
1 071 1
1 071
P( =1) = = 0 3670 (4 s.f.)
1
e
X
−
.
.
.
!
1 071 2
1 071
P( = 2) = 0 1965 (4 s.f.)
2
e
X
−
=
Let X represent the number of goals scored by a team in a
Premiership match.
The mean of the data was 1.071 goals per match.
We therefore adopt a Po(1.071) distribution to model X.
If X is the random variable for the number of goals scored:
= 0.3427 (4 s.f.)
etc…

x P(X = x) Expected frequencies
0 0.3427
1 0.3670
2 0.1965
3 0.0702
4 0.0188
5 or more 0.0048
P(X ≥ x) is found by
subtracting the sum of the
other probabilities from 1.

0.0048
x P(X = x) Expected frequencies
0 0.3427 19.2
1 0.3670 20.6
2 0.1965 11.0
3 0.0702 3.9
4 0.0188 1.1
5 or more 0.3
The expected frequencies
can be found by multiplying
the probabilities by the total
frequency, i.e. 56.

x f Expected frequencies
0 21 19.2
1 19 20.6
2 10 11.0
3 3 3.9
4 3 1.1
5 or more 0 0.3
We can see that these expected frequencies are quite
close to the frequencies that were actually observed,
which suggests that the Poisson distribution appears to be
a reasonable model for the data.

Poisson tables
Mean and variance
Contents

The previous activity showed that there are circumstances
when a Poisson distribution provides a good approximation
to a binomial distribution.
If X ~ B(n, p), then X can reasonably be approximated by a
Poisson distribution with mean np if
Two frequently used rules of thumb are
n is large, and
p is small.
n > 50 and np < 5, or
n > 50 and p < 0.1.
Note: It is sometimes
convenient to
approximate a
binomial with a
Poisson distribution
because it is slightly
easier to calculate
probabilities using a
Poisson distribution.

A drug manufacturer has found that 2% of patients taking a
particular drug will experience a particular side-effect.
A hospital consultant prescribes the drug to 150 of her
patients.
Using a suitable approximation calculate the probability that:
a) None of her patients suffer from the side-effects.
b) No more than 5 suffer from the side-effects.

The exact distribution of X is B(150, 0.02).
!
3 0
3
0
e−
×
Let X represent the number of patients experiencing these
side-effects.
Since n is large and p is small, X ≈ Po(150 × 0.02)
So, X ≈ Po(3).
a) P(X = 0) = = 0.0498 (3 s.f.)
b) P(X ≤ 5) = 0.9161 (directly from tables).

Examination-style question:
The probability that a directory enquiry service gives out the
correct phone number has been estimated to be 0.975.
a) Sabah requires 10 phone numbers. Find the probability
that the service gives her at least 9 correct numbers.
b) A large organisation requests 140 phone numbers. Find
the probability that more than 135 of them are given out
correctly.

. .10 9
9P( = 9) = 0 975 (1 0 975)X C × × −
10 10 0
10P( =10) = 0.975 (1 0.975)X C × × −
So, P(X ≥ 9) = 0.1991 + 0.7763
.= 0 1991
= 0.7763
= 0.9754
a) Let X be the random variable for the number of correct
phone numbers given to Sabah.
Then X ~ B(10, 0.975).
P(X ≥ 9) = P(X = 9) + P(X = 10).

Судалгааны явцад анхаарах
зүйлс
1. Судлах зүйл тодорхой эсэх
2. Түүвэр хүн амын төлөөлөх чадвар
3. Мэдээ материал цуглуулах арга зөв эсэх
4. Мэдээллийг үнэлэх арга зам байгаа эсэх
5. Дата шивэлт зөв эсэх
6. Тайлан бичилт
84

Судалгаа үндсэн зарчим
85

Түүвэрлэлт холбоотой
алдаа
ТӨЛӨӨЛӨХ ЧАДВАР
Судлагдахууны үр нөлөөг үнэлэхэд түүврийн
хэмжээ хүрч байгаа эсэх
Шалгах арга: Урьдчилсан судалгаа (Pilot
study) явуулах

Аргачлалын зөрүү
Харьцуулсан (үндэслэл бүхий судалгаа)
судалгааны үед өмнөх судалгааны арга
загвар өөр байх.
Үүнд:
– Мэдээллийг үнэлэх арга өөр
– Стандарт, дүрэм журманд өөрчлөлт орох
– Түүврийн тоо хангалтгүй байх

СИСТЕМ АЛДАА
Системтэй алдаа (bias)
1. Судалгааны загварыг сонгох
2. Статистик боловсруулалтын явцад
3. Хүчин зүйл ба өвчний хоорондын хамааарлыг
гажуудуулж, буруу тодорхойлоход хүргэдэг
алдаа.

Сонголтын алдаа (Selection Bias)
– Тохиолдол-хяналтын судалгааны
хувьд: эмнэлэгт хэвтэж буй
өвчтөнүүдийг хяналтын бүлэгт сонгон
оруулах
– Кохорт судалгааны хувьд: сайн дураар
оролцогсод

Мэдээллийн алдаа (Information Bias)
– Илрүүлэлтийн алдаа
– Оношлогооны алдаа
– Эргэн санах алдаа
– Ангилалын алдаа

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН
НӨЛӨӨ
Судалж буй хүчин зүйл ба өвчний хоорондын бодит
хамаарлыг гажуудуулах нөлөө бүхий гуравдагч хүчин
зүйл (confounding)
Шалтгааны хамаарал
Хүчин зүйл
Өвчин
Гуравдагч хүчин зүйл

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ БОЛОХ
НӨХЦӨЛ
1. Тухайн хүчин зүйл судалж буй өвчинтэй
тодорхой хамааралтай (өөр нэг шалтгаан
нь ч байж болно)
1. Судалж буй хүчин зүйлтэй тодорхой
хэмжээгээр холбоотой боловч түүнээс
шууд шалтгаалахгүй

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ:
ЖИШЭЭ
Судалж буй
хүчин зүйл
Өвчин
Гуравдагч
хүчин зүйл
Жирэмсэн үедээ кофе ихээр
уух
Бага жинтэй хүүхэд
төрүүлэх
Тамхи
Эстероген орлуулах Хөхний хавдар Нас
Хар тугалга Оюуны хомсдол Эмзэг бүлэг
Агаарын бохирдол Уушгины хавдар Тамхи

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ: ЖИШЭЭ
Тохиолдол Хяналт
Кофе хэрэглэдэггүй 450 400
Кофе хэрэглэдэг 50 100

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ:
ЖИШЭЭ
Тамхи татдаггүй Тамхи татдаг
Тохиолдол Хяналт Тохиолдол Хяналт
Кофе хэрэглэдэггүй 75 150 375 230
Кофе хэрэглэдэг 25 80 25 20

ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН
НӨЛӨӨГ ХЯНАХ НЬ
• Төлөвлөлтийн шатанд:
– Санамсаргүй хуваарилалт
– Хязгаарлалт
– Ижилсүүлэх
• Боловсруулалтын шатанд
– Бүлэглэн боловсруулалт хийх
– Тохируулга хийх
– Олон хүчин зүйлийн анализ (multivariate)

САНАМСАРГҮЙ ХУВААРИЛАЛТ
(төлөвлөлтийн шат)
1. Бидэнд мэдэгдэж буй болон мэдэгдэхгүй
байгаа бүх хүчин зүйлийн хувьд
судалгааны бүлгүүд хоорондоо төстэй
болно
2. Гэвч зөвхөн туршилтын судалгаанд
ашиглах боломжтой

ХЯЗГААРЛАЛТ (төлөвлөлтийн шат)
• Тохиолдол хяналтын судалгаа, кохорт
судалгаанд ашигладаг
• Судалгаанд орсон бүх хүн тухайн хүчин зүйлийн
нөлөөний хувьд ижил байх (дан тамхи татдаггүй
хүмүүс гм)
• Бэрхшээл:
– Судалгаанд хамрагдах хүний тоо цөөрнө
– Үр дүнг нийт хүн амд хамаатуулах боломжгүй
– Зөвхөн урьдчилан тодорхойлсон хүчин зүйлүүдийг
хянах боломжтой
– “Хавсарсан нөлөөлөл” үзэгдлийг ажиглах боломжийг
хязгаарладаг

ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА
(төлөвлөлтийн шат)
1. Тохиолдол хяналтын судалгаанд илүү
тохиромжтой
2. Гуравдагч хүчин зүйлийн нөлөөллийн хувьд
тохиолдолтой яг ижил нэг ба түүнээс дээшхи
хяналтын хүнийг сонгох арга
3. Тохиолдлын тоо цөөн үед судалгааны
статистик ач холбогдлыг дээшлүүлнэ
4. Ялгааг илрүүлэх чадварыг нэмэгдүүлдэг

• Боловсруулалт хийх нь:
– Ердийн 2 х 2 хүснэгтээс өөр
– a, b, c, d нүднүүдэд хувь хүмүүс бус
ижилсүүлсэн хосууд бичигднэ
– OR=b/c

Бэрхшээлүүд:
– Үнэтэй бөгөөд цаг хугацаа их
зарцуулагдна
– Ижилсүүлэх боломжтой хүчин зүйлийн
тоо хязгаарлагдмал
– Ижилсүүлсэн хүчин зүйл, өвчний
хоорондын хамаарлыг тогтоох боломжгүй
– Хэт ижилсүүлэх аюултай

БҮЛЭГЛЭХ АРГА (боловсруулалтын
шат)
• Статистик боловсруулалтыг гуравдагч хүчин
зүйлд өртсөн байдлаар нь тус тусад нь тооцох
• Хэрэв:
– OR=OR1=OR2 Гуравдагч хүчин зүйл нөлөөлөөгүй
– OR≠(OR1=OR2) Гуравдагч хүчин зүйл
нөлөөлсөн
– OR≠OR1≠OR2 Хавсарсан нөлөөлөл

ХАВСАРСАН НӨЛӨӨЛӨЛ
• Гуравдагч хүчин зүйл нь судалж буй хүчин
зүйл ба өвчний хоорондын хамаарлын хүчийг
өөрчилж байвал хавсарсан нөлөөлөл (effect
modification) гэнэ.
• Өөрөөр хэлбэл судалж буй хүчин зүйл ба
өвчний хоорондын хамаарал гуравдагч хүчин
зүйл нөлөөлсөн эсэхээс хамааран өөр байх
• Хавсарсан нөлөөллийг илрүүлэх нь чухал ач
холбогдолтой “нээлт” байж болно

ГАДААД БА ДОТООД ХҮЧИН ТӨГӨЛДӨР
БАЙДАЛ
• Сонгосон Судалгааны Судалгааны
хүн ам хүн ам
дүн
• Нийт хүн ам
Дотоод
Гадаад
Гадаад

Асуулт?

Анхаарал хандуулсан
баярлалаа

статистик тархалт

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à статистик тархалт

Similaire à статистик тархалт (8)

Plus de Serod Khuyagaa

Plus de Serod Khuyagaa (9)

статистик тархалт

Notes de l'éditeur