This presentation is about t-test

1. 11
IInnddeeppeennddeenntt SSaammpplleess tt--TTeesstt ((oorr 22--
SSaammppllee tt--TTeesstt))
AAddvvaanncceedd RReesseeaarrcchh MMeetthhooddss iinn PPssyycchhoollooggyy
BByy
SShhaajjaarr KKhhaann
AAlliiggaarrhh MMuusslliimm UUnniivveerrssiittyy MMaallaappppuurraamm CCeennttrree,, KKeerraallaa

2. 22
WWhheenn ttoo uussee tthhee iinnddeeppeennddeenntt ssaammpplleess tt--
tteesstt
 TThhee iinnddeeppeennddeenntt ssaammpplleess tt--tteesstt iiss pprroobbaabbllyy tthhee ssiinnggllee mmoosstt
wwiiddeellyy uusseedd tteesstt iinn ssttaattiissttiiccss..
 IItt iiss uusseedd ttoo ccoommppaarree ddiiffffeerreenncceess bbeettwweeeenn sseeppaarraattee ggrroouuppss..
 IInn PPssyycchhoollooggyy,, tthheessee ggrroouuppss aarree oofftteenn ccoommppoosseedd bbyy
rraannddoommllyy aassssiiggnniinngg rreesseeaarrcchh ppaarrttiicciippaannttss ttoo ccoonnddiittiioonnss..
 HHoowweevveerr,, tthhiiss tteesstt ccaann aallssoo bbee uusseedd ttoo eexxpplloorree ddiiffffeerreenncceess
iinn nnaattuurraallllyy ooccccuurrrriinngg ggrroouuppss..
 FFoorr eexxaammppllee,, wwee mmaayy bbee iinntteerreesstteedd iinn ddiiffffeerreenncceess ooff
eemmoottiioonnaall iinntteelllliiggeennccee bbeettwweeeenn mmaalleess aanndd ffeemmaalleess..

3. 33
When to use the iinnddeeppeennddeenntt ssaammpplleess tt--tteesstt
((ccoonntt..))
 AAnnyy ddiiffffeerreenncceess bbeettwweeeenn ggrroouuppss ccaann bbee eexxpplloorreedd
wwiitthh tthhee iinnddeeppeennddeenntt tt--tteesstt,, aass lloonngg aass tthhee tteesstteedd
mmeemmbbeerrss ooff eeaacchh ggrroouupp aarree rreeaassoonnaabbllyy
rreepprreesseennttaattiivvee ooff tthhee ppooppuullaattiioonn.. [[11]]
 [[11]] TThheerree aarree ssoommee tteecchhnniiccaall
rreeqquuiirreemmeennttss aass wweellll.. PPrriinncciippaallllyy,,
eeaacchh vvaarriiaabbllee mmuusstt ccoommee ffrroomm aa
nnoorrmmaall ((oorr nneeaarrllyy nnoorrmmaall)) ddiissttrriibbuuttiioonn..

4. 44
EExxaammppllee 33..11
 SSuuppppoossee wwee ppuutt ppeeooppllee oonn 22 ddiieettss::
tthhee ppiizzzzaa ddiieett aanndd tthhee bbeeeerr ddiieett..
 PPaarrttiicciippaannttss aarree rraannddoommllyy aassssiiggnneedd ttoo eeiitthheerr 11--
wweeeekk ooff eeaattiinngg eexxcclluussiivveellyy ppiizzzzaa oorr 11--wweeeekk ooff
eexxcclluussiivveellyy ddrriinnkkiinngg bbeeeerr..
 OOff ccoouurrssee,, tthhiiss wwoouulldd bbee uunneetthhiiccaall,, bbeeccaauussee ppiizzzzaa
aanndd bbeeeerr sshhoouulldd aallwwaayyss bbee ccoonnssuummeedd ttooggeetthheerr,,
bbuutt tthhiiss iiss jjuusstt aann eexxaammppllee..

5. 55
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 AAtt tthhee eenndd ooff tthhee wweeeekk,, wwee mmeeaassuurree
wweeiigghhtt ggaaiinn bbyy eeaacchh ppaarrttiicciippaanntt..
 WWhhiicchh ddiieett ccaauusseess mmoorree wweeiigghhtt ggaaiinn??
 IInn ootthheerr wwoorrddss,, tthhee nnuullll hhyyppootthheessiiss iiss::
 HHoo:: wwtt.. ggaaiinn ppiizzzzaa ddiieett ==wwtt.. ggaaiinn bbeeeerr ddiieett..

6. 66
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 WWhhyy??
 TThhee nnuullll hhyyppootthheessiiss iiss tthhee ooppppoossiittee ooff wwhhaatt wwee hhooppee ttoo
ffiinndd..
 IInn tthhiiss ccaassee,, oouurr rreesseeaarrcchh hhyyppootthheessiiss iiss tthhaatt tthheerree AARREE
ddiiffffeerreenncceess bbeettwweeeenn tthhee 22 ddiieettss..
 TThheerreeffoorree,, oouurr nnuullll hhyyppootthheessiiss iiss tthhaatt tthheerree aarree NNOO
ddiiffffeerreenncceess bbeettwweeeenn tthheessee 22 ddiieettss..

7. 77
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
XX11 :: PPiizzzzaa XX22 :: BBeeeerr
11 33 11 11
22 44 00 00
22 44 00 00
22 44 00 00
33 55 11 11
22 44
00..44 00..44
C = 1
2
1 1 (C - C )
C = 2
2
2 2 (C - C )
=
C - C
= å
n
sx
2
2 ( )
Column 3
Column 4

8. 88
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 TThhee ffiirrsstt sstteepp iinn ccaallccuullaattiinngg tthhee iinnddeeppeennddeenntt ssaammpplleess tt--tteesstt
iiss ttoo ccaallccuullaattee tthhee vvaarriiaannccee aanndd mmeeaann iinn eeaacchh ccoonnddiittiioonn..
 IInn tthhee pprreevviioouuss eexxaammppllee,, tthheerree aarree aa ttoottaall ooff 1100 ppeeooppllee,,
wwiitthh 55 iinn eeaacchh ccoonnddiittiioonn..
 SSiinnccee tthheerree aarree ddiiffffeerreenntt ppeeooppllee iinn eeaacchh ccoonnddiittiioonn,, tthheessee
““ssaammpplleess”” aarree ““iinnddeeppeennddeenntt”” ooff oonnee aannootthheerr;;
ggiivviinngg rriissee ttoo tthhee nnaammee ooff tthhee tteesstt..

9. 99
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 TThhee vvaarriiaanncceess aanndd mmeeaannss aarree ccaallccuullaatteedd sseeppaarraatteellyy ffoorr eeaacchh
ccoonnddiittiioonn
((PPiizzzzaa aanndd BBeeeerr))..
 AA ssttrreeaammlliinneedd ccaallccuullaattiioonn ooff tthhee vvaarriiaannccee ffoorr eeaacchh ccoonnddiittiioonn
wwaass iilllluussttrraatteedd pprreevviioouussllyy.. ((SSeeee SSlliiddee 77..))
 IInn sshhoorrtt,, wwee ttaakkee eeaacchh oobbsseerrvveedd wweeiigghhtt ggaaiinn ffoorr tthhee ppiizzzzaa
ccoonnddiittiioonn,, ssuubbttrraacctt iitt ffrroomm tthhee mmeeaann ggaaiinn ooff tthhee ppiizzzzaa ddiieetteerrss
(( 22)) aanndd ssqquuaarree tthhee rreessuulltt ((sseeee ccoolluummnn 33))..
C = 1

10. 1100
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 NNeexxtt,, aadddd uupp ccoolluummnn 33 aanndd ddiivviiddee bbyy tthhee nnuummbbeerr
ooff ppaarrttiicciippaannttss iinn tthhaatt ccoonnddiittiioonn ((nn11 == 55)) ttoo ggeett tthhee
ssaammppllee vvaarriiaannccee,,
2 = 0.4 x s
 TThhee ssaammee ccaallccuullaattiioonnss aarree rreeppeeaatteedd ffoorr tthhee ““bbeeeerr””
ccoonnddiittiioonn..

11. 1111
FFoorrmmuullaa
TThhee ffoorrmmuullaa ffoorr
tthhee iinnddeeppeennddeenntt ssaammpplleess tt--tteesstt iiss::
2
C - C
S
1 1 2
S
1
2
1 2
1 2
-
+
-
=
n
n
t
x x
, df = (n1-1) + (n2-1)

12. t = - , df = (5-1) + (5-1) = 8
1122
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 FFrroomm tthhee ccaallccuullaattiioonnss pprreevviioouussllyy,, wwee hhaavvee
eevveerryytthhiinngg tthhaatt iiss nneeeeddeedd ttoo ffiinndd tthhee ““tt..””
4.47
2 4 » -
+
.
4 4
4 .
4
After calculating the “t” value, we need to know if it is
large enough to reject the null hypothesis.

13. 1133
SSoommee tthheeoorryy
 TThhee ““tt”” iiss ccaallccuullaatteedd uunnddeerr tthhee aassssuummppttiioonn,,
ccaalllleedd tthhee nnuullll hhyyppootthheessiiss,,
tthhaatt tthheerree aarree nnoo ddiiffffeerreenncceess bbeettwweeeenn tthhee ppiizzzzaa
aanndd bbeeeerr ddiieett..
 IIff tthhiiss wweerree ttrruuee,, wwhheenn wwee rreeppeeaatteeddllyy ssaammppllee 1100
ppeeooppllee ffrroomm tthhee ppooppuullaattiioonn aanndd ppuutt tthheemm iinn oouurr 22
ddiieettss,, mmoosstt oofftteenn wwee wwoouulldd ccaallccuullaattee aa ““tt”” ooff ““00..””

14. 1144
SSoommee tthheeoorryy -- WWhhyy??
 LLooookk aaggaaiinn aatt tthhee ffoorrmmuullaa ffoorr tthhee ““tt””..
 MMoosstt oofftteenn tthhee nnuummeerraattoorr ((XX11--XX22)) wwiillll bbee ““00,,””
bbeeccaauussee tthhee mmeeaann ooff tthhee ttwwoo ccoonnddiittiioonnss sshhoouulldd
bbee tthhee ssaammee uunnddeerr tthhee nnuullll hhyyppootthheessiiss..
 TThhaatt iiss,, wweeiigghhtt ggaaiinn iiss tthhee ssaammee uunnddeerr bbootthh tthhee
ppiizzzzaa aanndd bbeeeerr ddiieett..

15. 1155
SSoommee tthheeoorryy -- WWhhyy ((ccoonntt..))
 SSoommeettiimmeess tthhee wweeiigghhtt ggaaiinn mmiigghhtt bbee aa bbiitt hhiigghheerr
uunnddeerr tthhee ppiizzzzaa ddiieett,, lleeaaddiinngg ttoo aa ppoossiittiivvee ““tt””
vvaalluuee..
 IInn ootthheerr ssaammpplleess ooff 1100 ppeeooppllee,, wweeiigghhtt ggaaiinn mmiigghhtt
bbee aa lliittttllee hhiigghheerr uunnddeerr tthhee bbeeeerr ddiieett,, lleeaaddiinngg ttoo aa
nneeggaattiivvee ““tt”” vvaalluuee..
 TThhee iimmppoorrttaanntt ppooiinntt,, hhoowweevveerr,, iiss tthhaatt uunnddeerr tthhee
nnuullll hhyyppootthheessiiss wwee sshhoouulldd eexxppeecctt tthhaatt mmoosstt ““tt””
vvaalluueess tthhaatt wwee ccoommppuuttee aarree cclloossee ttoo ““00..””

16. 1166
SSoommee tthheeoorryy ((ccoonntt..))
 OOuurr ccoommppuutteedd tt--vvaalluuee iiss nnoott ““00,,”” bbuutt iitt iiss iinn ffaacctt nneeggaattiivvee
((tt((88)) == --44..4477))..
 AAlltthhoouugghh tthhee tt--vvaalluuee iiss nneeggaattiivvee,, tthhiiss sshhoouulldd nnoott bbootthheerr
uuss..
 RReemmeemmbbeerr tthhaatt tthhee tt--vvaalluuee iiss oonnllyy -- 44..4477 bbeeccaauussee wwee
nnaammeedd tthhee ppiizzzzaa ddiieett XX11 aanndd tthhee bbeeeerr ddiieett XX22..
TThhiiss iiss,, ooff ccoouurrssee,, ccoommpplleetteellyy aarrbbiittrraarryy..
 IIff wwee hhaadd rreevveerrsseedd oouurr oorrddeerr ooff ccaallccuullaattiioonn,, wwiitthh tthhee
ppiizzzzaa ddiieett aass XX22 aanndd tthhee bbeeeerr ddiieett aass XX11,, tthheenn oouurr
ccaallccuullaatteedd tt--vvaalluuee wwoouulldd bbee ppoossiittiivvee 44..4477..

17. 1177
EExxaammppllee 33..11 ((aaggaaiinn)) CCaallccuullaattiioonnss
 TThhee ccaallccuullaatteedd tt--vvaalluuee iiss 44..4477 ((nnoottiiccee,, II’’vvee
eelliimmiinnaatteedd tthhee uunnnneecceessssaarryy ““--““ ssiiggnn)),, aanndd tthhee
ddeeggrreeeess ooff ffrreeeeddoomm aarree 88..
 IInn tthhee rreesseeaarrcchh qquueessttiioonn wwee ddiidd nnoott ssppeecciiffyy
wwhhiicchh ddiieett sshhoouulldd ccaauussee mmoorree wweeiigghhtt ggaaiinn,,
tthheerreeffoorree tthhiiss tt--tteesstt iiss aa ssoo--ccaalllleedd ““22--ttaaiilleedd tt..””

18. 1188
EExxaammppllee 33..11 ((aaggaaiinn)) CCaallccuullaattiioonnss
 IInn tthhee llaasstt sstteepp,, wwee nneeeedd ttoo ffiinndd tthhee ccrriittiiccaall vvaalluuee
ffoorr aa 22--ttaaiilleedd ““tt”” wwiitthh 88 ddeeggrreeeess ooff ffrreeeeddoomm..
 TThhiiss iiss aavvaaiillaabbllee ffrroomm ttaabblleess tthhaatt aarree iinn tthhee bbaacckk
ooff aannyy SSttaattiissttiiccss tteexxttbbooookk..
 LLooookk iinn tthhee bbaacckk ffoorr ““CCrriittiiccaall VVaalluueess ooff tthhee tt--
ddiissttrriibbuuttiioonn,,”” oorr ssoommeetthhiinngg ssiimmiillaarr..
 TThhee vvaalluuee yyoouu sshhoouulldd ffiinndd iiss::
CC..VV.. tt((88)),, 22--ttaaiilleedd == 22..3311..

19. 1199
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonntt..))
 TThhee ccaallccuullaatteedd tt--vvaalluuee ooff 44..4477 iiss llaarrggeerr iinn mmaaggnniittuuddee tthhaann
tthhee CC..VV.. ooff 22..3311,, tthheerreeffoorree wwee ccaann rreejjeecctt tthhee nnuullll
hhyyppootthheessiiss..
 EEvveenn ffoorr aa rreessuullttss sseeccttiioonn ooff jjoouurrnnaall aarrttiiccllee,, tthhiiss llaanngguuaaggee
iiss aa bbiitt ttoooo ffoorrmmaall aanndd ggeenneerraall.. IItt iiss mmoorree iimmppoorrttaanntt ttoo
ssttaattee tthhee rreesseeaarrcchh rreessuulltt,, nnaammeellyy::
 PPaarrttiicciippaannttss oonn tthhee BBeeeerr ddiieett (MM == 44..0000))
ggaaiinneedd ssiiggnniiffiiccaannttllyy mmoorree wweeiigghhtt tthhaann tthhoossee oonn
tthhee PPiizzzzaa ddiieett (MM == 22..0000)),, tt(88)) == 44..4477,, pp << ..0055
(ttwwoo--ttaaiilleedd))..

20. 2200
EExxaammppllee 33..11 ((ccoonncclluuddiinngg ccoommmmeenntt))
 RReeppeeaatt ffrroomm pprreevviioouuss sslliiddee::
PPaarrttiicciippaannttss oonn tthhee BBeeeerr ddiieett (MM == 44..0000)) ggaaiinneedd
ssiiggnniiffiiccaannttllyy mmoorree wweeiigghhtt tthhaann tthhoossee oonn tthhee PPiizzzzaa
ddiieett (MM == 22..0000)),, tt(88)) == 44..4477,, pp << ..0055 (ttwwoo--ttaaiilleedd))..
 MMaakkiinngg tthhiiss ccoonncclluussiioonn rreeqquuiirreess
iinnssppeeccttiioonn ooff tthhee mmeeaann ssccoorreess ffoorr eeaacchh
ccoonnddiittiioonn (PPiizzzzaa aanndd BBeeeerr))..

21. 2211
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS
 FFiirrsstt,, tthhee vvaarriiaabblleess mmuusstt bbee sseettuupp iinn tthhee SSPPSSSS ddaattaa eeddiittoorr..
 WWee nneeeedd ttoo iinncclluuddee bbootthh tthhee iinnddeeppeennddeenntt aanndd ddeeppeennddeenntt
vvaarriiaabblleess..
 AAlltthhoouugghh iitt iiss nnoott ssttrriiccttllyy nneecceessssaarryy,, iitt iiss ggoooodd pprraaccttiiccee ttoo
ggiivvee eeaacchh ppeerrssoonn aa uunniiqquuee ccooddee
(ee..gg..,, ppeerrssoonniidd))::

22. 2222
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 IInn tthhee pprreevviioouuss eexxaammppllee::
• DDeeppeennddeenntt VVaarriiaabbllee
== wwttggaaiinn (oorr wweeiigghhtt ggaaiinn))
• IInnddeeppeennddeenntt VVaarriiaabbllee == ddiieett
 WWhhyy??
 TThhee iinnddeeppeennddeenntt vvaarriiaabbllee (ddiieett)) ccaauusseess cchhaannggeess
iinn tthhee ddeeppeennddeenntt vvaarriiaabbllee (wweeiigghhtt ggaaiinn))..

23. 2233
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 NNeexxtt,, wwee nneeeedd ttoo pprroovviiddee ““ccooddeess”” tthhaatt ddiissttiinngguuiisshh
bbeettwweeeenn tthhee 22 ttyyppeess ooff ddiieettss..
 BByy cclliicckkiinngg iinn tthhee ggrreeyy bbooxx ooff tthhee ““LLaabbeell”” ffiieelldd iinn tthhee
rrooww ccoonnttaaiinniinngg tthhee ““ddiieett”” vvaarriiaabbllee,, wwee ggeett aa ppoopp--uupp
ddiiaalloogg tthhaatt aalllloowwss uuss ttoo ccooddee tthhee ddiieett vvaarriiaabbllee..
 AArrbbiittrraarriillyy,, tthhee ppiizzzzaa ddiieett iiss ccooddeedd aass ddiieett ““11”” aanndd tthhee
bbeeeerr ddiieett iiss ddiieett ““22..””
 AAnnyy ootthheerr 22 ccooddeess wwoouulldd wwoorrkk,, bbuutt tthheessee ssuuffffiiccee
 SSeeee nneexxtt sslliiddee..

24. 2244
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccooddiinngg))

25. EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ddaattaa vviieeww))
2255
 MMoovviinngg ttoo tthhee ddaattaa vviieeww
ttaabb ooff tthhee SSPPSSSS eeddiittoorr,, tthhee
ddaattaa iiss eenntteerreedd..
 EEaacchh ppaarrttiicciippaanntt iiss eenntteerreedd
oonn aa sseeppaarraattee lliinnee;; aa ccooddee iiss
eenntteerreedd ffoorr tthhee ddiieett tthheeyy
wweerree oonn (11 == PPiizzzzaa,, 22 ==
BBeeeerr));; aanndd tthhee wweeiigghhtt ggaaiinn
ooff eeaacchh iiss eenntteerreedd,, aass
ffoolllloowwss 

26. EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ddaattaa vviieeww))
2266
 MMoovviinngg ttoo tthhee ddaattaa vviieeww
ttaabb ooff tthhee SSPPSSSS eeddiittoorr,, tthhee
ddaattaa iiss eenntteerreedd..
 EEaacchh ppaarrttiicciippaanntt iiss eenntteerreedd
oonn aa sseeppaarraattee lliinnee;; aa ccooddee iiss
eenntteerreedd ffoorr tthhee ddiieett tthheeyy
wweerree oonn (11 == PPiizzzzaa,, 22 ==
BBeeeerr));; aanndd tthhee wweeiigghhtt ggaaiinn
ooff eeaacchh iiss eenntteerreedd,, aass
ffoolllloowwss 

27. EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ddaattaa vviieeww))
2277
 MMoovviinngg ttoo tthhee ddaattaa vviieeww
ttaabb ooff tthhee SSPPSSSS eeddiittoorr,, tthhee
ddaattaa iiss eenntteerreedd..
 EEaacchh ppaarrttiicciippaanntt iiss eenntteerreedd
oonn aa sseeppaarraattee lliinnee;; aa ccooddee iiss
eenntteerreedd ffoorr tthhee ddiieett tthheeyy
wweerree oonn (11 == PPiizzzzaa,, 22 ==
BBeeeerr));; aanndd tthhee wweeiigghhtt ggaaiinn
ooff eeaacchh iiss eenntteerreedd,, aass
ffoolllloowwss 

28. 2288
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS
((ccoommmmaanndd ssyynnttaaxx))
 NNeexxtt,, tthhee ccoommmmaanndd ssyynnttaaxx ffoorr aann iinnddeeppeennddeenntt
tt--tteesstt mmuusstt bbee eenntteerreedd iinnttoo tthhee ccoommmmaanndd eeddiittoorr..
 TThhee ffoorrmmaatt ffoorr tthhee ccoommmmaanndd iiss aass ffoolllloowwss::
 tt--tteesstt ggrroouuppss IInnddeeppeennddeennttVVaarriiaabbllee((LLeevveell11,,LLeevveell22))
 vvaarriiaabblleess==DDeeppeennddeennttVVaarriiaabbllee..
 YYoouu mmuusstt ssuubbssttiittuuttee tthhee nnaammeess ooff tthhee iinnddeeppeennddeenntt aanndd
ddeeppeennddeenntt vvaarriiaabblleess,, aass wweellll aass tthhee ccooddeess ffoorr tthhee 22 lleevveellss
ooff tthhee iinnddeeppeennddeenntt vvaarriiaabbllee.. IInn oouurr eexxaammppllee,, tthhee ssyynnttaaxx
sshhoouulldd bbee aass ppeerr tthhee nneexxtt sslliiddee 

29. 2299
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS
((ccoommmmaanndd ssyynnttaaxx)) ((ccoonntt..))
After running this syntax, the following output
appears in the SPSS output viewer
See next slide.

30. 3300
EExxaammppllee 33..11:: SSPPSSSS OOuuttppuutt vviieewweerr
Independent Samples Test

31. 3311
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 SSPPSSSS ggiivveess tthhee mmeeaannss ffoorr eeaacchh ooff tthhee ccoonnddiittiioonnss
((PPiizzzzaa MMeeaann == 22 aanndd BBeeeerr MMeeaann == 44))..
 IInn aaddddiittiioonn,, SSPPSSSS pprroovviiddeess aa tt--vvaalluuee ooff --44..4477
wwiitthh 88 ddeeggrreeeess ooff ffrreeeeddoomm..
 TThheessee aarree tthhee ssaammee ffiigguurreess tthhaatt wweerree ccoommppuutteedd
““bbyy hhaanndd”” pprreevviioouussllyy..
 HHoowweevveerr,, SSPPSSSS ddooeess nnoott pprroovviiddee aa ccrriittiiccaall vvaalluuee..
 IInnsstteeaadd,, aann eexxaacctt pprroobbaabbiilliittyy iiss pprroovviiddeedd ((pp == ..
0022))..

32. 3322
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 AAss lloonngg aass tthhiiss pp--vvaalluuee ffaallllss bbeellooww tthhee ssttaannddaarrdd ooff
““..055,,”” wwee ccaann ddeeccllaarree aa ssiiggnniiffiiccaanntt ddiiffffeerreennccee bbeettwweeeenn
oouurr mmeeaann vvaalluueess..
 SSiinnccee ““..0022”” iiss bbeellooww ““..055”” wwee ccaann ccoonncclluuddee::
 PPaarrttiicciippaannttss oonn tthhee BBeeeerr ddiieett ((MM == 44..00)) ggaaiinneedd
ssiiggnniiffiiccaannttllyy mmoorree wweeiigghhtt tthhaann
tthhoossee oonn tthhee PPiizzzzaa ddiieett ((MM == 22..00)),,
tt((88)) == 44..4477,, pp << ..011 ((ttwwoo--ttaaiilleedd))..

33. 3333
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 RReeppeeaatt ffrroomm pprreevviioouuss sslliiddee::
PPaarrttiicciippaannttss oonn tthhee BBeeeerr ddiieett ((MM == 44..0000)) ggaaiinneedd
ssiiggnniiffiiccaannttllyy mmoorree wweeiigghhtt tthhaann tthhoossee oonn tthhee PPiizzzzaa
ddiieett ((MM == 22..0000)),, tt((88)) == 44..4477,,
pp << ..0011 ((ttwwoo--ttaaiilleedd))..
 IInn AAPPAA ssttyyllee wwee nnoorrmmaallllyy oonnllyy
ddiissppllaayy ssiiggnniiffiiccaannccee ttoo 22 ssiiggnniiffiiccaanntt ddiiggiittss..
 TThheerreeffoorree,, tthhee pprroobbaabbiilliittyy iiss ddiissppllaayyeedd aass
““pp<<..0011,,”” wwhhiicchh iiss tthhee ssmmaalllleesstt pprroobbaabbiilliittyy
wwiitthhiinn tthhiiss rraannggee ooff aaccccuurraaccyy..

34. 3344
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 TThhee SSPPSSSS oouuttppuutt aallssoo ddiissppllaayyss LLeevveennee’’ss TTeesstt ffoorr
EEqquuaalliittyy ooff VVaarriiaanncceess ((sseeee tthhee ffiirrsstt 22 ccoolluummnnss iinn sseeccoonndd
ttaabbllee oonn sslliiddee 3300))..
 WWhhyy??
 SSttrriiccttllyy ssppeeaakkiinngg,, tthhee tt--tteesstt iiss oonnllyy vvaalliidd iiff wwee hhaavvee
aapppprrooxxiimmaatteellyy eeqquuaall vvaarriiaanncceess wwiitthhiinn eeaacchh ooff oouurr ttwwoo
ggrroouuppss..
 IInn oouurr eexxaammppllee,, tthhiiss wwaass nnoott aa pprroobblleemm bbeeccaauussee tthhee 22
vvaarriiaanncceess wweerree eexxaaccttllyy eeqquuaall ((VVaarriiaannccee PPiizzzzaa == 0..044 aanndd
VVaarriiaannccee BBeeeerr == 0..044))..

35. 3355
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 HHoowweevveerr,, iiff tthhiiss tteesstt iiss ssiiggnniiffiiccaanntt,, mmeeaanniinngg tthhaatt
tthhee pp--vvaalluuee ggiivveenn iiss lleessss tthhaann ““..055,,”” tthheenn wwee
sshhoouulldd cchhoooossee tthhee bboottttoomm lliinnee wwhheenn iinntteerrpprreettiinngg
oouurr rreessuullttss..
 TThhiiss bboottttoomm lliinnee mmaakkeess sslliigghhtt aaddjjuussttmmeennttss ttoo tthhee
tt--tteesstt ttoo aaccccoouunntt
ffoorr pprroobblleemmss wwhheenn tthheerree aarree nnoott
eeqquuaall vvaarriiaanncceess iinn bbootthh ccoonnddiittiioonnss..

36. 3366
EExxaammppllee 33..11 UUssiinngg SSPPSSSS ((ccoonntt..))
 TThhee pprraaccttiiccaall iimmppoorrttaannccee ooff tthhiiss ddiissttiinnccttiioonn iiss
ssmmaallll..
 EEvveenn iiff vvaarriiaanncceess aarree nnoott eeqquuaall bbeettwweeeenn
ccoonnddiittiioonnss,, tthhee hhaanndd ccaallccuullaattiioonnss wwee hhaavvee sshhoowwnn
wwiillll mmoosstt oofftteenn lleeaadd ttoo tthhee ccoorrrreecctt ccoonncclluussiioonn
aannyywwaayy,, aanndd uussee ooff tthhee ““ttoopp lliinnee”” iiss aallmmoosstt
aallwwaayyss aapppprroopprriiaattee..