COVID-19の感染者数 今後の見通しの考え方
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2020年4月25日に第 44回 Machine Learning 15 minutes で発表。(特定部分を発表後に削除。) このスライドは、かなり口頭で説明を補う部分が多かった。
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COVID-19の感染者数 今後の見通しの考え方
- 1. COVID-19の感染者数 今後の見通しの考え方 2020-04-25(土) DG LAB 下野寿之 本発表は私個人の見解であり、所属する組織の公式な意見や 成果物ではありません。
- 3. 初めに • 未知の現象への対処の方法論が問われています。 • 合理的かつ手際良い対策が、今は必要です。 • 下記は避けましょう。 • 短絡的思考 — 例. 原因と結果を逆に考える • 希望的観測 — 例. いろんな可能性の存在を忘れる • 時間の浪費 — 例. ひとつの目標だけに縛られる • 利己主義 — 例. 他の人へのリソースを奪ってしまう 4月5日の朝の草稿
- 4. 直感に反する理屈を知ること 1. 患者数と死者数は、指数関数的に増えます。 2. 潜伏期間があります。(中央値約5日,最長14日) 3. 「蔓延」対策と「感染」対策は違います。 4. 問題は「再生産する感染者数が多い人」です。 5. 既存ルール遵守/完全主義は害悪のことも。 6. 病院が人口の1%弱を収容すると破綻します。 7. 今の社会は、(たぶん永遠に)元に戻りません。 8. 政策の遂行とバグ取りは1個ずつ(検証のため)。 4月5日の朝の草稿
- 5. ここから(11ページ; 図が多め + Rのコード) 今回の話は : • 「数理モデルこそ大事」と考えます。 • AIや機械学習の話はあまりありません。 • 現在までのデータを多数引用しました。 • いくつかの国、及び、東京の話をします。 含まれていないこと : • 東京都以外の日本、及び、特定国以外の状況。
- 9. 蔓延阻止の考え方 (等比級数の和の公式) • 1+ r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + .. + rⁿ = (1 - r×rⁿ) / (1-r) • 1+ r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + .. + rⁿ ≦ 1/(1-r) (0≦ r<1 の時) • 100人の患者がいる場合: • 0.5倍ずつ拡大しても、合計200人で止まる。 • 0.6倍ずつ拡大しても、合計250人で止まる。 • 0.7倍ずつ拡大しても、合計333.33..人で止まる。 • 0.8倍ずつ拡大しても、合計500人で止まる。 • 0.9倍ずつ拡大しても、合計1,000人で止まる。 • 1.0倍ずつ拡大したら、100人ずつ増える。 • 1.1倍ずつ拡大したら、増大しつつ増える。 • 1人の患者が次に平均R₀人に感染する(基本再生産数)。
- 12. How a peak appears after "80% lockdown" Days after the blockdown Newpatientsoneachday -40 -20 0 20 40 0 5000 10000 15000 20000 25000 「8割減開始」がすぐ成功した場合:
- 13. 蔓延阻止が失敗した場合 : SIRモデルによる最終流行規模φと基本再生産数R₀の関係 : 1-φ = exp (-R₀ φ) 基本再生産数R0
- 15. 用いたコード(GNU R言語) 以上。 xt <-c (-50);# yt <- c() for(i in1:30){ xt<- unlist(lapply(xt, function(x){y<-x+rweibull(rpois(1,2.5),2.2,5.5)})) print(paste (" ",i, min(xt), max(xt) ,length(xt)) ) xt0 <-subset(xt,xt>=0) xt <- c ( subset(xt,xt<0) , sample( xt0 , rbinom(1,length(xt0),0.2)) ) yt<- c(yt,xt) } length(yt) hist( subset(yt,yt<50) , breaks=-50:50,col="orange2",las=1, ylab="Newpatients on each day", xlab="Days after the blockdown",main="Howa peak appears after "80%lockdown"")
- 21. べき乗で知るべき数 指数関数的な増大時に、暗算に使える数 • 常用対数 : • log 10 2 ≒ 0.30102 ; log 10 3 ≒ 0.4771 ; log 10 7 ≒ 0.8451 • 「9乗」は覚えてしまいましょう。 • 29 ≒ 500 +2.5% • 39 ≒ 2万 -1.5% • 79 ≒ 4000万 + 0.9% • 139 ≒ 100億 + 6% • ネイピア数 e (自然対数の底)のべき乗 : • e3 = 20 + 0.4% • e8 = 3000 - 0.6% 4月5日の朝の草稿
- 22. 基本再生産数 R0 と集団免疫 • 免疫を持つ人口が1 - R0 -1あれば、流行阻止可能。 • ただし一様性を仮定している。cf. super spreader • 新型コロナは、肺に永久的なダメージを与えうる。4月5日の朝の草稿
- 23. 武谷三男の三段階論 • 武谷三男(1911-2000) , 素粒子論の物理学者 • 量子力学に対して (1) 現象論的段階 — 単に測定結果の記述 (2) 実態論的段階 — 粒子, 模型などの概念の発生 (3) 本質論的段階 — さらに方程式で記述 • 放射線被曝について確定的影響でなく確率的影響 の考え方により単なる許容量の考え方を超えた考 えが放射線防護体系(ICRP国際勧告)としてまとめ られた。 4月5日の朝の草稿
- 24. 新たな数理モデリング • 世帯単位で考える。 • 乳幼児 o1 + 就学者 o2 + 有職者 o3 + 無職 o4 の 4個の数で各世帯を分類する • 数学的には(o1, o2, o3, o4)の組合せは無限。 • 計算機上 (o1, o2, o3, o4)の組合せは有限しかない。 • 地域ごとに、(o1, o2, o3, o4)ごとに感染者有無 の件数の推移をシミュレートする。 4月5日の朝の草稿
- 26. 素朴な試算 1日に14%ずつ増加していたとする。そして新規感染者は、4.0日目に1.14^4=1.68 人に新たな感染者を出していたとする。そして横軸x=0日から以降、突然、 1.68*0.2 = 0.336人しか新規感染者を出さないとする。すると、こういうギザギザ な曲線になる。(4日ごとにその4日前の0.336倍になるため。) f1<-function(t) (1.14^t)*( (1.14^4*0.2)^ifelse(t<0,0,ceiling(t/4))) curve(f1(x),-10,10, ylim=c(0,1)) ;abline (0,0,h=0)#<- 第0日までは指数 関数的成長。 その後、新規感染者数は、丁度4日前の0.336倍し かいないと仮定。第-4〜0日の0.336倍が第0〜4日、 その0.336倍が第4〜8日、その0.336倍が第8〜12 日となる。4日間の区間ごとに単調増加だが、 隣 合う区間は急降下する。従って、ぎざぎざになる。
- 27. 電車の乗り方の提案 1. 上記の色の塗り分けは、両端が同じ車両の数 で、どの3色も車両数はできるだけ近い数。 2. 家側を青、会社/学校側を桃色とする。どの 色に乗るかを各人が決める。 3. 同じ色の中の人(数十人から数百人)は、電車 の進む向きに対して、身長順に並ぶ。 電車の進行方向は 左右両方ありうる。 家 会社/学校 4月5日の朝の草稿
- 28. SIRモデル と SEIRモデル • SIRモデルはKermack-McKendrick モデルとも呼ぶ(稲葉先生資料) • Susceptible(未免疫); Exposed (潜伏期) ; Infectious (発症中) ; Recovered (回復) • EからRにおいて各個体の各段階の滞在期間は「指数分布」。 • 人口を連続値(実数)として捉え、離散値(整数)とは考えない。 • 集団の各個体の個体差は考えない。 (ビーカーで溶液中を撹拌しつつ、S+I(+E)+Rの各成分の量の推移に 注目したモデリングになっている。) • (実効)基本再生産数R0の解析的な算出と議論は容易。
- 29. モデルの改良 (1) • 指数分布の部分は、別の分布に置き換え可能。 • ガンマ分布 : λ個のiidな指数分布の確率変数の和。 • ワイブル分布: 時刻tの残存個体の次の単位時間当た りの非残存確率はtk/λとする(k=0なら指数分布と一致)。 How a peak appears after "80% lockdown" Days after the blockdown Newpatientsoneachday -40 -20 0 20 40 0 5000 10000 15000 20000 25000 パラメータ整数のガンマ分布に限り、乱数生成容易。Rならワイブルでも良い が、モデリングの高速計算に難ありかも知れない。 形状係数(ワイブル係数)2.2, 尺度 5.5日 https://www.sciencedirect.com/scien ce/article/pii/S1201971220301193 から逆算
- 30. モデリング後の気づき • 感染者数が、一日数百人だと、意外と少数性に よる凸凹が日単位の推移で生じる。 • 約80%の感染を拡大しない人の存在は、今回モ デリングに反映せずとも、妥当性は高いだろう。 • ポアソン分布を仮定したようなモデルと比べて実態 のずれ(分散)が何倍も大きくなりうる。 • クラスタの追跡上、最初が指数関数的増大に見えな くなる。