surface registration and discrete ricci flow

1. Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
2016/03/19
第 6 回プログラマのための数学勉強会 LT
s.t.@simizut22
Packing にまつわるあれこれ

2. 2Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
内容
こういう話(3D bin-packing)

3. 3Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
内容
じゃなくてこういう話(circle packing)

4. Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc. 4
曲面のパラメータ表示と Ricci flow

5. 5Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
内容
1. 目的意識
2. 曲面の ricci flow の概略
3. 離散化
※曲面と書いたけど、実際には大脳皮質の表面とかの話です

6. 6Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
目的意識
MRI 画像が同じものか(scale の変換/回転などの操
作をして)を判断したい
→ 二つの画像が共形的に同じか調べたい
大脳皮質の表面を平らな空間にあてはめたい
これらは同じ？ 高い次元だと難しくない？？

7. 7Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散 Ricci Flow の利点
1. 穴あき(punctured)/境界の持ち方が様々, 種数が高
い空間などを統一的に扱うことができる
2. 位相的な性質を調べるので、noise に強い(robust)
least squares conformal maps(LSCM)とか言う手法は穴を埋める必要がある

8. 8Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
surface Ricci flow の概略
𝑀 ⊂ ℝ3: を滑らかな曲面
𝑔: 誘導されたリーマン計量 𝑜𝑛 𝑀
𝑢: 𝑀 → ℝ を用いて 𝑔 = 𝑒 𝑢 𝑔 と表される新しい計量
(これは角度を保つ変換)を以下考えていく
曲面内部で(ガウス)曲率 0、境界で測地的曲率が定
数であるような計量を見つけたい…

9. 9Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
surface Ricci flow の概略
Yamabe Equation を解きましょう！！！

10. 10Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
surface Ricci flow の概略
Def(Yamabe equation)
∆𝑢 − 𝐾 = 0
𝑘 𝑔| 𝜕𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
ここで, (isothermal coordinate とか言う座標系で書く
と)
𝐾 𝑥, 𝑦 = −
1
2
𝑒−𝑢
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
𝑢
∆= −
1
2
𝑒−𝑢
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2

11. 11Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
surface Ricci flow の概略
Yamabe Equation は ricci flow を用いて解くことが
できる i.e.
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= −𝐾 𝑡
曲面に対する ricci flow は(高次元と異なって)特異
点などが存在しない。すなわち、Gausse 曲率は有
界に抑えられている
Ricci flow の収束(定曲率になる)の速度は exp order

12. 12Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
 曲面が３角形分割(仮定)
 Def(Circle packing metric)
𝑀, Γ, Φ が circle packing metric
⇔
Γ: 𝑉 → ℝ>0: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑖
Φ: 𝐸 × 𝐸 → 0,2𝜋 : 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
 𝑙𝑖.𝑗 は余弦定理を用いて、
𝑙𝑖,𝑗 = 𝛾𝑖
2 + 𝛾𝑗
2 + 2 cos 𝜙𝑖,𝑗 ∙ 𝛾𝑖 𝛾𝑗
𝜃𝑖
𝑗,𝑘
= 𝜋 − 𝜙𝑗,𝑘
で与える
Γ 𝑣𝑖 を単に 𝛾𝑖 と略記している。他も同様

13. 13Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
 Def(Discrete Gauss Curvature)
ガウス曲率を各頂点において以下で与える
𝐾 𝑣𝑖 =
𝜋 −
𝑗,𝑘
𝜃𝑖
𝑗,𝑘
, 𝑣𝑖 ∈ 𝜕𝑀
2𝜋 −
𝑗,𝑘
𝜃𝑖
𝑗,𝑘
, 𝑣𝑖 ∉ 𝜕𝑀
 Def(離散版 Gauss-Bonne の定理)
𝑣∈𝑉
𝐾 𝑣 + 𝜖𝐴 𝑀 = 2𝜋𝜒 𝑀
ここで、𝐴 𝑀 は曲面の面積、𝜒 𝑀 は euler 標数、𝜖 は 𝑀 の幾何構造に応じて
𝜖 =
1, 𝑠𝑝ℎ𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑙𝑘
0, 𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛
−1, ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐
オイラー標数・Gauss-Bonne などに関しては、第三回プログラマのための数
学勉強会 「つながり方・まがり方・大きさ」 by matsumoring などを参考に

14. 14Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
 Surface Ricci flow のアナロジーで
𝑑𝛾𝑖
𝑑𝑡
= − 𝐾𝑖 − 𝐾𝑖 𝛾𝑖
ここで、 𝐾𝑖 は頂点 における目標の曲率(境界では測地曲率)
 Ricci Energy：
𝑢 = 𝑢1, … , 𝑢 𝑛 𝑤/ 𝑢𝑖: = ln 𝛾𝑖 を用いて、ricci energy function
が次で定まる
𝑓 𝑢 =
0
𝑢
𝑖
𝐾𝑖 𝑑𝛾𝑖
この定義が path-independent であることが分かる(略)

15. 15Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
Ricci Flow の結果を用いると、次の共形変換が作れ
る
𝜏: 𝑆 → ℂ
(凸関数を最小化することで得られる)
二つの曲面 𝑆1, 𝑆2 が与えられた場合(もともとの目
的)
それぞれの曲面で ricci flow を行うと次が作れる

16. 16Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
2 次元に対してはうまく共形変換を計算できる i.e.
𝜙: 𝐷1 → 𝐷2
は比較的求めやすい

17. 17Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
離散化
𝑤/ 𝜙 ≔ 𝜏2 ∘ 𝜙 ∘ 𝜏2
−1

18. 18Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.
sample
 一番最初に載せた例はそれぞれ次のように 3-hole disk にマップされる

19. Copyright © 2011 NTT DATA Corporation
Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.