1. Topology of musical dataTopology of musical data
~introduction to Persitent homology and TDA~~introduction to Persitent homology and TDA~
プログラマのための数学勉強会2015/07/24
@simizut22
11. 補⾜足補⾜足・・対称群対称群
n 次対称群
・ n 個の要素を purmute するすべての⽅方法
・あみだくじで考えるとわかりやすい
・積: 2つのあみだを縦につなげる
・逆元: あみだの上下を逆転させる
・世の中のどこにでも表れてくる
例例((全くの蛇⾜足全くの蛇⾜足))
G = (V , E) : graph with ∣V ∣ = n
Σ ↷ Gnこのとき，頂点の名前の付け替えにより
Text
辺の接続を保存するものをグラフの同型と⾔言う
16. 1.1.1 rhythm1.1.1 rhythm のの ネックレス距離ネックレス距離
def 1.1(necklace distance)
d (f, g) = min(s, 1 − s)N
where s = ∣f − g∣ mod Z
17. def 1.2(rhythm distance)
f, g ∈ Tn
d (f, g) = min d (f , g )R ⟨σ⟩∈Cn
∑i=1
n
N i σ(i)
1.1.2 rhythm1.1.2 rhythm の距離の距離
2 つの event タイミング列 (f ) , (g )i i=i
n
i i=1
n
は巡回させて⼀一番近いのを考えるのが⾃自然だね
22. 1.2.2 chord1.2.2 chordクラス距離クラス距離
def 2.2(chord class distance)
d (f, g) = min d (f , g )CC σ ∑i=1
n
PC i σ(i)
for f, g ∈ Tn
where σ goes through ∑n
(f )i i=1
n と書いてはいるが，この index は本質でない
対称群の作⽤用で不変な距離にしよう
24. 1.1. ⽣生息する空間⽣生息する空間
for X : space
n-重積空間 X ∋ fn
と書くX
の添え字付を無視した空間を
の n-次対称積といい
Sp (X) = X /n
n
∑n
def(symmetric product)
Sp (X)n
**remark:対称積は要素数 n 以下のなす集合とは違い multiplicity も含むので注意
25. 1.1. ⾳音楽が⽣生息する空間⾳音楽が⽣生息する空間
G ⊂ : subgroup∑n に対し
Sym (X) = X /Gn
G n
と書くことにする
Sym (X) = Sp (X)n
G
n
G = ∑n例1.
例2. G = ∗
Sym (X) = Xn
G n
例3. G = ∑n−1
Sym (X) = Sp (X) × Xn
G
n−1
32. 2.1.2 chain complex2.1.2 chain complex
K : simplicial complex
K = rank k simplicesk { }
R = Z, k[x]係数環を で固定して以下議論する
C (K) = R⟨K ⟩ = r ⋅ σk k {∑r∈R,σ∈Kk
}
C (K) = C (K)∗ { k }k
def(chain complex)
33. d : C (K) → C (K)k k k−1
def : (boundary operator)
を次で与える
d ⟨v ...v ⟩ = (−1) ⟨v ... ...v ⟩k 0 k ∑i=0
k i
0 vi^ k
lem :
1. d ∘ d = 0
so
2. Im(d) ⊂ ker(d)
34. def : (homology)
H (K) = Z (K)/B (K) : homologyk k k
Z (K) = ker(d ) ⊂ K : cyclek k k
B (K) = Im(d ) ⊂ C (K) : boundaryk k+1 k
lemma の 2 から次の定義ができる
36. 2.1.32.1.3 ⾃自然性⾃自然性((関⼿手性関⼿手性))
def(chain map)
K, L : chain complex
f = (f : K → L ) is chain mapk k k
⇔ f ∘ d = d ∘ f
prop
f : K → L is chain map
⇒ f induce f : H (K) → H (L)∗ ∗ ∗
K ⊂ L : subcomplex
特に下の包含写像
38. 2.2.12.2.1 定義頑張れ定義頑張れ
: K ⊂ K ⊂ ... ⊂ K ⊂ ...K 0 1 t
単体複体の filtration: given
2. C (K ) = Z σ : free Z modulek
t
∑σ∈Kk
t 2 2
def
1. T(σ) = t ⇔ σ ∈ K Kt t−1
4. x : C ( ) → C ( ) : action of xk K k K
3. C ( ) = C (K )k K ⨁t k
t
x(c , c1, ..) = (0, c , c , ...) : right shift0 0 1
39. 2.2.12.2.1 定義頑張る定義頑張る
def
i : C (K ) → C ( )t k
t
k K
i (σ) = (0, 0, ⋯ , σ, 0, ⋯)t
を次で定義する
k-chain group C ( )k K は基底として次を持つ(ex)
Θ = e = i (σ)∣σ ∈ Kk { σ T(σ) k}
d : C( ) → C( )K K
de = (x )eσ ∑i=0
k T(σ)−T(σ )i
σi
40. 2.2.12.2.1 頑張る頑張る
prop
1. d (C (K )) ⊂ C (K )k k
t
k−1
t
2. d ∘ d = 0
(C ( ), d) is a chain complex∗ K
cor
みなさん，お疲れ様です
僕はもっと疲れました
41. def(Persitent Homology)
やっと定義やっと定義
: K ⊂ K ⊂ ... ⊂ K ⊂ ...K 0 1 t
PH ( ) = H (C( , d))∗ K ∗ K
単体複体の filtration
に対し，Persitent Homology を次で与える
実は，chain map に関する⾃自然性を使っても定義できる...
42. 異なる定義異なる定義
i : K → K (i < j) : inclusion(chain)i,j
i j
がchain map である事より次の準同型が誘導される
φ = H (i ) : H (K ) → H (K )p
i,j
p
i,j
p i p j
γ ∈ Im(φ )p
i,j
を persistent homology class と呼ぶ
43. ⽣生成消滅と⽣生成消滅とindexindex
def(born, death, index)
a)γ ∈ H (K ) is born at K ⇔ γ ∉ Im(φ )p i i p
i−1,i
i.e. γ is not a persistent
b) γ : born at K dies entering Ki j
1. φ (γ) ∈ Im(φ )i,j i−1,j
2. φ (γ) ∉ Im(φ )i,j−1 i−1,j−1
c) for γ : born at K dies entering Ki j
(index persistence of γ) = j − i
44. born at K since it does not lie in the image of K ,i i−1
dies entering K since this is the first time its image merges into the image of Kj i−1
続続・・⽣生成消滅⽣生成消滅
45. 3. apply to music3. apply to music
定義はわかった
filatration がいるんだな
え，どうしよう...
⼤大丈夫，そのために距離を⼊入れたんだ
47. 3.2. Vietris-Rips3.2. Vietris-Rips 複体複体
P = x ⊂ R{ i}i=1
m N
sample dataとする
B (x ) = y ∈ R ∣d(x , y) < r : open ballr i { N
i }
として，単体複体 R(P, r) = (V , Σ)
を以下のように定める
V = 1, .., m{ }
Σ = i , .., i ⊂ V ∣B (x ) ∩ B (x ) ≠ ϕ{{ 0 k} r is r it
}
48. r < r ⇒ R(P, r ) ⊂ R(P, r )0 1 0 1
明らかに
3.2. Vietris-Rips3.2. Vietris-Rips 複体複体
ϵ : small ⇒ R(P, ϵ) is discrete
r : large ⇒ R(P, r) is connected
⾳音楽の例では空間が有界なので
半径の列を取ることで 複体の filtration が作れる
データの距離matrix→⾃自然にfiltrationは作れる
やったね(^^)／
52. well-group(advanced-topic)well-group(advanced-topic)
Prop :
1. well group is common in fibres above U
i.e. persistent over U
2. well group is stable up to homotopy of f
well-group やそれを⽤用いた etalage を使うとよさげ
参考：homology and robustness of level and interlevel sets
http://pub.ist.ac.at/~edels/Papers/2013-J-04-InterlevelSets.pdf
54. Hall, Rachel Wells.
"Geometrical music theory."
SCIENCE-NEW YORK THEN WASHINGTON- 320.5874 (2008): 328.
Sethares, William A., and Ryan Budney.
"Topology of musical data."
Journal of Mathematics and Music 8.1 (2014): 73-92.
Bergomi, Mattia G., and Alessandro Portaluri.
"Modes in modern music from a topological viewpoint."
arXiv preprint arXiv:1309.0687 (2013).
参考⽂文献参考⽂文献
55. 教科書教科書
→
平岡 裕章
タンパク質構造とトポロジー: パーシステントホモロジー群⼊入⾨門
共⽴立出版, 2013
Edelsbrunner, Herbert
A Short Course in Computational Geometry and Topology
Springer, 2014.
Edelsbrunner, Herbert, and John Harer
Computational topology: an introduction
American Mathematical Soc., 2010. pdf lnk
