Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear khususnya materi Matriks dan Operasi Matriks. Makalah ini menjelaskan tentang notasi dan terminologi matriks, operasi-operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar, dan perkalian dua matriks. Selain itu juga membahas tentang matriks-matriks terpartisi, perkalian matriks dengan kolom dan baris, hasil kali matriks sebagai kombinasi linear

1. ALJABAR LINEAR
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Dosen Pengampu : Fitriana Rahmawati, S. Si., M. Pd.
Disusun Oleh :
KELOMPOK 3
Kelas IV D
Nama anggota
1. Diana Puspita Sari (10130068)
2. Febriyanti Fathonah (10130103)
3. Maulina Sari (10130190)
4. Nurul Komariah (10130231)
5. Siska Oktarina (10130306)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) BANDAR LAMPUNG
TA 2011/2012

2. KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami telah menyelesaikan makalah
Aljabar Linear dengan materi Matriks dan Operasi Matriks pada semester genap tahun kedua
dengan empat satuan kredit semester.
Tak ada gading yang tak retak. Begitu pula dengan makalah ini. Mungkin banyak kekeliruan
dalam makalah ini baik dari segi penulisan maupun dalam penyusunan makalah ini.
Kesempurnaan hanyalah milik Tuhan Yang Maha Esa. Oleh karena itu, dengan rendah hati
kami mohon maaf apabila kurang sesuai dengan apa yang diharapkan oleh pembaca.
Kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan dari para pembaca agar makalah ini
dapat lebih baik dan menjadi sempurna.
Demikian makalah yang dapat kami buat. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para
pembaca. Atas perhatian para pembaca, kami ucapkan terima kasih.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Bandarlampung, 2 Maret 2012
Penyusun

3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………………............ i
Daftar isi ……………………………………………………………………….......... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ……………………………………………….......... 1
BAB II PEMBAHASAN
2.1. Notasi dan Terminologi Matriks……….............................................. 2
2.2. Operasi-Operasi Matriks……………….............................................. 3
2.3. Matriks-Matriks Terpartisi………………………………………….. 8
2.4 Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan Baris…....................... 8
2.5. Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear……………………... 10
2.6. Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear…………………………... 11
2.7 Transpose Suatu Matriks ………………………………………….... 12
2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar ................................................... 13
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan …………………………………………………............... 14
DAFTAR PUSTAKA

4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri yang
meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun, bagaimanakah
cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang
dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah, permasalahan ini dapat
diselesaikan dengan matriks.
Susunan bilangan real berbentuk segi empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai
matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear. Pada subbab ini kita akan meninjau
susunan-susunan seperti itu dengan susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan
mengembangkan beberapa sifat-sifat susunan bilangan tersebut
.
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk
suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam
matriks.
Pembahasan pada makalah ini dimulai pada Notasi dan Terminologi Matriks, Operasi-
Operasai Matriks, Matriks-Matriks Terpartisi, Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan
Baris, Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linear, Bentuk Matriks dari Suatu Sistem
Linear, Transpose Suatu Matriks, dan Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar.

5. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Notasi dan Terminologi Matriks
a. Pengertian matriks
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut
entri dalam matriks.
Contoh:
2 0 3
baris 1 2 4
3 2 1
kolom
Ukuran matriks, diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertical)
yang dikandungnya.
Contoh:
2 4 1
ini adalah matriks yang berukuran 2 × 3
3 0 2
Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (atau vector kolom), dan
sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris (atau vector baris).
1
2
2 1 3
3
vektor baris
vektor kolom

6. Untuk menghilangkan tanda kurung pada matriks 1 × 1 merupakan hal umum dilakukan.
Jadi, kita boleh menuliskan 4 bukan [4]. Kita akan menggukan huruf besar untuk
menyatakan matriks dan huruf kecil untuk mewakili bilangan.
Contoh:
2 0 3
1 2 4atau B = a b c
A=
3 2 1 d e f
Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij.
Jadi, sebuah matriks umum 3 × 4 dapat di tulis sebagai:
a11 a12 a13 a14
A a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
Dan sebuah matriks umum mxn sebagai
2.2 Operasi-Operasi Matriks
Sejauh ini, kita telah menggunakan matriks untuk mempersingkat pekerjaan dalam
menyelesaikan sistem persamaan linear. Akan tetapi, untuk penerapan lainnya kita ingin
mengembangkan suatu “aritmetika matriks” dimana matriks-matriks dapat ditambahkan,
dikurangkan, dan dikalikan dengan cara yang berguna.
Definisi Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
entri-entri yang berpadanan sama.
Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka
A = B jika dan hanya jika (Aij)=(Bij), atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.
Contoh 2 Tinjau matriks-matriks

7. Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena
tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C
karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.
Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlahA+B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang
berpadanan, dan selisihA-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri
A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat
ditambahkan atau dikurangkan.
Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka
(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij
Contoh 3 Tinjau matriks-matriks
Maka
Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi.
Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil
kalicA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.
Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka
(cA)ij = c(A)ij = caij

8. Contoh 4 Untuk matriks-matriks
Kita dapatkan
Adalah umum menyatakan (-1)B dengan –B.
Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2, …, cn adalah skalar,
maka sebuah ekspresi berbentuk
c1A1 + c2A2 + … + cnAn
disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisien c1, c2, …, cn.
Misalnya, jika A, B, dan C adalah matriks-matriks dalam contoh 4, maka
2A – B + C = 2A + (-1)B + C
=
=
adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1, dan .
Sejauh ini kita telah mendefinisikan perkalian matriks dengan skalar,tetapi bukan perkalian
dua matriks. Karena matriks-matriks ditambahkan dengan menambahkan entri-entrinya yang
berpadanan dan dikurangkan dengan mengurangkan entri-entrinya yang berpadanan, maka
akan tampak masuk akal jika kitamendefinisikan perkalian matriks dengan mengalikan entri-
entrinya yang berpadanan. Akan tetapi, ternyata definisi yang demikian tidak akan sangat
berguna untuk kebanyakan masalah. Pengalaman telah membawa para matematikawan
kepada definisi perkalian matriks berikut ini yang kurang alami, tetapi lebih berguna.

9. Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil
kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk
mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j pada
matriks B. kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan
kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Contoh 5 Tinjau matriks-matriks
Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, maka hasil kali AB adalah
sebuah matriks 2x4. Misalnya, untuk menentukan entri pada baris 2 dan kolom 3 dari AB, kita
memilih baris 2 dari A dan kolom 3 dari B. Selanjutnya, sebagaimana yang diilustrasikan
dibawah ini, kita mengalikan entri-entri yang berpadanan secara bersama-sama dan
menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini.
26
(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26
Entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut.
(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13
Perhitungan untuk hasil kali-hasil kali lainnya adalah:
27
AB =

10. Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan
jumlah baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi,
hasil kalinya tidak terdefinisi. Suatu cara yang mudah untuk menentukan apakah hasil kali
dua matriks terdefinisi atau tidak adalah dengan menuliskan ukuran faktor pertama, dan
disebelah kanannya tuliskan ukuran faktor kedua. Jika sebagaimana dalam gambar2,
bilangan-bilangan yang di dalam sama, maka hasil kalinya terdefinisi. Selanjutnya, bilangan-
bilangan di luar memberikan ukuran hasil kali.
A B = AB
m x r r x n m x n
Didalam
Diluar
Contoh 6 Anggap bahwa A,B, dan C adalah matriks-matriks dengan ukuran-ukuran berikut
ini:
A B C
3 x 4 4 x 7 7 x 3
Maka AB terdefinisi dan merupaka suatu matriks 3x7; CA terdefinisi dan merupaka suatu
matriks 7x4; dan BC terdefinisi dan merupakan suatu matriks 4x3. Hasil kali AC, CB, dan BA
tak terdefinisi.
Jika A =[aij] adalah suatu matriks umum mxr dan B = [bij] adalah suatu matriks umum rxn,
maka sebagaimana yang diilustrasikan oleh bagian yang terarsir pada Gambar 3, entri (AB)ij
pada baris i dan kolom j dari AB diberikan oleh:
(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + airbrj
a11 a12  a1r
b11 b12  b1 j  b1n
a 21 a 22  a2r
b21 b22  b2 j  b2 n
  
AB    
ai1 ai 2  air br1 br 2  brj  brn
  
a m1 am2  a mr

11. 2.3 Matriks-matriks Terpartisi
Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan
menyelipkan garis horizontal dan vertical di antara baris dan kolom yang ditentukan.
Misalnya, di bawah ini terdapat tiga partisi yang mungkin dari sebuah matriks umum A, 3 x
4, -pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks A11, A12, A21 dan A22; kedua
adalah sebuah partisi A menjadi matriks-matriks baris r1, r2, dan r3; ketiga adalah partisi A
menjadi matriks –matriks kolom c1, c2, c3, dan c4;
a11 a12 a13 a14
A A12
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = 11
A21 A22
a 31 a 32 a 33 a 34
a11 a12 a13 a14 r1
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = r2
a 31 a 32 a 33 a 34 r3
a11 a12 a13 a14
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = c1 c2 c3 c4
a 31 a 32 a 33 a 34
2.4 Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris
Kadang-kadang kita mungkin ingin mendapatkan baris atau kolom tertentu dari suatu hasil
kali matriks AB tanpa menghitung keseluruhan hasil kalinya. Hasil-hasil berikut ini, yang
buktinya ditinggalkan sebagai latihan, berguna untuk maksud tersebut:
Matriks kolom ke-j dari AB = A[matriks kolom ke-j dari B] …...(3)
Matriks baris ke-i dari AB = [matriks baris ke-i dari A]B ……(4)

12. Contoh :
Jika A dan B adalah matriks-matriks dalam contoh 5, maka matriks kolom kedua dari AB
dapat diperoleh dari (3) dengan perhitungan
=
Kolom kedua Kolom kedua
B AB
B
Dan dari (4) matriks barispertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan
4 1 4 3
1 2 4 0 1 3 1 = 12 27 30 13
2 7 5 2
Baris pertama A Baris pertama AB
Jika a1, a2, …, ammenyatakan matriks-matriks baris dari A dan b1, b2, …, bn menyatakan
matriks-matriks kolom dari B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh
AB A b1 b2  bn Ab1 Ab2  Abn
(AB dihitung kolom per kolom)
a1 a1 B
a a B
AB = 2 B = 2
 
am am B
(AB dihitung baris per baris)

13. 2.4 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear
Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai
perkalian matriks.
Misalnya :
dan
Maka,
a11 x1 a12 x 2 .... a1n x n a11 a12 a1n
a 21 x1 a 22 x 2 .... a 2 n x n a 21 a 22 a2n
Ax x 1 x2 ...
     
a m1 x1 am 2 x2 .... a mn x n a m1 am2 a mn
Dari hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah
kombinasi linier dari matriks-matriks kolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari
matriks x. dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1 × m dengan sebuah
matriks A berukuran m × n merupakan sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A
dengan koefisien scalar yang berasal dari y.
Contoh:
Dapat ditulis sebagai kombinasi linier
Dan hasil kali matriks

14. Dan kombinasi liniernya
2.6 Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear
Perkalian matriks mempuyai suatu penerapan yang penting pada persamaan linear. Tinjau
sembarang sistem persamaan linear dalam n peubah.
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn bm
Selanjutnya, persamaan dari sitem linear ini dapat digantikan dengan persamaan matriks
tunggal, seperti yang dapat kita lihat di bawah ini.
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
   
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn bm
Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk
menghasilkan :
a11 a12  a1n x1 b1
a21 a22  a2 n x2 b2
    
am1 am 2  amn xn bm
Jika kita misalkan matriks-matriks di atas masing-masing dengan A, x, dan b, maka yang
didapat adalah matriks tunggal seperti berikut.

15. Ax b
Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut.
Matriks yang diperbesar untuk sistem ini diperoleh dengan menggandengkan b ke A sebagai
kolom terakhir, jadi matriks yang diperbesar adalah
a11 a12  a1n b1
a 21 a 22  a2 n b2
A b
   
a m1 am 2  a mn bm
2.7 Transpose Suatu Matriks
Jika A adalah sembarang matriks m × n, maka transpose A dinyatakan dengan AT,
didefinisikan sebagai matriks n × m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan
kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari ATadalah baris pertama dari A, kolom kedua dari
ATadalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Contoh:
A B C D
↕ ↕ ↕ ↕
AT BT CT DT
Jika dari kolom ATmenjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga menjadi kolom A. Jadi, entri
dalam baris i dan kolom j dari AT adalah entri dalam baris j dan kolom i dari A: yaitu:

16. (AT)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika Aadalah matriks simetris, maka A’ = A
2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka traceA, dinyatakan dengan tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace Atidak terdefinisi jika
A bukan matriks bujur sangkar.
Contoh:
tr(A) tr(B)
BAB III
PENUTUP

17. 3.1 Kesimpulan
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut
disebut entri dalam matriks.
- Matriks kolom adalah sebuah matriks dengan hanya satu kolom.
1
A matriks kolom
4
- Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris.
B 2 1 5 matriks baris
- Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang berbentuk persegi.
2 3
C matriks bujursangk
ar
2 6
Penjumlahan dan Pengurangan :
(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij
Perkalian matriks :
(cA)ij = c(A)ij = caij= c1A1 + c2A2 + … + cnAn
Perkalian matriks dengan scalar :
2A – B + C = 2A + (-1)B + C
Matriks-matriks terpartisi :

18. a11 a12 a13 a14
A A12
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = 11
A21 A22
a 31 a 32 a 33 a 34
a11 a12 a13 a14 r1
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = r2
a 31 a 32 a 33 a 34 r3
a11 a12 a13 a14
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = c1 c2 c3 c4
a 31 a 32 a 33 a 34
Perkalian matriks baris dan kolom :
AB A b1 b2  bn Ab1 Ab2  Abn
(AB dihitung kolom per kolom)
a1 a1 B
a a B
AB = 2 B = 2
 
am am B
(AB dihitung baris per baris)
Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear :
a11 x1 a12 x 2 .... a1n x n a11 a12 a1n
a 21 x1 a 22 x 2 .... a 2 n x n a 21 a 22 a2n
Ax x 1 x2 ...
     
a m1 x1 am 2 x2 .... a mn x n a m1 am2 a mn
Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear :

19. a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn bm
a11 a12  a1n b1
a 21 a 22  a2 n b2
A b
   
a m1 am 2  a mn bm
Transpose :
(AT)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika A adalah matriks simetris, maka A’ = A
Trace Matriks Bujur Sangkar :
tr( A) a11 a22 a33
Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.
DAFTAR PUSTAKA

20. 1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group
2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A Program IPA. Jakarta : Yudhistira.
3. http://www.slideshare.net/AmriSandy/pertemuan12-10080718