www.touscours.net, Groupes,Permutations,Anneaux,Arithmétique dans Z,Corps commutatif,Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K,Fonctions polynomiales,racines,Espaces vectoriels,K-algèbres,Espaces vectoriels de type fini,Matrices,Déterminants,Fractions rationnelles,Produit scalaire sur un R-ev,Espace vectoriel euclidien,R-ev euclidien orienté de dimension 2,R-ev euclidien orienté de dimension 3,Espaces affines,Géométrie dans un espace affine euclidien

1. ! " #
• $ # % ⋅
• $ & ' ( &
=++ ' !'')!'') ≠ '
* ' =++ '
) # ! +
* ' !'') ' ,
λ+= !) ' -
⋅
=λ .
---
!')
++
++
=
⋅
=
"! /
* ' + ) !
$
* !')= ' !0'0)0 = %
!'0'0)!0'0)0 !'')!') ==
) !'') !'0'0) !
1 ## ' !0'0) !') δβ
γα
'
!'0'0) !'') δβ
γα
touscours.net

2. -
2 ( 3 # ( '
!')
!') !'')⇔
3 3
!
$3 % ' ' 3 3 ( [ ]πα '∈
(
⋅
=α ) # !
(
* ' ' θ 3 !4')
' [ ]παθ -±≡ ' ( θα =
! ' #
* ∈'
% ∈ ( ⋅=∈∀ !'')'
∧ ' 3
' ∧ ⋅∧=∈∀ !)!'')'
1 ##
!'') # ) !
2 % ( ∈ ( # ⋅
"!
* !'')=
*
0
0
0
' ∧
* ∈ '
⋅=+−==
0
0
0
0
0
0
!'')!'') '
/5
−
−
−
00
00
00
⋅=∈∀ !'')'
touscours.net

3. 6 ∧=
'
−
−
−
∧
00
00
00
!
• * !'')= ' =∧
1 ##
2 ## # = =
0
0
0
• * ' % ' ∧ (
!'') ∧
• $3
∧
→×
!')
-
+
* ∈ /
⋅∧+=+ !!0))!''0) λλ '
⋅∧+∧=
⋅∧+⋅∧=
+=+
!0)
!0)!)
!''0)!'')!''0)
λ
λ
λλ
$ + %
∈ ' ⋅==!'')
6 ∧=
• ' 3(
!') ≠∧⇔
1 ##
* !') ' =∧ ⋅==∈∀ !'')'
* !') ' !'')
!)!'') ≠⋅∧= ' ≠∧
• ⊥∧ ⊥∧
1 ##
!'')!)
!'')!)
==⋅∧
==⋅∧
• * ' ' !'') ∧ # )
!
1 ##
!)!)!'') >∧⋅∧=∧ ' ≠∧
touscours.net

4. 7
6! '
* { }8' ∈ * ' ) !')9 ( %
! * ⊥
/ 3
* θ 3 !4')
' 0θθ += ' 5 0 ( 0'
' 0 + ( '0'
) ( ∧=0 !
1 # '
0 θθ =∧=∧
6 '
θ=∧
αθ ==∧ ' 5α 3
6 ' ≠∧
0
∧
∧
=∧ α ) 0 ⊥
( ( )0'' !
! 6 %
$
* !)∈
3 !2) − &
* ' !)!')
≤≤
≤≤== 5 ( (
−
−
−
=−=−
'-''
'--'-'-
'-''
!)!2)
) 3 & : ( !
& : λ ) ( #
∞+ ∞− ∞− ∞+ ' !
!2) =− λ 6 2λ− 3 ,
6 { }!2; ) ≠− λ
touscours.net

5. <
2 % { }8∈ ( λ=!)
= !)∈ 6 =∈∀ !)'
6 ±=λ
$3 % !2; ) − !2; ) + 3 +
{ } ) !2; ) − 3 ' !2; ) +
!
$ -
* !)∈ * ' ⊥
6
* ' 0 + ∈∈∀ !)' ) ⊂!) !
' # =!) ' !) >
)# ! (
* ⊥
∈ * ∈ !)= ' 5 ∈
6 !)!)!) =⋅=⋅=⋅ ) ⊥
∈ ∈ ⊥ !
' !)' =⋅∈∀ 6 ⊥
∈!) 635
"! # ) ! 3
* !)∈ ' !2; ) −=
= 2= ) ' !)2 ∈ !
- -= ⊥
= ?
' ( ) ( 3
' { }=∩=∩ ⊥
! 6 2? ±= )
3 2 2 ! '
2? −= 2 ' # % !) ) > !)8!) !
⊥
!)
=
* ⊥
= . ' ? '
( ) > ( ! ?
3 !
touscours.net

6. @
* ' ' ) ! ( !'')
' θ 3 ?
!') ) 0 + !' !'')
−
θθ
θθ
⊥
θ
2
!) ) - !
7 =
* ' 3 !2; ) + 3 + { } /
{ }8∈ ( −=!)
* !)9= ) ∈−=∈∀ λλλ !)' !
6 ⊥
=
6 ? ' (
? 3 2 %
!'') ' ( 3 # > #A ( ' (
−
−
=!!'')') θθ
θθ
2 '
!)8!) ' 8
⊥
=
θ
! 1 ) !
! ' #
* !)∈
touscours.net

7. /
B ' ) 0 + % !') !
B θ
C (
−
θθ
θθ
/ ( 3% !') 3 θ
6
3
-! 6 % D
• * 2= % ( ( ' E-F πθ ≡
• * 2≠ ' % % D
!!'')) θ !!'')) θ−− ' 5 !2; ) −=
6 (
) ! !2; ) −= G
)-! ) % %!
) ! % ' ( !'') )
% !
' !'')
−
θθ
θθ
!) θθ +=
6 θ!) =⋅ 1 θ!) =⋅ ' θ!!)') =
!) θθ =∧=∧ ) %
3 + ( % !
H
3% !') 3 θ
θ
H !) ' ' 3% !')
3 θ
/ ⊥
=
touscours.net

8. I
-+= ' 5 ∈ ∈-
∈- ' - λ=
1
-
λ+⋅=⋅
=
6 -
⋅
=λ
/
-
!)!)!) -
=
+=
6 !)
* ≠ ) ' === -- !)!) !
/ ( '
' 0 + ( ''
) ∧= !
θθ += ' 5 ∈θ
)$ ?
−
θθ
θθ
' !
' - λ−=−=
!) ∧+=∧+= θθθθ
6
!)
!)
!)!)!)
-
--
-
-
θθθ
λθθ
−
⋅
+
∧
+=
⋅
+−∧+
⋅
−=
+=
=
touscours.net

9. J
6! C #
6 3 K =
2
!)
3 θ
3% !')
−
θθ
θθ
- # % −
%
!)8!) 3
3 θ 3%
!') 3 # %
+
3%
−
−
θθ
θθ
1! # %
$ % # %
* - % # % - '
• * -= ' 2- =
• * ' - 3% -∩
6
!)- ∈ . 3 %
* -≠ ' - ( 2 6 '
-∩ - ) ===∩∈∀ !)!!))!)' --- !
(
-
⊥ θ
- 3% !') 3 θ-
touscours.net

10. C % # % +
3% ' 3 % # % > ( ( )
3% > !
6
* 3% ' # %
!)8!)∈ ' 6
!!2); ) ≠− 6 # % - '
6 -= 6 -= / > G
(
$ !) # % '
!) 3 ' ' - # %
!
• 6 '
$3 !4') [ ]πθ '∈ (
⋅
=θ
• 6 -'
$3 !4') - ∈
-
'
π
θ (
⋅
=θ '
/5 !)9= ' !)9- =
• 6 -'
3 3 -' % %
3 -' ' 5 ⊥
∩= !) - ' ∩= ' ∩= --
-
-
-∩
θ
• 63
3 3 ,
) # ⊥
= !
3 !4')
-
−
π
' 5 ⊥
=
0
touscours.net