2. UN POCO DE HISTORIA SOBRE LOS NÚMEROS……
Cuando los seres humanos empezaron a contar, usaron diferentes
elementos como marcas, dedos, piedras, varas, nudos en una cuerda
y muchas otras formas que les sirvieron como herramientas para
contar y ordenar diferentes colecciones de objetos, esto dió origen a
los números Naturales.
Hoy en día sabemos que los números no solo nos sirven para contar,
ordenar y comparar cantidades, sino que además los usamos para
medir. Para esta acción los números enteros resultan insuficiente, ya
que no siempre hay un número entero de unidades en lo que
queremos medir. Así aparecieron las Fracciones (o razones) para
poder dividir o fraccionar cantidades enteras.
De esta manera a medida que las necesidades y las operaciones se fueron
haciendo más complejas, fue necesario “crear” diferentes tipos de números
que podemos clasificar y agrupar en distintos conjuntos numéricos.
Más adelante con el avance de las transacciones comerciales surgió la
necesidad de representar deudas, esto dio origen a los Números Negativos.
3. Algunas características de este conjunto.
• El conjunto de los números naturales, tiene un principio, el número 1. Pero no tiene un final. El 1 es el
primer elemento de este conjunto de infinitos elementos. ¡Todo un privilegiado!
• Entre dos números naturales consecutivos no hay otro número natural.
• Es un conjunto ordenado. ¿Qué queremos decir con esto? Que existen números naturales que representan
más que otros. Por ejemplo 5 es mayor a 4, y 4 es mayor que 3. Decimos entonces que hay números
naturales mayores o menores que otros.
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, … }
LOS NÚMEROS NATURALES
Los primeros números que aparecen en la historia son los números naturales y son aquellos que nos
permiten contar unidades enteras y positivas, y hacer operaciones elementales con ellas. El conjunto de
todos estos números se denota con la letra ℕ.
Los puntos suspensivos indican que esta sucesión de números sigue y nunca termina, es decir, que son
infinitos.
Es posible representar el conjunto de números naturales mediante una recta que denominaremos:
“Recta Numérica”.
4. Algunas características de este Conjunto.
- Tiene un número infinito de elementos.
- No Tiene un primer elemento.
- Todos los números tienen un sucesor, y todos un antecesor.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Sabemos que dos números naturales se pueden sumar, obteniendo así otro número natural. Sin embargo al restar dos
números naturales podemos obtener un resultado negativo (es decir, podemos obtener un número que no es natural).
Por ejemplo : 1 - 2 = ? O 150 -300 = ?
ℤ = {… ; −5; −4; −3, −2; −1; 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; … }
Para resolver este tipo de cálculos se creó el Conjunto de Números Enteros que se representa con la letra
ℤ. Está formado está formado por todos los números naturales, el cero y los inversos aditivos de los
números naturales.
Este conjunto también puede representarse en una Recta Numérica:
De esta forma tenemos que todos los números naturales son también números enteros, es decir N ⊂ Z.
5. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
• OPUESTO DE UN NUMERO ENTERO: Al número entero −𝒂 se lo llama opuesto de 𝒂.
• EL VALOR ABSOLUTO O MÓDULO : El valor absoluto de un número se define como la distancia de éste al
cero.
Dos números opuestos son aquellos que se encuentran a la misma distancia (en unidades) del cero.
Ejemplos:
El valor absoluto de 3 es 3 . Se escribe 𝟑 = 𝟑 𝐲 El valor absoluto de -3 es 3 . Se escribe −𝟑 = 𝟑
6. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Ejemplos
2 + 3 =
(-2) + (-3) =
(-2) + 3 =
2 + (-3) =
Ejemplos
3. 2 =
3 . (-2) =
(-3) . 2 =
(-3) . (-2) =
• MULTIPLICACIÓN : La multiplicación entre dos números enteros es siempre otro número entero.
Se puede pensar como:
(+) Ganancias y (-) Deudas
Aplicar
Regla de los Signos
• SUMA : La suma entre dos números enteros es siempre otro número entero.
Resolvemos
2 + 3 = 5
(-2) + (-3) = -5
(-2) + 3 = 1
2 + (-3) = -1
Resolvemos
3. 2 = 6
3 . (-2) = -6
(-3) . 2 = -6
(-3) . (-2) = 6
7. • RESTA : La resta o diferencia entre dos números enteros a y b se obtiene sumando al minuendo a el opuesto del
sustraendo, es decir: a – b = a + (-b)
Ejemplos
3 - 2 =
(-2) - 3 =
2 - (-3) =
(-2) - (-3) =
Aplicamos
a – b = a + (-b)
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Resolvemos
3 - 2 = 3 + (-2) = 1
(-2) - 3 = (-2) + (-3) = -5
2 - (-3) = 2 + 3 = 5
(-2) - (-3) = (-2) + 3 = 1
Para tener en cuenta
La Resta de dos números enteros:
• Es Siempre un número entero.
• No ES conmutativa . Por ejemplo : 3 – 2 = 1 es distinto de 2 – 3= -1
8. • DIVISIÓN: En general si a : b = c (con b distinto de 0) entonces se verifica que a = c. b
Ejemplos
6 : 2 =
6 : (-2) =
(-6) : 2 =
(-6) : (-2) =
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Resolvemos
6 : 2 = 3 Porque 3 . 2 = 6
6 : (-2) = (-3) Porque (-3) . (-2) = 6
(-6) : 2 = (-3) Porque (-3). 2 = -6
(-6) : (-2) = 3 Porque 3 . (-2) = -6
Para tener en cuenta
La División de dos números enteros:
• No Siempre es un número entero. Por ejemplo 6 : 4 ∉ ℤ , es decir que no existe un número entero tal que, al
multiplicarlo por 4 de como resultado 6.
• No ES conmutativa . Por ejemplo : 6 : 2 es distinto de 2 : 6
Aplicamos
Regla de los Signos
9. POTENCIACIÓN : Es una operación matemática que consiste en multiplicar un mismo número 𝒂 llamado base tantas
veces como lo indique otro número 𝒏 llamado exponente.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Ejemplos
a) 22 =
b) 23 =
c) (-2)2 =
d) (-2)3 =
e) (-2)4 =
f) (-2)5 =
Ejemplos con potencias de base 10
a) 102 = 10. 10= 100
b) 103 = 10. 10. 10= 1.000
c) 104 = 10. 10. 10.10 = 10.000
d) 105 = 10. 10. 10.10 .10= 100.000
e) 106 = 10. 10. 10.10.10.10 = 1.000.000
Una potencia de base 10 y exponente n (entero y
positivo) es igual a un 1 seguido de n ceros.
Simbólicamente se expresa así: 𝒂𝒏
= 𝒂. 𝒂. 𝒂. 𝒂. 𝒂. 𝒂 … (𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔)
Resolvemos
a) 22 = 2. 2 = 4
b) 23 = 2. 2. 2 = 8
c) (-2)2 = (-2). (-2) = 4
d) (-2)3 = (-2). (-2). (-2)= -8
e) (-2)4 = (-2). (-2). (-2).(-2)= 16
f) (-2)5 = (-2). (-2).(-2).(-2).(-2) = -32
10. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
PROPIEDADES PARA LAS POTENCIAS DE IGUAL BASE
