2
éme
Atelier Annuel sur la Cryptographie, Algèbre et Géométrie (CRAG-2), University
of Ngaoundéré, Ngaoundéré, Cameroon, December 03 - 07, 2012. Talk "CReVote : Un
système de vote électronique résistant à la coercition basé sur les courbes elliptiques"
Atelier Annuel sur la Cryptographie, Algèbre et Géométrie (CRAG-1), University of
The document provides an overview of the C++ programming language. It discusses what C++ is, its history and features. It then outlines various C++ concepts like identifiers, constants, data types, comments, operators, variables, and statements. It also covers control structures like decision making statements (if-else, switch), looping (for, while, do-while), and functions. The document is intended as a lecture on the basic elements of the C++ language.
Conception et Réalisation d’un Système de Vote Electronique (Blondel Seumo)Gantner Technologies
Le thème soumis à notre étude dans le cadre du projet de fin d’études pour l’obtention d’une licence technologique en Informatique et Réseau, option Concepteur Développeur
Réseaux Internet s’intitule : « Conception et Réalisation d’un Système de Vote Electronique ».
L’application ainsi réalisée prend en compte deux aspects : sécurité et gestion. L’aspect sécurité qui donne la possibilité à chaque usager votant de s’inscrire à une
élection (le succès de son inscription marqué par la réception de son mot de passe par message), à l’administrateur d’enregistrer les partis politiques et de les affecter à l’élection de leur choix; de paramétrer une élection. L’aspect gestion donne la possibilité de lister les candidats à une
élection, d’avoir le nombre d’électeurs pour une élection, d’avoir le nombre d’électeurs ayant participés ou non à une élection, de donner le pourcentage de vote obtenu pour chaque candidat, le nombre d’électeur inscrit dans chaque ville, de visualiser la profession de foi de tous les candidats à l’élection. La possibilité d’avoir le pourcentage général des votes pour une élection, et la liste des candidats ayant déjà participé à une élection. Pour parvenir aux résultats, plusieurs outils ont été mis à profit.
(conception and realization of an electronic voting system by Blondel Seumo)
The document provides an overview of the C++ programming language. It discusses what C++ is, its history and features. It then outlines various C++ concepts like identifiers, constants, data types, comments, operators, variables, and statements. It also covers control structures like decision making statements (if-else, switch), looping (for, while, do-while), and functions. The document is intended as a lecture on the basic elements of the C++ language.
Conception et Réalisation d’un Système de Vote Electronique (Blondel Seumo)Gantner Technologies
Le thème soumis à notre étude dans le cadre du projet de fin d’études pour l’obtention d’une licence technologique en Informatique et Réseau, option Concepteur Développeur
Réseaux Internet s’intitule : « Conception et Réalisation d’un Système de Vote Electronique ».
L’application ainsi réalisée prend en compte deux aspects : sécurité et gestion. L’aspect sécurité qui donne la possibilité à chaque usager votant de s’inscrire à une
élection (le succès de son inscription marqué par la réception de son mot de passe par message), à l’administrateur d’enregistrer les partis politiques et de les affecter à l’élection de leur choix; de paramétrer une élection. L’aspect gestion donne la possibilité de lister les candidats à une
élection, d’avoir le nombre d’électeurs pour une élection, d’avoir le nombre d’électeurs ayant participés ou non à une élection, de donner le pourcentage de vote obtenu pour chaque candidat, le nombre d’électeur inscrit dans chaque ville, de visualiser la profession de foi de tous les candidats à l’élection. La possibilité d’avoir le pourcentage général des votes pour une élection, et la liste des candidats ayant déjà participé à une élection. Pour parvenir aux résultats, plusieurs outils ont été mis à profit.
(conception and realization of an electronic voting system by Blondel Seumo)
Responsive Web Design: Clever Tips and TechniquesVitaly Friedman
Responsive Web design challenges Web designers to adapt a new mindset to their design and coding processes. This talk provides an overview of various practical techniques, tips and tricks that you might want to be aware of when working on a new responsive design project.
Plus belle la vie avec HTML5 et CSS3 - Paris Web 2010Raphaël Goetter
Vous n’avez pas encore sauté le pas HTML 5 / CSS 3 ? Par manque de temps ? Par méconnaissance ? Par frilosité ? Juste pour nous contrarier ?
Pascale Lambert-Charreteur et Raphaël Goetter vous proposent d'en découvrir les grandes lignes (de code), démêleront le vrai du faux (et les nombreuses idées reçues) et partageront avec vous leurs expériences.
La grande majorité des sites actuels offrent une expérience utilisateur désastreuse sur un écran réduit : textes et menus de navigation minuscules, zoom obligatoire, débordements qui “cassent” le design, multi-colonnes non adaptées, contenus superflus, etc.
Cette présentation a pour objectif de proposer des solutions concrètes pour adapter rapidement un site web existant au média mobile à travers quelques exercices pratiques fondés sur les possibilités avancées du langage CSS en Responsive Web Design.
Responsive Web Design: Clever Tips and TechniquesVitaly Friedman
Responsive Web design challenges Web designers to adapt a new mindset to their design and coding processes. This talk provides an overview of various practical techniques, tips and tricks that you might want to be aware of when working on a new responsive design project.
Plus belle la vie avec HTML5 et CSS3 - Paris Web 2010Raphaël Goetter
Vous n’avez pas encore sauté le pas HTML 5 / CSS 3 ? Par manque de temps ? Par méconnaissance ? Par frilosité ? Juste pour nous contrarier ?
Pascale Lambert-Charreteur et Raphaël Goetter vous proposent d'en découvrir les grandes lignes (de code), démêleront le vrai du faux (et les nombreuses idées reçues) et partageront avec vous leurs expériences.
La grande majorité des sites actuels offrent une expérience utilisateur désastreuse sur un écran réduit : textes et menus de navigation minuscules, zoom obligatoire, débordements qui “cassent” le design, multi-colonnes non adaptées, contenus superflus, etc.
Cette présentation a pour objectif de proposer des solutions concrètes pour adapter rapidement un site web existant au média mobile à travers quelques exercices pratiques fondés sur les possibilités avancées du langage CSS en Responsive Web Design.
CReVote: un système de vote électronique résistant à la coercition basé sur les courbes elliptiques
1. CReVote: un système de vote électronique résistant à
la coercition basé sur les courbes elliptiques
Présenté par: AMBASSA PACÔME LANDRY
Membre du laboratoire de Mathématiques Expérimentales (LME)
Université de Ngaoundéré
2ème
ATELIER ANNUEL SUR LA CRYPTOGRAPHIE, ALGEBRE ET GEOMETRIE (CRAG 2)
4 décembre 2012
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 1 / 36
2. Plan
Plan
1 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
Courbes elliptiques
2 Présentation de CReVote
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée de CReVote
Illustration numérique avec SAGE
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 2 / 36
3. Plan
Plan
1 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
Courbes elliptiques
2 Présentation de CReVote
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée de CReVote
Illustration numérique avec SAGE
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 2 / 36
4. Système de vote électronique
Plan
1 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
Courbes elliptiques
2 Présentation de CReVote
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 3 / 36
5. Système de vote électronique Généralités
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 4 / 36
6. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
2 Le vote en ligne (Vote par internet ou i-vote)
possibilité de voter de chez soi avec son ordinateur personnel ;
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 5 / 36
7. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
2 Le vote en ligne (Vote par internet ou i-vote)
possibilité de voter de chez soi avec son ordinateur personnel ;
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 5 / 36
8. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
2 Le vote en ligne (Vote par internet ou i-vote)
possibilité de voter de chez soi avec son ordinateur personnel ;
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 5 / 36
9. Système de vote électronique Généralités
Déroulement
Phase
le vote électronique (par internet) se
subdivise en 5 phases :
25. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 7 / 36
26. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 7 / 36
27. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 7 / 36
28. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du vote et lien cryptographique
TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique
Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primi
Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,...
Receipt-freenes Rechiffrement
Eligibilité Authentification Tecnique symétrique Mot de passe
technique asymétrique Signature
Précision Intégrité Fonction de hachage SHA
Non répudiation Signature Elgamal
Mixnet déchiffrement
Secret des votes Anonymat rechiffrement
Signature aveugle RSA
Confidentialité chaine de caractère
Résistance à la coercition crédit anonyme Mot de vote
Anonymat Signature
Vérifiabilité individuelle Preuves Validité
Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen
Les primitives cryptographiques se définissent sur les nombres ou sur les courbes
elliptiques.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 8 / 36
29. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du vote et lien cryptographique
TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique
Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primi
Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,...
Receipt-freenes Rechiffrement
Eligibilité Authentification Tecnique symétrique Mot de passe
technique asymétrique Signature
Précision Intégrité Fonction de hachage SHA
Non répudiation Signature Elgamal
Mixnet déchiffrement
Secret des votes Anonymat rechiffrement
Signature aveugle RSA
Confidentialité chaine de caractère
Résistance à la coercition crédit anonyme Mot de vote
Anonymat Signature
Vérifiabilité individuelle Preuves Validité
Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen
Les primitives cryptographiques se définissent sur les nombres ou sur les courbes
elliptiques.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 8 / 36
30. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose que personne ne doit être forcé de faire un choix particulier ou à
s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 9 / 36
31. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose que personne ne doit être forcé de faire un choix particulier ou à
s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 9 / 36
32. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose que personne ne doit être forcé de faire un choix particulier ou à
s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 9 / 36
33. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Courbe elliptique sur un corps quelconque
Definition
Soit k un corps, une courbe elliptique E définie sur le corps k est l’ensemble des
solutions de l’équation de Weierstrass :
E : y2
+a1xy +a3y = x3
+a2x2
+a4x +a6 (1)
où ai ∈ k et ∆ = 0 avec ∆ le discriminant de E
FIGURE 2: Courbe d’équation
y2
= x3
−3x +4 sur R
FIGURE 3: Courbe d’équation
y2
+y = x3
−7x +6 sur R
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 10 / 36
34. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Courbes elliptiques définies sur un corps fini
Représentation est constituée d’un ensemble de point discret
FIGURE 4: Courbe d’équation
y2
= x3
+2x +3 sur F997
FIGURE 5: Courbe d’équation
y2
= x3
+10x +4 sur F13
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 11 / 36
35. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Étant donnés une courbe elliptique E définie sur un corps fini (Fq), un point P ∈ E(Fq)
d’ordre n et un point Q ∈< P >, chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P.
L’entier k est le logarithme discret de Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E(Fq) une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z∗. La multiplication
scalaire, notée [k]P, est définie comme suit :
E(Fp)×Z → E(Fp)
(P,k) → [k]P = P +P +...+P
k fois
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 12 / 36
36. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Étant donnés une courbe elliptique E définie sur un corps fini (Fq), un point P ∈ E(Fq)
d’ordre n et un point Q ∈< P >, chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P.
L’entier k est le logarithme discret de Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E(Fq) une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z∗. La multiplication
scalaire, notée [k]P, est définie comme suit :
E(Fp)×Z → E(Fp)
(P,k) → [k]P = P +P +...+P
k fois
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 12 / 36
37. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Étant donnés une courbe elliptique E définie sur un corps fini (Fq), un point P ∈ E(Fq)
d’ordre n et un point Q ∈< P >, chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P.
L’entier k est le logarithme discret de Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E(Fq) une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z∗. La multiplication
scalaire, notée [k]P, est définie comme suit :
E(Fp)×Z → E(Fp)
(P,k) → [k]P = P +P +...+P
k fois
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 12 / 36
38. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Quelques schémas de vote électronique
Ils existent de nombreux schémas de vote dans la littérature mais deux nous ont
intéressé :
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al définissent la notion de résistance à la coercition et proposent un
système de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient [weber ,2006] et n’assure pas la complétude
[Ambassa,2012]
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un système de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition [Ambassa,2012]
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 13 / 36
39. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Quelques schémas de vote électronique
Ils existent de nombreux schémas de vote dans la littérature mais deux nous ont
intéressé :
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al définissent la notion de résistance à la coercition et proposent un
système de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient [weber ,2006] et n’assure pas la complétude
[Ambassa,2012]
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un système de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition [Ambassa,2012]
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 13 / 36
40. Système de vote électronique Courbes elliptiques
Quelques schémas de vote électronique
Ils existent de nombreux schémas de vote dans la littérature mais deux nous ont
intéressé :
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al définissent la notion de résistance à la coercition et proposent un
système de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient [weber ,2006] et n’assure pas la complétude
[Ambassa,2012]
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un système de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition [Ambassa,2012]
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 13 / 36
41. Présentation de CReVote
Plan
1 Système de vote électronique
2 Présentation de CReVote
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée de CReVote
Illustration numérique avec SAGE
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 14 / 36
42. Présentation de CReVote
CReVote
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
45. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Résisté à la coercition
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 15 / 36
46. Présentation de CReVote
CReVote
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
49. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Résisté à la coercition
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 15 / 36
50. Présentation de CReVote
CReVote
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
53. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Résisté à la coercition
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 15 / 36
54. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Chiffrement ElGamal distribué
Génération des clés distribuées
choisir une courbe elliptique E(Fp) définie sur Fp et G un point de E d’ordre q
Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = sG.
Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir.
Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1
, a0 = P(0) = s
Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Diffie Hellman.
chiffrement
Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp)
choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1]
calculer c = (c1,c2) avec c1 = kG et c2 = kh +m
Déchiffrement distribué
Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange :
m = c2 −sc1 où sc1 = ∑
j∈∆
λj wj et λj = ∏
k∈∆,k=j
(
k
k −j
)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 16 / 36
55. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Autres outils
Mixnet à rechiffrement universellement vérifiable
Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ;
Correspondance entrée / sortie difficile ;
Preuve de rechiffrement après permutation
Preuves à divulgation nulle de connaissance
Égalité de logarithme discret :
Protocole de Chaum-Pedersen
Prouveur connait x et veut montrer que B = xG et G = xH
Validité du contenu d’un message chiffré :
Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique [Ambassa,2012]
Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext
(message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 17 / 36
56. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Autres outils
Mixnet à rechiffrement universellement vérifiable
Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ;
Correspondance entrée / sortie difficile ;
Preuve de rechiffrement après permutation
Preuves à divulgation nulle de connaissance
Égalité de logarithme discret :
Protocole de Chaum-Pedersen
Prouveur connait x et veut montrer que B = xG et G = xH
Validité du contenu d’un message chiffré :
Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique [Ambassa,2012]
Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext
(message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 17 / 36
57. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Construction du crédit anonyme
® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ;
® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ;
Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures).
signatures agrégées [Boneh et al, 2003]
® Introduite par Boneh et al en 2003 ;
® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs
signataires de signer des messages différent et ensuite d’agréger ces différentes
signatures en une seule ;
® soient n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible
d’agréger ces signatures en une seule ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 18 / 36
58. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Construction du crédit anonyme
® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ;
® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ;
Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures).
signatures agrégées [Boneh et al, 2003]
® Introduite par Boneh et al en 2003 ;
® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs
signataires de signer des messages différent et ensuite d’agréger ces différentes
signatures en une seule ;
® soient n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible
d’agréger ces signatures en une seule ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 18 / 36
59. Présentation de CReVote Outils cryptographiques utilisés
Schéma de signature agrégée basé sur les courbes
elliptiques [Ambassa,2012]
Soient G = E(Fp) le groupe de points de E définie sur un corps Fp, P un générateur
de G, H : {0,1}∗
→ G. q est l’ordre de G
Génération des clés
Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante
a). choisir aléatoirement x ∈ Z∗
q et calculer v = xP ;
b). la clé publique est v et la clé privée x ;
Signature
pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗
a). calculer h = H(m) où h ∈ G ;
b). calculer σ = xh c’est la signature ;
Agregation
pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) :
a). le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗
;
b). calculer δ = ∑n
i=1 σi la signature agrégé est δ ;
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60. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
61. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
62. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
63. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
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64. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
65. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
66. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
67. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
68. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
69. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Phase 1 et 2
Première phase : configuration
‚ choisir : une courbe elliptique E(Fp) d’équation y2
= x3
+ax +b et G un
générateur de E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points de E(Fp). Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau d’enregistrement et prouve
son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
„ Les autorités Rj rechiffre Si .
… Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 20 / 36
70. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Troisième phase : vote
‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés
précédemment ;
ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ) et construit son bulletin de vote
vi = (C,A,B,P) où
C = (ci1,ci2) = (αi G,αi h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par
Pr
A est le chiffrement du crédit anonyme δi
B = ∆i = βi δ
P est la preuve de validité du vote
„ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à
rechiffrement universellement vérifiable) ;
illustration
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 21 / 36
71. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Troisième phase : vote
‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés
précédemment ;
ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ) et construit son bulletin de vote
vi = (C,A,B,P) où
C = (ci1,ci2) = (αi G,αi h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par
Pr
A est le chiffrement du crédit anonyme δi
B = ∆i = βi δ
P est la preuve de validité du vote
„ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à
rechiffrement universellement vérifiable) ;
illustration
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 21 / 36
72. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1) = [(
m
∑
i=1
αi )G,(
m
∑
i=1
(αi )h +(
k
∑
r=1
dr Pr )]
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer s(c1)
P(0)c1 =
t
∑
i=1
si ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
c1 = P(0)c1 =
t
∑
i=1
si c1 ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
calculer c2 −s(c1)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 22 / 36
73. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1) = [(
m
∑
i=1
αi )G,(
m
∑
i=1
(αi )h +(
k
∑
r=1
dr Pr )]
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer s(c1)
P(0)c1 =
t
∑
i=1
si ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
c1 = P(0)c1 =
t
∑
i=1
si c1 ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
calculer c2 −s(c1)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 22 / 36
74. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1) = [(
m
∑
i=1
αi )G,(
m
∑
i=1
(αi )h +(
k
∑
r=1
dr Pr )]
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer s(c1)
P(0)c1 =
t
∑
i=1
si ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
c1 = P(0)c1 =
t
∑
i=1
si c1 ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
calculer c2 −s(c1)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 22 / 36
75. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1) = [(
m
∑
i=1
αi )G,(
m
∑
i=1
(αi )h +(
k
∑
r=1
dr Pr )]
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer s(c1)
P(0)c1 =
t
∑
i=1
si ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
c1 = P(0)c1 =
t
∑
i=1
si c1 ∏
1≤i≤t
i=j
j
j −i
calculer c2 −s(c1)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 22 / 36
76. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Quatrième phase : décompte (suite)
† compter les voix.
Calculer la somme ∑r dr Pr
Comparer le résultat à celui du calcul de c2 −s(c1).
lorsque les deux valeurs coincident en déduire dr , (r ∈ [1,k]
Cinquième phase : publication des résultats
.
1 Vérifier que le chiffrement ct est correct.
2 Vérifier que le déchiffrement distribué de ct est correct
Après vérifications, le résultat final est publié.
illustration Décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 23 / 36
77. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Analyse du Schéma
Analyse
Le schéma assure les propriétés suivantes :
· Éligibilité
· Secret des votes
· Précision
· Équité
· Complétude
· Pas de double vote
· vérifiabilité universelle
· Receipt freeness
· Résistance à la coercition
Limites
· Vérifiabilité individuelle
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 24 / 36
78. Présentation de CReVote Description détaillée de CReVote
Comparaison de Quelques schémas de vote
TABLE 2: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et CReVote
Propriétés JCJ Porkodi CReVote
Complétude non oui oui
Vérifiabilité universelle non oui oui
Vérifiabilité individuelle oui oui non
Résistance à la coercition oui non oui
Go to conclusion
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 25 / 36
79. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons Une courbe elliptique E(Fp) d’équation
y2
= x3
+2x +1 (mod 1009) avec p = 1009 et un point de base G de
coordonnées (560,715) d’ordre 1060,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = sG = (248,897)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = nG = (580,512)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 26 / 36
80. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons Une courbe elliptique E(Fp) d’équation
y2
= x3
+2x +1 (mod 1009) avec p = 1009 et un point de base G de
coordonnées (560,715) d’ordre 1060,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = sG = (248,897)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = nG = (580,512)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 26 / 36
81. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons Une courbe elliptique E(Fp) d’équation
y2
= x3
+2x +1 (mod 1009) avec p = 1009 et un point de base G de
coordonnées (560,715) d’ordre 1060,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = sG = (248,897)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = nG = (580,512)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 26 / 36
82. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Phase de configuration (suite)
{ Enregistrement des candidats cr et représentation de ces différents candidats
comme des points de E(Fp). Nos 4 candidats sont représentés par :
Tableau des candidats
Numéros Nom encodage
0 Abstention P0 = (0 : 1 : 0)
1 Candidat 1 P1 = (0,1)
2 Candidat 2 P2 = (0,1008)
3 Candidat 3 P3 = (1,2)
Retour.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 27 / 36
83. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Deuxième phase : enregistrement
x Enregistrement des électeurs par Rj j ∈ [1,3] dans un bureau d’enregistrement.
y Transmission du crédit anonyme δ
Pour 10 électeurs nous obtenons les valeurs suivantes :
Tableau des électeurs
Identifiant votant crédit(δ)
1 V1 (242 , 825 )
2 V2 (86 , 184 )
3 V3 (611 , 508 )
4 V4 (588 , 936 )
5 V5 (842 , 505 )
6 V6 (137 , 161 )
7 V7 (623 , 109 )
8 V8 (558 , 276 )
9 V9 (423 , 833 )
10 V10 (930 , 397 )
Retour.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 4 décembre 2012 28 / 36
88. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Quatrième phase : décompte (suite)
z Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr
C = (c1,c2)
= (
10
∑
i=1
ci1,
10
∑
i=1
ci1)
= [(
10
∑
i=1
γi )G,(
10
∑
i=1
(γi )h +(
3
∑
r=0
dr Pr )]
On obtient c1 = ∑10
i=1 ci1 = (713,788) et c2 = ∑10
i=1 ci2 = (80,317)
{ Déchiffrer les votes.
Reconstruction de la clé : supposons que nous avons les parts des 3 premières
autorités (1,88), (2,101), (3,30). Nous calculons
P(0)c1 = s1c1
2·3
(2−1)(3−1)
+s2c1
1·3
(1−2)(3−2)
+s3c1
1·2
(1−3)(2−3)
= 88c1
6
2 +101c1
3
−1 +30c1 = 264c1 −46c1 +30c1 = 248c1 = (171,2
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89. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Nous obtenons s(c1) = (171,275),
le déchiffrement s’obtient en calculant c2 −s(c1) = (441,457).
| compter les voix. calculer ∑3
i=0 dr Pr en comparant le résultat à celui du calcul de
c2 −s(c1). Pour notre exemple après calcul nous obtenons
∑3
i=0 dr Pr = 3P0 +2P1 +4P2 +P3 = (441,457)
Cinquième phase : publication des résultats
Après le décompte des voix et la vérification, les résultats sont publiés
Tableau des résultats
Numéros Nom nombre de voix
0 Abstention 3
1 Candidat 1 2
2 Candidat 2 4
3 Candidat 3 1
Le vainqueur est le candidat 2.
Retour.
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90. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Problème
Problème
pour k ≥ 2 La détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k
r=0 dr Pr dans E(Fp)
est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de
sous-ensemble qui est NP-complet.
94. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ;
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95. Présentation de CReVote Illustration numérique avec SAGE
Problème
Problème
pour k ≥ 2 La détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k
r=0 dr Pr dans E(Fp)
est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de
sous-ensemble qui est NP-complet.
99. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ;
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