How to design a miniature train set that always loops back well? Two questions of algebra and counting

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Comment concevoir un circuit de train miniature qui se reboucle toujours bien ? – Deux questions d’algèbre et de dénombrement Séminaire de la MMI Jérôme Bastien Centre de Recherche et d’Innovation sur le Sport – Université Lyon I 25 Mars 2015 1/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Sommaire 1 Problématique 2 Construction des pièces du circuit 3 Autres systèmes possibles ? 4 Énumeration exhaustive des circuits réalisables ? 2/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Résumé Comment réaliser sans plan et au hasard, un circuit pour véhicule miniature de façon que les boucles se referment toujours parfaitement, sans heurt ni torsion des rails ? Une solution géométrique simple sera proposée, grâce à l’utilisation de six pièces de base, qui permettent de créer des circuits totalement modulables et extensibles à volonté. Cela sera d’abord l’occasion d’évoquer des questions, pour l’instant partiellement résolues (sur la systématisation algébrique des formes de rails, s’appuyant sur les groupes d’isométrie du polygone choisi, et sur la description exhaustive des circuits réalisables) mais aussi de jouer réellement sur le prototype d’un circuit ! 3/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Consignes À partir des rails prototypes (cinq exemplaires par type de pièces, soit trente pièces en tout), réaliser au hasard une boucle avec les deux seules consignes suivantes : Le circuit doit se refermer ; Unique règle de connexion : les extrémités de deux rails contigus doivent être du même type (absence ou présence simultanée de pastille de couleur). 5/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Travail de « contre-facteur » ! Essayer de déterminer la nature géométrique des pièces et la règle d’assemblage. Explication du rôle des pastilles jaunes ? Pourquoi une des pièces est-elle dédoublée ? 6/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Brevet délivré J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s= 1423127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583 Voir aussi [pct]. 15 mai 2012 7/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le «Vario system» Voir http://www.woodenrailway.info/track/trackmath.html 8/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le «Vario system» « Note how the photograph from the BRIO 1996 catalog shows a perfect ﬁt » : 9/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le «Vario system» « But when you actually lay this track out usinng a CAD system, you get a much diﬀerent story. The track doesn’t meet, and it’s also not aligned with the center of the viaduct. The Vario System is what makes this layout possible. » : 10/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Un exemple de plan de train existant 11/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Un exemple de circuit réalisé (A) 12/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le plan associé (A) p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3 5 3 5(b) 1 5 4 5(b)12 2 1 2 25 4 4 5(b) 13/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Un exemple de circuit réalisé (B) 14/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le plan associé (B) p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5 5(b) 5 3 5(b) 2 1 2 1 2 5 4 3 3 5(b) 5 5(b) 212 5 3 4 5(b)15 15/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Un exemple de circuit réalisé (C) 16/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Le plan associé (C) p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3 2 5 4 3 3 5(b) 5 5(b) 215 3 4 4 5(b) 17/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Ce que permet le brevet L’invention propose un circuit ou un ensemble de pièces de guidage qui : permet la réalisation d’un grand nombre de circuits fermés à partir du même ensemble de pièces, utilise un minimum de pièces de guidage diﬀérentes, garantit qu’il est toujours possible de refermer simplement le circuit sur lui-même. Typiquement, l’invention concerne le domaine des circuits de trains pour enfants. Elle peut concerner également le domaine des circuits de petites voitures ou similaires. 18/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Six types de rails Deux rails droits ; Deux rails circulaires ; Deux rails non symétriques, donc non circulaires ! 19/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Idées de base forme 5 On se concentre sur la trajectoire décrite par la locomotive par exemple, soit encore sur la ligne médiane, tracée en pointillé sur la ﬁgure. 21/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Idées de base On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme simple qui permette de paver le plan ; De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la courbe construite soit de classe C1. 22/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Idées de base On cherche à inscrire chacune de ces courbes dans une forme simple qui permette de paver le plan ; De plus, il est nécessaire qu’une fois le pavage réalisé, la courbe construite soit de classe C1. 22/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi C1 ? La ligne médiane est C1 ce qui assure la continuité de la vitesse du véhicule empruntant le circuit. Mais aussi, les bords des rails sont perpendiculaires à cette ligne médiane, donc parallèles entre eux, ce qui assure l’encastrement parfait de deux rails contigus ! 23/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi C1 ? Raccord 5−4 Exemple de bon raccord. 24/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les quatre milieux de cotés. 25/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés On imposera donc à chaque portion de la trajectoire : d’être contenue dans le carré, de débuter sur un sommet du carré ou un milieu d’un côté du carré en un point A et de se terminer sur un autre sommet du carré ou un milieu d’un autre côté du carré en un point B, d’être tangente en A et en B aux droites reliant respectivement le centre du carré aux points A et B. 26/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés Si on représente le carré de base et ses huit voisins, huit points particuliers apparaissent : les quatre sommets du carrés et les quatre milieux de cotés. 27/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Utilisation du pavage carré du plan et des huits points associés Deux exemples de courbe Ainsi, si une boucle est refermée, la trajectoire est assurée d’être continue et dérivable au premier et dernier point et l’encastrement est donc parfait ! 27/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Nombre de courbes nécessaires Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C2 8 = 28 courbes, ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes diﬀérentes. Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes. 28/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Nombre de courbes nécessaires Chacun des huits points (sommets ou milieux) doit être relié une fois seulement aux autres ! Donc, il faut C2 8 = 28 courbes, ce qui est beaucoup trop élevé si elles sont toutes diﬀérentes. Si on enlève les 8 trajets reliant chaque point à son voisin immédiat, il ne faut plus que 28 − 8 = 20 courbes. 28/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Six courbes quelconques 29/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les six courbes choisies 30/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les six courbes choisies Deux segments de droites ; Deux quarts de cercles ; Deux autres courbes, déﬁnies par deux points et deux tangentes, qui ne sont pas du type précédent (puisque√ 2 ∈ Q !). 31/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Hermite) On utilise la théorie de l’interpolation d’Hermite : on cherche deux fonctions polynômiales de degré 3, x et y déﬁnies sur [0, 1] par leurs valeurs et dérivées au bord : x(0), x (0), x(1) et x (1) (idem en y). 32/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Hermite) 33/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Bézier) Inventée en 1959 (algorithme) par De Casteljau puis redécouverte dix ans plus tard par Bézier, deux ingénieurs en automobile (Citroën , Renault) pour dessiner les forme de voiture ; Très utilisée en CAO et logiciels de dessin ; Repérée par un informaticien de chez Adobe, elles sont utilisées dans les fontes des caractères, donc vous en voyez tout le temps ! Plus de détails sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Bézier ou F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013. 34/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Bézier) Courbes de Bézier déﬁnie par n + 1 points de contrôle du plan, P0 à Pn. (Presque !) les mêmes que dans les logiciels de dessin. −−−→ P0P1 est tangent à la courbe en P0 et −−−−→ Pn−1Pn est tangent à la courbe en Pn. Elle est incluse dans l’enveloppe convexe des points Pi . 35/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Exemple de Courbes de Bézier pour une lettre Le « J » Cyrillique (Merci à Matthieu Cortat, www.nonpareille.net, Musée de l’imprimerie, Lyon) 36/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Bézier) P0 P1 P2 P2 P1 P0 Courbe de Bézier d’ordre n = 2, déﬁnie par trois points de contrôle P0, P1 et P2, passant par P0 et P2, dont les dérivées en ces points sont portées par −−−→ P0P1 et −−−→ P1P2. 37/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des pièces 5 et 6 (Parabole) En fait, les deux courbes obtenues ainsi sont identiques et égales à une parabole. Il existe une unique parabole, déﬁnie par deux points et deux droites tangentes (aux points donnés). Voir C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997. passer la construction 38/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Rappels de la déﬁnition et tangente F H M ∆ P D La parabole de foyer F et de directrice D est l’ensemble des points M tels que MH = MF. Tout rayon perpendiculaire à la directrice passe par le foyer, après « réﬂexion ». La tangente ∆ à la parabole en M est la médiatrice de [FH]. 39/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition nécessaire F 2 F1 ∆ 2 ∆ 1 D F A B P α 2α O ∆1 et ∆2 sécantes. ∆1 (resp. ∆2) est la médiatrice de [FF1] (resp. [FF2]). =⇒ F1 = s∆1 (F), F2 = s∆2 (F), F2 = s∆2 ◦ s∆1 (F1) = r(O,2α)(F1). 40/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition nécessaire F 2 F1 ∆ 2 ∆ 1 D F A B O P I α α−α Soit I = m([AB]). (OI) parallèle à (AF1). F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI) passant par A et de ∆ = r(O,−α)((OI)). F = s∆1 (F1), unique. D = (F1F2), unique. 41/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante ∆ 2 ∆ 1 A B Soient A, B et ∆1, ∆2, sécantes. 42/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante ∆ 2 ∆ 1 A B O I α Soient O = ∆1 ∩ ∆2, I = m([AB]) et α = ∆1, ∆2 . 42/80

67.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante F1 ∆ 2 ∆ 1 A B O I α −α F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI) passant par A et de ∆ = r(O,−α)((OI)). 42/80

68.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante F1 ∆ 2 ∆ 1 F A B O I α −α F = s∆1 (F1) 42/80

69.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante F 2 F1 ∆ 2 ∆ 1 F A B O I α −α F2 = s∆2 (F) 42/80

70.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante F 2 F1 ∆ 2 ∆ 1 D F A B O I α −α Soit D = (F1F2). De plus (AF1) ⊥ D et (BF2) ⊥ D 42/80

71.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole Condition suﬃsante F 2 F1 ∆ 2 ∆ 1 D F A B O P I α −α P est la parabole de foyer F et de directrice D. 42/80

72.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 5) α B A O −α I ∆ 1 ∆ 2 α = − π 4 , O = ∆1 ∩ ∆2, I = m([AB]) 43/80

73.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 5) 1 F α B A O −α I ∆ 1 ∆ 2 F1 est l’unique intersection de la parallèle à (OI) passant par A et de ∆ = r(O,π/4)((OI)). 43/80

74.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 5) 1 F α B A O −α I ∆ 1 ∆ 2 F F = s∆1 (F1) 43/80

75.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 5) 1 F F 2 α B A O −α I ∆ 1 ∆ 2 F F2 = s∆2 (F) 43/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 5) 1 F F 2 D α B A O −α I ∆ 1 ∆ 2 F P P est la parabole de foyer F et de directrice D = (F1F2). 43/80

77.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction de la parabole (pièce 6) B A I O −α F ∆ 1 1 F F ∆ 2 2 α α = π 4 revenir au début de la construction 44/80

78.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per]) est la suivante (voir [LH97, p. 351]) P A J N M’ N’ M Soient PM et PM deux tangentes. J = m([MM ]), N = m([PM]), N = m([PM ]). Alors la droite (NN ) est tangente à la parabole et son point de contact A est le mileu de [PJ] et de [NN ]. 45/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO Une propriété bien connue des Grecs (par Archimède, selon [Per]) est la suivante (voir [LH97, p. 351]) P A J N M’ N’ M Procédé itératif ! 45/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO Définition récurrente de la courbe de Bézier d’ordre 2 (De Castlejau) Issu de http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Bezier_quadratic_anim.gif, voir Bezier_quadratic_anim.gif Définition récurente (De Casteljau) : P1 1 (t) = (1 − t)P0 + tP1, P1 2 (t) = (1 − t)P1 + tP2, et P2 2 (t) = (1 − t)P1 1 + tP1 2 . Définition avec polynôme de Bernstein (Bézier) : ∀t ∈ [0, 1], P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t2 P2. 46/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO P1 P2 P P0 P P1 2 1 1 2 2 En particulier, pour t = 1/2, P1 1 est le milieu de [P0P1],, P1 2 est le milieu de [P1P2],, P2 2 est le milieu de [P1 1 P1 2 ],, et c’est la même propriété de la parabole ! 47/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité ! Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles. 48/80

85.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les Grecs et la CAO Preuve complète de façon analytique, ou mieux, par densité ! Autrement dit, les Bézier de degré 2 sont les paraboles. 48/80

86.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les isométries laissant invariant le carré Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est C = I, r, r2 , r3 , s∆1 , s∆2 , s(AC), s(BD) où ∆1 et ∆2, sont les médiatrices respectives de [AB] et de [AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et d’angle π/2. Engendré par{r, s∆2 }. 49/80

87.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Les isométries laissant invariant le carré Le groupe d’isométries laissant invariant le carré ABCD est C = I, r, r2 , r3 , s∆1 , s∆2 , s(AC), s(BD) où ∆1 et ∆2, sont les médiatrices respectives de [AB] et de [AD] et r est la rotation de centre O, le centre du carré et d’angle π/2. Engendré par{r, s∆2 }. 49/80

88.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Ensemble des courbes retenues passer les ﬁgures 50/80

89.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Images de ces courbes par les isométries pièce 1 51/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Ensemble des courbes possibles =⇒ 28 courbes possibles ! 52/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Ensemble des courbes possibles En enlevant les 8 pièces 6, restent 28 − 8 = 20 courbes possibles ! revenir au début des ﬁgures 52/80

119.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi six courbes a priori ? Les courbes sont déﬁnies par deux points appartenant à l’ensemble des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux points peuvent être opposés ou adjacents. En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les possibilités suivantes : 1 deux milieux opposés ; 2 deux milieux adjacents ; 3 deux sommets opposés ; 4 deux sommets adjacents ; 5 un milieu et un sommet opposés ; 6 un milieu et un sommet adjacents. 53/80

120.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi six courbes a priori ? Les courbes sont déﬁnies par deux points appartenant à l’ensemble des milieux et des sommets. Pour chacun de ces couples, les deux points peuvent être opposés ou adjacents. En reprenant la dénomination du texte du brevet, on a les possibilités suivantes : 1 deux milieux opposés ; 2 deux milieux adjacents ; 3 deux sommets opposés ; 4 deux sommets adjacents ; 5 un milieu et un sommet opposés ; 6 un milieu et un sommet adjacents. 53/80

121.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi six courbes a priori ? Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait donc 3 × 2 = 6 possibilités totales. Généralisation ? Voir plus loin. 54/80

122.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Pourquoi six courbes a priori ? Ainsi, trois choix possibles des couples points (SS, SM, MM) et deux choix possibles pour leur lien (adjacent ou opposé), ce qui fait donc 3 × 2 = 6 possibilités totales. Généralisation ? Voir plus loin. 54/80

123.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Construction des passages et des bords forme 5 Une fois les six courbes construites, il faut déﬁnir les passages (des roues) et éventuellement les bords. 55/80

124.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Élaboration des modèles 3D (CA0) Deux étudiants du département Génie Mécanique et Conception de l’INSA de Lyon ont ensuite élaboré les modèles 3D des pièces. 56/80

125.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Fabrication finale des prototypes Enfin, les prototypes en bois (bois massif certifié PEFC à 100 %) ont été réalisés par l’entreprise AS’Bois à Saint-Julien sur Suran (Jura, http://www.as-bois.fr). 57/80

126.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Retour sur le plan A p1: 3, p2: 4, p3: 1, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3 5 3 5(b) 1 5 4 5(b)12 2 1 2 25 4 4 5(b) 58/80

127.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Retour sur le plan A Ainsi, il faut partir d’un point, choisir les pièces pour revenir à ce point et lors de la pose de la dernière pièce, correctement choisie, la trajectoire est assurée d’être continue et dérivable en ce point et l’encastrement est donc parfait ! 59/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Retour sur le plan B p1: 4, p2: 5, p3: 4, p4: 2, p5: 5, p5(b): 5 5(b) 5 3 5(b) 2 1 2 1 2 5 4 3 3 5(b) 5 5(b) 212 5 3 4 5(b)15 60/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Retour sur le plan C p1: 1, p2: 2, p3: 3, p4: 3, p5: 3, p5(b): 3 2 5 4 3 3 5(b) 5 5(b) 215 3 4 4 5(b) 61/80

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131.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Le carré initialement choisi n est le nb de points ; p = C2 n est le nb de courbes ; q est le nb de courbes conservées ; s est le nb d’isométries ; I est l’ensemble des angles. n = 8, p = 28, q = 6, s = 8, I = {0, π/4, π/2, 3π/4}. 63/80

132.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Le carré initialement choisi n est le nb de points ; p = C2 n est le nb de courbes ; q est le nb de courbes conservées ; s est le nb d’isométries ; I est l’ensemble des angles. n = 8, p = 28, q = 6, s = 8, I = {0, π/4, π/2, 3π/4}. 63/80

133.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Triangle équilatéral Milieux seuls n = 3, p = 3, q = 1, s = 6, I = {π/3, 2π/3}. 64/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Triangle équilatéral Milieux et sommets n = 6, p = 15, q = 4, s = 6, I = {0, π/3, 2π/3}. 64/80

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Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Octogone régulier Milieux seuls n = 6, p = 15, q = 3, s = 12, I = {0, π/3, 2π/3}. 65/80

136.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Octogone régulier Milieux et sommets =⇒ Impossible ! 65/80

137.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Carré Milieux seuls =⇒ Déjà existants (Brio c ) ! 66/80

138.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Carré Milieux et sommets =⇒ Déjà vus ! 66/80

139.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Pavage à deux tuiles Par exemple, carrés et octogones. Diﬃculté : deux types de pièces 67/80

140.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Pavage à deux tuiles Par exemple, carrés et octogones. Diﬃculté : deux types de pièces 67/80

141.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Autres pavages possibles Question : Peut-on formaliser le système choisi, en fonction du ou des polygones et des points, et en déduire les valeurs de n, p, q, s, .... ? 68/80

142.

143.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces (les 40 possibilités) 70/80

144.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces (seules 10 possibilités) 71/80

145.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 7 pièces (les 560 possibilités) 72/80

146.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 7 pièces (seules 140 possibilités) 73/80

147.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 4 pièces 2 2 2 2 74/80

148.

149.

150.

151.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 2 5 4 4 5(b) 75/80

152.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 5 4 4 5(b) 2 75/80

153.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 5 4 4 5(b) 2 75/80

154.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 2 5 4 4 5(b) 75/80

155.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 4 4 5(b) 2 5 75/80

156.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 4 5(b) 2 5 4 75/80

157.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 5(b)2 5 4 4 75/80

158.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 5(b) 2 5 4 4 75/80

159.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 4 5(b) 2 5 4 75/80

160.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Tous les circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 5 pièces 4 4 5(b) 25 75/80

161.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 2 22 1 2 5 4 4 5(b) 76/80

162.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 2 22 5 5(b) 2 5 4 5(b) 76/80

163.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 2 5 4 5(b) 5 4 5(b)5 5(b) 76/80

164.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 5 3 4 4 3 5(b) 2 21 76/80

165.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 5 4 5(b) 1 2 5 5(b) 2 2 76/80

166.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Quelques uns des circuits en boucles réalisables (prototype) Avec 9 pièces 5 4 4 5(b) 2 1 5 4 5(b) 76/80

167.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Un grand nombre de boucles possibles Nombre de rails utilisés Système Easy Loop Système traditionnel théorique pratique théorique pratique 1 à 3 0 0 0 0 4 4 2 2 1 5 10 1 0 0 6 36 4 6 1 7 140 – 0 0 8 580 – 54 – 9 2772 – 0 0 10 12150 – 380 – 11 56342 – 0 0 12 249156 – 3020 – On constate donc le nombre élevé de possibilités oﬀertes par notre système par rapport aux systèmes traditionnels ! 77/80

168.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Problèmes des aiguillages et autres 78/80

169.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Informations, contact jerome.bastien@univ-lyon1.fr http://easyloop.toys/ http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne. 79/80

170.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références Informations, contact jerome.bastien@univ-lyon1.fr http://easyloop.toys/ http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/detail_brevet_rails.html Le programme permettant de faire des plans sera bientôt en ligne. 79/80

171.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références 80/80

172.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références 80/80

173.
Problématique Construction despièces du circuit Autres systèmes possibles ? Énumération exhaustive ? Références [bre] J. Bastien. “Circuit apte à guider un véhicule miniature”. Brevet FR2990627. Université Lyon I. Brevet publié sur le site de l’INPI http://bases- brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s= 1423127185056&cHash=cfbc2dad6e2e39808596f86b89117583 Voir aussi [pct]. 15 mai 2012. [HM13] F. Holweck et J.-N. Martin. Géométries pour l’ingénieur. Paris : Ellipses, 2013. [LH97] C. Lebossé et C. Hémery. Géométrie. Classe de Mathématiques (Programmes de 1945). Paris : Jacques Gabay, 1997. [pct] J. Bastien. “Circuit suitable for guiding a miniature vehicle [Circuit apte à guider un véhicule miniature]”. Brevet WO2013171170. Université Lyon I. Demande internationale publiée en vertu du traité de coopération en matière de brevets (PCT). Voir http://bases- brevets.inpi.fr/fr/document/WO2013171170.html?p=6&s= 1423127405077&cHash=6947975351b6d1cf7dd56d4e749a98bb. 13 mai 2013. [Per] D. Perrin. “Les courbes de Bézier”. notes pour la préparation au CAPES de mathématiques disponibles sur http://www.math.u- psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/BezierDP.pdf. 80/80

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