2. • 7𝑥4
− 13𝑥2
− 1 = 0
• 3𝑥4 + 5𝑥2 = 1
• 𝑥2 − 9 𝑥2 − 4 = 37
Ejemplos
• 𝑥4 + 11𝑥2 + 24 = 0
• 𝑥4 − 2𝑥2 − 15 = 0
• 𝑥4
− 17𝑥2
+ 52 = 0
Definición:
Una ecuación bicuadrada de una variable es una ecuación que
tiene la expresión general:
ECUACIÓN DE BICUADRADA
2
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 . . .
donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, y 𝑥 es la variable.
1
3. Para hallar la solución de la ecuación , se hace, el siguiente cambio
de variable, 𝑧 = 𝑥2, resultando la ecuación cuadrática:
SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION BICUADRATICA
3
𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 . . . 2
donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, y 𝑥 es la variable .
Aplicando la fórmula general para una ecuación de segundo grado,
se obtiene:
△= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑧1 =
−𝑏 + △
2𝑎
𝑧2 =
−𝑏 + △
2𝑎
El discriminante:
Las raíces: . . . 3
.
4. retornando a las variables x, obtiene las raíces de la ecuación 1 :
.
SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION BICUADRADA
4
Si hacemos 𝛼 = 𝑥1, 𝛽 = 𝑥3, obtenemos:
𝑥1 =
−𝑏 − △
2𝑎
𝑥2 = −
−𝑏 − △
2𝑎
𝑥3 =
−𝑏 + △
2𝑎
𝑥4 = −
−𝑏 + △
2𝑎
Conjunto solución (C. S.) C. S. = 𝛼, −𝛼, 𝛽, −𝛽 . . . 5
. . . 4
5. 5
PROPIEDADES
Sea la ecuación bicuadrada de la forma siguiente:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0
Donde 𝛼, −𝛼, 𝛽, −𝛽 son raíces de la ecuación bicuadrática.
𝛼2+𝛽2 = −
𝑏
𝑎
(1)
𝛼2
𝛽2
=
𝑐
𝑎
(2)
Construcción de la ecuación: 𝑥4 − 𝛼2 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛼2𝛽2 = 0 (3)
6. a. 9𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎
6
Ejercicios
9𝑥2 − 4 𝑥2 − 1 = 0
3𝑥 + 2 3𝑥 − 2 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0
𝐶. 𝑆. = −1; −
2
3
;
2
3
; 1
Por aspa simple:
9𝑥2
𝑥2
− 4
−1
Tendremos:
Factorizando, por diferencia de
cuadrados, resulta:
Igualando a “0”, cada factor,
obtendremos, como la
solución de la ecuación:
7. b. 16𝒙𝟒 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟐 = 𝟎
7
Ejercicios
Hacemos: 𝑧 = 𝑥2
Luego en la ecuación, tendremos:
16𝑧2 − 21𝑧 + 2 = 0
Su discriminante: ∆= −21 2 − 4 ∙ 16 ∙ 2
Resulta: ∆= 313 > 0
𝑥1 =
21 + 313
32
𝑥2 = −
21 + 313
32
𝑥3 =
21 − 313
32
𝑥4 = −
21 − 313
32
Por tanto las raíces son:
10. INECUACIONES
Definición:
Una inecuación de segundo grado, es aquella que tiene la siguiente
forma
Son inecuaciones cuadráticas
• 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 < 0
• 𝑥2
− 1 ≤ 0
• 𝑥2 > 0
• 2 − 𝑥2 ≥ 0
10
Las inecuaciones cuadráticas pueden o no tener soluciones.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 . . . (1)
Donde 𝑎 ≠ 0 y,
pudiéndose cambiar < , por alguna de los símbolos ≤, > o ≥.
11. INECUACIONES
Dado: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, donde {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊂ ℛ, pudiéndose cambiar < por
alguna de los símbolos ≤, > o ≥.
De la inecuación se obtiene, el discriminante: Δ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Primer Caso
• Si Δ > 0 ∧ 𝑎 > 0,
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , es factorizable en los
reales, para resolver utilizamos el
método de los puntos críticos (puntos
de corte al eje X)
𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 < 0, ó (≤, >, ≥)
11
Las inecuaciones cuadráticas pueden o no tener soluciones.
𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
12. INECUACIONES
Segundo Caso
• Si Δ = 0 ∧ 𝑎 > 0,
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , se transforma en un
trinomio cuadrado perfecto de la
forma (punto de tangencia al eje X)
𝑛𝑥 + 𝑚 2 < 0, ó (≤, >, ≥)
12
Las inecuaciones cuadráticas pueden o no tener soluciones.
𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥 + 4
𝑦 = (𝑥 − 2)2
13. INECUACIONES
Tercer Caso
• Si Δ < 0 ∧ 𝑎 > 0,
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , se transforma en un
trinomio cuadrado perfecto mas un
cierto numero real positivo de la forma
𝑛𝑥 + 𝑚 2 + 𝑘 < 0, ó ≤, >, ≥ , 𝑘 > 0
(no hay puntos de intercepto con el eje X)
13
Las inecuaciones cuadráticas pueden o no tener soluciones.
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝒚 = (𝒙 − 𝟏)𝟐+𝟏
14. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Ejemplos
1. x3 − 4x2 − x + 4 < 0
2. x10 − 4 ≤ 0
3. x3
− 4 2
x − 1 4
x + 4 > 0
14
Definición:
Es aquella inecuación polinomial de grado mayor a 2.
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 < 0 . . . (2)
Donde 𝑎 ≠ 0 y,
pudiéndose cambiar < , por alguna de los símbolos ≤, > o ≥.
15. Solución de una ecuación polinomial
Método de los puntos críticos.
Se usa para resolver inecuaciones polinomiales
15
Procedimiento:
1. Traslade todos los términos a uno de los lados de la inecuación,
haciendo que el coeficiente principal sea positivo.
2. Factorice la expresión.
3. Halle los puntos críticos igualando a cero cada uno de los factores
lineales.
4. Ubique los puntos críticos en la recta numérica real y de derecha a
izquierda divida en zonas … +, −, +, −, +.
5. Tome la zona + o − dependiendo de la desigualdad
16. Aplicación
Resolver: 𝟔𝒙𝟐 < 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 +12
1.Trasladando todos los términos al lado izquierdo: 2𝑥2
− 7𝑥 − 6 < 0
2.Factorizando con aspa simple (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) < 0
3.Los puntos críticos son: 3/2 y 2.
4.Ubicando los puntos críticos en la recta numérica y dividiendo en zonas
5.Tomando la zona negativa ya que queremos que: 2𝑥2 − 7𝑥 − 6 sea
negativa
16
C.S.=
3
2
; 2
21. INECUACION RACIONAL
21
Definición:
Adoptan la forma :
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
< 0
Donde 𝑝(𝑥) y q(𝑥) son polinomios no nulos y q(𝑥) es de grado mayor a
cero, pudiéndose cambiar < por alguna de los símbolos ≤, > o ≥.
• Para resolver una inecuación racional se usará una ampliación del
método de los puntos críticos.
La inecuación
p(x)
q(x)
< 0
Puede ser resuelta de forma equivalente como p x q x < 0, pero teniendo
presente que q x ≠ 0.
22. Aplicación
22
• Resolver:
𝒙−𝟑
𝒙−𝟏
≥ 𝟎
Obtención de los puntos crítico, cada factor se iguala a cero (tanto los
del numerador y el denominador)
Resultando : C.S.= −∞; 1 ∪ ہ ۧ
3; +∞
Resultando los puntos críticos: 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, graficamos y tomamos la
parte positiva, teniendo en cuenta, de los puntos extremos, 1 y 3, no
consideramos , el 1.
𝑥 − 3 = 0 ⟶ 𝑥 = 3
𝑥 − 1 = 0 ⟶ 𝑥 = 1
−∞ 1 3 + ∞
+ − +
