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Les relations statistiques
échantillon-population
Jérôme CAREL
Mai 2022

Plan de la séquence
Variables quantitatives Variables qualitatives
Vérifier la conformité d’un
échantillon avec une
population connue
① ④
Estimer une moyenne /
une fréquence d’une
population à partir d’un
échantillon
② ⑤
Comparer deux
populations à partir de
deux échantillons
③ ⑥
Jérôme CAREL - Mai 2022 2

Il faut distinguer les variables quantitatives des variables qualitatives

Le cas des variables
quantitatives continues

On travaille ici avec une
distribution normale (Gauss)
Moyenne = Mode = Médiane

Exemple n°1* : la taille des femmes
qui ont accouché en 2021 en France
• Imaginons qu’on mesure toutes
les femmes lorsqu’elles viennent
accoucher en 2021
→ 742 400 femmes
• Supposons que la série de
données suive une loi normale,
avec µ = 164,88 et σ = 12.
• Cela donne donc :
Tailles (cm) Nb de femmes Fréquences (%)
107 0 0,0000
108 0 0,0000
109 0 0,0000
110 1 0,0000
111 1 0,0000
112 1 0,0000
113 2 0,0000
114 3 0,0000
160 22722 0,0306
161 23424 0,0316
162 23981 0,0323
163 24380 0,0328
164 24615 0,0332
165 24680 0,0332
166 24574 0,0331
167 24299 0,0327
197 686 0,0009
198 547 0,0007
199 433 0,0006
200 341 0,0005
201 266 0,0004
202 206 0,0003
203 159 0,0002
204 122 0,0002
NB:
* Il s’agit ici d’un exemple fictif, avec des données reconstituées
pour les besoins statistiques de la présentation. Jérôme CAREL - Mai 2022 6

Les caractéristiques de la loi normale centrée réduite

Exemple n°1 : la taille des femmes
• On ramène toute la population à 100
individus (on exprime en %).
• On calcule les valeurs centrées
réduites qui correspondant aux
effectifs pour chaque des valeurs de
la taille.
• On obtient donc des valeurs
positives de Z (celles qui sont
supérieures à la moyenne µ) et des
valeurs de Z négatives (celles qui
sont inférieures à la moyenne µ).
Z (valeur centrée réduite) Fréquences (%)
-4,82333 0,0000
-4,74000 0,0000
-4,65667 0,0000
-4,57333 0,0000
-4,49000 0,0000
-4,40667 0,0000
-4,32333 0,0000
-4,24000 0,0000
-0,40667 0,0306
-0,32333 0,0316
-0,24000 0,0323
-0,15667 0,0328
-0,07333 0,0332
0,01000 0,0332
0,09333 0,0331
0,17667 0,0327
2,67667 0,0009
2,76000 0,0007
2,84333 0,0006
2,92667 0,0005
3,01000 0,0004
3,09333 0,0003
3,17667 0,0002
3,26000 0,0002

Les paramètres utilisés
• Pour la population • Pour un échantillon
Les valeurs centrées réduites

population connue

POPULATION → ÉCHANTILLON ?
On connaît les paramètres d’une population (µ; σ)
On souhaite vérifier la probabilité qu’un
échantillon donné soit bien issu de cette
population

• Pour les besoins d’une étude, on
sélectionne au hasard un
échantillon de 15806 femmes
(donc 15806 tailles)
• On souhaite déterminer si cet
échantillon (vu sa X et son S) est
effectivement issu de notre
population initiale, en acceptant
un risque d’erreur de 5%.
125 0 0,0000%
126 0 0,0000%
127 1 0,0063%
128 1 0,0063%
129 0 0,0000%
130 0 0,0000%
131 1 0,0063%
132 0 0,0000%
160 505 3,1950%
161 567 3,5872%
162 603 3,8150%
163 640 4,0491%
164 671 4,2452%
165 663 4,1946%
166 655 4,1440%
167 628 3,9732%
197 8 0,0506%
198 5 0,0316%
199 0 0,0000%
200 4 0,0253%
201 2 0,0127%
202 0 0,0000%
203 3 0,0190%
204 1 0,0063%

On peut calculer :
• X = 168,648
• S = 10,164
Pour rappel, on sait que :
• µ = 164,88
• σ = 12
• A l’évidence, les valeurs ne sont pas
identiques.
• Peut-on néanmoins affirmer qu’elles
sont suffisamment différentes pour
considérer que l’échantillon n’est pas
représentatif de la population (en
supportant un risque d’erreur de 5%) ?
125 0 0,0000%
126 0 0,0000%
127 1 0,0063%
128 1 0,0063%
129 0 0,0000%
130 0 0,0000%
131 1 0,0063%
132 0 0,0000%
160 505 3,1950%
161 567 3,5872%
162 603 3,8150%
163 640 4,0491%
164 671 4,2452%
165 663 4,1946%
166 655 4,1440%
167 628 3,9732%
197 8 0,0506%
198 5 0,0316%
199 0 0,0000%
200 4 0,0253%
201 2 0,0127%
202 0 0,0000%
203 3 0,0190%
204 1 0,0063%

NB:
Si on ne connaît que
la moyenne de la
population (µ) mais
pas son écart-type (σ),
alors on utilise le test
t de Student.

Test z pour un échantillon / Test bilatéral :
Intervalle de confiance à 95% autour de la moyenne :
[ 168,461; 168,836 ]
Différence 3,768
z (Valeur observée) 39,482
|z| (Valeur critique) 1,960
p-value (bilatérale) <0,0001
alpha 0,050
Interprétation du test :
H0 : La moyenne est égale à 164,88.
Ha : La moyenne est différente de 164,88.
Etant donné que la p-value calculée est inférieure au niveau de signification alpha=0,05, on doit rejeter l'hypothèse nulle H0,
et retenir l'hypothèse alternative Ha.
CONCLUSION :
On peut donc conclure que l’échantillon n’est
pas représentatif de la population étudiée.

Estimer la moyenne d’une population
à partir d’un échantillon

ÉCHANTILLON → POPULATION?
On connaît les paramètres d’un échantillon (X; S)
On souhaite estimer la moyenne de la population
(µ) à partir des paramètres de l’échantillon.

Exemple n°2* : L’apport d’engrais
azoté sur un gazon
• On estime à environ 20 grammes par m² les besoins annuels en azote
pour un gazon récréatif commun (soit en moyenne 2mg par pied).
• L’entreprise AMENAVERT a conclu des contrats pour entretenir de
vastes étendues de gazon pour un client important. Elle effectue des
apports d’engrais contenant de l’azote régulièrement mais n’est pas
en mesure d’affirmer que les quantités épandues sont réellement
efficaces.
• N’ayant pas de moyens technologiques avancés (drones, caméras,
images satellites), elle décide d’effectuer des prélèvements de gazon
et de vérifier la teneur en azote pied par pied.

azoté sur un gazon
• L’entreprise a ainsi collecté au hasard 1398 pieds sur les gazons
qu’elle entretient et a obtenu la teneur en azote par pied (en µg).
• Elle se pose donc la question suivante :
➢Peut-on dire que l’apport en azote est suffisant ou bien faut-il le modifier ?
• Pour résumer, on a donc :
➢ = 1896 µg et S = 173 µg
➢ µ = ? et σ = ?
• Et on voudrait vérifier si µ est suffisamment proche de 2000 µg
• Pour cela, il faut donc ESTIMER µ.

azoté sur un gazon
• A l’aide des paramètres de l’échantillon, on va donc construire un
intervalle de confiance tel qu’on aura statistiquement 95% de chance
d’y trouver µ. Autrement dit, on accepte un risque d’erreur de 5%
(α=5%).

azoté sur un gazon
Cette valeur correspond à la
valeur t2,5% qu’on trouve dans la
table de Student en
sélectionnant un degré de liberté
de 1397
(n-1 = 1398-1 = 1397)
Moyenne de l’échantillon
Ecart-type de l’échantillon
Effectif de l’échantillon

azoté sur un gazon
Extrait de la table de Student
Degrés de liberté
Risques α/2

azoté sur un gazon
• On obtient donc :
1896 – 1,96 × (173 / √1398) ≤ µ ≤ 1896 + 1,96 × (173 / √1398)
1886,93 ≤ µ ≤ 1905,07
On constate alors que 2000 (la valeur moyenne « visée » pour la teneur en
azote par pied, en µg) ne fait pas partie de l’intervalle de confiance.
En l’occurrence, l’intervalle de confiance est plus faible.
On peut donc en conclure avec un risque d’erreur de 5% que l’apport moyen
en azote par pied demeure insuffisant par rapport à l’objectif visé de
2 mg/pied.

Comparer deux populations à partir de
deux échantillons indépendants

POPULATION? = POPULATION?
On connaît les paramètres de deux échantillons :
(X1; S1) et (X2; S2)
On souhaite comparer les moyennes de deux
populations estimées à partir des paramètres de
deux échantillons respectifs.
?

azoté sur un gazon
• Imaginons maintenant qu’on arrive à identifier 2 sous-catégories dans notre
échantillon de 1398 données : elles reflètent le fait que les échantillons ont
été prélevés sur 2 parcelles distinctes.
• On obtient alors :
➢ 1 = 1891,55 et S1 = 173,87
➢ 2 = 1900,99 et S2 = 172,58
La question posée est alors :
Est-ce que la moyenne estimée de la population 1 (µ 1) est significativement
différente de la moyenne estimée de la population 2 (µ 2) ?

azoté sur un gazon
• Pour répondre à cette question, on formule 2 hypothèses et on fait un test t
de Student pour échantillons indépendants.
• H0 : Les moyennes d’azote dans les deux parcelles ne sont pas significativement différentes
• H1 : Les moyennes d’azote dans les deux parcelles sont significativement différentes

azoté sur un gazon
• Pour répondre à cette question, on fait un test t de Student pour échantillons
indépendants. Ce test consiste à comparer les moyennes des échantillons.
avec
• Si ‫׀‬tSTAT ‫>׀‬ ‫׀‬tcritique‫׀‬ , alors on peut rejeter l’hypothèse H0 et conclure à une
différence significative entre les deux moyennes.

azoté sur un gazon
• Ce test suppose l’égalité des variances des deux échantillons.
On peut tester cette égalité de variances à l’aide du test de Fisher :

azoté sur un gazon
• Ici, on constate que l’égalité des variances est vérifiée.
• Dans le cas contraire, on pourrait tout de même continuer avec le test t de Student car l’échantillon est suffisamment grand.
Test F de Fisher / Test bilatéral :
Intervalle de confiance à 95% autour du rapport des variances :
[ 0,875; 1,178 ]
Rapport 1,015
F (Valeur observée)1,015
F (Valeur critique) 1,160
DDL1 698
DDL2 698
p-value (bilatérale) 0,844
alpha 0,050
H0 : Le rapport entre les variances est égal à 1.
Ha : Le rapport entre les variances est différent de 1.
Etant donné que la p-value calculée est supérieure au niveau de signification seuil alpha=0,05, on ne peut pas
rejeter l'hypothèse nulle H0.

azoté sur un gazon
• Le test t de Student donne une p-value > α
• On ne peut donc pas exclure H0. On ne peut donc pas affirmer que les
moyennes des populations sont significativement différentes.
Test t pour deux échantillons indépendants / Test bilatéral :
Intervalle de confiance à 95% autour de la différence des moyennes :
[ -27,618; 8,736 ]
Différence -9,441
t (Valeur observée)-1,019
|t| (Valeur critique)1,962
DDL 1396
p-value (bilatérale) 0,308
alpha 0,050
H0 : La différence entre les moyennes est égale à 0.
Ha : La différence entre les moyennes est différente de 0.
Etant donné que la p-value calculée est supérieure au niveau de signification seuil alpha=0,05, on ne peut pas
rejeter l'hypothèse nulle H0.

azoté sur un gazon
• Le test t de Student donne une p-value > α

azoté sur un gazon
Au final, on peut donc dire que le gazon manque d’azote, que ce soit
sur la parcelle 1 ou la parcelle 2, sans qu’il y ait de différence notable
entre les deux parcelles.

Le cas des variables
qualitatives

Les caractéristiques des données qualitatives
Données nominales.
Ici, la variable « sexe »
admet 2 modalités :
➢ Homme
➢ Femme
Bien que ce ne soit pas le cas ici, un chiffre peut
aussi être une donnée qualitative s’il s’agit d’un
numéro d’ordre (dans un classement).
Par ex:
Ce pourrait être ici l’ordre du répondant parmi
tous les enfants mis au monde par sa mère.
Données quantitatives
Effectifs par modalité. (=fréquences absolues)
Fréquences relatives =
Effectif de la modalité / Effectif total

Convertir des données quantitatives en données qualitatives
Il est possible de convertir des données quantitatives en données qualitatives mais
cela implique une certaine « perte d’information » dans les données car on
attribue de façon arbitraire un qualitatif (donc un sens sémantique) à une donnée
chiffrée.
Par exemple, la taille d’un individu peut être qualifiée de « grande », « moyenne »
ou « petite ». On peut ainsi attribuer des intervalles de grandeur à chacun de ces
qualificatifs de sorte qu’ils soient mutuellement exclusifs.
Taille en cm
Taille en valeur
nominale
186
184
184
183
180
178
178
175
174
170
170
170
166
166
163
162
162
161
159
158
156
155
155
Petit
Moyen
Grand

Etudier une modalité d’intérêt
On peut ainsi calculer la fréquence relative des « petits » :
p = X/n avec X = effectif de la modalité étudiée;
n = effectif total de l’échantillon
On trouve ainsi p = 6/23 ≈ 26,09%
La proportion de cette même modalité d’intérêt dans la
population est donnée par π.
Taille en cm
Taille en valeur
nominale
186
184
184
183
180
178
178
175
174
170
170
170
166
166
163
162
162
161
159
158
156
155
155
Petit
Moyen
Grand

Les paramètres utilisés
• Pour la population • Pour un échantillon
La valeur centrée réduite
π
• Pour l’ensemble des échantillons
possibles (d’une certaine taille)
parmi une population :
Erreur standard de la proportion

population connue

POPULATION → ÉCHANTILLON?
On connaît la proportion d’intérêt (π) dans une
population.
On souhaite vérifier si la proportion (p) associée à une modalité dans un
échantillon est significativement différente de la proportion (π) de la même
modalité dans la population de référence.
Autrement dit, on vérifie si la différence entre p et π peut s’expliquer simplement par l’erreur
d’échantillonnage ou pas.

Exemple n°3* : Navigateur internet
• Afin de limiter les problèmes d’incompatibilité technique, on souhaite
étudier les comportements et usages des navigateurs internet dans
une entreprise multinationale rassemblant plusieurs milliers de
salariés.
Malheureusement, il est impossible de rassembler les données
techniques de toutes les antennes à travers le monde. Le DSI décide
donc de lancer une enquête auprès d’un échantillon de salariés. Le
résultat montre que sur 100 salariés, 60 utilisent le navigateur Google
Chrome.
• Or, une étude statistique extensive menée par Google et reprenant les
données télécom de tous les pays dans le monde a montré que
56,43% des internautes utilisent Google Chrome en guise de
navigateur internet.
NB:

Ici, on connaît donc :
• p = 0,60
• π = 0,5643
Peut-on dire que la part d’utilisateurs de Google Chrome dans
l’entreprise est semblable à celle qui est observée dans le monde en
acceptant un risque d’erreur de 5% dans la réponse qui sera formulée?
NB:

Cette valeur correspond à la valeur
Z2,5% qu’on trouve dans la table Z
(loi normale centrée réduite).
Proportion de l’échantillon
Variance de l’échantillon
Effectif de l’échantillon

Extrait de la table Z
(loi normale centrée réduite)
Risque (1-α/2)
α est « réparti » sur les 2
queues de distribution.
On s’intéresse donc à α/2
puisqu’il s’agit de la probabilité
cumulée de -∞ à Z.

Pour répondre à cette question, on calcule donc :
• Dans la table Z, on lit :
Zα/2 = Z2,5% = Z0,025 = 1,96
• On connaît déjà p = 0,6 et n = 100. On peut donc calculer l’intervalle d’encadrement de la proportion estimée pour la population :
On constate ici que la proportion de référence (56,43% dans le monde) fait bien partie de
l’intervalle de confiance. On ne peut pas donc dire que la proportion dans
l’entreprise est significativement différente de celle rencontrée dans le monde.
NB:

Estimer la probabilité d’obtenir une
proportion dans une population en
connaissant celle d’un échantillon

ÉCHANTILLON → POPULATION?
Pour une modalité donnée, on connaît la proportion
d’intérêt (p) dans un échantillon.
On souhaite calculer les probabilités associées à
cette même modalité pour la population dont est
tiré l’échantillon.

Exemple n°4* : Résultats d’élections
• Un cabinet de sondages est mandaté pour donner des prévisions de
résultats lors de la nuit de dépouillement d’une élection politique
importante.
• Il n’y a que 2 candidat.e.s qui se présentent au scrutin.
• Pour être élu.e, la personne doit recevoir au moins la moitié des
suffrages plus un.
• Cependant, en guise de précaution, l’institut de sondage estime qu’il
faut que l’un des candidats ait reçu au moins 55% des votes exprimés
pour le déclarer vainqueur (par anticipation) du suffrage.
• L’institut de sondage prévoit interroger 100 personnes « à la sortie des
urnes » d’un bureau de vote représentatif de la population sur la
nature des expressions politiques.
NB:

Quelle est la probabilité pour qu’un candidat soit déclaré vainqueur
par anticipation s’il reçoit au final 60% des suffrages exprimés par
l’ensemble de la population (une fois le dépouillement terminé) ?
• Pour répondre à cette question, on utilise la valeur Z. La probabilité correspond à la probabilité
cumulée que Z soit supérieur à cette valeur « plancher ».
• On sait que p = 0,55 π = 0,60 n = 100
NB:

• On sait que p = 0,55 π = 0,60 n = 100
NB:
pour les besoins statistiques de la présentation.
Z ≈ -1,0206
Dans la table Z, on trouve p(Z ≤ -1,02) = 15,39%
Donc p(Z > -1,02) = 84,61%
On a donc près de 85% de chance de proclamer le candidat
vainqueur à la sortie des urnes avec un échantillon de 100
personnes si le résultat final lui donne 60% des voix.

Quelle est la probabilité pour qu’un candidat soit déclaré vainqueur
par anticipation (et par erreur) s’il reçoit au final 49% des suffrages
exprimés par l’ensemble de la population ?
• Pour répondre à cette question, on utilise la valeur Z. La probabilité correspond à la probabilité
cumulée que Z soit supérieur à cette valeur « plancher ».
• On sait que p = 0,55 π = 0,49 n = 100
NB:

• On sait que p = 0,55 π = 0,49 n = 100
NB:
pour les besoins statistiques de la présentation.
Z ≈ 1,2002
Dans la table Z, on trouve p(Z ≤ 1,20) = 88,49%
Donc p(Z > 1,20) = 11,51%
On a donc 11,5% de risque de proclamer un candidat vainqueur de
l’élection alors qu’il échoue de peu à l’élection.

Comparer deux populations à partir de
deux échantillons distincts

POPULATION? = POPULATION?
On connaît la proportion d’une même modalité dans
deux échantillons (p1) et (p2).
On souhaite comparer les proportions π1 et π2 des
deux populations estimées à partir des paramètres
de deux échantillons respectifs.
?

Un 2ème institut de sondage a été mandaté pour faire le même travail que le
premier mais sur un échantillon différent de 120 personnes, lui aussi connu
pour être représentatif des comportements de électeurs.
Le 1er institut obtient un score d’échantillon de 49% des voix pour le candidat
étudié. Le 2ème institut obtient un score d’échantillon de 53% des voix pour ce
même candidat.
Peut-on affirmer que les scores estimés pour la population dans chacun des
cas sont statistiquement semblables en admettant un risque d’erreur de 5% ?

Pour résumer, on a :
p1 = 0,49 et p2 = 0,53
Le principe ici consiste à analyser la différence de proportion entre les échantillons
par rapport à la différence de proportion entre les populations estimées.
Si les deux populations estimées sont en réalité une seule et même population, alors
on a : π1 = π2; autrement dit π1 - π2 = 0.
On fait donc un test d’hypothèses :
H0 : Les proportions estimées pour chacune des 2 populations ne sont pas
significativement différentes l’une de l’autre
H1 : Les proportions estimées pour chacune des 2 populations sont significativement
différentes l’une de l’autre.

Exemple n°4* :
Résultats
d’élections
On calcule alors un ZSTAT que
l’on compare à une valeur
critique Z-2,5%.
Si ZSTAT > Z2,5% ou bien si ZSTAT < Z-
2,5% , alors on peut dire qu’on a
bien 2 estimations différentes.

On calcule donc
Avec
On obtient
Soit Z = -0,59

Dans la table Z de la loi normale centrée réduite, on trouve :
Z-2,5% = -1,96
On constate donc que Z-2,5% ≤ ZSTAT ≤ Z+2,5%
On ne peut donc pas rejeter H0.
On ne peut donc pas affirmer que les résultats obtenus par l’un et l’autre des
instituts de sondage sont significativement différents.
Conclusion :
L’un donnant le candidat gagnant et l’autre perdant, on peut conclure à une impossibilité de
donner le nom d’un gagnant.
Pour pouvoir espérer affiner les résultats, il faudrait notamment augmenter la taille des
échantillons de population.

La clé de la réussite ?
L’entraînement et les exercices réguliers

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