Main recsys factorisation

Apprentissage et factorisation matricielle pour la
recommandation
Décembre 2012, GdR ISIS

Julien Delporte & Stéphane Canu
stephane.canu@litislab.eu

Recommendation Factorisation Approche Mixte

Plan de la présentation

1 Le problème de la recommandation
Les problèmes de recommandation
Les données : Big Data
2 Factorisation et apprentissage
Factorisation et décomposition en valeurs singulières
Factorisation et Netﬂix
Apprentissage pour la recommandation
3 Recommandation avec préférences et liens
Problème Tuenti
Optimisation alternée
Résultats expérimentaux


La recommandation de tous les jours


Recommander musique, ﬁlms, amis, lieux. . .


Les problèmes liés à la recommandation

Problèmes types
la recommandation d’articles (publicité, lignes de code, . . .)
la recommandation d’amis (à partir de graphes)

identiﬁcation de variables cachées (proﬁles, groupes, . . .)
Latent variables

le monde bouge (temps)
long tail problem
cold start

le système de recommandation (pré et post processing)


Les données de base : matrice client/produit

TABLE: Matrice d’achat

Produit
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
Client

1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

0 peut signiﬁer :
l’utilisateur n’apprécie pas l’article
l’utilisateur ne connaît pas l’article (ou n’a pas encore
signiﬁé son goût).


Les types de données : matrice client/produit

TABLE: Matrice de vote (rating)

Films
? ? 4 ? 1 ? ? ? ? ? ?

3 ? ? ? ? 4 3 ? ? 2 ?
Spectateur

1 5 ? ? ? ? ? ? 5 ? ?

? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1

? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?

? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ?

? 5 3 4 ? ? ? ? 1 1 4

? signiﬁe que nous ne connaissons pas l’avis du spectateur


A 1 million dollars Challenge (2007-2009)
Netﬂix Challenge
Recommandation de ﬁlms
Moteur maison : cinematch
Améliorer les performances de 10%

Gagné en 2009 par fusion : KorBell’s
Pragmatic Chaos


Les types de données : Big Data

La matrice des achats Autres données possibles
Données contextuelles
volumineuse
sur les clients
creuse sur les articles
datée Réseau social
(représentation : graphe)
Matrice bloc 3d Matrices associées

Données multi blocs structurés


Données multi blocs (tableaux = matrices)

produits

clients achats



produits

clients achats

temps



produits

c2 c6

clients achats c3 c4

temps
c1 c5


Résumons nous :

systèmes de recommandation disponible.
certains fonctionnent bien
...et d’autres moins bien

moteur : l’exploitation de la matrice d’achat

Exploiter toutes les données disponibles
multiblocs (temps, utilisateur, produit)
structurés (arbres, graphes, relations)
création de variables cachées : proﬁls
orrienté « usage »


Plan de la présentation
1 Le problème de la recommandation
Les problèmes de recommandation
Les données : Big Data
2 Factorisation et apprentissage
Factorisation et décomposition en valeurs singulières
Factorisation et Netﬂix
Apprentissage pour la recommandation
3 Recommandation avec préférences et liens
Problème Tuenti
Résultats expérimentaux


Factorisation matricielle

Films : V

5
Utilisateurs : U

Y Matrice des observations : Y3,2 = 5


Factorisation matricielle
V (variables latentes items)
Y = UV + bruit

5
U(variables latentes users)

Y Matrice des observations : Y3,2 = 5


Complétion de matrice

V (variables latentes items)
2
Y = UV + bruit
0
1
U

2 1 -3 1
(variables latentes users)

Yij = Ui• V•j (problème de complétion)


Comment trouver U et V ?
Problème de reconstruction de la matrice Y
min L(Y , Y ) := Y − Y 2
F
Y
avec rang(Y ) = k
Eckart & Young 1936

Solution : décomposition en valeurs singulières (SVD)
Y = UV (= U ΣV )
Méthode de résolution « exacte » sur matrices creuses
algorithme : processus de Lanczos
Bidiagonalisation Y = WBZ
diagonalisation de B (rotations de givens GVL 8.6.1)
logiciel : PROPACK a
a. http ://soi.stanford.edu/ rmunk/PROPACK/


Comment calculer U et V ?
min L(Y , UV ) avec rang(U) = rang(V ) = k
U,V

SGD (Stochastic Gradient Descent)
Calcul de gradient
règle de mise à jour par descente de gradient
UiNEW = UiOLD − p Ui L(Y , U, V )
VjNEW = VjOLD −p Vj L(Y , U, V )

Algorithmes efficaces
S. Funk process a , PLSA, MMMF (Srebro et al, 2004), . . .
code : RSVD b , CofiRank c , . . .
a. http ://sifter.org/ simon/journal/20061211.html
b. http ://code.google.com/p/pyrsvd/
c. http ://www.cofirank.org/



Formulation Générale
min L(U, V , Y ) + Ω(U, V )
U,V
attache aux données : L(U, V , Y )
pénalisation : Ω(U, V )

Algorithme qui passe à l’échelle
calculer le gradient et isoler le terme à mettre à jour pour
obtenir la règle
example :
pour L(U, V , Y ) = UV − Y 2 et Ω(U, V ) = 0
on a : → Ui = (Yi V ).(VV )−1
utilisé dans CoFi pour implicit feedback datasets [2]


Un succès de la factoriasation
Netflix Challenge (2007-2009)
Recommandation de films
Moteur maison : CineMatch
Améliorer les performances de 10%
critère : erreur quadratique

Les données
450 000 spectateurs
17 000 films
100 millons d’évaluations (de 1 à 5)
taux de remplissage : 1,3 %
test sur les 3 millions les plus récents
48 000 téléchargements des donées


baseline : CineMatch
factorisation : SVD régularisée à k facteurs Ui , Vj ∈ I k
R

min (Yij − Ui Vj )2 + λ( Ui 2
+ Vi 2
)
U,V
i,j

normalisation : moyenne globale µ, pour l’utilisateur i bi

min (Yij − Ui Vj − µ − bi − bj )2 + λ( Ui 2
+ Vi 2
)
U,V
i,j

poids : implicit feedback cij : niveau de conﬁance

min cij (Yij − Ui Vj − µ − bi − bj )2 + λ( Ui 2
+ Vi 2
)
U,V
i,j

temps

min (Yij − Ui (t) Vj )2 + λ( Ui 2
+ Vi 2
)
U,V
i,j

Mélanges de modèles


Les résultats sur Netﬂix

erreur initiale : 0.9514

factorisation - 4 %
nombres de facteurs - .5 %
améliorations - 2.5 %
normalisation
poids
temps

bagging : - 3 % = 0.8563
mélange 100 méthodes

Koren, Y., Bell, R.M., Volinsky, C. : Matrix factorization techniques for recommender systems. IEEE Computer 42(8), 30–37 (2009)


Les leçons de Netflix

trop d’efforts spécifiques pour être généralisée

factorisation is the solution

poids : implicit feedback

prendre en compte les spécificités (ici l’effet temps)

une algorithmique de type gradient stochastique
flexible
qui passe à l’échelle


Modèles de complétion de matrice

Régularité norme(M)
rang(M)
factorisation : M = UV
parcimonie
data = info + bruit
non linéaire : noyaux
blocs (classiﬁcation croisée)
Y = M + bruit
M = UBV Uij ∈ {0, 1}
probabiliste : blocs latent
et M régulière
Bruit Modèle de buit :
gaussien Yij ∼ N (Mij , σ 2 )
logistic Yij ∼ B(Mij )

problèmes d’optimisation
non convexe et non différentiable


Modèles du bruit : attache aux données

continue
Gaussien 2 : frobenius
entropie
divergences
0/1
distance du χ2 : AFC
cout logistique
cout charnière
Rang
NDCG@k (Normalized Discounted Cumulative Gain)
relaxation convexe (CoFiRank)

non convexe


Exemple des données 0/1 : l’ACP logistique
Observations : yij ∈ {0, 1}
Loi de Bernouilli : Yij ∼ B(Pij (θij ))
Yij : le passage à l’acte
Pij probabilité d’acheter
θij appétence ou fonction d’utilité

expθij
Modèle logistique : Pij = I
P(Yij = 1) =
1 + expθij
k
Modèle d’utilité : θij = Uκ,i Vκ,j = Ui Vj
κ=1
Cout : min L(U, V )
U,V
n p
L(U, V ) = −yij Ui Vj + log 1 + expUi Vj

i j


Modèles de régularité
Rang(M) : Eckart & Young 1936 = SVD
norme de Frobenius : U 2 = i,j Uij
F
2

norme parcimonieuse : U 1 = i,j |Uij |
contraintes de positivité : Ui,j ≥ 0
Mx p
normes d’opérateurs : M p = supx x p
p = 1 : max lignes
p = 2 : max λi
p = ∞ : max colonnes
Mx
max normes M = supx x qp
q→p
√
norme nucléaire M ∗ = Tr M M = λi
normes mixtes, groupées, structurées ou pondérées. . .

non convexe et non différentiable


Optimisation non convexe et non différentiable
Traitement de la non convexité – cardinalité : rang(M)
relaxation sous modulaire 1
relaxation 1 (non différentiable) :

0 → 1vue comme son enveloppe convexe
√
rang(M) → norme nucléaire 2 M ∗ = Tr M M = λi

Optimisation non convexe et non différentiable 3
min J(U, V ) = L(Y , UV ) + λ Ω(U, V )
U,V

(U ∗ , V ∗ ) min loc ⇒ 0 ∈ ∂c J(U ∗ , V ∗ ) sous différentielle de Clark

1. tutorial MLSS 2012 de F. Bach Learning with submodular functions di.ens.fr/~fbach/
2. Pour l’heuristique de la norme nucléaire voir : [Fazel, Hindi, Boyd 01] et [Recht, Fazel, Parillo 08]
3. S. Sra, Scalable nonconvex inexact proximal splitting, NIPS 2012.


Optimisation non convexe et non différentiable

Réécriture : séparation de la partie non convexe
différentiable de la partie non différentiable convexe :

J(U, V ) = L(Y , UV )+λ Ω(U, V ) = J1 (U, V ) + J2 (U, V )
différentiable f convexe f

Condition d’optimalité locale (stationarité) 4 :

0 ∈ ∂c J(U ∗ , V ∗ ) ⇐⇒ J1 (U ∗ , V ∗ ) ∈ ∂J2 (U ∗ , V ∗ )

Possibilité d’utiliser un algorithme proximal

4. proposition 2.3.3 corollary 1, F. Clarke, Optimization and nonsmooth analysis, 1987


NNMF (Non-Negative Matrix Factorization)

Y = UV + b et Vij ≥ 0

Coûts usuels
Distance euclidienne
Divergence de Kullback-Leibler
Divergence de Itakura-Saito

Algorithme
Algorithme multiplicatif (garantit positivité et parcimonie) a
−
U L(Y ,U,V )
U NEW = U OLD ⊗ + (idem sur V )
U L(Y ,U,V )

a. voir le site de C. Févotte perso.telecom-paristech.fr/~fevotte


Approches non linéaires

Les réseaux de neurones
Restricted Boltzmann Machines et architectures profondes,

L’utilisation de noyaux : kernel-CoFi
données
clients et produits sont des points dans un RKHS
appétence de c pour p : f (c, p) = c, Fp
F est un opérateur (une matrice) et 2 noyaux
min L(F , Y ) + Ω(F )
F
2
Ω(F ) régularisation (typiquement F F ou F ∗)
Algorithme
régularisation spectrale adaptée aux opérateurs [1]
optimisation en dimension ﬁnie


Classiﬁcation croisée – Co-Clustering

Y = M + bruit
But : Identiﬁer simultanément
des groupes d’utilisateurs
des groupes d’articles

Algorithmes
K-moyennes
SVD (spectral coclustering)
NNM tri Factorisation [3]
modèles à blocks latent
extension aux blocs de données
voir G. G. Govaert & M. Nadif www.math-info.univ-paris5.fr/~nadifmoh


Social-based recommendation

Recommandation d’amis (Y = graphe social)
completion de matrice sur le réseau social
utilisation des préférences d’utilisateurs

Graphe social en tant qu’outil
appui pour la recommendation d’articles
construction de graphes de conﬁance
...


Résumé

tratement des big data
modèle
Factorisation
terme d’attache aux données
pénalité
Classiﬁcation croisée (blocs)

algorithmes
gradient stochastique
optimisation alternée
non linéaire et non convexe

problème : extension aux données complexes


Contexte

Tuenti
Réseau social espagnol
80% des 14-27 ans l’utilisent
Aussi gros que facebook (en Espagne)

le système de recommandation
Possibilité d’aimer un lieu (bar, restaurant, théâtre, . . .)
Recommandation de lieu


Les données

Les tailles Parcimonie
13 millions d’utilisateurs 4 lieux par utilisateurs
100000 lieux 20 amis par utilisateurs
200 millions de
connexions
...
user 1 1 0 1 ...
user 2 1 1 0 ...
user 3 0 0 1 ...
user 4 0 1 0 ...
...
...
...

...


Formulation du problème

fonction objectif
2
min cij Ui Vj − Yij + λΩU,V (1)
U,V
(i,j)∈Y

cij pour pénaliser les 1 plus que les 0
ΩU,V = µ U 2 + (1 − µ) V 2
Fro Fro

fonction de décision
ˆ
Yij = Ui Vj (2)


Formulation du problème

fonction objectif
αik Uk Vj 2
min cij Ui Vj + − Yij + ΩU,V (1)
U,V ,α |Fi |
(i,j)∈Y k ∈Fi

cij pour pénaliser les 1 plus que les 0
ΩU,V = µ U 2 + (1 − µ) V 2
Fro Fro
Fi l’enesemble des « amis » de i
αik inﬂuence de l’« ami » k sur i (k ∈ Fi )

fonction de décision « renforcée »
ˆ αik Uk Vj
Yij = Ui Vj + (2)
|Fi |
k ∈Fi


Algorithme

Moindres carrés alternés – SE CoFi
Input : Y and F
intialize U,V and α
Repeat
For each user i ∈ U
update Ui
For each item j ∈ V
update Vj
For each item i ∈ U
For each item k ∈ Fi
update αik
Until convergence


Algorithme

Détail des gradients
Calcul des dérivées partielles → les règles de mise à jour
Ai UVC i V T
Ui ← Yi• C i V T − |Fi | (VC i V T + λ1 I)−1
αik Uk
Vj ← (U T C j U + λ2 I)−1 U T C j Y•j avec Ui = Ui +
|Fi |
k ∈Fi
αik ←
 
−1

Yi• − Ui V − αik Uk V  i T T
C V U Ui VC i V T UiT
i |Fi | + λ3
 |Fi | 
k ∈Fi
k =i


Astuce de calcul pour un produit coûteux

La parcimonie entre en jeu
réécrire : VC i V T = VV T + VYi (C i − I)Yi VYi
T

C i matrice diagonale dont la majorité des termes est 1.
renforcer les erreur pour Y ij = 1

inﬂuence des lieux : VV T se calcule une seule fois.

Yi les lieux visités par i (4 en moyenne)
calcul du produit de droite que pour certaines colonnes de
V (4 en moyenne).


Performances en terme de MAP et de RANK
MAP et rang moyen
|M|

|U |
P(k )Yik Yij rankij
1 k =1 i,j
MAP = |U | RANK =
|Y| |Y|
i=1

iMF
SE CoFi
LLA 0.05
0.95 RSR
Trust
average

0.9 0.045

0.85
0.04
tests réalisés
sur un serveur
RANK
MAP

0.8

0.75
0.035
24 cores avec
0.03
iMF
100Go RAM
0.7 SECoFi
LLA
RSR
0.025 Trust
Average
0.65
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
number of factors d number of factors d


Retour sur les influences des amis

0.9 35

0.8
30

0.7
25
frequency of the histogram

0.6

Distribution
0.5 20

0.4 15

0.3
10
0.2

5
0.1

0 0
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
ἀ
values of alpha

Le principe d’affinité (homophily) est vérifié (pas d’influence
négative)


Conclusion

Bilan
prise en compte de la matrice ET du graphe
gestion d’un gros volume de données
amélioration de la recommandation de lieux
mesure de l’inﬂuence

Perspectives
utiliser la ﬂexibilité de l’approche
prendre en compte les données contextuelles
GPS, types de lieux, . . .
vers la recommandation d’amis (apprendre tous les α)


Questions


J. Abernethy, F. Bach, T. Evgeniou, and J.P. Vert.
A new approach to collaborative ﬁltering : Operator
estimation with spectral regularization.
The Journal of Machine Learning Research, 10 :803–826,
2009.
Y. Hu, Y. Koren, and C. Volinsky.
Collaborative ﬁltering for implicit feedback datasets.
In Data Mining, 2008. ICDM’08. Eighth IEEE International
Conference on, pages 263–272. Ieee, 2008.
L. Labiod and M. Nadif.
Co-clustering under nonnegative matrix tri-factorization.
In Neural Information Processing, pages 709–717.
Springer, 2011.

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