Matemáticas para las ciencias y artes: Serie de Fibonacci

Sesión 4
Profesor: Daniel Hernández Ledesma Matemáticas para las ciencias y artes
• Introducción. (una cuartilla) 1 pt.
Matemáticas para las
ciencias y artes
Proyecto final: Serie de Fibonacci
Alumno: Dulce María Manzo
Matricula: xxxxxxxx
Licenciatura: Diseño Gráfico
Lugar y fecha: xxxxxxx 27/Abril/ 2022
Calificación

Sesión 4
En el presente proyecto se hablara de la Serie de Fibonacci. Existe una gran cantidad de
números con propiedades especiales, los números de Fibonacci son algunos de los que más
frutos han dado, pues cuentan con asiduos matemáticos y aficionados que se han dedicado a
la búsqueda de las relaciones más insospechadas de estos números y que han encontrado
resultados de estas características en la mano humana, en los pétalos de una flor, las espirales
de los girasoles, las espirales de las piñas, la altura de la cadera, la altura de la rodilla, la altura
de un ser humano y la altura de su ombligo, la cría de los conejos, la Mona Lisa, y otras más
que desarrollaré a continuación.
Como introducción de Leonardo Fibinacci se puede mencionar que fue un matemático que nació
en Italia en 1170. Se cree que Fibinacci descubrió la relación de los llamados "números de
Fibonacci" cuando estudiaba la Gran pirámide de Gizeh, en Egipto.
Los números de fibonaccí son una serie de números en la cual cada número de la misma es la
suma de los dos números anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 610, etc.
Estos números poseen una intrigante cantidad de interrelaciones; una de ellas es el hecho de
que cualquier número de la serie es aproximadamente 1.618 veces el número anterior, y cada
número es además 0.618 veces el siguiente.
Hay cuatro métodos populares basados en Fibonaccí para estudiar el comportamiento de un
valor: Arcos, Rayos, Retracciones y Zonas de tiempo. La interpretación de estos estudios trata
de anticipar cambios en la tendencia cerca de las líneas creadas por los estudios de Fibonacci.
Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, explicó el desarrollo de fenómenos naturales
de crecimiento a través de su conocida secuencia numérica. Ha demostrado que dicha serie
está estrechamente ligada al desarrollo progresivo de estructuras dinámicas, y su utilidad radica
en las propiedades de los ratios que arroja.
• Biografía de Leonardo de Pisa (Fibonacci) (una cuartilla) 2 pts

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Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue Leonardo De
Pisa, más conocido por Fibonacci, que significa "hijo de Bonacci" (filius Bonacci). Nació en la
ciudad de Pisa (hoy perteneciente a Italia) hacia 1170/1180,
ciudad que por aquél entonces era un gran centro comercial y
económico.
A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado
de una factoría comercial italiana asentada en Bougie (Argelia)
fue allí donde se trasladó con el joven Leonardo hacia 1192 y
donde recibió su primera formación matemática, a cargo de
maestros musulmanes. Esto despierta en Leonardo la pasión por las Matemáticas, que le
acompañaría durante toda su vida.
Desde esa fecha, y hasta 1200 en que vuelve a Pisa recorre Provenza, Sicilia, Grecia, Berbería,
Siria y Egipto, en cuyos viajes puede comparar la forma de calcular de las gentes de su tiempo,
con la ayuda del ábaco, y la nueva forma transmitida por Al-Jwarizmi del sistema de numeración
arábigo compuesto por las nueve cifras y el cero. Leonardo vuelve a Pisa, hacia 1200, y durante
los siguientes veinticinco años trabajó en sus propias composiciones matemáticas. Su talento
como matemático se extendió por la Corte, siendo invitado por el Emperador Federico II a
participar en un torneo organizado por el emperador. Leonardo resolvió con éxito todos los
problemas que le fueron propuestos por Juan de Palermo, filósofo de la corte.
Otras obras de Fibonacci son: Practica Geometriae, publicada hacia 1220, que contiene una
extensa colección de geometría y trigonometría; Liber Quadratorum, de 1225, que aproximó las
raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la notación decimal es correcta en nueve
dígitos, posiblemente su mejor obra, del que según Targioni existía aun en 1768 una copia en
la biblioteca del Hospital de Santa María Novella; y comentó el LIBRO X de los Elementos de
Euclides. Después de 1228 poco o nada se sabe de la vida de Leonardo, aparte de las
condecoraciones y prebendas que le fueron concedidas por el Emperador. Fibonacci murió
hacia 1250 en Pisa.

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• Describe que es la serie y espiral de Fibonacc (mínimo una cuartilla) 2 pts
La serie es una ley que explica el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento, y se genera
sumando dos números consecutivos para obtener el siguiente. En el siglo XVII un matemático
estableció la fórmula que expresa la relación existente entre los números de la secuencia
Fibonacci: La serie Fibonacci resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, etc.…
Fibonacci demostró que esa secuencia puede manifestarse en la evolución de un fenómeno de
la Naturaleza, puesto que la solución a un problema matemático basado en el proceso de
reproducción de una pareja de conejos así lo confirmaba.
El problema consistía en determinar cuántos conejos se pueden obtener a partir de una pareja
durante un año, sabiendo que:
a) La pareja inicial puede procrear desde el primer mes, pero las parejas siguientes sólo podrán
hacerlo a partir del segundo mes.
b) Cada parto es de dos conejos.
Si se supone que ninguno de los conejos muere, el proceso sería el siguiente:
1. El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya habría un par de parejas.
2. Durante el segundo mes, el par de conejos inicial, produciría otra pareja, con lo que ya
sumarían tres pares.
3. A lo largo del tercer mes, la pareja original y la primera pareja nacida producirían nuevas
parejas, es decir ya existirían cinco parejas
Como se puede observar en la siguiente imagen, si se continúa el análisis de este fenómeno
natural los resultados de parejas de conejos forman la serie Fibonacci.

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Sin embargo, la utilidad que proporciona esta serie radica en sus propiedades fundamentales,
descubiertas en el siglo XVIII:
1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3, 3/5,
5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618.
2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13,
8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382.
3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más
bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5… el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de 0.618.
4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más
bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3… el resultado tiende a 2.618, que es el
inverso de 0.382.
Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179
La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 o 1,618, es mayor cuanto más
pequeño son los números de la serie utilizados.
La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fueron denominada por los antiguos griegos “razón
áurea” o “media áurea”, y se representa con la letra griega phi, que hace referencia al autor
griego Phidias. Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en
el Partenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phi en el Arte y
la Naturaleza.

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Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas las progresiones de este
tipo, sea cual sea el número inicial.
Los dos ratios principales son 0,618 y su inverso 1,618, pero se pueden seguir derivando ratios
de la secuencia Fibonacci, simplemente aumentando la distancia entre los números que se
combinaban.
Así, cada número se relaciona con su alternante posterior a través del ratio 0,382 y con su
alternante anterior mediante el ratio inverso 2,618.
Por ejemplo: 144/377=0,3819 144/55=2,618
De igual forma, el cociente entre un número y el tercero posterior de 0,236, y la proporción entre
un número y el tercero anterior es 4,236.
Por ejemplo: 89/377=0.236 144/21=4,238
Al igual que ocurre con 0,618 y 1,1618, estos ratios son más exactos cuanto mayores son los
números de la serie Fibonacci a los que se aplican los cálculos. La tabla 2 refleja algunos de
los ratios, formados a partir de la proporción phi 1,618, o su inversa 0,618:
Carolan destacó que los ratios de la Tabla 1 se pueden ordenar de la siguiente forma: 0,146,
0,236, 0,382, 0618, 1, 1,1618, 2,618, 4,236, 6,854, para formar una secuencia aditiva con las
propiedades de una serie Fibonacci, pues cada número es la suma de los dos inmediatamente
anteriores y, además, cada número es 1,618 veces el anterior.

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• Describe detalladamente una aplicación de la serie de Fibonacci en la vida real. (media
cuartilla) 1 pts
Desde los tiempos más antiguos los números han cautivado al ser humano, no solo por su
aplicación inmediata a la vida cotidiana sino por la riqueza teórica y simple que se encuentra
dentro de ellos.
Los pitagóricos obtuvieron este número de hallar la relación entre la diagonal del pentágono
regular y su lado. Esa proporción se puede encontrar en muchas obras de arte.
Podemos encontrar la aplicación de la serie de Fibonacci en muchos lugares y otras de arte,
por ejemplo, en la Torre Eiffel de París la razón entre la altura de un nivel y el precedente guarda
la relación áurea.

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En el cuadro “Atomic Leda” Salvador Dali hizo uso también de la proporción áurea.
En la Mona Lisa la cara está perfectamente encuadrada en un rectángulo áureo, al igual que
el resto de proporciones de la misma.

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Las pirámides de Egipto, construidas cuatro mil años antes de que Fibonacci diera con la serie,
fueron construidas manteniendo una sorprendente proporción áurea.
El Partenón griego fue construido también respetando las proporciones áureas.
Incluso las sucesiones de Fibonacci tienen su aplicación en el estudio bursátil, se consideran
un indicador muy importante para ver la magnitud de los retrocesos en la Bolsa: Ante la
confirmación de un retroceso en la cotización, se buscará calcular la probable magnitud del
movimiento. Para lograrlo, se aplican ciertos porcentajes obtenidos de la sucesión de Fibonacci
a la magnitud total de la tendencia previa.

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• Describe detalladamente la relación que existe entre la serie de Fibonacci y la
naturaleza, describe 3 ejemplos. (mínimo 3 cuartillas) 3 pts
Se puede encontrar innumerables veces la serie de Fibonacci en la naturaleza, por ejemplo:
a) La forma en que ciertos árboles van echando sus ramas, nos transporta a nuestra sucesión:
Supongamos un tronco inicial que crece el primer año sin echar ninguna rama, pero que genera
una nueva rama al segundo año y cada nuevo año otra rama. Cada rama, a su vez, prosigue
con la misma ley. Con el correr de los años, el árbol va produciendo de este modo la sucesión
de Fibonacci.
b) También esta sucesión aparece en la implantación espiral de las semillas en ciertas
variedades de girasol. Hay en ellas 2 haces de espirales logarítmicas: uno en sentido horario y
otro en sentido antihorario. Los números son distintos en cada familia, pero siempre son
números de Fibonacci consecutivos. Lo mismo ocurre con los flósculos de las margaritas. A
continuación observamos 2 esquemas: uno de ellos corresponde a un girasol gigante (con 55 y
89 espirales), el otro a una margarita (21 y 34).

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c) Con las escamas de las piñas, aparecen 5 espirales en un sentido y 13 en el otro.
3- En el reino animal, además de en la reproducción de los conejos, la sucesión de Fibonacci
aparece en distintos ejemplos referentes a abejas:
a) Al contar el número de las distintas rutas que puede seguir una abeja al ir recorriendo las
celdillas hexagonales del panal, siempre de una celdilla a una celdilla contigua a la derecha,
resulta ser que el número obtenido es un número de Fibonacci (hay una sola ruta a la celdilla
0, 2 a la 1, 3 a la 2, 5 a la 3, etc.).
b) Las abejas machos (zánganos) no tienen padre. Cada zángano tiene madre (la abeja reina),
2 abuelos (los padres de la madre), 3 bisabuelos (pues el padre de la madre no tuvo padre), 5
tatarabuelos, etc.

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4- En la Física: Dadas 2 láminas de vidrio planas y en contacto, el número de trayectorias de
rayos luminosos que inciden sobre ellas va ajustándose a los números de Fibonacci: para n
reflexiones, hay 𝒂𝒏 + 𝟐 trayectorias posibles.
También se pueden mencionar otros ejemplos que se encuentran en la naturaleza, como los
cristales de Pirita dodecaedros pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos
perfectos, la disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica
recibe el nombre de Ley de Ludwig), la distribución de las hojas en un tallo, la relación entre las
nervaduras de las hojas de los árboles, la relación entre el grosor de las ramas principales y el
tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando
como unidad la rama superior), la relación entre la distancia entre las espiras del interior
espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus hay por lo menos tres
espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas, la primera de ellas se
caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos
situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus
antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras,
siguen este tipo de espiral de crecimiento.

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• Investiga cómo hacer una espiral de Fibonacci con un compás y realiza el tuyo, agrega
una foto junto con una descripción del procedimiento. (foto clara de la espiral
terminada) 3 pts
La espiral de Fibonacci, también conocida como espiral dorada, es una secuencia lineal infinita
generada a través de un logaritmo matemático, la siguiente sucesión infinita de números
naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Como se puede comprobar, la sucesión empieza con 1 y 1 como dos primeros términos, y luego
se van sumando cada pareja de términos para dar el siguiente:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8, etc.
Se utiliza los términos de la sucesión para hacer una construcción geométrica muy sencilla con
ayuda de regla y compás sobre hojas cuadriculadas. La construcción consiste en empezar con
dos cuadrados pequeños de lado 1, añadirles un cuadrado de lado 2, luego añadir uno de lado
3, luego otro de lado 5, otro de lado 8, etc. A la vez que añadimos cuadrados, se dibuja arcos
de circunferencia que atraviesan los cuadrados diagonalmente, y que unidos unos con otros
forman una espiral.

Sesión 4
• Realiza un comentario de cual fue tu aprendizaje en el curso. (media cuartilla) 1 pt
Mi aprendizaje fue que las matemáticas son muy importantes en las ciencias, artes y que
podemos verlas en la vida cotidiana, como con números, figuras geométricas o símbolos, y sus
relaciones. Están relacionados en una variedad de formas. Las matemáticas se pueden apreciar
en las artes como la música, la danza, la pintura, la arquitectura, la escultura y los textiles.
Las matemáticas forman parte esencial de nuestra vida cotidiana, han estado presentes en cada
una de las etapas de la historia en su cultura e ideas, así como también esta en la sucesión de
números también aparece en la naturaleza, en el arte, como lo es en la arquitectura, escultura,
pintura y hasta mercados financieros.
Las matemáticas son fundamentales para la investigación científica en algunos campos de la
tecnología, como informática e ingeniería, y de las ciencias fácticas, como economía, genética,
sociología, psicología, medicina, contabilidad, etcétera, para similar los datos y comprender los
fenómenos, tomar decisiones e incluso realizar diseños en softwares.
Las matemáticas han influido en el arte con herramientas conceptuales como la perspectiva
lineal, el análisis de la simetría y objetos matemáticos, también las primitivas geométricas
permite al diseñador comprender los principios visuales fundamentales para el diseño, desde
una composición geométrica usándolo como una forma de proporcionar y justificar cualquier
diseño, desde la unión o interrelación de las partes integrantes que forman un todo dentro de la
composición y logrando una armonía visual. Son una manera abstracta de representar el

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mundo, En las representaciones artísticas y en los objetos naturales podemos hallar
propiedades que pueden ser medidas, propiedades de naturaleza tan diversa como el tamaño,
el volumen, la duración, o la frecuencia.
• Agrega una conclusión del trabajo y del curso. (una cuartilla) 2 pts
Se puede concluir que las matemáticas son esenciales, se aplican también en las ciencias y
artes, sobre todo en la actualidad donde las matemáticas se utilizan también para los programas
de diseño por computadora con métodos algebraicos, vectoriales y matriciales para diseñar.
También se puede concluir que los números de Fibonacci han tenido a lo largo de los años y su
vinculación con el arte. La sucesión de los números de Fibonacci, que comienza con los
números 0 y 1, y a partir de estos, cada elemento es la suma de los dos anteriores, tiene
numerosas aplicaciones en ciencias de la computación y matemáticas. También aparece en
configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de
las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en galaxias espirales. Si se convierten los
números en cuadrados, se ubican y permite trazar un espiral perfecto, el que aparece en
organismos vivos así como los términos de la frecuencia permiten definir a la “proporción áurea”
o ‘’proporción divina’’, utilizada en el arte y arquitectura, por su estética visual.
La Sucesión de Fibonacci es muy importante en la en las matemáticas y se ve plasmada en la
naturaleza, en la reproducción de algunos de los animales, entre otras. Es sucesión de números
muy conocida y usada en matemáticas, además de que es muy interesante de que sea una
sucesión infinita. Por decir un ejemplo en la naturaleza, la Sucesión de Fibonacci también se
encuentra en el cuerpo humano, podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2),
brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta

Sesión 4
el 5. Las aplicaciones de esta sucesión se encuentran en nuestra vida diaria y lo podemos ver
en un patrón de crecimiento que viene a ser influenciado por estos números y proporciones: La
mano humana, el número de pétalos de una flor, las espirales de los girasoles, las espirales de
las piñas, la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la cría de los conejos, la mona
lisa y muchas otras cosas. radiografía de una mano, el número de espirales de un girasol y en
las conchas, además de ser fuente de inspiración, ya que los artistas lo adoptaron para crear
sus obras a mano o digital, ya que este número significaba harmonía y naturaleza por lo que lo
hace atractivo y bello.

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