N07 p oly paces ue4 cm01_02_03_4p_optim
- 3. Remarque:
C’estsurlabasedemodèlessimilaires,quoiquepluscomplexes,queledevenird’un
médicamentdansl’organismeestétudié.
ÉtudedelafonctionmodèleC(t)
–Déterminationdesconditionsd’administration
–Comportementquandtè+∞(Calculdelimite)
–CalculduCmax(tableaudevariation,calculde
dérivée)
Lesdonnéesexpérimentales(x)sontlégèrementdifférentesdelacourbemodèledufaitde
l’erreurexpérimentaleetducaractèresimplificateurdumodèle.
Exempleintroductif
5
C(t)=A(e–st–e–nt)
Généralitéssurles
fonctionsàvariableréelle
6
Propriétésdebasedesfonctionsréelles(comportementauxbornesdel’ensemblededéfinition,
parité,périodicité…):voirannexe
Domainesdedéfinitionetd’étude
qDomainededéfinition
C’estl’ensembleDdesvaleursdexpourlesquellesilexisteuneimagef(x)delafonctionf.
Exemple:!"=
$%&
$%'
()=ℝ∖{−2}
qDomained’étude
Danslecasdutraitementdedonnéesbiologiques,ledomained’étudedelafonctionpeutêtre
différentdudomainededéfinition,maisilestinclusdansDf.
Exemple:Modèledelaconcentrationplasmatiqued’unmédicament:C(t)=A(e–st–e–nt)
Domainededéfinition:Domained’étude:
7
DC=D=+
qContinuité
LafonctionfestcontinuesurunepartiedeDsietseulementsipourtoutevaleur
x0decettepartiedeD,ona
Lafonctionfestcontinueenx0si«surlegraphe,iln’yapasdesautenx0».
8
limx→x0
f(x)=f(x0)
Remarque:
Ilpeutarriverqu’onobservedespropriétésdecontinuité
différentesselonqu’ontendversx0parvaleurssupérieuresàx0,
notéesx0
+
ouinférieuresàx0,notéesx0
_
(casdesfonctionsen
escalier)
Casdesfonctionsdiscontinuesàgaucheetcontinueàdroite:
Continuitéd’unefonction(1/2)
0
2
4
0123
limx→x0−
f(x)≠f(x0)limx→x0+f(x)=f(x0)
- 4. 9
Continuitéd’unefonction(2/2)
Modélisationdel’évolutiondelaconcentrationplasmatiqueC(t)d’un
médicamentadministrédefaçonrépétéeparvoieintraveineuse
L’administrationrépétéed’unmédicamentapourbut
d’atteindrepuisdemaintenirlaconcentrationd’un
médicamentdansunintervalleappeléintervalle
thérapeutique,entreseuilminimald’activitéetseuil
maximaldetoxicité.
L’administrationd’unenouvelledoseestréaliséealors
qu’ilresteunefractionnonéliminéedeladose
précédente.
limt→T−C(t)=C(T)etlimt→T+C(t)=C(T)+C0≠C(T)
AuxtempsT,2T,3T…,nT,lafonctionCfaitunsautdehauteurC0,elleestdiscontinueàdroite
etcontinueàgauche.Ona:
Dérivéed’unefonction(1/4)
Outilpermettantd’étudierletauxdevariationd’unefonctionfauvoisinaged’une
valeur
Applications:calculd’incertitude,calculdevitessedevariation,calculdutravaild’uneforcede
rappeld’unressort…
10
qTauxd’accroissementdefenx0:
LespointsA,B,Contrespectivementpour
coordonnées((x0,f(x0)),(x,f(x))et(x,f(x0)).
f(x)−f(x0)
x−x0
=
BC
CA
Onreconnaîticilapentedeladroite(AB)
PourDx=x–x0trèspetit,f(x)tendversf(x0)
(continuitéenx0)etdonclasécante(AB)etla
tangenteenAàlacourbesontpresque
confondues.
Valeurlimitedutauxd’accroissementdefenx0:
11
lim
Δx→0
Δf
Δx
=lim
x→x
0
f(x)−f(x0)
x−x0
=$f(x0)
Cettelimiteestcelled’uneformeindéterminée0/0:elle
n’existepastoujours.Lorsqu’elleexiste,onditquefest
dérivableenx0.
Ladérivéeenx0estlapentedelatangenteenx0.
qOpérationsurlesdérivées:
Dérivéed’unefonction(2/4)
qDérivéeenunpointx0d’unefonctionf:
Avecu(x)etv(x)dérivables(v(x)≠0)
qPropriété:siunefonctionfestdérivableenx0,alorsfestcontinueenx0.
Attentionlaréciproqueestfausse.
Contre-exemple:(casdepointanguleux)
12
f(x)=x
qDérivéessuccessives:!!f(x)=!f(x)()!
(quandc’estpossible)
Exemplededérivéessuccessives(casdefonctionstrigonométriques):
…f(x)=sinx,!f(x)=cosx,!!f(x)=−sinx,!!!f(x)=f(3)
(x)=−cosx
Dérivéed’unefonction(3/4)
- 5. qSigneetzérosdeladérivéepremière
qSigneetzérosdeladérivéeseconde
13
f’(x)>0èfcroissante
f’(x)<0èfdécroissante
Sif’(x)s’annuleenchangeantdesigneenunpointx=a(i.e.f’(a)=0)alorsaestunextremum
def(maximumouminimumselonlesignedef’’).
>0èconcavitétournéeverslehaut,lafonctionfestconvexe.S’ilyaunextremum
danscedomaine,ceseraunminimum.
<0èconcavitétournéeverslebas,lafonctionfestconcave.S’ilyaunextremum
danscedomaine,ceseraunmaximum.
Sis’annuleenchangeantdesigneenx=a,celasignifiequeladérivéepremièrepasse
parunextremum.Lacourbereprésentativedefprésenteenx=aunpointd’inflexion(enx=
a,lacourbechangedeconcavitéetlatangentetraverselacourbe).
!!f(x)
!!f(x)
!!f(x)
Dérivéed’unefonction(4/4)Application
Étudedupointd’inflexiondelafonctiony=x3
14
Ladérivéey’estpositivedoncyestcroissantesur,lafonctiony
neprésenteaucunextremum.
Enx=0,latangenteesthorizontale(y’(0)=0)
Pourtoutx<0,onay’’(x)<0,latangenteestau-dessusdela
courbe(yconcave).
Pourtoutx>0,onay’’(x)>0,latangenteestau-dessousdela
courbe(yconvexe).
Enx=0,ladérivéesecondes’annuleenchangeantdesigne.Ilya
unpointd’inflexion.
Dy=Dy'=D!!y=,!y=3x2
,!!y=6x
Notiond’élémentdifférentiel
15
qSoitunevariablet.
Sitpassedelavaleurtàlavaleurt+dtinfinimentprochedet,l’élément
différentieldtapparaîtainsicommeunélémentinfinimentpetitdevantt,
tellementpetitquel’onpeutàlarigueurlesupposernégligeable,maisassezgrand
cependantpournepasleconsidérercommenul.
tt+dt
qSoitunefonctionfdérivableenx0.
—Lapetitevariationdefaupointx0s’écritdf(x0)
ouplusgénéralementdf(x)ouplussimplementdf.
—Lapetitevariationdexseraécritedx.
16
f'(x)=
df
dx
oudf=f'(x)dx
Remarque:dérivéeseconde
f''(x)=
d
dx
df
dx
!
"
#
$
%
&=
df'
dx
=
d2
f
dx2
Différentielledfd’unefonctionf
Calculdeladifférentielledelafonctionfdéfinieparf(x)=
1
x2
+x+1
f(x)=
1
x2
+x+1
=x2
+x+1()
−1/2
df="f(x)dx=−
1
2
×(2x+1)x2
+x+1()
−3/2
dx
df=
−(2x+1)
2×x2
+x+13
dx
- 7. Interpolationlinéaire(2/2)
qÉtape1:Déterminationdelapenteaetdel’ordonnéeàl’origineb
21
a=
f(x1)−f(x0)
x1−x0
etb=f(x1)−ax1oub=f(x0)−ax0
qÉtape2:Approximationdef(x)
Pouruneabscissex,onassimilef(x)ày=ax+b(pointB)
Onfaitl’erreurreprésentéeparlesegment
[BD].Lesignedesamesurealgébrique
renseignesurlanaturedel’approximationpar
excèsoupardéfaut.
Exemple:x0=2f(x0)=4;x1=4f(x1)=6
Quevautf(x)pourx=3
a=1b=2
Doncf(3)≈5
Approximationaffine
Onavuquesifestcontinueenx0etsif’(x)existe:
22
lim
Δx→0
Δf
Δx
=lim
x→x
0
f(x)−f(x0)
x−x0
=$f(x0)
PourDx=x-x0suffisammentpetit:
Δf=(f(x)−f(x0))≈Δx×%f(x0)⇒f(x)≈f(x0)+Δx×%f(x0)
Sionconnaîtlavaleurdefenunpointx0,on
peutdéduireapproximativementsavaleurau
pointx=x0+DxàconditionqueDxsoitassez
petit.PlusDxestpetit,plusl’erreurserafaible.
Casoùonconnaîtl’expressionanalytiquedelafonctionf
Onferauneétudelocaledefauvoisinagedex0
enremplaçantlacourbereprésentativedefpar
latangenteenf(x0)àcettecourbe:c’estune
approximationlinéaire(d’ordre1)
Modélisationd’unesynthèseprotéique:
LaprotéineNur77,unrécepteurnucléaire,estproduiteenlaboratoireviaun
systèmedeculturebactérienne.Onétudie,pourunlitredeculture,laquantitéde
Nur77produiteenfonctiondutemps(m=f(t)expriméeenmg).
Expérimentalement,onobservedurant4heuresquecettequantitécroîtaucours
dutemps,quesavitessedeformationaugmenteetqu’iln’yaaucunpalierde
production.
But:Élaborationd’unmodèlemathématiquepourestimerlaquantitéprotéique
produiteàuntempst.
23
Temps(h)01234
quantité(mg)02,07,015,025,7
Application
24
Cemodèlem=a+bt+ct2
semble-t-ilpertinent?
Lavitessedeformationaugmente:cdoitêtrenonnul
m(t)nepeutêtrededegré1carsinonsavitesseseraitconstanteetégaleàb
m(t)croitaucoursdutempsetiln’yapasdepalierdeproduction:ladérivéedem(t)
doitêtrestrictementpositive
m’(t)=b+2ct
Pourt>0,m’(t)>0
v=
dm
dt
Application
Temps(h)01234
quantité(mg)02,07,015,025,7
L’expérimentateurproposelemodèleanalytiquepolynomialm=a+bt+ct2
pources4heures
d’observationaveca,b,cpositifs.Expérimentalement:mcroîtaucoursdutemps,savitessede
formationaugmenteetiln’yapasdepalierdeproduction.
!!m(t)=!v(t)=
d2
m
dt2
=2c>0
- 8. 25
Déduiredesobservationsexpérimentaleslesvaleursdesparamètresa,b,c.
Àt=0,m(0)=adonca=0
m(1)=b+c=2(1)
m(3)=3b+9c=15(2)
Enremplaçantc=2−bdanslarelation(2),ondéduitqueb=0,5mg.h−1
etc=1,5mg.h−2
Remarque:Pourlescalculsdebetc,onprendarbitrairementdeuxpointsexpérimentaux.Par
desméthodesnumériques(voircourssemestre2),onpeuttrouverlesvaleursdecesparamètres
modélisantaumieuxl’expérienceettenantcomptedel’ensembledesvaleursexpérimentales.
Temps(h)01234
quantité(mg)02,07,015,025,7
Application
26
Modélisation:m(t)=0,5t+1,5t2
Àpartirdumodèleenseservantdelaquantitéent=2h,trouveràl’aided’uneapproximation
affinelamasseproduiteen2h15.Peut-onseservirdecetteapproximationpourretrouverla
valeurexpérimentaledem(4)=25,7mg?
m(2,25)≈m(2)+(2,25−2)×$m(2)
⇔m(2,25)≈7+0,25×(0,5+1,5×4)
⇔m(2,25)≈8,62mg
Rappel:PourDx=x-x0suffisammentpetitetfdérivable:
Δf=(f(x)−f(x0))≈Δx×%f(x0)⇒f(x)≈f(x0)+Δx×%f(x0)
Lecalculparlemodèleaurait
donném(2,25)=8,72mg
Application
m(4)≈m(2)+(4−2)×$m(2)=20mg
Lecalculparlemodèleaurait
donném(4)=26mg
L’approximationaffinen’estplusvalable
caronn’estplusauvoisinagede2.
Approximationpardéveloppementlimitéd’ordren
Onpeutmontrerquepourtoutefonctionfcontinueetnfoisdérivable,ilest
possibled’approchersavaleurenxauvoisinagedex0(x=x0+DxavecDx≈0)par
undéveloppementlimité(DL)d’ordren:
27
f(x)=fx0()+(x−x0)×#f(x0)+
(x−x0)2
2!
×##f(x0)+...+
(x−x0)n
n!
×f(n)
(x0)+reste
Etlerestetendvers0
qFormuledeTaylor:Auvoisinagedex0
f(x)=f(0)+x×"f(0)+
x2
2!
×""f(0)+...+
xn
n!
×f(n)
(0)+reste
qCasparticulieroùx0=0:FormuledeMacLaurin:
Etlerestetendvers0
28
Exemple1:DLdesinxauvoisinagede0àl’ordre3
f(x)=f(0)+x×"f(0)+
x2
2!
×""f(0)+...+
xn
n!
×f(n)
(0)+resteFormuledeMacLaurin:
f(x)=sinx!f(x)=cosx!!f(x)=−sinx!!!f(x)=−cosx
f(0)=0!f(0)=1!!f(0)=0!!!f(0)=−1
sinx=0+x×1+0×
x2
2
+(−1)×
x3
3!
+...=x−
x3
6
+...
Remarque:onretrouvebienlesparitésdesfonctionssinxetcosx.
Application
- 9. 29
Exemple2:DLdecosxauvoisinagede0àl’ordre4
Remarque:Àl’ordre4,onaatteintla«vraie»valeur.
A.N.:x=0,1;cos(0,3)=0,95534(aveclacalculatrice,xenradian);DLà5décimales
ordre01234
DL110,955000,955000,95534
Remarque:Quandons’éloignedel’origine,l’erreuraugmente.On
peuticiladiminuerenaugmentantl’ordre.
ordre12468
DL1-0,1250,0860,0700,071
A.N.:x=10;cos(1,5)=0,071(aveclacalculatrice,xenradian);DLà3décimales
Application
cosx=1−
x2
2
+
x4
4!
−
x6
6!
+reste
Développementslimitésutilesauvoisinagede
zéro
30
cosx=1−
x2
2
+
x4
4!
−
x6
6!
+reste
sinx=x−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+reste
ln(1+x)=x−
x2
2
+
x3
3
−
x4
4
+reste
(1+x)m
=1+mx+
m(m−1)
2
x2
+
m(m−1)(m−2)
3!
x3
+reste
31
qCalculdelimx→0
sinx−x
x3
limx→0
sinx−x
x3
=
0
0
c'estuneformeindéterminée
Al'aidedelaformuledeTaylorappliquéeàsinxauvoisinagede0(DLd'ordre3),
limx→0
sinx−x
x3
≈limx→0
−
x3
6
x3
=−
1
6
limx→1
x2
+x−2
lnx
qCalculde(voirannexe)
Application
Fonctionsbijectiveset
réciproques
32
- 10. Fonctionbijective(1/2)
Unefonctionfestbijectivesi,sursondomainededéfinitionD,toutélémentde
l’ensembled’arrivée(F)estimaged’unetd’unseulélémentdel’ensemblededépart
(E).ToutélémentdeFaunetunseulantécédentdansE.
33
ChaqueélémentdeEasonuniqueimagedansFetchaqueélémentdeFasonunique
antécédentdansE.
Exemple:f(x)=3x+1
Pourtoutimagef(x),ontrouveraunantécédentunique
Lafonctionaffinefestbijective
x=
f(x)−1
3
Fonctionbijective(2/2)
34
qContre-exemple:f(x)=x2
SiE=etF=+
,x2
estimagedexetde−x
Lafonctionfn'estpasbijective.
Pourdéfinirunefonctionbijective,ilfautlimiter
l’ensemblededépartE.
SiE=+
etF=+
,x2
estimagedexseulement
Lafonctionfrestreinteà+
estbijective.
Fonctionréciproque(1/2)
SiunefonctionfestbijectivedeEdansFalorsilexisteunefonctionf-1
bijectivedeFdans
Etelleque:
Cettefonctionf-1
estlafonctionréciproquedef.
ff-1
MNM
35
ff−1
=f−1
f=identité
Siy=f(x),fbijectivealorsx=f−1
(y)=g(y)
Attentionf−1
(y)≠f(y)−1
=
1
f(y)
qExemple:
36
Fonctionréciproque(2/2)
x2
etx
ff−1
(x)=fx()=x
f−1
f(x)=f−1
(x2
)=x2
()=xcarx>0
f(x)=x2
festuneapplication+
→+
bijective
f−1
(y)=y
Eneffetonpeutécrire:
Doncff−1
=f−1
f=identité
Lesgraphesdefetf–1sontsymétriquesparrapportà
lapremièrebissectrice(droitey=x).
SoitCflacourbereprésentativedef,ensembledespoints
M(x,f(x))etCf-1lacourbereprésentativedef-1,ensemble
despointsM’(f(x),f-1(f(x)).
LescoordonnéesdeM’s’écriventaussi(f(x),x)doncM’est
lesymétriquedeMparrapportàlapremièrebissectrice.
- 11. 37
Dérivéedefonctionréciproque
Soity=f(x)unebijection,etonnotesafonctionréciproqueg=f−1
Onrappellequef−1
(f(x))=g(f(x))=xpardéfinition
Enutilisantlapropriétédedérivationdesfonctionscomposées,onobtient
"g(f(x))×"f(x)=1
Onadonc:"g(y)=
1
"f(x)
Remarque:
Ilfautquecettedivisionsoitpossible:unefonctionbijectivedérivable,defonctionréciproque
dérivable,nepeutdoncavoirdedérivéenulle,elleeststrictementmonotone(soitcroissante
soitdécroissante)
qtgxetArctgx
38
f(x)=tgx;festimpaire,toujourscroissante
festπ-périodique(tg(x)=tg(x+kπ))
Onlimiteledomainede
définitiondefàl'intervalle−
π
2
;
π
2
"
#$
%
&'
Surcetintervalle,festbijective
etadmetunefonctionréciproque
x=f−1
(y)=tg−1
(y)=Arctg(y)
Application
qDérivéedex=Arctg(y)
y=tg(x)⇒"y=1+tg2
(x)
"x=Arctg(y)()"=
1
(tg(x)")
#
$
%
&
'
(=
1
1+tg2
(x)
=
1
1+y2
Remarque:
Lesfonctionstrigonométriquesdontles
domainesdedéfinitionsont
correctementrestreintsprésententdes
fonctionsréciproquesintéressantes
notammentpourrésoudredesintégrales.
Étudedesfonctions
exponentielleetlogarithme
39
Propriétésdebasedesfonctionsexponentielleetlogarithme:voirannexe
Fonctionexponentielle
qDéfinition:lafonctionexponentielleestl’uniquefonctionbijectivedérivablesurtelle
quef’=fetf(0)=f’(0)=1
40
Lafonctionexponentielleestunefonctioncontinuedéfiniesur,toujoursstrictementpositive
etqui«transformeunesommeenproduit»
f(x)=exp(x)=ex
avecexp(0)=1etexpx()!=expx
exp(a+b)=exp(a)×exp(b)
qGénéralisation
Lafonctionexponentielledebasea(a>0)estlafonctionnonnulledéfiniesuretcontinue
qui«transformeunesommeenproduit»:
aestlabasedel’exponentielle(a=10pourlepH,a=2pourlanumérationbinaireen
informatique).
qChangementdebase:
f(x)=ax
,f(x+y)=f(x)×f(y)etf(1)=a
ax
=exlna
- 12. Fonctionlogarithme
qDéfinition:Lelogarithmenépérien,fonctionréciproquedelafonctionexponentielle,est
continueetdéfiniepourx>0tellequef(1)=0etf(xy)=f(x)+f(y).Onlanotef(x)=lnx
41
qPropriétés:
qGénéralisation:
Onappellelogarithmedebasea(a>0)lafonction
logaxdéfiniepar
qChangementdebase
ln(xy)=lnx+lnyln(xy
)=ylnx
exp−1
=lny=ex
⇔x=lny
Remarque:ln#=1car)=ln(#+)=)-.(#)
y=ax
⇔x=logay
log1)=
ln)
ln2
Eneffet7=2+⟺lny=ln(2+)=)lna⟺)=
:;<
:;1
=log=742
Remarque
Auxbornesdesdomainesdedéfinition,«l’exponentiellel’emportesurlapuissance»
et«lapuissancel’emportesurlelogarithmenépérien».
Quelqueslimitesusuellesdesfonctionslnetexp
limx→0+xlnx=0limx→0+
lnx
x
"
#
$
%
&
'=−∞
limx→+∞xlnx=+∞limx→+∞
lnx
x
"
#
$
%
&
'=0
limx→−∞xex
=0limx→−∞
ex
x
"
#
$
%
&
'=0
limx→+∞xex
=+∞limx→+∞
ex
x
"
#
$
%
&
'=+∞
Différentiellelogarithmique
Pourlafonctiony=f(x)(avecy≠0),ladifférentiellelogarithmiqueestégaleà:
43
Remarque:Siu>0,dlnu=dlnu=
1
u
du
Siu<0,dlnu=dln−u()=−
1
−u
"
#
$
%
&
'du=
1
u
du
d(lny)=
1
y
dy=
dy
y
Utilequandondoitcalculerladifférentielledeproduits,dequotientsouderacinesdefonctions.
Principe:Oncalculelelogarithmenépériendelavaleurabsoluedelafonctionàdériverpuissadifférentielleetonendéduitla
différentielledelafonction.
Exemple:avecCa,Cb,Va,Vb>0
(notionutiliséepourlecalculd’incertitude)
Ca=
Cb×Vb
Va
lnCa=lnCb+lnVb−lnVa
dCa
Ca
=
dCb
Cb
+
dVb
Vb
−
dVa
Va
⇒dCa=Ca×
dCb
Cb
+
dVb
Vb
−
dVa
Va
$
%
&
'
(
)
Représentationgraphique
desfonctions
exponentielleetlogarithme
44
- 13. Exempleintroductif(1/3)
45
Enbiologie,l’allométriedésigneunmodedecroissanceselonlequelcertainsorganesgrandissent
plusviteoumoinsvitequed’autres.
Pourdécrirecetteévolution,onnepeutdoncplusutiliserunerelationintuitivede
proportionnalité,onutiliserauneautreloipourexpliquercesvariationsdemesures(allopour
«autre»,métriepour«mesures»),c’estlaloipuissance:y=bxa
Exemple:
Latailled’unadulteestenmoyennevoisinedudoubledelatailled’unenfantde2ansmaisles
membresdel’enfantgrandissentplusvitequeletronc.Danscetexemple,yetxsontlesmesures
dutroncetdesmembres,etaetbsontdesparamètresinconnusqu’ilfautdéterminer.
46
Onétudielarelationentrelesmassesducerveau(g)etducorps(g)chez62espècesde
mammifères.
Pourl’êtrehumainles
donnéesmoyennesdes
massessont62kg(corps)et
1320g(cerveau).
Lesvaleurss’étendentde5g(corps)et0,14g
(cerveau)pourunemusaraignede
Madagascarà6,654tonnes(corps)et5,712kg
(cerveau)pouréléphantd’Afrique.
Onvoitqu’entreces2mammifèreslamasse
corporellevariedansunrapport»1300000
alorsquelamasseducerveauvariedansun
rapport»40000.Onproposeunerelation
d’allométrieentrecesdeux2masses.
Enéchellearithmétique,onaungraphedelafonctionpuissance,
trèsrassembléauvoisinagedel’origineetdifficilement
exploitable.
Exempleintroductif(2/3)
47
Partransformationlogarithmiquede,onobtientlarelationaffine
êtrehumain:
Log(62000)=4,79
Log(1320)=3,12
Viacettetransformationlogarithmique,on
observeungraphedelafonctionpuissance
plusétalédevenantainsiexploitable
(visualisationdelarelationlinéaire,calculdes
paramètresaetb)
Cequiestportésurcegraphecesontles
logarithmesdesmassesetceslogarithmessont
portéssuruneéchellearithmétique(ainsilavaleur0
enycorrespondàunemassedecerveauquivaut1).
y=bxa
=bealnx
lny=alnx+lnb
Cesdonnéessontextraitesdel’articledeT.AllisonetD.VCiccheti:RevueScience,194:732-
734,1976,reprisesdanslabibliothèqueMASS{http://www.stats.ox.ac.uk/pub/MASS4}du
logicielR{http://www.R-project.org}.
Exempleintroductif(3/3)Échellesarithmétique/logarithmique
qÉchellelogarithmique:
Suruneéchellelogarithmique,unevaleurxestreprésentéeparunsegmentdemesurealgébrique
(kfacteurd’échelle).Unsegmentdemesurealgébriquedoublereprésentelavaleur
aucarré(x2)eneffet:
48
OA=klogax
Onnepeutreprésenterlavaleurnullecar,etàl’origineontrouvelavaleur1
car
loga(0)=−∞
loga(1)=0
OB=2OA=2klogax=kloga(x2
)
qÉchellearithmétique:
Suruneéchellearithmétique,unevaleurxestreprésentéeparunsegmentdemesurealgébrique
(kfacteurd’échelle).Unsegmentdemesurealgébriquedoublereprésentelavaleur
double(2x)eneffet:
OA=kx
OB=2OA=2kx
- 18. Applications
pharmacocinétiques
Modélisationd’uneadministrationuniqued’unantibiotiqueparvoieorale
Modélisationd’uneadministrationuniqued’unantibiotiqueparvoie
intraveineuse
Modélisationd’uneadministrationrépétéed’unantibiotiqueparvoie
intraveineuse
2
RappelCours1
3
L’absorptionestmodéliséeparuneexponentielle
exp(–nt)avecnlaconstantedevitessed’entrée.
L’éliminationestmodéliséeparuneexponentielle
exp(–st)avecslaconstantedevitessedesortie.
Modélisationmathématiquedel’évolutiondelaconcentrationplasmatique
C(t)d’unmédicamentingéréparvoieorale
OnétudieraicilecasoùA=10mg/L,s=1h-1etn=4h-1
C(t)=A(e–st–e–nt)
C(t)dépenddedeuxmécanismessimultanés
etopposés:
–l’absorptiond’origineintestinale
–l’éliminationparlesorganesd’excrétion
4
ÉtudedelafonctionmodèleC(t)=10(ete4t)
Temps&t&(h)&Élimina/on&&
exp(−t")"
Absorp/on&
&exp(−4t)"
exp(−t)7exp(−4t)&C(t)&&
(mg/L)&
0"1"1"0"0"
0,10"0,90"0,67"0,23"2,35"
0,20"0,82"0,45"0,37"3,69"
0,30"0,74"0,30"0,44"4,40"
0,40"0,67"0,20"0,47"4,68"
0,50"0,61"0,14"0,47"4,71"
0,60"0,55"0,09"0,46"4,58"
0,70"0,50"0,06"0,44"4,36"
0,80"0,45"0,04"0,41"4,09"
0,90"0,41"0,03"0,38"3,79"
1,00"0,37"0,02"0,35"3,50"
1,10"0,33"0,01"0,32"3,21"
Application
Décroissance+
exponen.elle+liée+à+
l’absorp.on++beaucoup+
plus+rapide++que+celle+
liée+à+l’élimina.on
Cmax%est%a)einte%au%bout%%
de%30%min%environ
À+par.r+de+Cmax,+le+
phénomène+
d’absorp.on+devient+
très+minoritaire
Déterminationdetmax,tempspourlequellaconcentrationestmaximale
5
—Calculdesdérivéessuccessives
Remarque:Ils’agitd’unmaximumcarladérivées’annuleetchangedesigneentmax
(voirlesignedeC’’(tmax))
ÉtudedelafonctionC(t)=10(e–t–e–4t)
!C(t)=10(−1×e−t
−(−4×e−4t
))=10(−e−t
+4e−4t
)
!!C(t)=10(−1×(−1)e−t
+(4×(−4)×e−4t
))=10(e−t
−16e−4t
)
—Calculdetmax
!C(tmax)=10(−e−tmax
+4e−4tmax
)=0⇔4e−4tmax
=e−tmax
⇔4e−3tmax
=1
⇔e−3tmax
=
1
4
⇔−3tmax=ln(1)−ln(4)⇔tmax=
ln4
3
≈0,462h
Application
- 21. 14
Commentévoluentlesconcentrationslorsd’administrationsrépétées ?Nerisquent-elles
pasdecroîtreindéfinimentetdefinirpardevenirtoxiques ?
Pourassureruntraitementefficace,desdosesidentiques
d’antibiotiquesontadministréesàdesintervallesdetemps
réguliersT.
Onvamontrerquelorsquelenombred’administrations
estgrand,onatteintunétatd’équilibreoùpendantun
intervalledetempsentrelesdeuxadministrationsde
doses,laconcentrationvarieentredeuxvaleursCminet
Cmax.
Onappellerailerangdel’administration(i=1àn)etCmaxilaconcentrationaumomentdela
iemeadministration,c’est-à-direjusteaprès.
Ainsi,aveccettenotationàla1readministrationi=1,ona:Cmax1=C(0+)=C0
Application
15
ContinuitédelafonctionC(t)enchaquepointdenouvelleadministration.
Application
limt→T−C(t)=C(T)etlimt→T+C(t)=C(T)+C0≠C(T)
AuxtempsT,2T,3T…,nT,lafonctionCfaitunsautdehauteurC0,elleestdiscontinueàdroite
etcontinueàgauche.Ona:
Montrezquel’onalarelationCmaxn
=C01+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()
AutempsT,ilresteC0e(kT)delapremièreadministrationetonadministreunedose
supplémentaireC0.Onadoncàladeuxièmeadministration:
Cmax2
=C0+C0e−kT
=C01+e−kT
()
16
Onretrouvequ’àT,C(t)=(C0+C0e-kT)
Autemps2T,ilreste:
Àla3eadministration,ona:
Cmax3
=C(2T+
)=C0+C0(e−kT
+e−2kT
)=C0(1+e−kT
+e−2kT
)
Onpeutgénéraliser(n-ièmeadministration),onaura:
Cmaxn
=C01+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()
C(2T−
)=(C0+C0e−kT
)e−k(2T−T)
=C0(1+e−kT
)e−kT
=C0(e−kT
+e−2kT
)
exp(a+b)=exp(a)×exp(b)
Application
PourdestempsT≤t<2T,onaC(t)=(C0+C0e−kT
)e−k(t−T)
=C0(1+e−kT
)e−k(t−T)
17
Montrezquesin+∞alorsCmax∞
=C0
1
1−e−kT
#
$
%
&
'
(
1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()estlasommedestermesd’unesuitegéométriquederaisone-kT.
Multiplionscetteexpressionparlafraction1−e−kT
1−e−kT
"
#
$
%
&
'
1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()=
1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()1−e−kT
()
1−e−kT
⇔1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()=
1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
−e−kT
−e−2kT
−...−e−knT
()
1−e−kT
⇔1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()=
1−e−knT
()
1−e−kT
Applicationexp(a+b)=exp(a)×exp(b)
- 22. 18
Commeet
Ona:
1+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()=
1−e−knT
()
1−e−kT
Cmaxn
=C0
1−e−knT
1−e−kT
"
#
$
%
&
'
Cmax∞=limn→∞Cmaxn
=limn→∞C0
1−e−knT
1−e−kT
$
%
&
'
(
)=C0
1
1−e−kT
$
%
&
'
(
)
Cmaxn
=C01+e−kT
+...+e−k(n−1)T
()
Application
Quandn+∞,onaalors
CalculdeCmax∞pourT=1,5h.
Cmax∞
=C0
1
1−e−kT
#
$
%
&
'
(⇒PourT=1,5honaCmax∞
=C0
1
1−e−1,5×0,46
#
$
%
&
'
(=20,6mg/L
19
Combiend’administrationspeut-onfaire,aveccettevaleurdeT=1,5hpournepas
dépasserlaconcentrationtoxiquede16mg/L ?
Ontrouven=2,3,soit2administrationspossibles.
Remarque:PourC0=12mg/L,ontrouven=1,6;
PourC0=8mg/L,ontrouven=8,3;
PourC0=5mg/L,impossible(ensemblededéfinitiondeln,seuildetoxicité)
Lavaleur8mg/Lestadaptéeàuntraitementdepluslonguedurée.
16=C0
1−e−knT
1−e−kT
"
#
$
%
&
'⇔1−e−knT
=
161−e−kT
()
C0
⇔e−knT
=1−
161−e−kT
()
C0
−knT=ln1−
161−e−kT
()
C0
"
#
$
$
%
&
'
'
⇔n=−
1
kT
ln1−
161−e−kT
()
C0
"
#
$
$
%
&
'
'
≈2,3
Application
20
MontrezqueCmax∞estunefonctiondécroissantedeT.Commentezcerésultat
Cettedérivéeesttoujoursnégative,doncCmax∞(T)estunefonctiondécroissante(siTaugmente,
Cmax∞(T)diminue).
PouruneconcentrationCmax∞de16mg/LcorrespondantauseuildetoxicitéetunevaleurdeC0
égaleà10mg/L,ontrouveT=2,1322 h.
DoncsiT≥2,14h,leseuildetoxicitén’estjamaisatteint.
Cmax∞
=C0
1
1−e−kT
#
$
%
&
'
(⇒Cmax∞
()*=C0
−ke−kT
1−e−kT
()
2
Application
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Mathématiques:Cours2(suite)
Fonctionsdeplusieursvariables
PACES–UE4
ÉquipepédagogiqueBPS(Biomathématique,ProbabilitéetStatistique)Université
ParisDescartes
–BPS1/37
- 23. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Tabledesmatières
1Définitions
Fonctionsdedeuxvariables
Fonctionsdeplusieursvariables
2Représentationgraphique
Surfacesdansl’espace
Projectionsendeuxdimensions
3Dérivéespartielles
Dérivéespartiellesdupremierordre
Applicationsauxvecteurs
Dérivéespartiellesdusecondordre
4Différentielles
Définitionsetpropriétés
Différentiellelogarithmique
5Annexe
–BPS2/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Fonctionsdedeuxvariables
Grandeursdépendantdedeuxvariables.ExempleI
Lesgrandeursbiologiquesouphysicochimiquesdépendantde
plusieursvariablessonttrèscourantes.
Exemple
LepHdelasolutiond’unacidefaibledeconstanted’ionisation
Kadépenddesconcentrationsdesaformeacideyetdesa
formebasiquex1:pH=f(x,y)=a+logx
y
1.Équationd’Henderson–Hasselbalch;a=logKa=pKa
–BPS3/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Fonctionsdedeuxvariables
Grandeursdépendantdedeuxvariables.ExempleII
Exemple
Laconcentrationplasmatiqued’unmédicamentadministrépar
voieoraledépenddeladoseadministréexetdutempst:
C=f(x,t)=K·xea·teb·t
Ici,K,aetbsontdesparamètresconstants,seulsxettsont
desvariables.2
2.Équationdéjàvueplustôt,oùlaconstanteA=K·xaucasoùladose
xestconstante.
–BPS4/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Fonctionsdedeuxvariables
Définitiond’unefonctiondedeuxvariables.
Définition
Uneapplicationfdéfiniesurunsous-ensembleEdeR2et
prenantdesvaleursdansRestappeléefonctionréellededeux
variables:
f:E✓R2!R
(x,y)7!f(x,y)
Ainsi,lafonctionffaitcorrespondreàchaquecouplede
valeurs(x,y)unevaleurf(x,y):
8(x,y)2E✓R2:f(x,y)2R
Exemple
f(x,y)=x2+4x·y
f(3,6)=32+4⇥3⇥6=81(3,6)7!81
–BPS5/37
- 24. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Fonctionsdeplusieursvariables
Grandeursdépendantdeplusieursvariables.
Lanotiondefonctiondedeuxvariablespeutbienévidemment
êtreétendueàplusieursvariables.
Exemple
L’énergied’interactionUentredeuxionschargésdépendde
leurschargesq1etq2etdeladistancerquilessépare3:
U=f(q1,q2,r)=
k·q1·q2
r
festunefonctiondestroisvariablesq1,q2etr.
3.LoideCoulomb
–BPS6/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Fonctionsdeplusieursvariables
Définitiond’unefonctiondetroisvariables.
Définition
Uneapplicationfdéfiniesurunsous-ensembleEdeR3et
prenantdesvaleursréellesdansRestappeléefonctionréelle
de3variables:
f:E✓R3!R
(x,y,z)7!f(x,y,z)
Exemple
f(x,y,z)=3x
yz
f(2,5,1)=3⇥2
51=1,5
–BPS7/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Surfacesdansl’espace
Fonctionsdedeuxvariables
Commeunefonctiond’une
variableestreprésentéepar
unecourbedansleplan,une
fonctiondedeuxvariablesest
représentéeparunesurface
dansl’espace.
Àchaquepointduplan(x,y)
corresponduneélévation(ou
côte)z=f(x,y)
:z=f(x,y)
–BPS8/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Surfacesdansl’espace
Surfacesdansl’espace
Lasurfacepeutêtre
coloréeselonlavaleur
dezafindemieux
visualiserlesvaleursde
lafonction.Ci-contreles
élévationsfaiblessonten
violetfoncéetlesplus
élevéesenblanc.
:f(x,y)=1
2⇡e
x2+y2
2exemple:
f(1,2)=1
2⇡e
(1)2+(2)2
2⇡0,014
–BPS9/37
- 26. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Définitiondesdérivéespartielles
Soitf(x,y)unefonctionde2variablesdéfiniesurE✓R2etun
pointA=(x0,y0)2E.Alorsf(x,y0)etf(x0,y)sontdes
fonctionsd’uneseulevariablechacune,xouy.
Définition
Sileslimites
lim
x!x0
f(x,y0)f(x0,y0)
xx0
etlim
y!y0
f(x0,y)f(x0,y0)
yy0
existent,alorsellesontappeléesdérivéespartiellesde1er
ordredefaupointAselonxetyrespectivement.Onnote:
@f
@x
(x0,y0)et
@f
@y
(x0,y0)
Lessymbolesf0
xetf0
yserencontrentaussi,surtoutenphysique.
–BPS14/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Dérivéepartielleselonx
Soit
f(x,y)=x3+x·y2
Ladérivéepartielle
defparrapportàx
estcalculéeen
dérivantlafonction
parrapportàxen
considérantqueyest
uneconstantey0:
@f
@x=3x2+y2
@f
@x
(x0,y0)=lim
x!0
f(x0+x,y0)f(x0,y0)
x
–BPS15/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Dérivéepartielleselony
Soit
f(x,y)=x3+x·y2
Ladérivéepartielle
defparrapportày
estcalculéeen
dérivantlafonction
parrapportàyen
considérantquexest
uneconstantex0:
@f
@y=2x·y
@f
@y
(x0,y0)=lim
y!0
f(x0,y0+y)f(x0,y0)
y
–BPS16/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Miseenpratique
Enpratique,pourcalculerladérivéepartielleselonune
variable,ondériveenconsidérantlesautresvariablescomme
constantes.Onretrouvealorslesformulesdedérivationdes
fonctionsd’unevariable.
Unefonctiondenvariablesadmetndérivéespartiellesde
premierordre.
Lesrèglesdedérivationdesfonctionsd’unevariablerestent
valables.Notamment:
@c
@x=@c
@y=0oùcestuneconstante
@x
@x=@y
@y=1
@x
@y=0
–BPS17/37
- 27. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Exemples
Exemples
@(5x3y)
@x
=5et
@(5x3y)
@y
=3
@
⇣
a+logx
y
⌘
@x
=
1
xln10
et
@
⇣
a+logx
y
⌘
@y
=
1
yln10
@
✓
e
x2+y2
2
◆
@x
=xe
x2+y2
2et
@
✓
e
x2+y2
2
◆
@y
=ye
x2+y2
2
@(ex·y)
@x
=yex·y
et
@(ex·y)
@y
=xex·y
–BPS18/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Interprétationgéométriquedesdérivéespartielles
Unesurfacez=f(x,y)aun
plantangentenunpointetune
infinitédedroitestangentesen
cepoint.Eneffet,toutesles
droitescontenuesdansleplan
tangentsonttangentesàla
surface.
plantangentenunpointd’une
surfacez=f(x,y)
–BPS19/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdupremierordre
Interprétationgéométriquedesdérivéespartielles
Lapentedeladroitetangente
parallèleauplanxzestégaleàla
dérivéepartielledelafonction
f(x,y)selonxaupointoùla
droiteesttangenteàlasurface.
Demême,lapentedeladroite
tangenteparallèleauplanyzest
égaleàladérivéepartielledela
fonctionf(x,y)selonyaupointoù
ladroiteesttangenteàlasurface.tg↵=@f
@x
–BPS20/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Applicationsauxvecteurs
Champscalairesetchampsvectoriels
Définition
Onappellechampscalaireunerégiondel’espacedans
laquelleàchaquepoint(x,y,z)estassociéeunegrandeur
f(x,y,z).
Exemple
Àchaquepointdel’atmosphèreonassocieunetempérature.Il
s’agitd’unchampscalaire.
–BPS21/37
- 28. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Applicationsauxvecteurs
Champvectoriels
Définition
Onappellechampvectorielunerégiondel’espacedans
laquelleàchaquepoint(x,y,z)estassociéunvecteur:
!
F(x,y,z)=P(x,y,z)
!
i+Q(x,y,z)
!
j+R(x,y,z)
!
k+
Exemple
Àchaquepointd’unfluideonassocielavitessedelamolécule
quis’ytrouve.Ils’agitd’unchampvectoriel.
–BPS22/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Applicationsauxvecteurs
Vecteurgradient
SoitunefonctionU(x,y,z)définiedansl’espace.
Définition
Ondéfinitlevecteurgradientnoté
!
gradUourU:
!
gradU⌘rU=
@f
@x
!
i+
@f
@y
!
j+
@f
@z
!
k
Interprétation:LafonctionUreprésenteunepropriétéscalaire
dansdifférentspoints,parexemplelatempératureoul’énergie.
Legradientestunvecteurdontladirectionindiqueversquelle
directionl’augmentationdelafonctionestlaplusgrande(la
plusgrandepente).
–BPS23/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdusecondordre
Dérivéespartiellesd’ordredeuxd’unefonctionde2
variables
Lesdérivéespartiellesde1erordre
@f
@x
et
@f
@y
d’unefonctionde
2variablespeuventêtreaussidesfonctionsde2variables.Si
lesdérivéespartiellesde
@f
@x
et
@f
@y
existent,ellessont
appeléesdérivéespartiellesdesecondordredelafonctionfet
sontnotées:
@@f
@x
@x
=
@2f
@x2
=f00
xxet
@@f
@y
@y
=
@2f
@y2
=f00
yy
@@f
@x
@y
=
@2f
@y@x
=f00
xyet
@@f
@y
@x
=
@2f
@x@y
=f00
yx
–BPS24/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Dérivéespartiellesdusecondordre
Dérivéespartiellesd’ordredeux–généralisation
Lesdérivéespartielles
@f
@xi
de1erordred’unefonctionden
variablespeuventêtreaussidesfonctionsdenvariables.Siles
dérivéespartiellesde
@f
@xi
existent,ellessontappelées
dérivéespartiellesdesecondordredelafonctionfetsont
notées:
@@f
@xi
@xj
=
8
><
>:
@2f
@xj@xi
sii6=j
@2f
@x2
i
sii=j
–BPS25/37
- 31. DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Différentiellelogarithmique
Exemple
Ladifférentiellelogarithmiquepeutfaciliterlecalculdela
différentielledefonctionscomposéesdeproduitsouquotients.
Exemple
Soitlafonctionf(P,V,n,T)=P·V
n·R·ToùRestuneconstante
positiveetP,V,netTsontdesvariablespositives.
ln|f|=ln
P·V
n·R·T
=lnP+lnVlnnlnRlnT
dln|f|=
dP
P
+
dV
V
dn
n
dT
T
df=fdln|f|=
P·V
n·R·T
✓
dP
P
+
dV
V
dn
n
dT
T
◆
=
=
1
n·R
✓
VdP
T
+
PdV
T
P·Vdn
nT
P·VdT
T2
◆
–BPS34/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Annexe
Rappelssurlesvecteurs.
Non-traitésencours.
–BPS35/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Baseorthonormée
Soient
!
i,
!
jet
!
k,troisvecteursunitaires,portés
respectivementparOx,OyetOz.Lesvecteurssontdonc
orthogonauxdeuxàdeux.Cestroisvecteursformentune
baseorthonormée.
Danscettebaseorthonormée(
!
i,
!
j,
!
k),onnotele
vecteur
!
OA=X
!
i+Y
!
j+Z
!
kou
!
OA(X,Y,Z)oùX,Y
etZsontlescomposantesoucoordonnéesduvecteur
!
OA
danslabaseorthonormée(
!
i,
!
j,
!
k).
Propriétés(où
!
V1(X1,Y1,Z1)et
!
V2(X2,Y2,Z2)sontdeux
vecteurs).
!
V1+
!
V2=(X1+X2)
!
i+(Y1+Y2)
!
j+(Z1+Z2)
!
k
a
!
V1=aX1
!
i+aY1
!
j+aZ1
!
k
–BPS36/37
DéfinitionsReprésentationgraphiqueDérivéespartiellesDifférentiellesAnnexe
Produitscalairededeuxvecteurs
Définition
!
V1·
!
V2=
!
V1
!
V2cos
⇣!
V1,
!
V2
⌘
Propriétés(où
!
V1(X1,Y1,Z1)et
!
V2(X2,Y2,Z2)sontdeux
vecteursnonnuls).
!
V1·
!
V2>0:angle
⇣!
V1,
!
V2
⌘
aigu
!
V1·
!
V2<0:angle
⇣!
V1,
!
V2
⌘
obtus
!
V1·
!
V2=0:
!
V1et
!
V2perpendiculaires
!
V1·
!
V2=X1X2+Y1Y2+Z1Z2
!
V1·
!
V1=
!
V1
2
=X2
1+Y2
1+Z2
1
cos
⇣!
V1,
!
V2
⌘
=
!
V1·
!
V2
!
V1
!
V2
=X1X2+Y1Y2+Z1Z2p
X2
1+Y2
1+Z2
1
p
X2
2+Y2
2+Z2
2
–BPS37/37
- 34. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation
Commentcalculerl’airesouslacourbequandf(x)est
quelconque
Commentgénéralisercettepropriété
silacourbereprésentativedef(x)
n’estpasunedroite?
Ondécomposecetteaireenaires
élémentairesquel’onsomme(leSdu
signeintégral).
Ondécritdessommesd’airesde
rectanglesdelargeur(«pas»)
constanteh>0etdehauteurs
f(x+h)(cheminM,N,O,P...)
sommesmajorantesouf(x)(chemin
m,n,o,p...)sommesminorantesqui
encadrentl’airecherchée.
Airesouslacourbe
-BPS9/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation
Commentcalculerl’airesouslacourbequandf(x)est
quelconque(suite)
Airesouslacourbe
Sih!0c’est-à-diresilenombrede
rectanglesdedécompositiondevient
infini,alorscettesommed’airesde
rectanglesapourvaleurlimitel’aire
souslacourbe(nousnousplacerons
danslescasoùcettelimiteexiste,on
ditalorsquelafonctionestintégrable
surl’intervalle[a,b]quisontles
bornesd’intégration).
-BPS10/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation
Quelquesremarquessurlesigne
R
Attentionaveclemêmesymbole
R
onreprésente:
1soituneintégraledéfiniequiestunnombre
Rb
af(x)dx
etquipeutsecalculer
defaçonapprochéeenévaluantl’airesouslacourbe:
quandonneconnaîtpaslafonctionf(x)ouquandonn’en
connaîtpasdeprimitive(intégrationnumérique).
ouàpartird’uneprimitive
Rb
a
f(x)dx=F(b)F(a)
2soitl’ensembledesprimitivesouintégraleindéfinie
Onnote
R
f(x)dx=F(x)cetteintégraleindéfinie
3soituneprimitiveprécisedef:
Rx
af(t)dtquis’annuleen
x=aetquiestunefonctiondex.
-BPS11/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation
Lesigne
R
:exemples
Soitf(x)=x2
1Intégraledéfinieentredeuxbornes
Lesprimitivesdex2
sontF(x)=x3
/3+Cte
F(2)=8/3+CteetF(1)=1/3+Cte
Z2
1
x2
dx=
⇥
x3
/3
⇤2
1
=8/31/3=7/3
2Intégraleindéfinie(ensembledesprimitivesdef)
Z
x2
dx=x3
/3+Cte
8«Cted’intégration»,ladérivéedeF(x)vautx2
.
3Uneprimitiveprécisedef(fonctiondexquis’annuleà
x=a)Zx
a
t2
dt=F(x)F(a)=x3
/3a3
/3
-BPS12/53
- 39. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Introduction
ExempleintroductifII:y0
=ky.Premièreapproche,
«intuitive».
y0
=ky(2)
Icikestuneconstante2<.
Lasolutiongénéraleestlafamilledefonctionsexponentielles
y(x)=Aekx.
Eneffety0=kAekx=ky.
Onpourraextraire,auseindecettefamilled’exponentielles,
unefonctionYdite«solutionparticulière»parexemplecelle
pourlaquelley(0)=1:
1=A⇥e0doncA=1doncY=ekx
Danslesapplicationsàlabiologie,ondisposeengénéral
d’informationsurlesconditionsinitialesquipermettentde
déterminercessolutionsparticulièresY.
-BPS29/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Introduction
ExempleintroductifII:y0
=ky.Méthodeditede
«séparationdesvariables»
Onchercheunesolutionnon-trivialey6=0.
y0=ky)dy
dx=ky)dy
y=kdx
Ils’ensuitdeuxintégrations,l’unesurlavariablexl’autresurla
variabley.Chaqueintégrationgénèreuneconstantearbitraire,
quel’oncombineenuneseuleconstantearbitraire.
ln|y|+Cte1=kx+Cte2Cte=Cte2Cte1
|y|=ekx+Cte=KekxavecK=eCte>0
y=±Kekx
=Aekx(A6=0)
Onretrouvelamêmesolutiony=Aekxqueprécédemment.On
remarquequ’ellenes’annulepasetdoncqueladivision
préliminaireparyétaitpossible.
-BPS30/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Introduction
Applicationpharmaceutique
Aprèsuneadministrationunique,rapide,parvoieintraveineuse
(bolusIV),ontrouveexpérimentalementquelavitessede
décroissancedelaconcentrationplasmatiquedumédicament
(notéeC)estproportionnelleàlaconcentrationplasmatiqueà
chaqueinstantt.
L’équationdifférentielles’écritdonc
C0=dC
dt=kC(k>0carconcentrationdécroissante)
Lasolutiondecetteéquationdifférentielleest
C=Aekt
.
Conditioninitiale:autempst=0,A=C(0)=C0donc
C=C0ekt
-BPS31/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation:équationsàvariablesséparables
Équationsàvariablesséparables
Soituneéquationqu’onpeutmettresouslaforme:
y0
f(y)=g(x)
(y0
=kyenestuncasparticulieravecf(y)=1
y
etg(x)=k)
Onditquecetteéquationestàvariablesséparables.
Onexprimey0=dy
dx
Onpeutalorsregrouperdanslesdeuxmembresdel’équation
lesvariablesxety:
f(y)dy=g(x)dx)
R
f(y)dy=
R
g(x)dx
F(y)=G(x)+CteoùFetGsontdesprimitivesdefetg
-BPS32/53
- 40. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation:équationsàvariablesséparables
Exemple:LoidurefroidissementdeNewton
UnemasseplacéedansuncourantfroiddetempératureconstanteS
serefroiditàunevitesseproportionnelleàl’écartdetempérature
entresapropretempératureTàuninstanttetlatempératureS.
Traduirecetteloiparuneéquation:
TestunefonctiondetalorsqueSestconstante.La
vitessededécroissancedeTestdT
dt;elleest
proportionnelleàTS(iciT>S);avecuncoefficientde
proportionnaliték>0,onobtientl’équationdifférentielle:
dT
dt=k(TS)
Résoudrecetteéquationparséparationdesvariables:
dT
TS=kdt)
RdT
TS=
R
kdt
ln|TS|=kt+Cte)TS=ekt+Cte=Aekt
avec
A=eCte
solutiongénéraleT=Aekt
+S
-BPS33/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation:équationsàvariablesséparables
Exemple:LoidurefroidissementdeNewton
UnemasseplacéedansuncourantfroiddetempératureconstanteS
serefroiditàunevitesseproportionnelleàl’écartdetempérature
entresapropretempératureTàuninstanttetlatempératureS.
Traduirecetteloiparuneéquation:
TestunefonctiondetalorsqueSestconstante.La
vitessededécroissancedeTestdT
dt;elleest
proportionnelleàTS(iciT>S);avecuncoefficientde
proportionnaliték>0,onobtientl’équationdifférentielle:
dT
dt=k(TS)
Résoudrecetteéquationparséparationdesvariables:
dT
TS=kdt)
RdT
TS=
R
kdt
ln|TS|=kt+Cte)TS=ekt+Cte=Aekt
avec
A=eCte
solutiongénéraleT=Aekt
+S
-BPS34/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation:équationsàvariablesséparables
Exemple:LoidurefroidissementdeNewton
Trouverlasolutionparticulièreexprimantlatempérature
atteinteparunemasseinitialementà40˚Cplacédansun
courantd’airà10˚C.
Autempst=0,T=40˚CetS=10˚C.Onendéduitla
valeurdelaconstanted’intégrationA=30˚C.
solutionparticulièreT=30ekt+10
Sachantqu’autempst=2hlamasseaatteintune
températurede25˚C,auboutdecombiendetemps
aura-t-elleatteint15˚C?
Cetteinformationpermetdecalculerleparamètrekdu
modèle:
25=30e2k+10)2=e2k)k⇡0,347h1
15⇡30e0,347t+10)t⇡(ln6)/0,347⇡5,16h
-BPS35/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Généralisation:équationsàvariablesséparables
Exemple:LoidurefroidissementdeNewton
Trouverlasolutionparticulièreexprimantlatempérature
atteinteparunemasseinitialementà40˚Cplacédansun
courantd’airà10˚C.
Autempst=0,T=40˚CetS=10˚C.Onendéduitla
valeurdelaconstanted’intégrationA=30˚C.
solutionparticulièreT=30ekt+10
Sachantqu’autempst=2hlamasseaatteintune
températurede25˚C,auboutdecombiendetemps
aura-t-elleatteint15˚C?
Cetteinformationpermetdecalculerleparamètrekdu
modèle:
25=30e2k+10)2=e2k)k⇡0,347h1
15⇡30e0,347t+10)t⇡(ln6)/0,347⇡5,16h
-BPS36/53
- 41. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Onvientdevoirsuccessivementl’équation:y0=kyetsa
formeplusgénéraley0f(y)=g(x).
Cettedernièrepeutêtreécriteaussi:
y0+g(x)h(y)=0
⇣
avech(y)=1
f(y)
⌘
Dansdessituationsplusréalisteslesecondmembren’estpas
nul,c’estunefonctiondelavariablex.
y0+g(x)h(y)=r(x)
Onprésenteiciunefamilled’équationsdecetype,de
résolutionsimple:leséquationsdifférentiellesdupremier
ordre,linéaires.
-BPS37/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Définitions
Membres
Onregroupeàgauchelafonctionyetsesdérivéesetà
droite(2ndmembre)lestermescontenantlavariableet
d’éventuellesconstantes.
Équationlinéaire
Siy,y0...n’apparaissentdanslepremiermembreque
sousformedecombinaisonlinéaire,l’équationestdite
linéaire.Dansl’équationy0+g(x)h(y)=r(x)ona
h(y)=y.L’équationdévientdonc:y0+g(x)y=r(x)
Coefficients
Lescoefficientssontlestermesenfacteursdeyety0.
Silescoefficientssontconstants,alorsg(x)estune
constantebetl’équationdévient:y0+by=r(x)
-BPS38/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Formegénéraled’uneéquationdifférentielledu
premierordre,linéaireàcoefficientsconstants
Uneéquationdifférentielledupremierordre,linéaireà
coefficientsconstantsestdoncdutype:
ay0
(x)+by(x)=r(x)
Onsimplifielesnotationsenn’écrivantpaslavariablexpoury
ety0.
ay0
+by=r(x)
aetbsontlescoefficientsiciconstants
ay0+byquicontientyety0estlepremiermembre;
r(x)quinecontientniyniy0estlesecondmembre.
-BPS39/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Exemplesetcontre-exemples
Équationslinéairesounon
2xy3y0=exestuneéquationlinéaire
2y23y0=0n’estpasuneéquationlinéaire(termeeny2)
4yy0+3y=ex+3n’estpasuneéquationlinéaire(terme
enyy0)
Équationavecousanssecondmembre
2xy3y0+2=exou2xy3y0=ex2estuneéquation
avecsecondmembre(EASM)
2xy3y0
estlemembredegaucheou1er
membre
ex
2estlemembrededroiteou2n
dmembre.
2xy3y0=0estuneéquationsanssecondmembre
(ESSM)
-BPS40/53
- 43. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Exemple,étape1:recherchedey0(SGESSM)
Exemple
L’équationpeutseréarrangéesouslaformed’uneéquation
différentielledupremierordre,linéaireàcoefficientsconstants:
y0
+ky=M
L’équationdifférentiellesanssecondmembres’écritdonc:
ESSM:
dy0
dt
+ky0=0
solutionexponentielleparséparationdevariables
SGESSM:y0=Aekt
-BPS45/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Étape2:recherchedeY(SPEASM)par
identification
Elles’appliquequandlescoefficientssontconstantsetqueles
secondsmembressontdesfonctionsquilorsqu’onlesdérive
donnentunefonctiondumêmetype:
polynôme(degrén)carsadérivéeestunpolynôme(degré
n1)
exponentielle,carladérivéeestuneexponentielle
unefonctiontrigonométriquesinoucoscarleurdérivée
estunefonctiondecetype(cosousin)
toutecombinaisonsimpledecesfonctions(addition,
multiplication...)
-BPS46/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Étape2:choixdeYselonle2nd
membre
SecondmembreSolutionparticulière
constanteconstante
polynômededegrénpolynômecompletdedegrén
Kemx
Bemx
simxn’estpasl’exposantdelasolutiony0
Kemx
Bxemxsimxestl’exposantdelasolutiony0
sin(!x)oucos(!x)Asin(!x)+Bcos(!x)
Silesecondmembreestcombinaisonlinéairedesformesdela
1recolonnedecetableau,lasolutionparticulièresera
combinaisonlinéairedesformesdela2ecolonnedutableau.
PourtrouverlesconstantesA,B,...onsubstitueYetY0dans
l’équationavecsecondmembreetonidentifielestermes
équivalents.
-BPS47/53
CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Exemple,étape2:recherchedeY(SPEASM)par
identification
Exemple
y0
+ky=M
Lesecondmembreestuneconstante,donclasolution
particulièreserauneconstante.
OnposeY=L,doncY0=0.
OnsubstitueYetY0dansl’équationdifférentielle:
Y0
+kY=M)0+kL=M)Y=L=
M
k
-BPS48/53
- 45. CalculintégralRésolutiond’équationsdifférentielles
Équationsdifférentiellesdupremierordre,linéaires
Exemple2
Exemple
Etonidentifielescoefficientsdestermescorrespondants
(mêmepuissance,sinus,cosinus...).
)
8
>>>><
>>>>:
m=1
2m+p=0
p+q=0
2A+B=0
2B+A=15
9
>>>>=
>>>>;
)
8
>>>><
>>>>:
m=1
p=2
q=2
A=3
B=6
Etdonc:
Y=t2
2t+2+3sin(2t)6cos(2t)
et
y=y0+Y=Ket
+t2
2t+2+3sin(2t)6cos(2t)
-BPS53/53
BPS1/5
Annexe:Quelquesrappelsnontraitésencours
Primitivesdefonctionsusuelles
xn
dx∫=
xn+1
n+1
+Ctepourn≠−1
1
x∫dx=lnx+Cte
eax
dx∫=
1
a
eax
+Cte
dx
1+x2∫=Arctgx+Cte
sinxdx=−cosx+Cte∫
cosxdx=sinx+Cte∫
lnxdx∫=xlnx−x+Ctepourx>0
Àsavoiraussi:
du
1+u2∫=Arctgu+Cteupeutêtreune
fonctiondex(voirleschangementsdevariable).
Propriétésgénéralesdelinéaritédesintégrales
Cespropriétéssontvraiespourlesintégralesdéfinies,
indéfiniesetlesprimitives.
f(x)etg(x)étantcontinuessur[a,b]
(f(x)+g(x))dx∫=f(x)dx∫+g(x)dx∫
kf(x)dx∫=kf(x)dx∫
BPS2/5
Propriétésparticulièresdesintégralesdéfinies
•f(x)dx=0
a
a
∫
•RelationdeChasles(c∈a,b[])
f(x)dx
a
b
∫=f(x)dx
a
c
∫+f(x)dx
c
b
∫
Conséquence:
f(x)dx
a
a
∫=f(x)dx+f(x)dx
b
a
∫
a
b
∫=0
Doncf(x)dx
a
b
∫=−f(x)dx
b
a
∫
BPS3/5
•Signed'uneintégraleetparitédef(x)
Sifest>0,l'aireest>0,sifest<0,l'aireest<0
Sifestpairesur[-a,a],alorsf(−x)=f(x)
f(x)dx=2f(x)dx
0
a
∫
−a
a
∫
Sifestimpairesur[-a,a],alorsf(−x)=−f(x)
f(x)dx=0
−a
a
∫
BPS4/5
Méthodesd'intégration;exemplessupplémentaires
•Intégrationparchangementdevariable
I=
dx
x+31
2
∫
Cetteintégraleestdéfiniesurl'intervalle[1,2]
Onposet=x+3dt=dx
Nouvellesbornes:
enx=2t=2+3=5
enx=1t=1+3=4
I=
dt
t4
5
∫=lnt⎡⎣⎤⎦4
5
=ln
5
4
≈0,223
•Intégrationparparties
1)exemple1
(2x+1)ex
1
2
∫dx=I
onposeu=2x+1du=2dx
dv=ex
dxv=ex
I=(2x+1)ex⎡
⎣
⎤
⎦1
2
−2ex
dx
1
2
∫
Ontrouve
I=ex
(2x−1)⎡
⎣
⎤
⎦1
2
=3e2
−e
BPS5/5
2)exemple2
Soit:ex
sinxdx∫=I
Onposeu=sinxdu=cosxdx
Onposedv=ex
dxv=ex
I=ex
(sinx)−ex
cosxdx∫
Pourcalculerex
cosxdx∫
Onposeu=cosxdu=−sinxdx
Onposedv=ex
dxv=ex
I=ex
(sinx)−ex
cosxdx∫=ex
(sinx)−ex
(cosx)+ex
sinxdx∫⎡
⎣
⎤
⎦
ouencore:
I=ex
(sinx)−ex
(cosx)+I⎡
⎣
⎤
⎦
I=ex
(sinx−cosx)/2+Cte
Lechoixinverseu=ex
etdv=sinxdxauraitconduitau
mêmerésultat.
![COURS1
FONCTIOND’UNE
VARIABLE
RÉELLE
ÉQUIPEPÉDAGOGIQUEBPS
(BIOMATHÉMATIQUE,PROBABILITÉETSTATISTIQUES)
PACESUE4
ÉVALUATIONDESMÉTHODESD’ANALYSESAPPLIQUÉES
AUXSCIENCESDELAVIEETDELASANTÉ
1
Objectif
2
Donnerlesoutilsmathématiquesnécessairespourpouvoir
traiterlesdonnéesissuesdessciencesmédicales,
pharmaceutiquesoubiologiques.
Chimie
pH=–log10[H3O+
]
[H3O+
]=10–pH
Physique
LoideBeer-Lambert
I
I0
=exp(−Kl)
Électricité
Charged’uncondensateurStatistiques
LoidePoisson
P(X=k)=e−λλk
k!
Chimie(redox)
ÉquationdeNernst
E=E0
+
RT
nF
ln
Ox[]
Red[]
!
"
##
$
%
&&
Biophysique
1re
loideFick!=−$
d&
d'
((*)=(,exp
−*
RC
Exempleintroductif
Exemplepharmaceutique:Suividel’évolutiondelaconcentrationplasmatique
C(t)d’unmédicamentingéréparvoieoraleenfonctiondutempst
3
C(t)dépenddedeuxmécanismes
simultanésetopposés:
–l’absorptiond’origineintestinale
–l’éliminationparlesorganes
d’excrétion
Remarque:onpeututilisern’importequellelettrepourlavariableetlafonction
Sang
Vitessed’entréeVitessedesortie
Exempleintroductif
4
Remarques:
–lefacteurAestuncoefficientdeproportionnalitépositifquiprendencompteladose
administrée;
–onsupposeiciquel’absorptionestplusrapidequel’élimination(n>s).
Équationmodèle:C(t)=A(e–st–e–nt)
L’absorptionestmodéliséeparuneexponentielleexp(–nt)avecnlaconstantedevitessed’entrée.
L’éliminationestmodéliséeparuneexponentielleexp(–st)avecslaconstantedevitessedesortie.
Modélisationmathématiquedel’évolutiondelaconcentrationplasmatique
C(t)d’unmédicamentingéréparvoieorale](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)