Os números irracionais e suas conseq. completo

1. JOSSANE AJUZ HOLZMANN
OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS,
POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA
PONTA GROSSA
2001

2. JOSSANE AJUZ HOLZMANN
OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS,
POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA
Monografia apresentada para obtenção do
título de Especialista em Educação
Matemática, no Curso de Pós-Graduação
em Matemática dimensões teórico
metodológicas, do departamento de
Métodos e Técnicas de Ensino da
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Orientadora: Prof" Ms. Heliana C.
Campiteli
PONTA GROSSA
2001

3. Agradeço a todos que,
indiretamente, contribuíram
realização deste trabalho.
ii
direta
para
e
a

4. sUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES , IV
RESUMO V
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................... 1
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 4
3 A PROPOSTA PEDAGÓGICA 14
3.1 CONTEÚDOS CONCEITUAlS, PROCEDIMENTAlS E ATITUDINAlS ASSOCIADOS 17
3.2 SEQÜÊNCIA DIDÁTICA 21
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 39
REFERÊNCIAS 41
ANEXO I:TEXTOS 5, 8, 9, 10, 11 E 12 DA TESE DE DOUTORAMENTO DE ANTONIO
MIGUEL 42
ANEXO 2: PARA QUE SERVEM OS IRRACIONAIS? 43
iii
r

5. LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1- 1RIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER 21
FIGURA 2 - 1RIÂNGULO RETÂNGULO PIT AGÓRICO 22
FIGURA 3 - QUADRADOS SOBRE LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 22
FIGURA 4 - DIVISÃO DOS QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO
RETÂNGULO 23
FIGURA 5 - PINTURA DA RELAÇÃO ENTRE OS QUADRADOS DO TRIÂNGULO
RETÂNGULO 24
FIGURA 6 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DE CATETOS 1 eM 26
FIGURA 7 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DIVIDIDO 27
FIGURA 8 - TRANSPOSIÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO NA RETA NUMERADA 29
FIGURA 9 - INTERVALO ENTRE 1-1,5 DA RETA REAL NUMERADA 30
FIGURA 10 - DIVISÃO DO INTERVALO 1-1,5 NA FORMA FRAçÃO 30
FIGURA 11 - INTERVALO 1,4 - 1,5 DA RETA REAL NUMERADA 32
FIGURA 12 - INTERVALO 1,41 - 1,42 DA RETA REAL NUMERADA. 32
FIGURA 13 - PONTOS NA RETA NUMERADA REPRESENTANDO OUTROS
IRRACIONAIS 35
FIGURA 14 - OS IRRACIONAIS FORMANDO UMA ESPIRAL 37
iv

6. RESUMO
Diante de uma visão tecnicista e fragmentada em que se encontra o ensino como um todo e,
particularmente, o ensino de matemática, é que o presente trabalho foi elaborado. À partir de
uma investigação de propostas pedagógicas que tivessem como referência a história da
matemática ,especificamente em relação ao ensino dos números irracionais, é que procuramos
elaborar uma proposta didático-pedagógica para o ensino dos números irracionais ligada à
Geometria passando pelos domínios da Álgebra e da Aritmética. Destacamos para isso toda
potencialidade pedagógica da História da Matemática , mostrando ao aluno que todo esse
conhecimento de hoje que está ao nosso alcance foi acwnulado ao longo do tempo por nossos
antepassados e cedido a cada um de nós como uma fabulosa herança cultural; propiciando a
humanização dessa ciência, tomado-a um instrwnento de resgate da própria identidade
cultural,. levando o aluno a realmente construir seu conhecimento lógico-matemático acerca
dos números irracionais.
Palavras-chave: números irracionais, história da matemática, construção do conhecimento.
v

7. 1 INTRODUÇÃO
o presente trabalho foi elaborado a partir de uma análise da história da
matemática como valioso recurso pedagógico, com suas funções específicas dentro de
uma preocupação com relação ao ensino e suas perspectivas de melhoramento. Assim
como, procuramos através de uma investigação teórica, de alguns autores, levantar
propostas pedagógicas que tivessem como referência a História da Matemática,
especificamente, com relação aos números irracionais. Nessa perspectiva e devido a falta
de propostas histórico-pedagógicas é que desenvolvemos uma proposta didático-
pedagógica, para o ensino dos números irracionais (não aplicada), ligada à Geometria,
passando para os domínios da Álgebra e da Aritmética, fazendo uso do contexto
histórico no decorrer do crescimento e evolução das idéias matemáticas, com a intenção
de levar o aluno a realmente construir seu conhecimento lógico-matemático, e assim,
contribuir para uma melhor formação geral do indivíduo (aluno) como um cidadão
atuante e modificador da sociedade.
Destacamos também a importância do papel do professor na utilização desse
recurso pedagógico, visando-o não somente como mais um recurso, mas como um
potencial motivador, um instrumento de formalização de conceitos, um instrumento que
pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática.
Dentre as propostas investigadas, destacamos a de GUELLI (1992), como um
referencial histórico do desenvolvimento do raciocínio Pitagórico com relação aos
triângulos retângulos, levando-os a uma descoberta revolucionária: os números
irracionais, quebrando toda uma crença cultural de toda uma civilização e cultura grega.
Vimos SPINELLI e SOUZA (2000) em que suas propostas mostra-nos um
breve apanhado histórico do desenvolvimento do raciocínio dos matemáticos na história
da evolução dos conceitos, enfatizando o uso da geometria na compreensão dos números
. . .
irracionais.
Relatamos também a história da matemática para professores no curso de
professores em formação e em exercício onde ARCA VI; BRUCKHEINER e BEM-A VI

8. 2
(1982) descrevem uma abordagem para a utilização da História da Matemática, nesse
caso, para os números irracionais, caracterizando-se basicamente pela aprendizagem
ativa e a história conceitual.
Para completar essa investigação teórica deparamo-nos com uma proposta que
veto aprofundar as demais: a proposta histórico pedagógica- temática de MIGUEL
(1993) que oferece uma importante contribuição ao processo de ensino-aprendizagem da
matemática, especificamente em relação aos números irracionais.
De acordo com MIGUEL (1993 , p.168):
A razão da escolha ter recaído sobre esse tema, deve-se ao fato de, tradicionalmente, as
passagens dos textos didáticos de matemática para a escola secundária referentes a ele
reduzirem-se , invariavelmente, a um amontoado de regras de operar com radicais para os
quais, na maioria das vezes, não se apresentam justificativas convincentes e que acabam por
constituírem-se, aos olhos dos estudantes, em conhecimentos pouco úteis, pouco desafiadores
e desligados dos demais temas constituintes dos programa de matemática.
Procuramos destacar mais nesse trabalho o estudo de Miguel, levando em conta
o seu posicionamento com relação à importância da história da matemática e seu estudo
histórico pedagógico-operacionalizado , dentro do qual ele procura suprir toda essa
carência do ensino por ele destacada.
Dentro dessa perspectiva, acredita-se também em um procedimento
meto dológico voltado para as propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais, em
ampliar e aprofundar a noção de número como pressuposto para que se processe no
aluno toda uma compreensão lógico-matemática. Para tal intento, procuramos nos basear
nos textos 5, 8, 9, 10, 11 e 12 da tese de Miguel (em anexo), com toda sua evolução
histórica e operacionalidade, para desenvolvermos uma seqüência didática , não
deixando de utilizar as idéias dos demais autores citados nesse trabalho.
Nessa seqüência didática, o aluno fará uso da associação dos conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais envolvidos na ação pedagógica, para adentrar
na construção lógico-matemática relacionada ao conceito de irracionais, utilizando dos
fatos históricos, quer através de pesquisas sugeridas ou através de colocações citadas no
decorrer do desenvolvimento da atividade , onde ele perceberá a evolução das idéias

9. 3
através dos tempos.
Espera-se que o aluno, através dessa seqüência didática, em que ele enfrentará
a própria situação histórica-problema, que levou os antepassados matemáticos a se
depararem com os números irracionais, superar as dissonâncias encontradas no decorrer
do processo, num trabalho minucioso, interligando a Geometria com a Aritmética e a
Álgebra, proporcionando-lhe condições de transformar esse ensino em aprendizagem,
onde de fato, estará construindo seu conhecimento em patamares mais sólidos.

10. 4
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Na esperança de que o aluno amplie e aprofunde seu conhecimento, é
importante situá-Io no contexto da evolução na história das ciências, levando-o a um
maior interesse pela disciplina, evidenciando sua importância e significado.
Vemos claramente destacada essa questão nos PCN's (BRASIL, 1997, p.33)
quando ressalta que:
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e
aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação
humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações em ter os conceitos e processos
matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante do conhecimento.
NO sentido de humanizar a Matemática, vemos que o aprofundamento de um
nco contexto histórico, vem ao encontro das nossas necessidades como educadores,
podendo oferecer uma importante contribuição no processo de ensino- aprendizagem da
matemática, tornando essa ciência um instrumento de resgate da própria identidade
cultural, destacando toda a potencialidade pedagógica da História da Matemática.
O uso da História da Matemática como recurso pedagógico, não se resume
apenas na simples apresentação de fatos ou biografia de matemáticos famosos, mas
como um processo de ensino-aprendizagem, um potencial pedagógico motivador que
permita ao aluno analisar e refletir sobre todo processo de evolução dos conceitos e
idéias, e com isso construir seu próprio conhecimento.
Conforme os PCN's ,
A História da Matemática pode ser também uma fonte de interesse para os jovens na medida
em que permite reflexões sobre casos, coincidências e convergências do espírito humano na
'construção do conhecimento acumulado pela humanidade.( ...) Uma história que pode levar à
reflexão sobre as relações entre os homens e sobre indeléveis teias que conspiram a favor do
avanço do conhecimento humano - quem sabe a favor dos próprios homens (BRASIL, 1997,
p.73).
I PCN's- Parâmetros Curriculares Nacionais.

11. 5
Sob esse mesmo aspecto, ao analisarmos esse recurso pedagógico como um
instrumento que pode levar a uma aprendizagem significativa e compreensiva da
matemática, um rico instrumento de formalização de conceitos, destacamos ZÜNICA
apud MIGUEL (1993, p.122) que nos diz, nos seguintes termos, que:
A participação da história dos conteúdos matemáticos como recurso didático não só serve
como elemento motivador, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentido dos
conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica de duas linhas
ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática
para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é central. Os
conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica. Esse decurso
concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação e compreensão. Ao
recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao estado atual do conhecimento) é
possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir, então, como o
instrumento mais adequado para a estruturação do delineamento mesmo da exposição dos
conceitos (...) Com isso não se quer dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem de
aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida, todas as ciências possuem certa
lógica interna que se dá a partir de sinteses teóricas importantes e que se deve assimilar no
ensino aprendizagem. Só se coloca a necessidade de buscar um equilíbrio verdadeiramente
dialético entre essa lógica interna e a história de sua evolução conceptual, enfatizando a
importância do segundo.
É na possibilidade de desenvolvimento de um ensino da Matemática, baseado
na compreensão e na significação, que se realiza a função pedagógica da história. É claro
que, subjacente a todo processo de ensino-aprendizagem que visa à compreensão e à
significação , está o levantamento e a discussão dos porquês, isto é, das razões para a
aceitação de certos fatos, raciocínios e procedimentos por parte do estudante.
Como conseqüência, todo esse processo leva o aluno a uma ação refletida
onde conseguirá construir conhecimentos, desenvolvendo atitudes e valores que possam
dar subsídios para transporem outros patamares de conhecimentos e assim tomarem-se
cidadãos conscientes e participantes, contribuindo para a formação da cidadania .
Os PCN's (BRASIL, 1997, p.l0) reforçam essa colocação quando relatam que
"a matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o
conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua
interação constante com o contexto natural, social e cultural".
Não podemos deixar de avaliar a importância do professor nessa prática

12. 6
pedagógica, pOIS será o intermediário do processo ensino-aprendizagem, analisando
devidamente onde e como inserir o contexto histórico no ensino da matemática, para que
possa ser articulado com as demais variáveis que intervêm no processo de planejamento
didático.
Sob este ponto de vista, MIGUEL (1997, p.103) sugere que,
Somente uma História da Matemática pedagogicamente orientada, isto é, uma história viva,
humana, esclarecedora e dinâmica, vindo substituir as enfadonhas histórias evoutivas das
idéias matemáticas, quase sempre desligadas das necessidades externas e/ou internas que
estiveram na base de sua origem e transformação , poderia constituir-se em ponto de
referência para uma prática pedagógica problematizadora em matemática que tivesse por
meta uma problematização , entendida como simultaneamente lógica, epistemológica,
metodológica, psicológica, sociológica, política, ética, estética e didática.
Além de destacarmos a importância do professor na utilização desse
instrumento meto dológico , temos que analisar com cautela todo o desenvolvimento do
processo didático em sala de aula, onde se propõe a utilização da História da Matemática
como recurso pedagógico, porque "assim como a Análise, a Álgebra, a Topologia, etc., a
História da Matemática é uma área do conhecimento matemático, um campo de
investigação científico, por isso é ingênuo considerá-Ia como um simples instrumento
metodológico. Dessa forma, é plausível dizer que tanto quanto o conteúdo matemático,
há a necessidade de o professor de matemática conhecer sua história, ou seja: A História
do Conteúdo Matemático" (BARONI e NOBRE, 1999, p.l30).
Foi na tese de doutoramento de Antônio MIGUEL (1993) que encontramos
vários posicionamentos com relação ao uso da História da Matemática como recurso
pedagógico , onde ele procurou ao longo de sua tese levantar, detalhar e analisar os
diferentes papéis pedagógicos atribuídos a ela por matemáticos, historiadores da
matemática e educadores matemáticos que, de modo direto ou indireto, acabaram
expressando suas posições em relação a essa questão. Ele importou não apenas a busca
das razões profundas da necessidade de se recorrer a história, mas também a
identificação das funções pedagógicas que estão na base desse recorrer.
MIGUEL nos apresenta diversas opiniões que procuram estimular a recorrer a
esse procedimento, através da consideração não exaustiva das funções pedagógicas

13. 7
atribuídas à história através de diferentes pontos de vista de vários autores consagrados.
Sentimos, portanto, a necessidade de destacar, como o próprio MIGUEL (1997,
p.75-95) descreve, alguns argumentos levantados por esses "apologistas" da história,
com o intento de reforçar as potencialidades pedagógicas da História da Matemática:
1- História-Motivação:
"A História é uma fonte de motivação para o ensino da matemática. Os
partidários desse ponto de vista acreditam que o conhecimento histórico dos processos
matemáticos despertaria o interesse do aluno pelo conteúdo que está sendo ensinado. O
poder motivador da História é atestado e exaltado em função da adoção de uma
concepção lúdica ou recreativa da mesma". Atribui-se a ela o poder de relaxamento
dentro do processo ensino-aprendizagem da matemática.
2- História- Objetivo:
"A História constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da Matemática.
Segundo os partidários desse ponto de vista, é possível buscar na História da Matemática
apoio para se atingir com os alunos objetivos pedagógicos que os levem a perceber:
a) a matemática como uma criação humana;
b) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática;
c) as necessidades práticas, sociais, econômicas e fisicas que servem de
estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas;
d) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião,
matemática e lógica, etc;
e) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e
extensão de idéias e teorias;
f) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as
quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
g) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova".

14. 8
3- História-Método:
Os defensores desse ponto de vista acreditam que "a dimensão pedagógica da
História aparece-lhe vinculada à questão da seleção de métodos adequados de ensino-
aprendizagem dos conteúdos matemáticos". Onde apenas através de uma linearidade e
unicidade do método histórico, tal qual se deu, chegaria-se ao ideal pedagógico de levar
os alunos a pensar cientificamente.
4- História -Recreação:
"A História é uma fonte para seleção de problemas práticos, cunosos ou
recreativos a serem incorporados de maneira episódica nas aulas de matemática".
Destacavam os defensores desse ponto de vista que na resolução de problemas é que se
encontrava a eficiência didática para a aprendizagem da matemática.
"Essa proposta baseia-se no pressuposto de que se a resolução de problemas
constitui-se, por si só, numa atividade altamente motivadora, o fato de esse problema
poder vincular-se à história elevaria, quase que automaticamente, o seu potencial
motivador" .
5- História - Desmistificação:
"A História é um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e
a desalienação de seu ensino". Seus defensores acreditam que é mostrando aos alunos
como realmente um conhecimento foi historicamente produzido, qual o caminho trilhado
pelos nossos antepassados, os obstáculos enfrentados até chegarem a todo esse
conhecimento que está ao seu redor, é que poderá desmistificar toda concepção de que a
matemática é harmoniosa, que está pronta e acabada.
6- História - Formalização:
"A História constitui-se num instrumento na formalização de conceitos
matemáticos". Formalização vista aqui como as diversas ações que envolvem todo o
processo cognitivo de elaboração de conceitos, através dos quais se pode chegar a um
determinado fim.

15. 9
7- História- Dialética:
"A História é um instrumento para a constituição de um pensamento
independente e critico". Acreditam seus defensores que " se o objetivo pedagógico é
esse, apenas uma reconstrução racional da história da matemática ou história destilada,
isto é, uma reconstituição histórica que revelasse tão somente aquilo que é estritamente
indispensável para o afloramento do jogo dialético, puro e sutil das idéias matemáticas,
poderia fazer o professor atingi-lo".
8-História- Unificação:
"A História é um instrumento unificador dos vários campos da
Matemática". Segundo seus defensores somente a história possui a capacidade de
visualizar a matemática num contexto global, através do relacionamento de seus
diferentes campos, e principalmente com a origem do pensamento matemático.
9- História - Axiologia:
"A História é um instrumento promotor de atitudes e valores". Seus defensores
acreditam que ao atribuir à História o poder de eliminar as dissonâncias entre o modo
como a matemática é repassada aos alunos e a maneira como ela foi, realmente
produzida, sem esconder os erros, as discordâncias, as dificuldades, que nossos
antepassados se depararam na produção do conhecimento, pode levar os alunos a
desenvolver atitudes positivas, tanto na formação do pensamento científico, quanto na
formação como cidadão.
10- História -Conscientizacão:
" A História constitui-se num instrumento de conscientização epistemológica".
Os adeptos deste pensamento acreditam que os alunos, num determinado momento do
desenvolvimento de uma prática pedagógica, não possuem maturidade suficiente para a
compreensão de certas demonstrações matemáticas, e que é nessa fase que a História
trará sua contribuição. Ela levará os alunos a uma sucessão de raciocínios, mostrando
que foram colocados da mesma forma aos nossos antepassados, e por eles superados. E
permitirá que no momento adequado, os alunos, mais maduros psicologicamente,

16. 10
compreendam de forma consciente, a necessidade de se submeterem aos padrões
atuatizados de rigor dentro do ensino de matemática.
11- História - Significação:
"A História é um instrumento de pode promover a aprendizagem significativa e
compreensiva da matemática". Os defensores deste ponto de vista acreditam que a
função pedagógica da História, no processo ensino-aprendizagem, é de fazer com que os
alunos compreendam todo a ordem histórica da construção matemática na formalização
de um conceito, através do levantamento e da discussão dos porquês, levando-os a
aceitarem os fatos, e conseqüentemente o desenvolvimento de seus raciocínios.
12- História- Cultura:
"A História é um instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural".
A História é vista por seus adeptos, como um grande valor pedagógico, por meio do
qual, o aluno poderá recriar o processo histórico cultural, gerador das idéias
matemáticas. Permitindo com isso, adquirir autoconfiança social e cultural.
Dentro dessa análise das funções pedagógicas atribuídas a história, tomamos a
reforçar a responsabilidade do professor em utilizar adequadamente esse recurso, tendo
em vista ainda a ausência de projetos histórico-pedagógicos.
MIGUEL (1993, p.162) declara que "dentre essas funções, gostaria de deixar
registrada a sua preferência pelo ponto 11 , ou seja, por uma História-Significação".
Ele nos diz ainda com relação a esse ponto que:
De fato, para que a História da Matemática possa efetivamente desempenhar o papel auxiliar
na promoção de urna aprendizagem significativa, não podemos jamais nos esquecer de que a
rede de significações que envolvem as idéias matemáticas é, ela própria, uma construção
social, uma vez que não só a atividade matemática, como toda atividade humana, é urna
experiência social construtora de significados.(MIGUEL, 1993, p.163-164).
Com referencia a essa história-significação GRABINER apud MIGUEL(1993,
p.164) sugere-nos que" ver a matemática passada em seu contexto histórico ajuda a ver
a matemática atual em seu contexto filosófico, científico e social e também a ter uma
melhor compreensão do lugar da matemática no mundo".

17. 11
Outro aspecto de seu estudo é com relação à natureza histórico-metodológico,
onde fez com que optasse por uma história-problematização, não apresentando apenas
um relato histórico como a ciência do passado, mas aquela que a encara como "um
diálogo do presente com o passado, no qual o presente toma e conserva a iniciativa"
ARON apud MIGUEL (1993, p. 171), procurando "não apenas descrever, mas resolver
ou, pelo menos, por problemas" LARDREAU apud MIGUEL (1993, p. 171).
Nesse processo história- problema, afirma-nos MIGUEL,
No nosso modo de entender, portanto, o pressuposto da história-problema implica
necessariamente numa reconstituição racional do processo histórico de elaboração de um
conceito o que, por sua vez, exige uma análise epistemológica desse processo. Mas uma
análise epistemológica desse processo não se confunde com uma mera reconstituição
autônoma e descontextualizada do processo evolutivo de um conceito (1993, p. 173-174).
Em seu estudo MIGUEL também refere-se à natureza psico-pedagógica,
construtivista não-radical de ensino-aprendizagem. Nesse sentido, ele nos sugere que:
Um construtivismo pedagógico se diz não-radical quando acredita que a informação (venha
ela através dos livros, dos textos, do professor, de outros alunos, ou de outra fonte qualquer) e
que a interferência das pessoas (enquanto agentes produtores de idéias, conjecturas, planos,
conflitos, etc ) envolvidas direta ou indiretamente no ato pedagógico, desempenham um papel
positivo na construção do conhecimento por parte dos estudantes.Mais que isso, que a
construção do conhecimento não é nem uma construção estritamente individual e nem uma
construção social que se reduziria apenas ao âmbito das relações interpessoais que ocorrem na
sala de aula .. Ela é um diálogo cujos interlocutores são também os produtores históricos
daquele conhecimento (1993, p.179-180).
Não podemos deixar de ressaltar, que concordamos plenamente com essa
preferência de MIGUEL, na qual procuramos norte ar nosso trabalho, através da
utilização de uma História-significação aliada a um processo de História-
problematização. Permitindo assim, que o aluno seja o agente participativo no
desenvolvimento do raciocínio da evolução das idéias que envolvem um contexto
histórico dos conteúdos, levando-o a construção de seu próprio raciocínio lógico-
matemático.
Frente às razões que levam o professor a buscar a história da matemática como
recurso pedagógico nas aulas de matemática, e diante das dificuldades apresentadas no
estudo dos números irracionais no ensino de Matemática é que nos levou a investigarmos

18. 12
propostas pedagógicas que tivessem como referência a História da Matemática,
especificamente, com relação a esse conteúdo.
Nas investigações, encontramos GUELLI ( 1992, p.37-44) que faz uso desse
recurso e nos apresenta toda uma colocação histórica dos números irracionais,
destacando todo desenvolvimento do raciocínio pitagórico, partindo do teorema de
Pitágoras até o descobrimento de um novo número e da série de conseqüências advindas
dessa descoberta.
Vimos SPINELLI e SOUZA (2000,v.3, p.25-27; v.4, p.53-55) que também nos
mostram os números irracionais aliados à história dos pitagóricos. Esses autores optaram
pela História da Matemática não só com relação aos números irracionais mas
introduzindo em todos os capítulos de seus livros a seção "pensando no assunto". Nessa
seção, o aluno entra em contato com a história da criação de alguns importantes
conceitos matemáticos e também pode vislumbrar aplicações atuais e futuras dessa
ciência( SPINELLI e SOUZA, 2000, p.3). Fazem também referência dos números
irracionais com a geometria SPINELLI e SOUZA (2000, v.4, p.45-47), usando a régua e
o compasso para localizarem a posição exata dos números irracionais na reta real
numerada.
Nos deparamos com um curso para professores em formação e em exercício,
proposto num seminário por ARCA VI, BRUCKHEINER e BEM-A VI (1982) onde
descrevem uma abordagem para a utilização da Histórica da Matemática, nesse caso,
para os números irracionais, caracterizando-se basicamente pela aprendizagem ativa e a
história conceitual.
Mas foi também na tese de doutoramento de MIGUEL (1993), que
encontramos além das análises das funções pedagógicas atribuídas à História da
Matemática, um rico estudo acerca dos números irracionais, numa proposta histórico-
pedagógico-operacionalizado.
Diante dessas perspectivas e análises com referência ao uso da História da
Matemática como valioso recurso pedagógico , bem como pela carência de propostas

19. 13
histórico-pedagógicas, procuramos elaborar uma proposta didático-pedagógica, a ser
aplicada, para o ensino dos números irracionais, ligada à Geometria, passando para os
domínios da Álgebra e da Aritmética , na expectativa de tomar o assunto mais
significativo.
Nessa expectativa é que nós educadores procuramos de alguma maneira dar a
nossa contribuição para a formação de cidadãos críticos e autônomos, que possam
enfrentar todos os obstáculos e superá-los, com vista à formação da cidadania,
permitindo assim desenvolver atitudes de responsabilidade, compromisso, critica,
satisfação e reconhecimento de direitos e deveres.
Como destaca MIGUEL (1993, p.164-165) ,
Cidadãos matematicamente educados com base numa metodologia histórica que promova o
pensamento independente e critico e a autonomia intelectual é que estarão melhores
preparados para propor, analisar, discutir e votar por medidas emancipadoras referentes ao
papel a ser desempenhado no contexto das sociedades atuais pelas ciências em geral e pela
matemática em particular. É por essa razão que a Matemática, pedagogicamente humanizada
- porque tecida através dos fios que a ligam a todos os tempos e a todas as culturas - pode e
deve constituir a formação do cidadão educado do século XXXXX ...
A seguir procuramos descrever os processos pelos quais desenvolvemos a
nossa proposta didático-pedagógica para o ensino dos números irracionais.

20. 3 A PROPOSTA PEDAGÓGICA
Diante da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o quarto ciclo
do ensino fundamental, que além da consolidação dos números e das operações pelos
alunos, ampliam-se os significados dos números pela identificação da existência de
números não-racionais; assim como na perspectiva de que o aluno amplie e aprofunde
sua noção de número, surgiu a necessidade de investigarmos propostas pedagógicas que
permitam aos alunos compreenderem toda a trajetória histórica dos conteúdos,
construindo seus conhecimentos em patamares mais sólidos, permitindo que os tomem
capazes de atingir outros patamares de conhecimento.
Ao tomarmos como base algumas propostas pedagógicas relacionadas aos
números irracionais, tendo como referência a história da matemática e principalmente a
de Antonio Miguel em sua tese de doutorado, isso nos permitiu ir ao encontro da proposta
dos Parâmetros Curriculares Nacional.
A partir da necessidade de uma melhor compreensão dos números, em especial
os números irracionais, e devido a dificuldade que existe com relação a esse conteúdo,
nada mais coerente que buscarmos todo o processo que deu origem a eles, através da
história da matemática, pois segundo MESERVE apud ARCA VI et a1.(1982, p.14) a
História da Matemática é uma fonte repleta de exemplos, mostrando os modos pelos
quais as gerações anteriores vivenciaram e descobriram a necessidade de estruturas
matemáticas formais.
Desse modo, buscamos através de uma seqüência didático-pedagógica fazer
com que os alunos construam seu conhecimento lógico matemático relacionado ao
conceito de irracionais, utilizando o contexto histórico como um ambiente fértil, no qual
os objetivos do ensino- aprendizagem podem ser atingidos.
Enfocamos a irracionalidade oriunda da Geometria, através da matemática
Pitagórica , em especial o Teorema de Pitágoras e conseqüentemente a descoberta dos
segmentos incomensuráveis, primeiramente utilizando-se da área dos quadrados

21. 15
construídos sobre os lados dos triângulos retângulos , passando para a construção de
triângulos retângulos cujos catetos têm a mesma medida.
Num segundo momento, faremos a conexão dessa visão Geométrica com os
domínios da Aritmética e da Álgebra, que permitirá ao aluno identificar o número
irracional como um número de infmitas casas decimais não periódicas, através da reta
real numerada onde identificará esse número como um ponto na reta, situado entre dois
racionais apropriados, reconhecendo também que esse número não pode ser expresso por
uma razão de números inteiros. Eles farão uso da máquina de calcular, instrumento que
além de ser facilitador é antes de tudo precioso recurso pedagógico para a compreensão
legítima do raciocínio lógico aritmético.
Para que os alunos possam desenvolver todas as ações que estão envolvidas
nessa pratica pedagógica, faz-se necessário que se utilizem do conjunto de conteúdos
(conceituais, procedimentais e atitudinais) inseridos no contexto. Após esse trabalho
minucioso interligando a Geometria com a Aritmética e a Álgebra, o professor poderá
com os alunos chegar à formalização do conceito de números irracionais.
Num terceiro momento, retomaremos a reta real numerada. Utilizando-nos de
construções geométricas com régua e compasso, levamos o aluno a localizar na reta
numerada alguns números irracionais obtidos por raizes quadradas, mostrando o
significado da medida da hipotenusa e o uso comum da aproximação racional do
irracional, devido à necessidade que se tem de considerar apenas um número fmito de
ordens decimais na representação do número, originando conseqüências nos resultados
das operações numéricas.
Dentro desse desenvolvimento do raciocínio lógico matemático acerca dos
irracionais, o contexto histórico é inserido em pequenas doses dos fatos, quer através de
pesquisas sugeri das ou através de citações no decorrer do desenvolvimento das
atividades. Isso fará com que os alunos tomem consciência de como se procedeu a
evolução dos conceitos, das curiosidades, biografias, das dificuldades enfrentadas pelas
gerações de matemáticos e suas persistências nas causas abraçadas, assim como toda

22. 16
repercussão sócio-cultural e política de um povo, de sua cultura e as conseqüências
advindas de toda essa trajetória.

23. 17
3.1 CONTEÚDOS CONCEITUAIS, PROCEDIMENTAIS E ATITUDINAIS
ASSOCIADOS
É conveniente, que diante de uma proposta pedagógica a ser desenvolvida por
parte dos educadores, no processo ensino-aprendizagem, onde se desenvolvem os
conteúdos de aprendizagem, faz-se necessário ter em mente o que realmente sejam esses
conteúdos e o que eles englobam.
Esses conteúdos de aprendizagem incluem tudo que é objeto de aprendizagem
dentro de uma proposta educacional, é um conjunto de atividades propriamente
planejadas com o objetivo de fazer com que os alunos assimilem e se apropriem de
formas ou conhecimentos (saberes culturais) considerados essenciais para o seu
desenvolvimento e socialização.
Vemos expressa essa questão quando COLL et al. nos destaca que:
Em primeiro lugar, os conteúdos curriculares são uma seleção de formas ou saberes culturais
em um sentido muito próximo, aquele que é dado a essa expressão na antropologia cultural:
conceitos, explicações , raciocínios ,habilidades, linguagens, valores, crenças, sentimentos,
atitudes, interesses, modelos de conduta, etc. Em segundo lugar, são uma seleção de formas
ou saberes culturais cuja assimilação é considerada essencial para que se produza um
desenvolvimento e uma socialização adequados dos alunos e alunas dentro da sociedade a
qual pertencem; isso quer dizer que nem todos os saberes ou formas culturais são suscetíveis
de constar como conteúdos curriculares, mas somente aqueles cujas assimilação e apropriação
são consideradas fundamentais. E, em terceiro lugar, aplica-se ainda o critério de seleção
complementar, na medida em que somente os saberes e as formas culturais cuja assimilação
correta e plena requer uma ajuda especifica deveriam ser incluídos como conteúdos
curriculares (1998, p.13).
Para melhor entendermos o modo pelos quais esses conteúdos são aprendidos
e podem ser ensinados, eles foram classificados em três grandes grupos: conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais (ZABALA, 1999).
No grupo de conteúdos conceituais destacam-se as formas pelas quais
expressam os objetivos da prática pedagógica referentes a aprendizagem de conceitos,
fatos e princípios.
"Os conteúdos referentes a fatos, conceitos e princípios designam conjuntos de
objetos, acontecimentos e símbolos com características comuns ou definem relações

24. 18
entre conceitos. Trata-se de alguns conhecimentos com os quais dizemos ou declaramos
coisas (das coisas, das pessoas, da natureza, dos números, dos grupos sociais, dos
objetos, dos símbolos, do passado, etc.)" COLL (1998, p.91). E para que realmente
ocorra a compreensão dos fatos, conceitos e princípios faz-se necessário reconhecê-los,
entender o seu significado para poder estabelecer novas conexões e aplicá-los em novos
conhecimentos.
Os conteúdos procedimentais estão relacionados ao conjunto de ações que o
aluno precisa estar apto para desenvolver uma determinada proposta pedagógica, para
que depois de aprendidos de modo significativo, eles possam saber usá-los ou aplica-los
em outras situações.
Segundo ZABALA "um conteúdo procedimental- que inclui, entre outras
coisas, as regras, as técnicas, os métodos, as destrezas ou habilidades, as estratégias, os
procedimentos- é um conjunto de ações ordenadas e com fmalidade, quer dizer, dirigi das
à realização de um objetivo (1999, p. 10).
Com referência ao terceiro grupo de conteúdo, os atitudinais, podemos dizer
que são todas as atitudes (valores e normas) envolvidas no decorrer do processo ensino-
aprendizagem. De acordo com COLL et al.( 1998, p.122) podemos defmir as atitudes
como " tendências ou disposições adquiridas e relativamente duradouras a avaliar de um
modo determinado um objeto, pessoas, acontecimento ou situação e a atuar de acordo
com essa avaliação" .
Não podemos deixar de destacar que, nessas atitudes estão inseri das tanto a
ordem, a atenção, o prazer nas apresentações, o respeito pelo material, a participação em
aula.interação com colegas e professores,etc. (atitudes gerais), como a perseverança para
encontrar respostas, capacidade de manipulação de materiais, decisão e ousadia nas
atividades, interesse em buscar novos conhecimentos, etc. (atitudes específicas). E que a
introdução das atitudes como conteúdo educacional pressupõe a aprendizagem desses
conteúdos de uma forma mais produtiva e enriquecedora para o aluno.
Portanto, devemos ter em mente que para se desenvolver uma proposta

25. 19
didático-pedagógica, onde pernrita transformar o ensino em aprendizagem, necessitamos
englobar esses conteúdos de aprendizagem, para que realmente possam ser aprendidos e
aplicados de uma maneira significativa por parte do aluno, no decorrer de todo processo
ensino-aprendizagem.
Nessa perspectiva de tomar o ensino mais significativo, e propiciar ao aluno
uma melhor compreensão dos conteúdos, assim como, torná-I o apto a interpretar e agir
dentro do contexto matemático, é que procuramos trabalhar a proposta didático-
pedagógica para o ensino dos números irracionais, levando em conta a eficácia
pedagógica desses conteúdos de aprendizagem, segundo o uso que deles se deve fazer.
Para isso destacamos que os conteúdos conceituais que se referem à melhor
compreensão dos números irracionais são: o Teorema de Pitágoras, os segmentos
incomensuráveis, reta real numerada, onde é trabalhado os intervalos, tendo uma melhor
visão tanto de racionais como principalmente de irracionais, analisando também as
aproximações numéricas, no caso aproximação racional dos irracionais e logicamente
números irracionais.
Os conteúdos procedimentais, que é formado por múltiplas ações, consiste em
decodificar e compreender toda história relacionada à evolução de um conceito, construir
adequadamente as atividades geométricas propostas nas atividades, representar na reta
real numerada a transposição do triângulo retângulo, transportar a medida da hipotenusa
para a reta numerada encontrando um número correspondente a essa medida, observar
através dos intervalos a localização exata deste número, demonstrar algebricamente que
não existe um número racional que satisfaça a igualdade x2
=2, representar outros
irracionais na reta numerada e construir e desenvolver seu raciocínio lógico matemático,
através dessa conexão - Geométrica - Algébrica - Aritmética ..
No que se refere aos conteúdos atitudinais mais relevantes, é preciso destacar:
o interesse e a concentração no decorrer da processo histórico, para analisar e
compreender como se deu a evolução das idéias dentro do contexto histórico da
Matemática, a precisão no uso da régua e compasso, bem como no uso da calculadora,

26. 20
interação com os colegas e professores, constância e disposição para chegar a um real
aprendizado.
Assim, faz-se necessário para o desenvolvimento de uma seqüência didática,
que esses conteúdos estejam bem claros para os professores, para que possam ser os
mediadores do processo ensino-aprendizagem, e possam conduzir seus alunos a
construir seu conhecimento em patamares mais sólidos.

27. 21
3.2 SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
Devemos ressaltar que para organizar uma seqüência didática faz-se necessário
selecionar atividades que permitirão ao aluno construir conceitos, para isso, devem ter
uma seqüência lógica de raciocínios, integrando conceitos (conjunto de informações
ordenadas), procedimentos (conjunto de ações ordenadas) e atitudes (valores e normas
envolvidas nestas ações), de tal forma que se completem.
Assim sendo, ao propormos uma seqüência didática precisamos ter em mente
que as atividades devem se organizadas de maneira que propicie a interação do sujeito
com o objeto de conhecimento, permitindo que os alunos se organizem frente aos
desafios propostos. Devemos também identificar quais são os obstáculos que impedem
esse aluno de compreender um determinado conceito, auxiliando-o a crescer na
organização dos conhecimentos, para que ele possa avançar para novos conteúdos.
Deste modo, procurando seguir um conjunto de raciocínios lógicos,
elaboramos uma seqüência didática para o ensino dos números irracionais, a ser
aplicada, no intuito de tomar esse assunto mais significativo, levando o aluno a
realmente compreender esse conteúdo.
Primeiramente sugeriremos uma atividade para eles construírem um triângulo
retângulo qualquer:
FIGURA 1 - TRIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER
cateto
hipotenusa
cateto

28. 22
Feito o triângulo, mostraremos que o lado maior, oposto ao ângulo reto,
chama-se hipotenusa e os lados menores catetos.
Pediremos a eles que construam outro triângulo retângulo em que os catetos
devem medir 3 em e 4 em e a hipotenusa 5 em.
FIGURA 2 - TRIÂNGULO RETÂNGULO PIT AGÓRICO
3cm
4cm
Nesse triangulo construam um quadrado sobre cada lado do triângulo.
FIGURA 3 - QUADRADOS SOBRE LADOS DO TRIÂ.lTGULO RETÂNGULO

29. 23
E dividam cada quadrado em quadradinhos de 1 em de área, como nos mostra a
figura que se segue:
FIGURA 4 - DIVISÃO DOS QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Na seqüência perguntaremos o que eles puderam observar com relação a essas
divisões feitas. Nesse momento, despertaremos nos alunos a vontade de descobrir a
relação existente nesse triângulo. Para que isso ocorra, poderemos sugerir que eles
pintem os quadrados, usem tesoura ou utilizem o recurso que desejarem para chegar a
essa relação, como mostra a figura a seguir:

30. 24
FIGURA 5 - PINTURA DA RELAÇÃO ENTRE OS QUADRADOS DO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Para essa atividade daremos 10 minutos e com ela surgirá em sala de aula uma
troca de idéias entre os próprios alunos e entre eles e nós, mediadores do processo
ensino- aprendizagem, pois estaremos circulando na sala, conduzindo os raciocínios.
Passado o tempo estabelecido, registraremos no quadro negro as idéias
encontradas e, com os alunos, observaremos que os dois quadrados menores estão
contidos exatamente no quadrado maior. Para nos certificarmos se essa relação é válida
para outros triângulos retângulos, poderemos sugerir que façam a mesma atividade para
os triângulos abaixo:
a) 12 em, 5 em e 13 em
b) 9 em, 12 em e 15 em

31. 25
Verificada essa relação, indagaremos aos alunos se eles têm idéia de há
quantos anos essa relação foi descoberta, como e por quem . Poderemos sugerir que eles
mesmos busquem, através da pesquisa, para a próxima aula, respostas a essas indagações
e, para isso, nós professores, daremos uma bibliografia, que poderão consultar na
biblioteca da escola ou consultar outros professores de outras áreas, assun como
deixaremos à disposição materiais para que possam pesquisar.
Num segundo momento, com as pesquisas realizadas, faremos o levantamento
daquilo que encontraram e, com os alunos, vamos descobrindo que essa relação, pelos
menos para alguns triângulos retângulos, já era conhecida pelos Babilônios e
provavelmente pelos Egípcios e outros povos há milhares de anos ( MIGUEL, 1993,
p.26). Só que faltava a demonstração desse cálculo e que foi um grego, filho de um
gravador de jóias, nascido em Samos, 550 a.C , chamado Pitágoras quem a realizou pela
primeira vez (GUELLI , 1992, p39).
Segundo SPINELLI e SOUZA (2000, p.25):
Pitágoras foi um homem muito culto e inteligente e viajou por vários lugares, e foi numa
viagem ao Egito que viu agricultores demarcarem suas terras usando uma corda com alguns
nós igualmente espaçados. Os agricultores sabiam que, se esticassem as cordas em tomo de
três estacas de modo a formar um triângulo, teriam um triângulo retângulo. Com isso
Pitágoras observou as suas relações e obteve o tão conhecido Teorema de Pitágoras: "o
quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos".
Foi ele também quem fundou a Sociedade Pitagórica, onde predominava a
seriedade ,a reflexão e o absoluto sigilo de suas descobertas. Não era apenas um
movimento intelectual, mas também religioso, moral e político (CYRINO, 1996, p.33).
Os povos antigos realmente tinham razão, pois como descreve MIGUEL (1993,
p.26) o "Teorema de Pitágoras" é equivalente à afirmação de que é sempre possível
construir um único quadrado que ocupe a área de dois quadrados juntos.
Pitágoras e seus discípulos acreditavam que todas as coisas na natureza eram
perfeitamente ordenadas e que para cada uma delas cabia um número - "tudo poderia ser
expresso por números" (SPINELLI e SOUZA, 2000, p.53).
Conforme nos relata GUELLI (1992, p.42), os pitagóricos construíram na areia

32. 26
um triângulo retângulo e isósceles, ou seja, um triângulo cujos catetos tinham a mesma
medida, e tiveram uma surpresa.
Nesse momento sugeriremos que construam agora um triângulo isósceles, em
que cada cateto tenha a medida de 1 em e sobre cada lado devem construir um quadrado.
Utilizamos aqui para efeito de ilustração a escala 4 : 1.
FIGURA 6 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DE CATETOS 1 em
Em seguida pediremos que dividam cada cateto em três partes iguais, formando
quadradinhos. Além disso, devem dividir a hipotenusa em partes iguais, usando como
unidade de medida (u) o lado de cada quadradinho, como nos mostra a figura a seguir:

33. FIGURA 7 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DMDIDO
Qual não foi a surpresa!
A mesma daquela época! Nessa fase, os alunos encontrarão uma dificuldade: o
lado do quadradinho (u) não coube um número inteiro de vezes na hipotenusa. Então
pediremos que dividam cada cateto novamente em pedaços menores, uns dividirão em
seis partes iguais, outros em oito partes iguais e outros em doze partes iguais.
Verificarão que nada adiantou dividirem em quadrados cada vez menores, pois
nem assim o lado do quadradinho não coube um número inteiro de vezes na hipotenusa.
Nesse momento, retomaremos as pesquisas feitas e novamente veremos, como
nos conta GUELLI (1992, p.44), que Pitágoras e seus companheiros ficaram perplexos,e
concluíram, então, que não conseguiam descobrir um segmento unitário que coubesse
um número inteiro de vezes em cada cateto e na hipotenusa, porque tal segmento não
existia.
A mesma descoberta foi feita pelo companheiro de Pitágoras, Hipasus, um

34. 28
pitagórico que dirigiu a escola pitagórica logo após a morte de Pitágoras. Os gregos
antigos não possuíam calculadoras e nem um sistema de numeração que lhes
permitissem efetuar cálculos rapidamente. Trabalhavam apenas com uma régua sem
escala e um compasso (MIGUEL, 1993, p.36) .
MIGUEL (1993, p.40) relata-nos que:
Foi assim que Hipasus utilizando destes recursos também tentou expressar a medida da
diagonal de um pentágono, que era o símbolo da escola pitagórica, utilizando o seu lado
como unidade de medida e não obteve resultado, ou seja, não havia número algum que
expressasse aquela medida. E isso veio abalar toda a estrutura da seita pitagórica , onde tudo
poderia ser expresso pela razão de dois números inteiros (números racionais), e isso eles não
poderiam aceitar e o ódio que os pitagóricos sentiram por Hipasus era tanto que chegaram a
erguer-lhe um túmulo sem que estivesse morto e o expulsaram da escola.
Nesse momento, enfatizaremos que o que Hipasus e Pitágoras descobriram e
abalou tanto foi que quando não conseguimos expressar a medida de um segmento
utilizando o outro como unidade de medida, e que esses segmentos denominam-se
segmentos incomensuráveis. E que se buscarmos no dicionário, incomensurável é tudo o
que não se pode medir (BUENO, 1981, p.594).
Sobre essa descoberta MIGUEL faz a seguinte reflexão:
Essa descoberta não teve apenas uma importância matemática; ela teve também
conseqüências filosóficas e políticas, pois ela se chocava com a crença pitagórica de que para
tudo existia um número (...) essa crença dava sustentação à dominação política exercida pela
escola pitagórica e a queda dessa crença abria a possibilidade das pessoas questionarem essa
dominação. O que estava em jogo não era mais a ciência, mas o poder. Um poder do qual os
pitagóricos não queriam abrir mão (1993, p.40).
De fato, os pitagóricos cometeram o grave erro de deduzir que tudo na natureza
poderia ser explicado pela razão entre dois números naturais.
Para melhor compreenderem todo esse drama dos gregos, sugenremos uma
outra atividade em que os alunos construirão uma reta real numerada, partindo do
referencial zero, pegando os números positivos.Para isso utilizarão régua e compasso
como os matemáticos daquela época. Pediremos que marquem no referencial zero o
ponto A e no ponto onde se localiza o número 1 marquem o ponto B e tracem um
segmento de reta BC de 1 em, perpendicular a essa reta numerada a partir do ponto B.

35. Pedimos que unam os pontos A e C e com a ponta seca Ciocompasso em 1-., auei uu a ~v,
tracem um arco cortando a reta real numerada no ponto P.
Utilizamos para efeito de ilustração uma escala 2: 1
FIGURA 8 - TRANSPOSIÇÃO DO TRl GULO RETÂNGULO A RETA NUMERADA
Nesse momento, eles notarão que se trata do mesmo triângulo retângulo
isósceles da atividade anterior ,cujos catetos valem 1 em. Utilizando o compasso para
transportar a medida da hipotenusa para a reta numerada, encontrarão um número que
representa a medida da hipotenusa AC. Mas que número é esse? Vamos chamá-lo de x.
Percebemos então que o número x, que expressa a medida da hipotenusa,
corresponde ao ponto P da reta numerada e que o número x se encontra entre os pontos
correspondentes a 1 e a 2 da reta numerada, portanto, deve ser maior que 1 e menor que
2, ou melhor, deverá ser maior que 1 e menor que 1,5 pois P está situado à esquerda do
ponto médio do segmento BM. A partir daí, não podemos mais dizer com certeza qual é
o valor de x, pois existem infinitos números racionais (sob a forma de fração ou de
número decimal) situados entre 1 e 1,5.
ão podemos esquecer que esse triângulo ABC é retângulo e podemos calcular
o valor de x através do Teorema de Pitágoras. Então x2
=12 + 12
ou x2
= 2.
Como determinar o valor de x nessa equação?
Basta perguntarmos qual é o número que multiplicado por ele mesmo produz 2.
E aí a dificuldade geométrica transforma-se em dificuldade aritmética.

36. 30
Para que os alunos despertem sua atenção, proporemos outra atividade: para
efeito de ilustração, ampliarão a reta numerada na escala 6: 1 e traçarão apenas o
intervalo da reta real numerada onde se localiza o ponto P ( entre 1 e 1,5),
conseqüentemente, o valor x, e dividirão esse intervalo em partes iguais correspondentes
com seus respectivos valores decimais.
FIGURA 9 - INTERVALO ENTRE 1-1,5 DA RETA REAL NUMERADA
p
. . . . .
1 1,1 1,2 1,3 1,4 >< 1,S
Sugeriremos que transformem esses decimais em números fracionários (na
forma p/q) relembrando o processo já apreendido anteriormente em outras aulas, com
relação aos números racionais, observando que podem ser expressos na forma de fração,
pois numerador e denominador são números inteiros.
FIGURA 10 - DMSÃO DO INTERVALO 1-1,5 NA FORMA FRAÇÃO
11/1 O 13/1 O P
. .
111 615 715 x 3,12

37. 31
Para facilitar os cálculos, poderemos sugerir que se utilizem da ferramenta da
calculadora para conseguirem obter o valor 2. Recurso esse, importante dentro de um
conteúdo. Vemos destacada essa importância nos PCN's, quando nos diz que a proposta
deste recurso é o de "levar o aluno a selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato
ou aproximado, mental ou escrito) mais adequados à situação-problema proposta,
fazendo uso da calculadora como um instrumento para produzir resultados e para
construir estratégias de verificação desses resultados" (BRASIL, 1997, p.77).
Para começarem a fazer as tentativas de encontrar o valor de x com os números
próximos a ele, devem substituir o x, começando pelo número 1 até o valor 1,5,
lembrando que obtemos o resultado através do Teorema de Pitágoras: x
2
=2.. Assim
sendo temos:
X1=1
X2=1,1 ou lll10
X3=1,2 ou 6/5
~= 1,3 ou 13110
Xx= 1,4 ou 7/5
x,« 1,5 ou 3/2
12=1
(1,1)2= 1,21
(1,2)2= 1,44
(1,3)2=1,69
(1,4)2= 1,96
(1,5)2= 2,25
Com esses cálculos, eles irão observar que ao multiplicarem dois números
iguais, quer na forma de fração ou decimal, eles não conseguirão obter o valor exato 2.
Pediremos que selecionem novamente o intervalo cujo resultado foi o mais próximo de
dois, no caso os pontos 1,4 e 1,5 e dividam esse intervalo em dez partes iguais com seus
respectivos valores, como nos mostra a figura a seguir:

38. 32
FIGURA 11 - INTERVALO 1,4 - 1,5 DA RETA REAL NUMERADA
'1,411,43 1,45 1,47 1,49• __ m •••••••••• _ •••••.•• --- •.•••.••••••••• --______________. • •
1,4 '1,42 '1,44 1,46 '1,48 '1,5
Ao refazer as tentativas, pelo mesmo processo anterior, para obter o número
que multiplicado por ele mesmo dê o valor 2, agora para esse intervalo ( 1,4 à 1,5)
teremos:
X1=1,4 ou 7/5
X2= 1,41 ou 141/100
X3= 1,42 ou 71/50
(1,4)2= 1,96
(1,41)2= 1,9881
(1,42)2= 2,0164
Não precisarão nem continuar os cálculos para os demais valores de x, pois
observarão que já para X3 ultrapassaram o valor 2, não chegando ao valor exato 2,
Sugeriremos que peguem novamente o intervalo que mais se aproxima do valor 2, agora
1,41 e 1,42 e dividam, como nas duas tentativas anteriores, esse intervalo em dez partes
iguais com seus respectivos valores e recomecem as novas tentativas, agora usando
apenas a forma decimal. Assim sendo obteremos:
FIGURA 12 - fNTERVALO 1,41 - 1,42 DA RETA REAL NUMERADA
'1,4111,4131,4151,4171,419~ ••••• iI. __
1,411,4121,4141,4161,4181,42

39. 33
X1= 1,411
X2= 1,412
X3= 1,413
Xt= 1,414
X5= 1,415
( 1,411)2= 1,990921
( 1,412f= 1,993744
( 1,413)2= 1,996569
( 1,414)2= 1,999396
( 1,415i= 2,00222
Novamente chegarão às mesmas conclusões anteriores, por mais que
continuassem tentando, pegando os demais intervalos, nem com calculadoras potentes,
talvez até com computadores, não chegariam ao valor exato 2.
Essa afirmação algébrica de que não existe número racional algum que
satisfaça a equação X2=2 equivale à afirmação geométrica da incomensurabilidade . Isso
significa que mesmo que uma máquina possuísse infinitos dígitos, jamais chegaria a um
número cujo quadrado fosse exatamente 2.
Nesse momento, retomaremos aos fatos históricos e comentaremos que
segundo MIGUEL (1993, p.43) essa descoberta de Hipasus foi outra conseqüência
terrível . Isso porque a reta numerada para os gregos antigos e também para os
pitagóricos, era contínua. Isso significava, para eles, que era possível subdividir os
intervalos entre os números inteiros em um número qualquer de partes iguais e que
sempre existia um número fracionário (ou a razão entre dois inteiros) em
correspondência com cada um desses pontos de subdivisão.
Mas que números fracionários poderia estar em correspondência com o ponto P
da figura anterior? Nenhum. Havia um "buraco" na reta. A reta deixaria de ser contínua?
Nesse momento, faríamos aos alunos a seguinte pergunta: será que os gregos
conseguiram explicar as contradições geradas pelo fenômeno da incomensurabilidade?
Ocorrerão as respostas positivas e negativas e, novamente, entraremos com o
respaldo histórico, relatando que os gregos não conseguiram, simplesmente passaram a
conviver com elas, aceitando o fato de não existir número algum para expressar a medida
de certos segmentos (MIGUEL, 1993, p.44).

40. 34
Conforme MIGUEL ( 1993, p.44-45) nos relata:
Criaram o termo "rhetos"( que significa racional) para os pares de segmentos comensuráveis
e o termo "arrhetos"( não-racional ou irracional ) para os pares de segmentos
incomensuráveis. E como os números racionais não davam conta de expressar as medidas de
todas as grandezas que podiam ser construídas com régua e compasso, acabaram optando pela
conclusão de que o dominio das figuras, isto é, a geometria, era muito mais amplo e rico que
o dominio dos números, isto é, que a aritmética e acabaram separando esses dois ramos da
matemática e desenvolveram o estudo das grandezas incomensuráveis apenas no dominio
geométrico.
Ainda nos diz MIGUEL ( 1993, p.45 ):
o grandioso e promissor ideal pitagórico de que tudo poderia ser expresso por números foi
abandonado.Mas você não deve pensar que essa opção tomada pelos gregos fosse a única
possível.Ela tem uma explicação histórica. É que o "clima" político da cidade de Atenas por
volta de meados do século V a .c. acabou sendo mortal para o desenvolvimento da ciência.
Atenas, que tinha sido metrópole da arte, da filosofia e das ciências gregas, acaba optando
pelo caminho do imperialismo, isto é, pelo desejo de expandir-se através da dominação de
outras cidades gregas e de outros povos. O "clima" cultural, antes intenso, acaba sendo
substituído por preocupações de origem militar e cívica. A matemática, a partir de então, não
teria mais o aspecto critico de tempos anteriores. Uma prova de que a opção dos gregos não
era a única possível, foi que o ideal pitagórico deveria renascer 20 séculos depois, na cabeça
de um grande sábio italiano Galileu Galilei, que disse: "o livro da natureza está escrito em
linguagem matemática e sem o auxílio desta linguagem, é impossível compreender uma só
palavra". Uma outra prova de que essa opção não era única e nem mesmo necessária foi dada
pelo matemático alemão, Richard Dedekind, em um ensaio denominado "Continuidade e
Números Irracionais, aparecido em 1872, apenas no século XIX!".
Nesse momento, já teríamos condições de definir com os alunos o que sejam
números irracionais. Para isso, faremos a seguinte indagação: como podemos depois de
tudo que vimos até agora, definir números irracionais?
Poderão surgir as seguintes respostas:
-são números que o resultado tem infinitas casas decimais, sem uma
seqüência. Não periódicos;
-são números que não podem ser escritos na forma de fração, em que
numerador e denominador são números inteiros Seriam racionais;
-são números que jamais poderemos encontrar. Infinitos;
-não são números inteiros. Situam-se entre inteiros;
-são raízes de números em que não encontramos o seu valor exato. Não

41. 35
possuem raizes quadráticas ou seja, não são quadrados perfeitos.
Todas as respostas serão registradas no quadro negro, na seqüência analisada,
marcando ao lado delas o seu significado, aqui destacado em vermelho para efeito de
ilustração. A partir daí, com os alunos formularemos um único conceito: "um número é
irracional quando não puder ser escrito na forma de uma fração com numerador e
denominador inteiros, têm infinitas casas decimais que não são dízimas periódicas e é o
resultado da raiz quadrada de algum número que não é um quadrado perfeito".
Nesse momento, sugeriremos a seguinte atividade: retomar a reta numerada e,
com régua e compasso, utilizando o mesmo raciocínio e processos da atividade da figura
8 , utilizando o Teorema de Pitágoras, vamos descobrir outros pontos na reta que
representem mais alguns irracionais, sempre construindo um cateto igual a 1 em,
perpendicular à reta numerada no ponto encontrado da raiz anterior, observando que
unindo a extremidade desses catetos de valor unitário com o ponto zero da reta real
numerada, teremos as hipotenusas dos respectivos triângulos. Utilizaremos para efeito
de ilustração a escala 3: 1 e teremos:
FIGURA 13 - PONTOS NA RETA NUMERADA REPRESENTANDO OUTROS
IRRACIONAIS
o 1 ..f2 ..f3 2 ..f5..f6..f7

42. 36
Nessa atividade mostraremos que se medirem com a régua o segmento que
representa a hipotenusa dos respectivos triângulos retângulos, obterão a aproximação
racional (aproximação por falta) dos irracionais obtidos.
Enfatizaremos que algumas raízes quadradas não são números irracionais, pois
ao multiplicarmos dois números iguais encontraremos um valor exato, por exemplo:
-14= 2, J9= 3.
Comentaremos ainda que o erro mais freqüente entre números racionais e
irracionais é o uso comum dessa aproximação racional de um irracional como se fosse o
próprio irracional, embora esta seja a forma pela qual resolvemos muitos problemas
( ARCA VI et al., 1982, p.15).
Segundo os PCN's,
Com relação aos cálculos numéricos com aproximação, devemos observar que no campo dos
racionais, ocorrem duas representações, a fracionária como puderam verificar e a decimal,
que pode ser: fmita ou infinita periódica. Entretanto podemos notar que os irracionais podem
ser aproximados tanto quanto se queira por números racionais e que sua representação
decimal e necessariamente infmita e não periódica. No caso das representações infinitas
( tanto de racionais como de irracionais) urge o problema da aproximação numérica, ou seja,
a necessidade que se tem de considerar apenas um número finito de ordens decimais na
representação do número, no caso o tão famoso arredondamento , o qual tem suas
conseqüências nos resultados das operações numéricas (BRASIL, 1997, p.77).
Verificada a atividade, poderemos mostrar aos alunos que seguindo esse
mesmo processo, só que traçando o cateto de valor unitário perpendicular às
hipotenusas, também obteremos os mesmos irracionais com seus respectivos segmentos
representando seus valores dentro da aproximação racional, formando uma espiral.
Como nos mostra a figura a seguir:

43. 37
FIGURA 14 - OS IRRACIONAIS FORMANDO UMA ESPIRAL
,-..
Nesse momento poderá surgir a seguinte pergunta: todo o número irracional
tem radical?
Relataremos que essa questão está bem explícita por CARAÇA quando ele nos
destaca que :
Seja a um número racional qualquer; por definição de raiz, Va será aquele número b tal que
bn=a. No campo racional, a questão Põe-se assim- o número b em geral não existe. No campo
real a questão toma outro aspecto, mais geral. Façamos, no conjunto (R) , uma repartição em
duas classes, do modo seguinte: pomos numa classe (A) todos os números racionais r tais que
?<.. a, e numa classe (B) todos os números racionais s tais que sn> a . Estas duas classes
constituem um corte (A,B), como facilmente se verifica, e definem portanto um número real I
.Uma de duas:ou as duas classes têm um número racional a separa-Ias, o qual será o número
racional I, tal que f=a , ou não; se não tiverem, o número 1 , então irracional, definido pelo
corte, é a raiz Va .Em qualquer dos dois casos, existe a raiz, logo, no campo real desaparece
a impossibilidade da radiciação. A conclusão mantêm-se se a for um número real ~alquer,
de modo que pode afirmar-se - no campo real existem todos os números da forma Va aonde
a é um número real qualquer e esses números são, em geral, irracionais (1969, p.84-85).

44. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em face do desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático acerca dos
números irracionais, tornando corno referência a história da matemática, não podemos
deixar de destacar que esse recurso pedagógico pode oferecer a oportunidade de um
trabalho inter-curricular, envolvendo professores de outras áreas, propiciando ao aluno
uma atitude interdisciplinar.
Interdisciplinariedade essa que vêm ao encontro das novas propostas dos
Parâmetros Curriculares Nacionais, visando o término de um ensino fragmentado. Além
disso, os próprios PCN's destacam que lado a lado com uma demarcação disciplinar, é
preciso desenvolver uma articulação interdisciplinar, ou de forma a conduzir
organicamente o aprendizado pretendido (BRASIL, 1997).
Vale ressaltar aqui que a história da matemática como valioso recurso
pedagógico só é válida quando devidamente reconstituída com fins explicitamente
pedagógicos e organicamente articulada com as demais variáveis que intervêm no
processo de planejamento didático (MIGUEL, 1993) sendo um ponto de referência para
a problematização pedagógica.
Devemos deixar claro que existe uma limitação bastante acentuada, por parte
dos alunos, com relação ao uso dos materiais de desenho nas construções geométricas. E
essa dificuldade levará esse aluno a cometer elTOS,no momento do desenvolvimento do
raciocínio geométrico da incomensurabilidade, que o levará a não perceber essa relação.
Nesse momento, destacamos a importância da intervenção do professor, como mediador
do processo ensino-aprendizagem, conduzindo esses raciocínios, para que as
dissonâncias sejam superadas.
E assim, possam transformar o ensmo dos números
. . .
irracionais em
aprendizagem, propiciando aos alunos a construção de seu raciocínio lógico-matemático,
para que possam aplicá-lo em outros patamares de conhecimento.

45. 40
Não pretendemos com essa proposta dar por encerrado o assunto com relação
aos números irracionais. Sabemos que subseqüente a esse desenvolvimento de
raciocínio, devem ser trabalhados os demais números irracionais como o e e o 1l(Pi),
considerado o mais famoso dos números.

46. REFERÊNCIAS
ARCA VI, Abraham et aI. História da Matemática para professores: o caso dos números
Irracionais. Algebra História Representação. São Paulo, v.2, p.11-24, ]982.(Série em
Educaçao Matemática).
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasilia:
MEC/SEF, 1997.
BARONI, Rosa L.S; NOBRE, Sérgio.A pesquisa em História da Matemática e suas relações
com a educação matemática. In:__ .A pesquisa em Educação Matemática: Concepções &
Perspectivas. São Paulo: Ed. Unesp, , 1999, p.129-136.
BUENO, Francisco da S. Dicionário Escolar da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro:
FENAME, 1P edição, 1981.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: s.n. 1984.
COLL, César. et al. Os Conteúdos na Reforma: ensino e aprendizagem de conceitos,
procedimentos e atitudes. Tradução: Beatriz A. Neves. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
CYRINO, Hélio F. F. Matemática & Gregos. S.l.: Ypsolon, 1996.
GUELLI, Oscar. A Invenção dos Números. São Paulo: Ática, 1992, v.1.(Contando a História
da Matemática).
HERNANDEZ, Fernando. Transgressão e mudança na educação: os projetos de trabalho.
Tradução Jussara Haubert Rodrigues. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
MIGUEL, Antônio. Três ensaios sobre História e Educação Matemática. São Paulo, 1993,
279 p. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas.
__ . As Potencialidades Pedagógicas ,da História daMatemática em Questão: argumentos
reforçadores e questionadores. ZETETIKE, São Paulo: v.S.n" 8, p.73-10S,jul./dez., 1997.
SPINELLI, Walter; SOUZA, ~ Helena S.de. Matemática: 7a
série. São Paulo: Ática, 2000.
. Matemática: 8a
série. São Paulo: Ática, 2000.
ZABALA, Antoni. Como trabalhar os Conteúdos Procedimentais em aula. Tradução: Ernani
Rosa. Porto Alegre: Artes Medicas, 1999.

47. 42
ANEXO 1- TEXTOS 5, 8, 9,10,11 E 12 DA TESE DE DOUTORAMENTO DE
ANTONIO MIGUEL

48. 26
8" A TIVmAUE
Como você já sabe, a figura ao lado representa o método de dissecção de dois
quadrados para se obter um único Quadrado equivalente a ambos
a) Explique porque o triângulo
Ars é um triângulo retângulo.
b) Quantos quadrados existem na
figura')
c) Qual é o quadrado da Iigur a cujo
1:ldo possui a mesma Illcdid:1 que a do
tAl'to AI' do triângulo Af'S?
d) Oua! é o quadrado cujo lado
I',,~,ui a mesma medida qUL: il LI" catct o
AS do uángulo APS')
e) Oual é o quadrado rujo lado
possui a mesma medida qUL:a da hipotc
nus« f'S du tr iângulo Af'S'}
f) Observando a figura, explique
por que é verdadeira a aflrm,J(Jlo de que,
num triângulo n:t;tl1gulo, a arca do quaurado cunstr uído sobre a hipotcnux.. é igu;d ;'soma
das áreas dllS quadrados construidos xohr c os seus catctus.
R
Hf-------:lIU
~-------~c
t, '-------~I'c--::_B-----~
5, () Teurema de I'itúgonls que não é de I'itúgoras
A afir maçáo anterior, que voei: comprovou ser sempre verdadeira, de que num
triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado construido sobre a hipot c nuxa é igual à
soma das áreas dos quadrados construidos sobre os catctos, é conhecida atualmente pelo
nome de Tcor cma de Pitágoras.
Mas sabe-se, hoje, que é bastante improvável que Pitágoras ou outro pitagórico a
tenha descoberto.
Essa relação, pelo menos para alguns tri;ingulos retângulos, já era conhecida pelos
babilônicos e provavelmente, pelos egipeios e outros povos há milhares de anos antes ele
Pit ágoras.
Mas é provável que os pitagóricos tenham dado a primeira prova de que essa
afirmação era válida para qualquer tr iângulo retângulo.
E os povos antigos realmente tinham razão, pois o "Teorerna de Pitágor as" é
e quivalcnte à afirmação de que é sempre possível construir um único quadrado que ocupe
a área que a de dois quadrados dados, juntos.

49. 36
Se a e b são dois segmentos comensurávcis e d um segmento que cabe um número
inteiro de vezes em a rubos, então, J cabe também um número inteiro de vezes em todos os
segmentos obtidos ac se aplica r o método das subtraçôcs sucessivas aos segmentos a e b.
D,-------...."C
I) Considere o quadrado AUCD ao lado.
Você acha que o lado desse quadrado e a sua
d iago na i AC são segmentos co mc nsu rávcis?
Por quê?
A "----------'S
D
g) Considere
lado. Você acha que
a sua d ia g o u a l
comcnsurávcis? Por
o pc nt ágo no rc gu la r ao
o lado desse pcntágouo e
DS são segmentos
quê?
N T
8. A volta da estrela
Ao executar a atividade anterior você sentiu que o método das subtrações suces-
sivas, pelo menos no seu aspecto a ritmético, é bastante eficiente. Mas você notou também
que esse método, quando empregado geometricamente, deixa bastante a desejar.
Isso porque, na maioria dos casos, quando a diferença entre os segmentos vai se
tornando muito pequena, é muito dilkil, senão impossível, tomar esses segmentos no
compasso ou na régua.
Mas os gregos antigos não possuíam calculadoras e nem um sistema de numeração
que lhcs permitisse efetuar cálculos rapidamente. Trabalhavam apenas com uma régua
sem escala e um compasso e, por essa razão, aplicavam o método das subtrações sucessivas
cru sua versão geométrica. Mas mesmo assim chegaram a uma conclusão que, talvez, você
também tenha chegado 80 executar li atividade anterior: a de que qualquer par de
segmentos são sempre comensurãveis. Os pitag6ricos também assim pensavam e isso
estava de acordo com a crença que tinham de que tudo poderia ser expresso por números.
Mas Hipasus de Mctapontu m, um pitagórico que dirigiu a escola pitagórica logo
após a morte de Pitágoras, por volta de 500 anos a.c., abalou os alicerces dessa escola,
quando divulgou entre os gregos a descoberta de SEGMENTOS INCOMENSURÁVEIS.

50. 40
Afinnação 5: Ma s esse scgrucuro x n;!" ('xiSIC, isto é , sua medida {: Z('fO. Logo, o lado
e a diagonal do pCllIágono SAUDE s;i" st'glllt'1lI0S inco mcnxu r ávc ix.
9. A queda dc lima crença
o lICSIIIO raciocínio desenvolvido I'''r você nas duas atividades a uur io r cs deve ter
sido, provave lmcutc , uti lizado por Hip;l';us pMa convencer os seus contc mpur â ucos da
c xisté ncia de sc gmc n t os inco m cnsu r.i vc is. Mas essa p r o va não leve a p c na x u m a
importâ ncia matrmática. Ela leve ta mbé m cOILseqüências filosóficas e pol iricas, pois ela se
chocava COII1 a crença pilagórica de que P;[" tudo existia uni número. Mas que númcrn
haveria p"ra expressar a mcd id a da di;lI.!ol;r! de uni penl;ígono quando se usa (J seu lado
COl110 unidade de medida')
Segundo Hipasus, não haveria númc ro a lguru! E isso os pitagóricos ná o poderiam
acenar. Agora, podemos entender a causa do ódio que os pitagórico« scut ira ru por
Hipasus, porque' crgucra m-lhc uru iúmulo sem que estivesse morto e porquc expulsara 111-
lhe da c sco la .
Você deve estar perguntando: ruas o que há de mal em se desmentir urna crença?
Acontece que essa crcnç~ dava sustentação à dominação po l ítica cxcrcida pela escola
pitagórica . E a queda dessa crcn(;~ abria a possibilidade das pessoas questionarem essa
dominação. O que estava em jogo não era mais a ciência, filas o poder. Um poder do qual
os p ita gór icos não queriam abrir ruâ o , O caráter a r ixto cr á iico e Ic cb a d o da escola
pitagórica já havia motivado uma revolta popular na cidade de Crotona na qual parece ler
perdido a vida o próprio Pitagóras. Agora já não havia mais nem menos I11l motivo
"científico" para manter essa dominação.
Corno disse um matemático da atua lidadc, "pela primeira vez na história da
humanidade, um contra-poder matemático vem dcscstabiliza r um poder que se funda mcn-
tava na matemática". É claro que esse contra-poder foi a descoberta de Hipasus.
Mas, como se não bastasse isso, a descoberta de Hipasus iria abalar também aquilo
que os pitagóricos julgavam ter sido a sua maior e mais bela descoberta: o Te ore ma de
Pitágoras. Ao executar as atividades seguintes você saberá porque.

51. 42
Considere novamente o quadrado ASCD da atividade anterior.
a) Qual é a medida da diagonal desse quadrado, se seu lado mede lu ?
b) Utilizando uma calculadora, verifique se a resposta que você deu no item anterior
verifica o Teorema de Pitágoras. Caso não satisfaça, tente outras respostas e tente levantar
alguma explicação para o que está acontecendo.
10. Uma lacuna na reta
Parece que ao executar a atividade anterior você se deparou com um problema
sério! Vamos retomá-lu e tentar compreender a natureza dessa dificuldade. Qual é a
medida da diagonal AC do quadrado ABCD cujo lado mede lu? Ou, o que dá no mesmo:
qual é a medida da hipotcnusa AC do triângulo retângulo isócclcs AI3C, cujos cate tos
medem lu'!
É claro que não podemos duvidar da existência de um tal triângulo, uma vez que
podemos construí-Io com régua e compasso, E se esse triângulo existe, deve também existir
algum número que represente a medida da hipotenusa AC. Mas, que número é esse?
Vamos chamá-Ia de x. Utilizando um compasso, podemos transportar a medida da
hipotenusa AC para a reta numérica COI1O mostra a figura abaixo:
c
"
,
,
t
A .8 lp M
O 1 X 2 3 4
Percebemos então, que o número X, que expressa a medida da hipotenusa, corres-
ponde ao ponto P da reta numérica. O número X, portanto, deve ser maior que 1e menor
que 2. Ou melhor, deverá ser maior que 1 e menor que 1,5pois P está situado à esquerda
do ponto médio do segmento BM. A partir daí, não podemos mais dizer com certeza qual
é o valor de x, pois existem infinitos números racionais (sob a forma de fração ou de número
decimal) situados entre 1 e 1,5. Entretanto, como O triângulo ABC é retângulo, podemos
calcular o valor de x através do Teorerna de Pitágoras.
Então,1 = 12
+ 12
. Portanto, ~ = 2.

52. 43
Corno deter minar o valor de x nessa equação?
Basta perguntar qual é o número que multiplicado por si mesmo produz 2. E aí, a
dificuldade geométrica se transforma numa dificuldade aritmética.
Já sabemos que 1 <x < 1,5.
Como 1,4 está entre 1 e ],5, suponhamos que x = 1,4.
Corno 1,4.1,4 = 1,96, então, x deve ser maior que 1,4 e menor que 1,5. Continuando
esse processo de cerco ao número x. chegamos às seguintes conclusões:
1) x >
2) x >
3) x >
4) x >
5) x >
6) x >
. )
1,41 pOIS 1,41- = 1,9881
1,414 pois 1,414
2
= 1,999396
1,4142 pois 1,41422
= 1,999616
1,41421 pois 1,41421
2
,~ 1,9<)9<)8<)9
1,414213 pois 1,414213
2
= 1,9999984
1,41421]5 pois 1,41..J2US
2
= 1,99Y9Y9S
Você deve estar pensando que se continuasse esse processo COJl1 máquinas calcu-
ladoras mais potentes, talvez até com computadores, chegaríamos à seguinte alternativa:
ou o processo ter ia um final, isto é, conseguiríamos encontrar um número cujo quadrado
fosse exatamente 2, ou então, o processo não teria fim. Na primeira hipótese, x seria um
número racional Iinito e na segunda hipóteser seria um número racional periódico.
Acontece, entretanto, que as mais potentes máquinas de que dispomos atualmente
não poderiam chegar a nenhuma dessas duas alternativas. Isso porque, você já provou que
a diagonal e o lado de 11m quadrado são segmentos incomensuráveis, Essa afirmação
geométrica equivale à seguinte afirmação algébrica: não existe número racional algum que
satisfaça a equação x
2
= 2. Isso significa que mesmo que lima máquina possuísse infinitos
dígitos (o que seria impossível) jamais chegaria a um número cujo quadrado fosse exata-
mente 2.
Essa roi uma outra conseqüência terrível da descoberta de Hipasus. Isso porque, a
linha reta numerada para os gregos antigos, e também para os pitagóricos, era continua.
Isso significava para eles que era possível subdividir os intervalos entre os números inteiros
em um número qualquer de partes iguais e sempre existia um número Iracionário (ou a
razão entre dois inteiros) em correspondência com cada um desses pontos de subdivisão.
Mas que número fracionário poderia estar em correspondência com o ponto P da figura
anterior? Nenhum. Havia um "buraco" na reta. A reta não seria mais continua?

53. 44
11. A reação silenciosa: aliança entre os homens?
Ao fazer as atividades anteriores, você deve ter sentido o mal estar causado pela
descoberta de Hipasus entre os pitagóricos.
Ela não apenas desmentia a crença de que para tudo existia um número, como
também parecia gerar uma série de questões aparentemente contr aditór ias.
Se os segmentos incomensuráveis realmente existem, ern áo, será que devemos
aceitar tranqüilamente que a medida de certos segmentos náo possam ser expressos através
de números?
Mas isso não parece absurdo, já que é possível construir, ver e medir aproximada-
mente a diagunal de um quadrado e a diagonal de um pcnt ágono?
Mas, por outro lado, porque qualquer valor numérico que se atribua à diagonal de
um quadrado, ele nunca satisfaz o Te orcma de Pitágoras?
O Tcorcrna de Pitágoras seria realmente verdadeiro')
Mas ele já nâo havia sido provado anteriormente?
Diante dessas conseqÍlênci;ls, n.io seria de se estranhar quc a primeira reação dos
pitagóricos diante do Icnórucno da incorncnsurabilidadc fosse a de esconder o caso. Onde
só havia a ganhar com o debate público, os pitagóricos instituíram como norma, pelo
contrário, o segredo c o silêncio.
Mas esse silêncio não durou muitu tempo. A partir de então, vários ataques foram
feitos às crenças pitagórieas, seus membros se dividiram e a escola caiu no descrédito. E
que ironia!
Tudo por causa de uma simples estrela, que era o emblema da escola e simbolizava
nada menos que a ALIANÇA ENTRE OS HOMENS.
Mas não bastava fazer críticas às crenças pitagóricas. Era preciso também explicar
as causas das contradições geradas pelos conhecimentos que eles produziram.
Os gregos conseguiram fazer isso?
12. A solução de Dedekind
Não. Os gregos não conseguiram explicar as contradições geradas pelo fenômeno
da incornensurabilidade. Procuraram conviver com elas. Simplesmente aceitaram o fato
de não existir número algum para expressar a medida de certos segmentos. Criaram O
termo "rhetos" (que significa racional) para os pares de segmentos corncnsuráveis e o termo
"arrhetos" (não-racional ou irracional) para os pares de segmentos incomensuráveis. E
como os números racionais não davam conta de expressar as medidas de todas as grandezas
que podiam ser construídas com régua e compasso, acabaram optando pela conclusão de

54. 45
que o domínio das figuras, isto é, a gcomcuia, cr a muito mais amplo t: rico que o domínio
dos números, isto é, que a aritmética. Acabaram separando esses dois ramos da matemática
e desenvolveram o estudo das grandezas incomensuráveis apenas no domínio geométrico.
O grandioso e promissor ideal pitagór ico de que tudo poderia ser expresso pOI
números foi abandonado.
Mas você não deve pensar que essa opção tomada pelos grL:g()s fosse a única
possível. Ela tem urna explicação histórica. É que o "clima" político da cidade de Atenas
por volta de meados do século V a.C. acabou sendo mortal para o desenvolvimento da
ciência. Atenas, que tinha sido rnctrópolc da arte, da filosofia c da ciência gregas, acaha
optando pelo caminho do imperialismo, isto é, pelo desejo ele expandir-se através da
dominação de outras cidades gregas e de outros povos. O clima cultural, antes intenso,
acaha sendo substituído por preocupações de orig<.:m militar e cívica. 1 matemática, a
partir de cut áo. nâo tcria mais U ",;pcl"/o crüico de tcmpos ant cr iUI~,. Uma pnl,(I de que
a opção dos gregos náo era a única pussívd, foi que o ideal pitagtlricu deveria renascer 20
séculos depois, na cabeça de um grande sábio italiano Galilcu (;Jliici que disse: "o livr o da
natureza está escrito em linguagem matemática e sc m o auxilio desta linguagem, é impos-
sível compr ccndcr urna só palavra".
Urna outra prova de que essa opçao não era única e nem mesmo necessária foi dada
pelo matemático alemão, Richar d Dc dc kind em um ensaio denominado "Continuidade e
Números Irracionais", aparecido em 1872. Vejam hcm, apenas no século XIXI
Neste ensaio, Dcdekind observa que:
I) Existem mais pontos na linha reta do que núrucr os racionais:
2) Então, o conjunto dos númcr ox racion.nx n,lI é adequado P;If<1 explicarmos
ar itrncticaruc nt c a continuidade da reta;
J) Logo, é absolutamente necessário criar novox númcr os para que o domínio
numérico seja tão completo quant o a rct a, isto é, para que p(lSSUa a mesma continuidade
da reta.
A partir dessas obse rvaçóc s, Dcdekind diz:
"Por I1ILÚLO tempo pensei em ·OU sobre isso, mas [inalnicnte achei o que buscava.
Consiste no seguinte: se todos os pontos di' uma reta são divididos CIIIdu as classes, de modo
que qualquer ponto da primeira fique à esquerda de qualquer ponto da segunda classe, então,
existe um e apenas 111/1 ponte que separa os palitos em duas classes.
Não creio estar enganado em pensar que IOdos aceitarão iniediaiamente a verdade
dessa afinn açào. Além disso, (/ maioria de meus leitores [icará desapontada ao saber que
através dessa observação banal será revelado o segredo da continuidade. Fico satisfeito por
todos acharem o princtpio acima óbl'io, pois SOIl totalmente incapaz de dar qualquer prova
de que ele é correto, nem creio que alguém tenho esse poder. ,.

55. 43
ANEXO 2 - PARA QUE SERVEM OS IRRACIONAIS?

56. 44
Esse texto foi extraído do livro "Pontes para o infinitode Michael
Guillen,pp.41-50 e foi adaptado por Miguel (1993, p.75-78) para fins didáticos.
Para que servem os números irracionais?
Sempre sobra a pergunta: para que servem os números irracionais? Para que
estudá-los? Jamais nos deparamos na nossa vida diária com urna situação onde
precisaremos expressar os resultados da medições com números possuindo infrnitas
casas decimais. Bastarão algumas casas apenas. E claro que em problemas de caráter
geométrico eles deverão aparecer, como vimos, para expressar as medidas de diagonais
de quadrados, de alturas de pirâmides, etc.
Mas na pratica, sempre que necessitarmos dessas medidas, precisaremos
apenas de respostas aproximadas.
Mas a verdade é que não há ciência que seja totalmente inútil. Muitas vezes, na
história das ciências, descobertas aparentemente inúteis preparam o caminho para outras
descobertas úteis.
Faraday, um físico inglês do século passado, descobriu várias leis
relacionadas com fenômenos elétricos e magnéticos. Leis aparentemente inúteis.
Quando perguntaram-lhe para que serviam aquelas descobertas, Faraday respondeu,
inteligentemente, com outra pergunta: para que serve urna criança que acabou de nascer?
Mais tarde, as descobertas de Faraday foram empregadas para construção de
geradores de energia elétrica, forma de energia cujas vantagens apenas o homem de
nosso século pode desfrutar.
O físico Rutherford, ao contrario de Faraday, ironizava as pessoas que
sonhavam que um dia, com base na teoria da relatividade de Einstein ( até então sem
nenhuma aplicação ), poderiam extrair a poderosa energia armazenada nos núcleos
atômicos . Entretanto, sabemos hoje que esse sonho tomou-se realidade. A energia
nuclear mostrou-nos tanto seus doces como seus amargos frutos: a bomba lançada sobre
a cidade de Hiroxirna que matou milhares de pessoas, os acidentes nucleares, o lixo

57. _ •.._.a. .•...•...•.._....." _ •. _.
o matemático inglês Hardy pensava que a teoria dos números em que
trabalhava não servia para nada. Entretanto, hoje essa "inútil"teoria aplica-se à teoria dos
códigos secretos e não secretos, isto é, à ciência militar com seus segredos e suas
espionagens.
Esses exemplos poderiam se multiplicar.
E os números irracionais? Há para eles alguma perspectiva de aplicação?
Existe uma velha questão, que até os nossos dias a ciência busca resolver, a de
saber se o tempo flui de modo contínuo (sem interrupções ) ou se o faz
descontinuadamente, isto é, por instantes separados. Os relógios digitais da atualidade
apóiam a segunda hipótese, mas a verdade é que estamos tão perto de resolver a questão
como o estavam os velhos gregos, quando a grande moda em matéria de relógios era a
clepsidra, um relógio de água que apoiava a primeira hipótese, isto é, a idéia do fluxo
contínuo do tempo.
Poderia a matemática auxiliar os cientistas nesta questão? A principal razão
que obriga os cientistas a saber o que os matemáticos têm a dizer sobre isso é que o
modelo quantitativo da continuidade é uma linha reta numerada.
E uma linha ao longo da qual os matemáticos dispõem os números, seus
conhecidas do estudo da Aritmética. Deste modo, todo e qualquer ponto é rotulado com
um número, de modo que não há qualquer intervalo não rotulado.
A mais primitiva linha numerada não é contínua. Nela figuram só os números
inteirosl,2,3,4,etc.,que, colocados a intervalos regulares, deixam obviamente falhas não
rotuladas. A primeira linha numerada contínua foi a dos gregos antigos, na qual os
intervalos entre os números inteiros eram interminantemente subdivididos e postos em
correspondência com os números fracionários , aparentemente sem deixar nenhum ponto
por rotular. Essa linha foi chamada de "linha numerada racional"porque ao conjunto dos
números inteiros e fracionários chamavam os gregos "números racionais", por serem
números que podiam ser expressos pela razão ( ou quociente) de números inteiros. Para