1. a
M at ikkama
MATKA
PERUSLASKUTOIMITUKSISTA
LÄÄKETIETEELLISEEN
KUVANTAMISEEN
La
Sari Lasanen
s
lan ku- 22.9. 2012
dia
Tietomaa, Oulu

2. MITÄ YHTEISTÄ ON...
... tietokonetomografia-
kuvauksella...
ja
...yhteenlaskulla ... ?

3. MITÄ YHTEISTÄ ON...
+ +
... tietokonetomografia-
kuvauksella...
+ ja
+
...yhteenlaskulla ... ?

4. MATKAKARTTA
1. Tomografiakuvauslaite
2. Tomografiakuva vs.
röntgenkuva
3. Röntgensäteet
4. Tomografia (ja yhteenlasku)
5. Suurten yhtälöryhmien
ratkaiseminen

5. TIETOKONETOMOGRAFIA-
KUVAUSLAITE
•Ottaa röntgenkuvia
useasta eri suunnasta.
•Muodostaa ns.
viipalekuvia.
•Viipalekuvista nähdään
3-ulotteinen rakenne.

6. VIIPALEKUVA
•Röntgensäteitä lähetetään
kappaleen läpi samassa tasossa.

7. VIIPALEKUVA
•Röntgensäteitä lähetetään
kappaleen läpi samassa tasossa.

8. VIIPALEKUVA
•Röntgensäteitä lähetetään
kappaleen läpi samassa tasossa.

9. VIIPALEKUVA
•Röntgensäteitä lähetetään
kappaleen läpi samassa tasossa.

10. RÖNTGENKUVA VS.
VIIPALEKUVA
•Röntgenkuva eli läpivalaisukuva on 2-ulotteinen :
sisäosien rakenteet kerrostuvat päällekkäin.
Röntgenkuva ei sisällä tietoa syvyydestä.
• Viipalekuvat kertovat 3-ulotteisen rakenteen.

11. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
(25%)

12. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
(25%)

13. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.

14. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
(25%)

15. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
I

16. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
50
100 I

17. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) I
50 2

18. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) I
75 50 2
100

19. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) ( 100 ) I
75 2 50 2

20. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) ( 100 ) I
75 3 50 2

21. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) ( 100 ) I
75 4 50 2

22. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) ( 100 ) I
75 4 50 3

23. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
( 100 ) ( 100 ) I
75 4 50 4

24. RÖNTGENSÄTEET
• Röngensäteily vaimenee (50%)
kulkiessaan kohteen läpi
•Erilaiset aineet (75%)
vaimentavat röntgen-
säteilyä eri määrillä.
•Vaimeneminen riippuu (25%)
myös säteen kulkemasta
matkasta.
75 4 50 4
log(I) 4 log( 75 )
100
4 log 100
50 = log( 100 100 I)

25. RÖNTGENSÄTEET
(50%)
(75%)
Vaimennuskerroin eli (25%)
massa-absorptiokerroin
75 4 50 4
log(I) 4 log( 75 )
100
4 log 100
50 = log( 100 100 I)

26. RÖNTGENSÄTEET
(50%)
(75%)
Röngensäteen kulkema matka (25%)
aineessa
75 4 50 4
log(I) 4 log( 75 )
100
4 log 100
50 = log( 100 100 I)

27. TOMOGRAFIA
•Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa
röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella
asteikolla mitattessa kaavalla
muutos = matka x vaimennuskerroin
Esimerkki 1:
1
1 muutos = 1 · 2
Vaimennuskerroin=2

28. TOMOGRAFIA
•Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa
röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella
asteikolla mitattessa kaavalla
muutos = matka x vaimennuskerroin
Esimerkki 2:
1
p p
1 muutos = 12 + 12 · 2 = 2 2
Vaimennuskerroin=2

29. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2
3
5

30. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 3

31. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
5 3

32. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3

33. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
A B
•Ensimmäinen mittaus: A+C=3
C D
3

34. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
A B
•Ensimmäinen mittaus: A+C=3
C D •Toinen mittaus: B+D=1
3 1

35. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
A B
•Ensimmäinen mittaus: A+C=3
2 C D •Toinen mittaus: B+D=1
•Kolmas mittaus: D+C=2
3 1

36. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3
2 C D •Toinen mittaus: B+D=1
•Kolmas mittaus: D+C=2
3 1 •Neljäs mittaus: 2 A= 2

37. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B A+C=3
2 C D B+D=1
D+C=2
3 1 A= 1

38. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B 1+C=3 eli C=2
2 C D B+D=1
D+C=2
3 1 A= 1

39. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B C=2
2 C D B+D=1
D+2=2 eli D=0
3 1 A= 1

40. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B C= 2
2 C D B+D =1 eli B=1
D= 0
3 1 A= 1

41. TOMOGRAFIA
1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5
2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3
3
5 •Kolmas mittaus: 2+3=5
•Neljäs mittaus: 1+2=3
5 3
•Mitä ovat A,B,C ja D?
2 A B C= 2
2 C D B=1
D= 0
3 1 A= 1

42. TOMOGRAFIA
Millainen yhtälöryhmä syntyy, jos
mittauksia tehdään 50 pisteen välillä?
Mittauksia on silloin 1225. Tuntemattomia
on yhtä monta kuin ruutuja kuvassa

43. TOMOGRAFIA
•Merkitään ruudun j vaimen-
nuskerrointa symbolilla xj
•Merkitään röntgensäteen i
ruudussa j kulkemaa matkaa
symbolilla dij
•Merkitään intensiteetin
muutosta symbolilla yi
8
>y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn
>
>
>
<y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn
>.. .
.
>.
> .
>
:
ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn

44. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN
RATKAISEMINEN
•Miten on mahdollista ratkaista todella suuria
yhtälöryhmiä?
8
>y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn
>
>
>
<y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn
>.. .
.
>.
> .
>
:
ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn

45. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN
RATKAISEMINEN
•Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun
alussa ns. eliminointimenetelmän, joka
perustuu matriisin määritelmään.
8
>y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn
>
>
>
<y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn
>.. .
.
>.
> .
>
:
ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn

46. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN
RATKAISEMINEN
•Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun
alussa ns. eliminointimenetelmän, joka
perustuu matriisin määritelmään.
0 1 0 10 1
y1 d11 d12 ... d1n x1
B y2 C B d21 d22 ... d2n C B x2 C
B C B CB C
B . C=B . . . CB . C
@ . A @ .
. . .
. ... . A@ . A
. .
ym dm1 d12 ... dmn xn
•Erillisten yhtälöiden sijaan käsitellään matriisia.

47. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN
RATKAISEMINEN
•Matematiikan haara, joka tutkii matriisi-
laskennan lainalaisuuksia on nimeltään
lineaarialgebra.
•Linearialgebra kertoo esim. milloin matriisit
voidaan kertoa keskenään ja milloin matriisin
voi jakaa toisella matriisilla.
•Tietokonetomografiassa hyödennetään
suurten matriisien jakamiseen kehitettyjä
työkaluja.

48. ERITYISONGELMAT
•Matriisiyhtälön ratkaisu on herkkä mittaus-
tulosten häiriöille ja puutteille:
‣ Potilas liikkuu kuvauksen aikana
‣ Mittauslaitteen tarkkuus on rajattu
‣ Mittauksia ei välttämättä ole
saatavilla kaikista suunnista