![ΣΤΟΧΟΙ της παρουσίασης
1. Να διαπιστώσουμε ότι η επινόηση της έννοιας έγινε
επειδή υπήρχαν συγκεκριμένες κοινωνικές
απαιτήσεις.
2. Ποια είναι η προέλευση του όρου λογάριθμος; [λόγιο
νεολατινικό log-arith-mus, από τα ελλ. λόγος και
αριθμός, που το έπλασε ο Neper (1614): ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΚΟ
ΛΕΞΙΚΟ ΤΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ του Ν.Π.ΑΝΔΡΙΩΤΗ – έκδ.
Α.Π.Θ.1992].
3. Να δούμε αν αυτοί που ονομάζονται φυσικοί
λογάριθμοι είναι (ιστορικά) οι Νεπέριοι λογάριθμοι.
4. Ποια είναι τα πεδία εφαρμογής των λογαρίθμων-
λογαριθμικής συνάρτησης.
Κ.Γρηγοριάδης 2 14/04/13](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (15)
En vedette
En vedette (12)
Similaire à Kg.logarithmi
Similaire à Kg.logarithmi (20)
Plus de Σωκράτης Ρωμανίδης
Plus de Σωκράτης Ρωμανίδης (20)
Kg.logarithmi
- 1. Λογάριθμοι Από τον 16ο στον 21ο αιώνα ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ H προσπάθεια διευκόλυνσης των υπολογισμών που οδήγησε στο Σύμπαν της γνώσης
- 2. ΣΤΟΧΟΙ της παρουσίασης 1. Να διαπιστώσουμε ότι η επινόηση της έννοιας έγινε επειδή υπήρχαν συγκεκριμένες κοινωνικές απαιτήσεις. 2. Ποια είναι η προέλευση του όρου λογάριθμος; [λόγιο νεολατινικό log-arith-mus, από τα ελλ. λόγος και αριθμός, που το έπλασε ο Neper (1614): ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ ΤΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ του Ν.Π.ΑΝΔΡΙΩΤΗ – έκδ. Α.Π.Θ.1992]. 3. Να δούμε αν αυτοί που ονομάζονται φυσικοί λογάριθμοι είναι (ιστορικά) οι Νεπέριοι λογάριθμοι. 4. Ποια είναι τα πεδία εφαρμογής των λογαρίθμων- λογαριθμικής συνάρτησης. Κ.Γρηγοριάδης 2 14/04/13
- 3. ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ (15 ος – 16ος αιώνας ) AΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΗΠΕΙΡΩΝ ΤΟΜΕΩΝ Κ.Γρηγοριάδης 3 14/04/13
- 4. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ Το ανθρώπινο πνεύμα απελευθερώνεται από τους περιορισμούς της θρησκευτικής μεσαιωνικής σκέψης. Οι άνθρωποι εμπνέονται από τη φιλοσοφία του αρχαίου κόσμου όχι όμως επιστρέφοντας στο παρελθόν, αλλά έχοντας το βλέμμα στραμένο στο μέλλον. Κ.Γρηγοριάδης 4 14/04/13
- 5. ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΩΝ Αμερική (1492) – ΚΟΛΟΜΒΟΣ Περίπλους της Γης (1519-1522) – ΜΑΓΓΕΛΑΝΟΣ (επιβεβαίωση της σφαιρικότητας της Γης) Τα υπερπόντια ταξίδια ήδη από τον 13ο αιώνα πραγματοποιούνται πιο εύκολα με την τελειοποίηση τεχνικών μέσων πλεύσης και προσανατολισμού όπως η πυξίδα, ο αστρολάβος (όργανο προσδιορισμού του γεωγ. πλάτους με βάση τις παρατηρήσεις των άστρων) ή ο πορτολάνος (ναυτικοί χάρτες). 1569: Δημοσίευση από τον Gerardus Mercator(1512-1594) του νέου χάρτη του κόσμου. Κ.Γρηγοριάδης 5 14/04/13
- 6. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΕΘΝΟΓΡΑΦΙΑ ΒΟΤΑΝΙΚΗ ΖΩΟΛΟΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Κ.Γρηγοριάδης 6 14/04/13
- 7. ΠΡΩΤΕΣ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΕΣ ε 100 ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ- ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΡΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΟΔΩΝ ΟΙ ΠΡΩΤΟΠΟΡΟΙ 1. Chistoff Rudolff: "Kunstliche Rechnung"(τεχνητός λογαριασμός) (1526) 2. Michael Stifel: "Arithmetica Integra"(Αριθμητική πλήρης) (1544) 3. Jacques Peletier: "L’ Arithmetique" (1549) Σημείωση: Την ιδιότητα της αναγωγής του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση είχε χρησιμοποιήσει ο Αρχιμήδης στο έργο του "Ψαμμίτης" για τη δημιουργία μεγάλων αριθμών. Κ.Γρηγοριάδης 7 14/04/13
- 8. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ STIFEL Α.Π 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Γ .Π. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 Κ.Γρηγοριάδης 8 14/04/13
- 9. 1. Ο πολλαπλασιασμός 2 όρων της Γ.Π. ανάγεται στην πρόσθεση των αντίστοιχων όρων της αριθμητικής π.χ. 16x128=2048 (4+7=11) 2. Η διαίρεση 2 όρων της Γ.Π. ανάγεται στην αφαίρεση των αντίστοιχων όρων της αριθμητικής π.χ. 8192:256=32 (13-8=5) 3. Η ύψωση ενός όρου Γ.Π. σε δύναμη ανάγεται στον πολλαπλασιασμό του αντίστοιχου όρου της αριθμητικής με τον εκθέτη της δύναμης π.χ. 84=4096 (3x4=12) 4. Η εξαγωγή ρίζας ενός όρου της Γ.Π. ανάγεται στη διαίρεση του αντίστοιχου όρου της αριθμητικής με τον δείκτη της ρίζας. π.χ. 4 4096 =8 (12:4=3) Κ.Γρηγοριάδης 9 14/04/13
- 10. Σήμερα οι κανόνες μπορούν να διατυπωθούν με τον εκθετικό συμβολισμό για τις δυνάμεις ως εξής: 2μ2ν=2μ+ν, 2μ2ν=2μ-ν, (2μ)ν=2μν, µ Και ισοδυναμούν με τις 4 βασικές ιδιότητες ν 2 µ = 2ν των λογαρίθμων: 1. log (xψ) = log x + log ψ 2. log (x:ψ) = log χ – log ψ 3. log χν = νlog x και ν χ 4. log = 1/νlogx Κ.Γρηγοριάδης 10 14/04/13
- 11. Όταν γράφουμε σήμερα log216=4 σημαίνει ότι ο αριθμός 4 είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 2 ώστε να βρούμε το 16. Η δυνατότητα να ορισθούν οι λογάριθμοι ως εκθέτες αναγνωρίστηκε από τον John Wallis το 1684 και τον Johann Bernoulli το 1694 δηλαδή αυτό συνέβη μερικές δεκαετίες έπειτα από την επινόηση του όρου λογάριθμος από τον Napier στο περίφημο βιβλίο του «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» (περιγραφή του θαυμαστού κανόνα των λογαρίθμων) (1614) Στις δύο προόδους που είδαμε 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9…. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512…, ο 4 που είναι ο log216 "δείχνει" πόσοι λόγοι χρειάζονται στη συνεχή αναλογία 2 4 = = = 8 16 =... για να βρεθεί ο όρος 16. 1 2 4 8 Καμία αναφορά λοιπόν σε έννοιες όπως εκθέτης ή βάση που έχουμε στο σύγχρονο ορισμό του λογαρίθμου. Άλλωστε την εποχή του Napier δεν υπήρχε ούτε κοινά αποδεκτός συμβολισμός για τις δυνάμεις. Αυτό συνέβη αργότερα (1637) μετά τη δημοσίευση από τον Descartes του σπουδαίου έργου του «La Geometrie». Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Napier πριν επινοήσει τον όρο "λογάριθμος" χρησιμοποιούσε τον όρο "numerus artificialis" (τεχνητός αριθμός) ο δε Bürgi (ο έτερος κατασκευαστής λογαριθμικών πινάκων) ονόμαζε τους όρους της προόδου "κόκκινους αριθμούς" από το χρώμα της μελάνης που είχαν τυπωθεί στους πίνακες. Κ.Γρηγοριάδης 11 14/04/13
- 12. ΟΙ ΠΡΩΤΟΠΟΡΟΙ ΣΤΗΝΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ Η εμφάνιση των πρώτων λογαριθμικών πινάκων έγινε από τους: 1. John Napier(1550-1617) με την δημοσίευση του έργου του "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (περιγραφή του θαυμαστού κανόνα των λογαρίθμων) το 1614 στο Εδιμβούργο. 2. Joost Bürgi(1552-1632) με τη δημοσίευση του έργου του "Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen" (πίνακες αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων) το 1620 στην Πράγα. Για το κολοσσιαίο αυτό έργο της κατασκευής των λογαριθμικών πινάκων ο Napier χρειάστηκε να εργαστεί περίπου 20 χρόνια και ο Bürgi περίπου 30 χρόνια. Κ.Γρηγοριάδης 12 14/04/13
- 13. ΦΥΣΙΚΟΙ (ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΙ) ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ (1668) Τον όρο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποίησε πρώτος ο Nikolas (Nikolaus) Mercator (1620-1687), γνωστός επίσης με το γερμανικό όνομα Kaufmann, στην πραγματεία του Logarithmo-technica που δημοσιεύτηκε το 1668. Η φυσική σημασία που αναγνωρίστηκε ότι εκφράζουν οι λογάριθμοι, περίπου το 1650 για πρώτη φορά, είχε σχέση με την έννοια του εμβαδού και συγκεκριμένα του εμβαδού που περικλείεται από ένα τόξο της ισοσκελούς υπερβολής ψχ=1,τις παράλληλες από τα άκρα του τόξου προς μια ασύμπτωτη και από το τμήμα που ορίζουν οι παράλληλες αυτές προς την άλλη ασύμπτωτη. Κ.Γρηγοριάδης 13 14/04/13
- 14. Κ.Γρηγοριάδης 14 14/04/13
- 15. Κ.Γρηγοριάδης 15 14/04/13
- 16. Κ.Γρηγοριάδης 16 14/04/13
- 17. Κ.Γρηγοριάδης 17 14/04/13
- 18. Κ.Γρηγοριάδης 18 14/04/13
- 19. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ e (1731) Ο Euler εισήγαγε το συμβολισμό e σε μια επιστολή του προς τον Goldbach τo 1731, αν και χρησιμοποιούσε το γράμμα e "για τον αριθμό που έχει υπερβολικό λογάριθμο ίσο με 1" από το 1727. Επίσης απέδειξε ότι ο e είναι άρρητος. x 1 lim 1 + x ÷ x→ ∞ + Πολύ αργότερα (το 1823) ο Cauchy απέδειξε ότι e= Ο Liouville το 1844 απέδειξε ότι ο e δεν ικανοποιεί οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Τέλος ο Hermite το 1873 απέδειξε ότι ο e είναι υπερβατικός αριθμός. Κ.Γρηγοριάδης 19 14/04/13
- 20. Σχέση του αριθμού e με την ακολουθία αν=(1+1/ν)ν Ο αριθμός e δεν εμφανίζεται όπως οι διάττοντες στο νυχτερινό ουρανό, αλλά προκύπτει όταν προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια πρόοδο με λόγο έναν αριθμό ελάχιστα μικρότερο ή μεγαλύτερο από τη μονάδα. Κ.Γρηγοριάδης 20 14/04/13
- 21. Στις γεωμετρικές προόδους που χρησιμοποιήθηκαν στα λογαριθμικά συστήματα των Napier και Bürgi θεωρήθηκαν ως λόγοι οι αριθμοί 1-1/107= 0,9999999 και 1+1/104=1,0001 αντίστοιχα. Γι’ αυτό και έχουμε τη σχέση των δύο συστημάτων με τους αριθμούς 1/e =lim(1-1/ν)ν και e=lim(1+1/ν)ν. Κ.Γρηγοριάδης 21 14/04/13
- 22. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Λογάριθμοι: Επινοήθηκαν στην προσπάθεια διευκόλυνσης των αριθμητικών υπολογισμών, κατασκευάστηκαν οι πρώτοι λογαριθμικοί πίνακες από τους Napier και Bürgi και τελικά σαν πιο εύχρηστοι χρησιμοποιούνται οι δεκαδικοί λογάριθμοι του Briggs. (15ος-16ος αιώνας) Κ.Γρηγοριάδης 22 14/04/13
- 23. Σε συγκεκριμένα προβλήματα υπολογισμού εμβαδών έχουμε την εμφάνιση των φυσικών λογαρίθμων και του αριθμού e. (Δεύτερο μισό του 17 αιώνα) ου Κ.Γρηγοριάδης 23 14/04/13
- 24. Παράλληλα με την εκρηκτική ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού εμφανίζεται η λογαριθμική συνάρτηση και οι εφαρμογές της στα μαθηματικά αλλά και σε πολλά άλλα επιστημονικά πεδία. (18ος αιώνας). Κ.Γρηγοριάδης 24 14/04/13
- 25. ΠΕΔΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ –ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ: Σύμφωνα με τον νόμο των Weber-Fechner υπάρχει λογαριθμική σχέση μεταξύ αισθήματος και μεγέθους ερεθισμού: Αν S(αίσθημα), κ (σταθερά του Weber), R (μέγεθος ερεθισμού), τότε S=klogR Κ.Γρηγοριάδης 25 14/04/13
- 26. ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ: Το φαινόμενο μέγεθος μετράει τη λαμπρότητα των αστέρων λογαριθμικά, μιας και το μάτι ανταποκρίνεται επίσης λογαριθμικά στη λαμπρότητα: Είναι m=2,5logl+c, (m:φαινόμενο μέγεθος*, l:φαινόμενη λαμπρότητα, c σταθερά που εξαρτάται από το όργανο (ανιχνευτή) παρατήρησης). Κ.Γρηγοριάδης 26 14/04/13
- 27. ΧΗΜΕΙΑ: Για να περιγραφεί η οξύτητα ενός διαλύματος χρησιμοποιείται ο αριθμός που συμβολίζεται με pH. Eξ’ ορισμού είναι: pH=-log[H+]. ([H+] είναι η συγκέντρωση των Η+ σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο). Ένα διάλυμα θεωρείται: όξινο αν [Η+]>10-7 (pH<7) και βασικό αν [Η+]<10-7 (pH>7). Κ.Γρηγοριάδης 27 14/04/13
- 28. ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ: Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο: R=logI/I0, όπου Ι0 μια ορισμένη ελάχιστη ένταση. Κ.Γρηγοριάδης 28 14/04/13
- 29. ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ: Στη φυσική εντροπία των Clausius και Boltzman. Η εντροπία ενός συστήματος εκφράζει το βαθμό απροσδιοριστίας του και η μαθηματική της έκφραση περιέχει τη λογαριθμική συνάρτηση: Είναι S=k·lnΓ (k=1,38J/K είναι η παγκόσμια σταθερά του Boltzman, Γ ο αριθμός των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχεί σε κάθε μακροκατάσταση του συστήματος). Κ.Γρηγοριάδης 29 14/04/13
- 30. ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ: εκτός από τη φυσική εντροπία υπάρχει και η πληροφοριακή εντροπία των Hartley και Shannon. Oι δύο εξισώσεις του Shannon που βρίσκονται στη βάση της θεωρίας των επικοινωνιών είναι: I=-p·log2p και C=W·log2(1+S/N) Κ.Γρηγοριάδης 30 14/04/13
- 31. ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ: Η μονάδα bel και η περισσότερο χρησιμοποιούμενη decibel(=0,1 bel) ορίζονται με τη βοήθεια των δεκαδικών λογαρίθμων. Αυτό συμβαίνει επειδή το αυτί ανταποκρίνεται λογαριθμικά στην ακουστική ισχύ. Σημείωση: Η μονάδα bel ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του πρωτοπόρου των τηλεπικοινωνιών Alexander Graham Bell. Κ.Γρηγοριάδης 31 14/04/13
- 32. τέλος Κ.Γρηγοριάδης 32 14/04/13
Notes de l'éditeur
- Είναι πολύ ενδιαφέρον το γεγονός ότι οι Μαθηματικοί πολλές φορές βρίσκουν σχέσεις και συνδέουν ιδέες και προβλήματα που φαίνονται χωρίς καμιά σχέση μεταξύ τους. Κλασικό παράδειγμα η ανακάλυψη ενός από τους πλέον δυναμικούς κλάδους των Μαθηματικών, του ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ που οφείλεται στο ότι ο Newton και ο Leibniz ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο διείδαν τη βαθειά εσωτερική σχέση που συνδέει το πρόβλημα της εφαπτομένης (δηλ. τι θα ονομάζουμε εφαπτομένη καμπύλης σ’ ένα σημείο της και πως μπορούμε να την προσδιορίσουμε) και το πρόβλημα της ταχύτητας (δηλ. τι θα ονομάσουμε ταχύτητα ενός σώματος του οποίου η κίνηση δεν είναι ομαλή όπως π.χ .στην ελεύθερη πτώση ενός σώματος τι θα ονομάσουμε ταχύτητα μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή ; ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Πιο ενδιαφέρον όμως, ίσως και συναρπαστικό, είναι το γεγονός ότι μια μαθηματική έννοια που θα επινοηθεί συνήθως για την επίλυση κάποιων προβλημάτων (ή ακόμη να είναι στην αρχή ένα διανοητικό παιχνίδι), καταλήγει να έχει ένα κολοσσιαίο εύρος εφαρμογών. Κλασικό παράδειγμα η έννοια του ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ.
- Το κίνητρο για τις ανακαλύψεις ήταν η αναζήτηση πολύτιμων μετάλλων, κυρίως χρυσού, όπως και καρυκευμάτων και αρωμάτων ακολουθώντας το δρόμο του μεταξιού. Δρόμος ο οποίος αρχικά από τους Άραβες και αργότερα από τους Οθωμανούς είχε αποκοπεί. Οπωσδήποτε εκτός από τα οικονομικά κίνητρα ρόλο για την πραγματοποίηση των ταξιδιών αυτών έπαιξε και η ροπή του ανθρώπου για γνώση. Το ασήμι, ο χρυσός, ο άργυρος και τα άλλα πολύτιμα μέταλλα που φθάνουν στην Ευρώπη από τις αποικίες έδωσαν ώθηση στο εμπόριο και την οικονομία και αύξησαν την κυκλοφορία του χρήματος. Αυτό είναι πλέον το μέτρο όλων των αξιών . Τώρα βλέπουμε την εμφάνιση ενός νέου κοινωνικού τύπου, του επιχειρηματία, του μεγαλέμπορου και του χρηματιστή-τραπεζίτη. Χαρακτηριστικοί εκπρόσωποι του νέου τύπου είναι οι Μέδικοι (φιλόμουσοι ηγεμόνες) στη Φλωρεντία (15 ος αιώνας) και αργότερα οι Φούγκερ στη Γερμανία.
- Απαρχές του 16 ου αιώνα. Οι ανάγκες για ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΑΚΡΙΒΕΙΑ στους αριθμητικούς υπολογισμούς είναι μεγάλη: Στους θαλασσοπόρους ώστε να κάνουν τα ταξίδια τους με πορεία σωστά προγραμματισμένη και γιατί όχι να αποφύγουν ενδεχόμενο ναυάγιο. Στους αστρονόμους που χρειάζονται ακριβείς παρατηρήσεις των πλανητών και των αστέρων για να συντάξουν νέους αστρονομικούς πίνακες. Ιδιαίτερα στο δεύτερο μισό του 16 ου αιώνα υπάρχει τεράστια συγκέντρωση αστρονομικού υλικού από παρατηρήσεις. Είχε προηγηθεί η δημοσίευση από τον Nicolas Copernicus to 1543 του βιβλίου "De Revolutionibus orbium Celestium" ( περί της περιστροφής των ουράνιων σφαιρών). Στο βιβλίο αυτό έγινε για πρώτη φορά στη νεότερη εποχή προσπάθεια μαθηματικής θεμελίωσης μιας θεωρίας που έμελλε να αλλάξει ριζικά την εικόνα που είχαμε για το Σύμπαν και τη θέση που είχε η Γη και ο άνθρωπος σ’ αυτό. Η Γη μετακινήθηκε από το κέντρο του Σύμπαντος και μετατράπηκε σ’ ένα ασήμαντο πλανήτη που περιστρέφεται γύρω από ένα μικρό άστρο, τον ήλιο. Είναι δύσκολο να πούμε αν οι επιπτώσεις της θεωρίας του Κοπέρνικου ήταν πιο σημαντικές στην επιστήμη ή τη φιλοσοφία. Στους έχοντες ενασχόληση με τα οικονομικά όπου είχε μεγάλη σημασία ο υπολογισμός του σύνθετου τόκου, σήμερα γνωστό ως πρόβλημα του ανατοκισμού:Καταθέτουμε σε μια τράπεζα ένα κεφάλαιο α € με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του νιοστού χρόνου. Σήμερα με το γνωστό τύπο του ανατοκισμού α ν =α(1+τ) ν , όπου τ=ε%, μπορούμε να υπολογίσουμε απ’ ευθείας το κεφάλαιο μετά π.χ. 15 χρόνια, ενώ για την εποχή που μιλάμε αυτό έπρεπε να γίνει ακολουθώντας αναδρομική διαδικασία, υπολογίζοντας δηλαδή διαδοχικά όλους τους όρους. Οι υπολογισμοί αυτοί φυσικά δεν μπορούσαν να γίνουν από τον καθένα, αλλά μόνο από επαγγελματίες των υπολογισμών που εργάζονταν συνήθως για λογαριασμό μεγάλων εμπορικών οίκων. Οι δε εμπορικοί οίκοι φύλαγαν τους πίνακες σύνθετου τόκου ως απόρρητα επαγγελματικά μυστικά.
- Ο Γερμανός Chistoff Rudolf στο βιβλίο του " Κ unstliche Rechnung" (1526) γράφει ότι, για να βρεθεί το γινόμενο δύο όρων της γεωμετρικής προόδου 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,… αρκεί να βρεθεί το άθροισμα των " αριθμών της φυσικής τους διάταξης " π.χ. για το γινόμενο 4 x 16 (2+4 είναι το άθροισμα των αντίστοιχων τάξεων των όρων) και το άθροισμά τους το 6 είναι η τάξη του ζητούμενου γινομένου(=64). Στην πρόοδο αυτή που οι όροι της είναι διαδοχικές δυνάμεις του 2, αναγνωρίζουμε τη γνωστή ιδιότητα των δυνάμεων α μ α ν =α μ+ν (2 2 2 4 =2 6 =64 στο παραπάνω παράδειγμα). Στην ιδιότητα αυτή, μέσα από το σύγχρονο εκθετικό ορισμό του λογαρίθμου έχουμε την αναγωγή του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση. Ο Γερμανός επίσης Michael Stifel στο βιβλίο του "Arithmetica Integra" ( Αριθμητική πλήρης) (1544)μας δίνει μια ολοκληρωμένη εικόνα συντόμευσης υπολογισμών με αριθμούς που είναι όροι γεωμετρικών προόδων. Ο Γάλλος Jaques Peletier στο έργο του " L ’ Arithmetique " (1549) διατύπωσε για τον πολλαπλασιασμό ένα κανόνα ανάλογο μ ’ αυτόν του Stifel ,χρησιμοποιώντας τις προόδους (που δεν αποτελούνται από τις δυνάμεις και τους εκθέτες κάποιου αριθμού): 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536,… 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,… Σύμφωνα με τον κανόνα αυτό για να βρούμε το γινόμενο δύο όρων της γεωμ.προόδου προσθέτουμε τους αντίστοιχους όρους της αριθμητικής και μετά πολλαπλασιάζουμε τον όρο της γεωμ. προόδου που αντιστοιχεί στο άθροισμα αυτό επί 3 (που είναι ο πρώτος όρος της γεωμ.προόδου) π.χ. 12 x 48=576(2+4=6, α 6 =192 x 3=576). Σε μια Γ.Π. ισχύει α ν α μ =α 0 α ν+μ.
- Στις δύο προόδους που χρησιμοποίησε ο Stifel , έχουμε ουσιαστικά ένα λογαριθμικό σύστημα με βάση το 2, αλλά χωρίς πρακτική σημασία, αφού οι προτάσεις του Stifel ίσχυαν μόνο για ακέραιες τιμές εκθετών. Αυτό που έπρεπε να γίνει ήταν η επέκταση των προτάσεων σ ’ ένα συνεχές σύνολο τιμών. Αυτό έκαναν περίπου 70 χρόνια αργότερα, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο ο Napier και ο Bürgi.
- Οι δύο πρόοδοι που χρησιμοποίησε ο Stifel αποτελούν ουσιαστικά ένα λογαριθμικό σύστημα με βάση το 2, στην πραγματικότητα όμως χωρίς πρακτική σημασία. Κι αυτό επειδή οι προτάσεις του Stifel ίσχυαν μόνο για ακέραιες τιμές των εκθετών. ΄Επρεπε συνεπώς να επεκταθούν σ’ ένα συνεχές σύνολο τιμών και για το σκοπό αυτό ήταν απαραίτητη μια " πυκνή " γεωμετρική πρόοδος με τους όρους της να είναι πολύ κοντά ο ένας στον άλλο. ΄Ετσι θα ήταν δυνατόν ανάμεσα στους όρους της να παρεμβληθούν με μεγάλη προσέγγιση οι αριθμοί που εμφανίζονταν στους υπολογισμούς (όπως π.χ. οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων) και επί πλέον οι όροι της γεωμετρικής προόδου να τεθούν σε " 1-1 " αντιστοιχία με τους όρους της αριθμητικής προόδου (τους " λογαρίθμους " ).
- ΄Όταν ο Napier δημοσίευσε το Descriptio είχαν περάσει 70 χρόνια από την δημοσίευση των κανόνων του Stifel. Η δυνατότητα όμως της απλοποίησης των πράξεων μέσω της αντιστοίχησης των όρων αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων (το θεωρητικό δηλαδή υπόβαθρο των λογαρίθμων) θεωρούνταν κάτι αξιοπερίεργο, όπως διάφορα θέματα που βλέπουμε σήμερα σε στήλες περιοδικών " τα μαθηματικά μας διασκεδάζουν " . Προς το τέλος όμως του 16 ου αιώνα ήταν έντονες οι πιέσεις από επιστήμονες διαφόρων επιστημονικών κλάδων (ιδιαίτερα των αστρονόμων) για την απλοποίηση των πράξεων.΄Ετσι δημιουργήθηκαν οι συνθήκες ώστε να ξεκινήσει η διαδικασία κατασκευής των λογαριθμικών πινάκων. Βλέπουμε λοιπόν ότι η έννοια του λογαρίθμου ορίστηκε με βάση το συσχετισμό των όρων μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου. Απουσιάζουν δηλαδή οι έννοιες βάση εκθέτης που συναντάμε στο σύγχρονο ορισμό του λογαρίθμου.
- Στο σχήμα I παρατηρούμε μια αντιστοιχία ανάμεσα στους όρους 2 προόδων μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής, δηλαδή τη θεωρητική αρχή στην οποία στηρίχτηκε η κατασκευή των πρώτων λογαριθμικών πινάκων. Η παρατήρηση αυτή, ότι δηλαδή οι λογάριθμοι εκφράζοντας εμβαδά γεωμετρικών σχημάτων έχουν πια φυσική σημασία, οδήγησε τους μαθηματικούς στην κατασκευή νέων λογαριθμικών πινάκων. Να σημειώσουμε ότι στους πίνακες λογαρίθμων που κατασκεύασε ο Newton για τους υπολογισμούς εμβαδών, αυτά υπολογίστηκαν με 57 δεκαδικά ψηφία .
- Το 1647 ο Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) είχε υπολογίσει το εμβαδόν που ορίζεται κάτω από μια ορθογώνια υπερβολή, χωρίς όμως πιθανότατα να αναγνωρίζει τη σχέση αυτού του εμβαδού και των λογαρίθμων. Επίσης, ανεξάρτητα από τον Mercator βρήκε το ανάπτυγμα του ln(1+x) κατά τις ανιούσες δυνάμεις του χ. Αυτός που αντελήφθη τη σχέση μεταξύ ορθογώνιας υπερβολής και λογαρίθμων από το 1661 ήταν ο Huygens. ΄Ορισε επακριβώς και με σαφήνεια τη σχέση του εμβαδού που αναφέρθηκε παραπάνω και των λογαρίθμων.
- Σύμφωνα με τον νόμο των Weber-Fechner αν ο ερεθισμός αυξηθεί από 100 σε 1000 μονάδες, θα προκαλέσει αύξηση της εντάσεως του αισθήματος από 2 σε 3 μονάδες (αν κ=1).Το κ έχει τις τιμές 1/100 για τη λαμπρότητα του φωτός, 1/40 ή 1/30 για τα βάρη (αναλόγως αν τίθενται στην παλάμη ή αν σηκώνονται με τα δάχτυλα), 1/10 για τους τόνους. ΄Ετσι η αύξηση στην ένταση ενός φυσικού ερεθισμού δεν αντιστοιχεί ακριβώς με την αύξηση της εντάσεως του αισθήματος, αλλά ότι η αύξηση των φυσικών ερεθισμών καθορίζεται από σχέσεις γεωμετρικές, ενώ η αύξηση των αισθημάτων από σχέσεις αριθμητικές. Είναι φανερό ότι αν ο ήχος ενός ρολογιού προστεθεί στον ήχο ενός άλλου που ηχεί, θα προκαλέσει μεγαλύτερη αύξηση στην ένταση του αισθήματος παρά αν προστεθεί στον ήχο 10 ρολογιών τα οποία ήδη ηχούν. Επομένως οι επιδράσεις της εντάσεως των ερεθισμών δεν είναι απόλυτες αλλά σχετικές με το ποσό του αισθήματος το οποίο ήδη υπάρχει.
- Αν ένας σεισμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο κατά 1 μονάδα Richter, τότε η έντασή του είναι δεκαπλάσια από τον άλλο σεισμό. Πράγματι αν είναι Ι΄=Ι 0 10 R ΄ και Ι=Ι 0 10 R , όπου R ΄= R+1, τότε I/I ΄=10, άρα Ι΄=10Ι.
- Ο 2 ος νόμος της θερμοδυναμικής εκφράζει το γεγονός ότι υπάρχουν σημαντικοί περιορισμοί που διέπουν τη μεταφορά θερμότητας από ένα σώμα σε κάποιο άλλο. Η θερμότητα μεταφέρεται κατά την επαφή δύο σωμάτων από το " θερμό " στο " ψυχρό " . Από μια άλλη άποψη ο 2 ος νόμος σημαίνει ότι οι διάφορες μορφές ενέργειας δεν είναι το ίδιο εύκολα μετατρέψιμες. Αυτός ο νόμος εκφράζει τελικά μια γενική τάση για υποβάθμιση της ενέργειας. Δυο ισοδύναμες διατυπώσεις του νόμου αυτού είχαμε από τους Kelvin και Clausius . Να σημειωθεί ότι η εντροπία δεν ορίζεται σε απλά μηχανικά συστήματα αλλά μόνο σε μακροσκοπικά συστήματα που αποτελούνται από ένα τεράστιο αριθμό στοιχειωδών σωμάτων. Σε κάθε μακροκατάσταση του συστήματος αντιστοιχεί γενικά ένας τεράστιος αριθμός Γ μικροκαταστάσεων. ΄Οσο πιο μεγάλο είναι το Γ τόσο πιο μεγάλη είναι η άγνοιά μας για την πραγματική μικροκατάσταση του συστήματος, μιας και το τελευταίο μπορεί να βρίσκεται (με ίση πιθανότητα) σε μια από τις Γ μικροκαταστάσεις που είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Επομένως η εντροπία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέτρο έλλειψης γνώσης για την πραγματική μικροκατάσταση του συστήματος ή, με άλλα λόγια, ως η ελλείπουσα πληροφορία. ΄Όταν το Γ=1, είναι γνωστό με βεβαιότητα σε πια ακριβώς μικροκατάσταση βρίσκεται το σύστημα, επομένως η πληροφορία γι’ αυτό είναι μέγιστη και η έλλειψή της, δηλαδή η εντροπία, είναι μηδέν. Η εντροπία μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μέτρο της αταξίας ενός συστήματος ή ως μέτρο της έλλειψης οργάνωσης.
- Η πρώτη εξίσωση δηλώνει ότι η ποσότητα της πληροφορίας I εξαρτάται από την ποσότητα της έκπληξης που περιλαμβάνει το μήνυμα. Ο μαθηματικός τρόπος να εκφράσουμε την έκπληξη είναι μια πιθανότητα p .΄Οσο λιγότερο πιθανό είναι ένα ενδεχόμενο, τόσο μεγαλύτερη είναι η έκπληξη που προκαλεί και τόσο περισσότερη η πληροφορία που μεταφέρει. Η μονάδα μέτρησης της πληροφορίας είναι το bit (από τις λέξεις bi(nary) (uni)t= δυαδική μονάδα), δηλαδή η πληροφορία που προκύπτει από τον καθορισμό μιας, μεταξύ δύο δυνατών μεταβλητών. Αν δηλαδή έχουμε μια πηγή με δύο μόνο σύμβολα Α,Β (δυαδική πηγή) που έχουν ίση πιθανότητα εμφάνισης p A =p B =1/2, τότε η ποσότητα πληροφορίας που παίρνουμε κατά την εκπομπή του ενός από τα 2 δυνατά και ισοπίθανα μηνύματα είναι ίση με 1. Η μονάδα μετρήσεως αυτή είναι το ίδιο σημαντική με το λίτρο, το βατ, το χιλιόμετρο ή το κιλό. Η δεύτερη εξίσωση είναι ένας δείκτης ποιότητας του μέσου μετάδοσης, όπως είναι η τηλεφωνική γραμμή ή το καλώδιο της κεραίας της τηλεόρασης. Μας λέει ότι το C ( σε bit ανά δευτερόλεπτο), η ποσότητα της πληροφορίας που μπορεί να μεταδοθεί από μία γραμμή, ή κάποιο άλλο μέσον εξαρτάται από δύο βασικούς παράγοντες: το εύρος της ζώνης W (με άλλα λόγια, το σύνολο των συχνοτήτων που μπορούν να μεταδοθούν ) και το λόγο σήματος-θορύβου, S/N . Για παράδειγμα σ’ ένα πάρτι με πολύ θόρυβο στο οποίο χρειάζεται να φωνάξουμε (δηλαδή να αυξήσουμε το σήμα S για να υπερνικήσουμε το θόρυβο Ν). Επίσης πρέπει να φωνάξουμε όταν απευθυνθούμε σ’ ένα μερικώς κωφό άτομο (δηλαδή ένα άτομο με περιορισμένο W).