1. 1
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ
ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ

Έννοια του μιγαδικού

Πράξεις μιγαδικών

Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων

Η έννοια του μέτρου

Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου
ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1η
Για να δείξω ότι δύο μιγαδικοί z, w είναι ίσοι , αρκεί να δείξω ότι ισχύουν
ταυτόχρονα οι ισότητες :
Re( z ) = Re(w) , Im( z ) = Im( w) .
Παράδειγμα 1ο
Να βρεθούν οι π ρ α γμ ατικοί αριθμοί
α, β
έτσι , ώστε οι μιγαδικοί
z = 2α + (3 − β)i
και (β −1) + (α + 3)i
w=
να είναι ίσοι
Λύση
Για να ισχύει η ισότητα των δύο μιγαδικών, πρέπει
1
 α −= 3
 Re(z)= Re(w)  2α = β − 1
 ⇔ ⇔
 Im( z ) = Im( w )  3 − β = α + 3  β = 1
 3
2η
Για να δείξω ότι z ∈ R , αρκεί να δείξω κά ποια α π ό τις π ιο κάτω ισοδύναμες
σχέσεις :
z∈R ⇔
⇔ Im( z ) = 0 ⇔
⇔z =z⇔
⇔z
2
=z2 ⇔
⇔z = Re(z )

2. 2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ο
Παράδειγμα 2
ν
ν
*
x, y ∈R
Αν z = ( x + yi) + ( x − yi) με
και ν ∈Ν , να δειχθεί ότι ο αριθμός
z είναι
πραγματικός
Λύση
Αρκεί να δείξω ότι z = z .Πράγματι έχω:
z =( x + yi) ν + ( x − yi) ν =( x + yi) ν + ( x − yi) ν =
= ( x − yi) ν + ( x + yi) ν = z
ο
Παράδειγμα 3
z, w
z z = ww = 1
Αν για τους μιγαδικούς
ισχύει
να δείξετε ότι ο αριθμός
z +w
1 + zw
είναι π ρ α γμ ατικός .
Λύση
Αρκεί να δείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με το συζυγή του. Είναι
1 1
z+w
+
z+w
 z+w z +w
= z w = zw =

=
 1 + zw  1 + z w 1 + 1 1 1 + zw 1 + zw
z w
zw
Συνεπώς ο αριθμός είναι πραγματικός.
η
3
Για να δείξω ότι
z ∈I
αρκεί να δείξω κά π ο ι α α πό τις π ι ο κάτω ισοδύναμες
σχέσεις
z ∈I ⇔
⇔ Re(z ) = 0 ⇔
⇔ z = −z ⇔
⇔z
2
= −z 2 ⇔
⇔z = Im( z )
ο
Παράδειγμα 4
Αν για τους μιγαδικούς
είναι φανταστικός .
Λύση
z, w
z z = ww = 1
ισχύει z + w
να δείξετε ότι ο αριθμός
1 − zw

3. 3
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Αρκεί να δείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με τον αντίθετο του συζυγή του. Είναι
1 1
z +w
+
z +w
 z +w  z +w
= z w = − zw = −

=
11
1 − zw
1 − zw
 1 − zw  1 − z w 1 −
z w
zw
η
4
Για να δείξω ότι ένας αριθμός δεν είναι πρ α γ μ ατ ικός ή δεν είναι φανταστικός
εργάζομαι
με άτο π ο .
ο
Παράδειγμα 5
z1
Έστω οι μιγαδικοί z1 = 2 + λi και z 2 = (1 − λ) + i , λ ∈ R , να δείξετε ότι ο αριθμός z
2
δεν
είναι π ρ α γ μ ατικός .
Λύση
z1
∈R
Έστω ότι z2
τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός
x
τέτοιος ώστε
z1
= x ⇔ z1 = xz 2 ⇔ 2 + λi = (1 − λ)x + xi ⇔
z2
 λ= x  λ= x  λ= x
⇔ ⇔  ⇔2
( 1 λ)x=− 2  (12 −= λ)  λλ =+− 02
Επειδή το τριώνυμο που προέκυψε έχει αρνητική διακρίνουσα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο
z1
∉R .
R , επομένως
z2
η
5
Για να λύσω μια εξίσωση της μορφής
α z + βz + γ = 0
,
α, β, γ ∈
C
ακολουθώ έναν
α π ό τους π ιz = x + yiτρό,πο υ R :
ο κάτω , x y ∈ς

Θέτω
fκαι καταλήγω )σε 0
( x , y) + ig ( x , y = εξίσωση της μορφής
 f (x , y) = 0

 g (x , y) = 0
Α π ό τη λύση του συστήματος
.

4. 4
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
π ροκύ π τουν οι ζητούμενοι αριθμοί .
α z +βz + γ =0

Παίρνω το συζυγή και στα δύο μέλη της εξίσωσης . Είναι
.
 αz + βz + γ = 0

 α z + βz + γ = 0
Σχηματίζω το σύστημα
z, z
με αγνώστους τους αριθμούς
και η λύση του μου δίνει το ζητούμενο
αριθμό .
ο
Παράδειγμα 6
(1 − i)z αριθμών η
Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών+ 2iz = 5 + 3i εξίσωση
Λύση
α΄ τρό π ο x + yi
z =ς
Θέτω
(1 − i)( x + έχει 2i( x − yi) = 5 + 3 ⇔
. Η εξίσωση που μου yi) + δοθεί ισοδύναμαi γράφεται
⇔ x + yi − xi + y + 2 xi + 2 y = 5 + 3i ⇔
⇔ x + 3 y + ( x + y)i = 5 + 3i
Από τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών προκύπτει το σύστημα
 x + 3y = 5  x = 2
 ⇔
 x + y= 3  y= 1
Δηλαδή ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο
β΄ τρό πο ς
z=2+i
Θεωρώ την εξίσωση που προκύπτει από τους συζυγείς. Είναι
Σχηματίζω το σύστημα
Από τη λύση του συστήματος έχω
η
6
(1 + i)z − 2iz = 5 − 3i
.
(1 − i)z + 2iz = 5 + 3i
−2iz + (1 + i)z = 5 −3i
z=2+i
.
Για να λύσω ένα σύστημα στο σύνολο των μιγαδικών εργάζομαι με τον ίδιο
τρό π ο π ο υ
εργάζομαι και στο σύνολο των πραγματικών . Μερικές φορές είναι αναγκαίο να
θέτω
ο
Παράδειγμα 7
Να λυθεί το σύστημα
Λύση
(1 + i) z + 2iw = 1 + i
(2 + i) z + (3 − i)w = 1 − i


5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Για τη λύση του συστήματος ακολουθώ τη μέθοδο των οριζουσών
5

6. 6
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Έχω
D=
1 + i 2i
= (1 + i)(3 − i) − 2i(2 + i) = 6 − 2i ≠ 0
2+i 3−i
Dz =
1 + i 2i
1+ i 1+ i
= 2 και Dw =
= 1 − 3i
1− i 3 − i
2 + i 1− i
Επειδή το σύστημα έχει D ≠ 0 , έχει μοναδική λύση την
1 4 2 
 D D   2 1 − 3i   3
( z, w) =  z , w ÷ = 
,
÷ =  + i, − i ÷ .
 D D   6 − 2i 6 − 2i   10 10 5 5 
η
7
Αν μου δίνουν μια ανίσωση
z = x + yi
P(z ) ≥ 0
, ό π ου
P(z )
π ολυώνυμο ως π ρος
z . Θέτω
και γράφω την π αράσταση +q ( x , y)i ≥ 0 ( καρτεσιανή . μορφή
g ( x , y) σε κανονική
g ( x , y) ≥ 0
ο πό τ ε
q ( x , y) = 0
και
ο
Παράδειγμα 8
z για τους ο ποίους ισχύει z 2 > 1 με Re(z ) ≠ 0
Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί
Λύση
Θέτω z = x + yi , οπότε έχω
( x + yi)2 > 1 ⇔ x 2 − y2 + 2 xy > 1 ⇔
 x y >− 1  x > 1  x > 1 xή < − 1
⇔ ⇔ ⇔
2 xy= 0  y= 0  y= 0
22 2
Επομένως είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται πάνω στον άξονα των πραγματικών και με
τετμημένες μεγαλύτερες του 1 ή μικρότερες του –1.
η
8
Για να υ πο λογίσω δυνάμεις του
στη μορφή
i = −1
ο
Παράδειγμα 9
, διαιρώ τον εκθέτη
ν = 4κ + υ
2
και γνωρίζοντας ότι
i
ν
με το 4 και τον φέρνω
υ = 0,1,2,3
,
, έχω την τιμή της ο π οιασδή π οτε δύναμης .

7. 7
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α = 1 + i ν , ν ∈Ν *
Να υ π ο λ ογισθεί η τιμή της π α ρ άστ ασης
Λύση
Διακρίνω περιπτώσεις για το ν.
Αν ν = 4κ , τότε
Α = 1 + i 4 κ = 1 + (i 4 ) k = 1 +1k = 2
Αν ν = 4κ + 1 , τότε
Α = 1 + i 4 κ +1 = 1 + i 4 κ i = 1 + i
Αν ν = 4κ + 2 , τότε
Α = 1 + i 4 κ +2 = 1 + i 4 κ i 2 = 1 − 1 = 0
Αν ν = 4κ + 3 , τότε
Α = 1 + i 4 k+3 = 1 + i 4κ i 3 = 1 − i
η
Αν μου ζητούν το γεωμετρικό τό πο των εικόνων του μιγαδικού
9
z,
ό π ου ο
z
ικανο πο ι ε ί κά π ο ι α συνθήκη ( άμεσα z έμμεσα . τότε χρησιμο πο ι ώντ ας τη συνθήκη
ή
αυτή καταλήγω σε μια εξίσωση του
α π ό την ο π οία π ροσδιορίζω το ζητούμενο
γεωμετρικό τό πο .
ο
Παράδειγμα 10
Θεωρούμε το μιγαδικό , και μη πρ α γ μ ατ ικό αριθμό
τό π ο ς των
εικόνων του
z
z
. Να βρεθεί ο γεωμετρικός
, όταν ο μιγαδικός
w = z (z 2 + 4)
,
είναι π ρ α γ μ ατικός .
Λύση
Για να είναι ο
w πραγματικός, πρέπει w = w . Τότε:
z (z 2 +4) = z (z 2 +4) ⇔
⇔ z(z 2 + 4) = z (z 2 + 4) ⇔
⇔ z z 2 + 4z = z z 2 + 4 z ⇔
2
2
⇔ z z +4z − z z −4z = 0 ⇔
⇔ z −z ) z
(
2
−4(z −z ) = 0 ⇔
⇔(z − z )( z
Επειδή ο
2
− 4) = 0
z δεν είναι πραγματικός, είναι z ≠ z , οπότε
z =
2
.
Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με εξίσωση
x 2 + y2 = 4
(
( 2
από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί τα σημεία Α − ,0) και Β 2,0) γιατί στα σημεία αυτά ο
z
γίνεται πραγματικός.
η
10
Για να βρω την τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού ακολουθώ την πι ο κάτω
w =α
διαδικασία : + βi
Έστω
α, β ∈R
,
z
z 2 = ζητάω να βρω την τετραγωνική
μιγαδικός του ο ποίου w
του ρίζα , δηλαδή μιγαδικό
τέτοιο , ώστε
.

8. 8
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Αν
β ≠0
± α
, αν α > 0

z=  0
, αν α = 0

 ± i − α , αν α < 0
τότε
z2 = w ⇔
⇔ ( x + yi) 2 = α + βi ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = α + βi ⇔
()
 x2 − y2 2 = a2 + )( 4 4 2 2 2 2
x − y = α
⇔  ⇔  ⇒ x + y + 2x y = α + β ⇔
2 xy = β  4x2y2 = β2
2 2
(
⇔ x 2 + y2
Ο π ό τε
η
11
2
= α 2 + β2 ⇔ x 2 + y2 = α 2 + β2

a + a 2 + β2
x= ±
2 2
 x − y = α  2
 2 2 2 2⇔ 
 x + y = α + β  − a + a 2 + β2
 y= ±

2
x, y
2 xy =β
Α π ό την
)
βλέ π ω αν οι
είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι .
Για να βρω τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή για το μέτρο αθροίσματος ή διαφοράς
δύο μιγαδικών , χρησιμο ποιώ − z 2 τριγωνική≤ z1 + z 2
z1 την ≤ z 1 + z 2 ανισότητα , δηλαδή την
.
Πρέ πει να εξασφαλίζω ότι υ πάρχει μιγαδικός για τον ο ποίο έχουμε τη μέγιστη ή την
ελάχιστη τιμή .
Το μέγιστο και το ελάχιστο μ πορώ ε πίσης να το προσδιορίσω και γεωμετρικά
ο
Παράδειγμα 11
Αν για τον μιγαδικό αριθμό
z
ισχύει z − 2 − 2i = 2 , να βρεθεί η μεγαλύτερη και η
μικρότερη τιμή της π α ρ ά στασης
z −5+i

9. 9
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύση
Η παράσταση που θέλω να προσδιορίσω το μέγιστο και το ελάχιστο γράφεται
Α = z − 5 + i = z − 2 − 2i − 3 + 3i
Από την τριγωνική ανισότητα έχω
z − 2 − 2i − −3 + 3i ≤ Α ≤ z − 2 − 2i + −3 + 3i ⇔
2 −3 2 ≤ Α ≤ 2 + 2 2 ⇔
⇔2 2≤Α≤4 2.
Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός z1 τέτοιος, ώστε
 z1 − 2 − 2i = 2


.
 z1 − 5 + i = 2 2

Αντικαθιστώ z1 = x + yi και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι z1 = 3 + i .
Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός z2 τέτοιος, ώστε
 z2 − 2 − 2i = 2


.
 z2 − 5 + i = 4 2

Αντικαθιστώ z1 = x + yi και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι z2 = 1 + 3i .
Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι η 2 2 και η μέγιστη 4 2 .
( Για το γεωμετρικό τρό πο να δω τη λυμένη άσκηση 18.
η
12
Για να βρω το γεωμετρικό τό πο των μιγαδικών πο υ ικανο πο ι ού ν σχέση μέτρων ,
υψώνω τη σχέση στο τετράγωνο και τελικά αντικαθιστώ το μιγαδικό στην
καρτεσιανή του μορφή .
Καθοριστικό ρόλο π α ί ζε ι π ο λ λ έ ς φορές η γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου .
ο
Παράδειγμα 12
z
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τό πο ς των εικόνων των μιγαδικών , για τους ο ποίους
ισχύει
z −3i = z −2 +3i
.
Λύση
Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχω
(z − 3i)(z + 3i) = (z − 2 + 3i)(z − 2 − 3i) ⇔
⇔3i(z − z ) = −3i(z − z ) − 2(z + z ) − 4 ⇔
⇔ 3i(z − z ) + (z + z ) + 2 = 0 .
Θέτω z = x + yi , x, y ∈ R και ισοδύναμα έχω
−6 y + 2 x + 2 = 0 ⇔
⇔ x −3 y +1 = 0
Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία με εξίσωση x −3 y +1 = 0
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

10. 10
1.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Να γραφούν σε καρτεσιανή μορφή και να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών
1 + 4i
2−i
z = (1 + 3i)2i − 5(2 − i)
w=
+
α.
β.
1 − 2i 1 + 2i
ΛΥΣΗ
Κάνοντας όλες τις επιτρεπτές πράξεις έχω:
z = (1 + 3i)2i − 5(2 − i) ⇔ z = 2i − 6 − 10 + 5i ⇔ z = −16 + 7 i .
α.
z = (− ) 2 +7 2 = 305
16
1 + 4i
2−i
(1 + 4i)(1 + 2i) (2 − i)(1 − 2i)
+
⇔w=
+
⇔
1 − 2i 1 + 2i
(1 − 2i)(1 + 2i) (1 − 2i)(1 + 2i)
1 + 2i + 4 i − 8 2 − 4i − i − 2
− 7 + 6 i 5i
⇔w=
+
⇔w=
− ⇔
2
2
2
2
5
5
1 +2
1 +2
7 1
⇔w=− + i
5 5
w=
β.
2
2
50
 7 1
w = −  +   =
= 2
5
 5 5
2.
Να δείξετε ότι αν δύο μιγαδικοί αριθμοί έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό και διαφορά
φανταστικό αριθμό, τότε οι μιγαδικοί είναι συζυγείς.
ΛΥΣΗ
Έστω
z 1 = α + βi
και
z 2 = γ + δi
.
Έχω:
z 1 + z 2 = (α + γ) + (β + δ)i και z1 − z 2 = (α − γ) + (β − δ)i .
Επειδή
z 1 + z 2 ∈ R και z 1 − z 2 ∈ I ,
είναι
β + δ = 0 και α − γ = 0 ,
οπότε
β =−
δ
Άρα οι δύο μιγαδικοί είναι συζυγείς.
και α = γ

11. 11
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Να παρασταθούν στο μιγαδικό επίπεδο οι αριθμοί
3.
α.
z = 2 + (συνθ)i , θ ∈ R .
γ.
m = ημθ + (ημθ )i , θ ∈  0,


w = θ + (συνθ)i , θ ∈ R
β.
π

2
y
x=2
ΛΥΣΗ
x΄
z
Re(z ) = 2
α.
Επειδή
οι εικόνες του
ανήκουν στην ευθεία
Im( z )
− ≤ Im( z ) ≤1
1
x =2
. Για το
ισχύει
οπότε, οι εικόνες
z
ð
2
x ´
0
ð
3 ð
2
του
β.Αφού το Re(w) παίρνει τιμές από ολόκληρο το
2 ð
R , οι εικόνες του μιγαδικού w είναι η γραφική παράσταση του
x
-1
y´
συνημίτονου.
y
x´
γράφουν το τμήμα της
τεταρτημορίου. που
O (0,0)
Re(m ) = Im( m ) . Επομένως, οι εικόνες του
ευθείας
y´
 π
Είναι ημθ > 0 αφού θ ∈  0, 2  και


γ.
x
0
4.
y΄
είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ όπως αυτό φαίνεται στο διπλανό σχήμα
y
1
x
2
0
y=x
ο
(1 + i)z = 3 + 2i(w + w ) .
Να βρείτε τους z, w όταν
Οι z, w είναι συζυγείς.
β.
Ο
ου
βρίσκεται στο 1 τεταρτημόριο χωρίς το σημείο
Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει
α.
ου
(διχοτόμος 1 και 3
m
z είναι φανταστικός και ο w είναι πραγματικός.

12. 12
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ
α.
Έστω
z = x + yi
και
w = x − yi
με
x, y ∈R
. Η σχέση που έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται
(1 + i)( x + yi) = 3 + 4 xi ⇔
⇔ x + yi + xi − y = 3 + 4 xi ⇔
⇔ ( x − y) + ( x + y)i = 3 + 4 xi
Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα

x −=
x − y = 3 

 ⇔
 x + y = 4x  y −=

3
2
9.
2
Επομένως οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι
3 9
3 9
z =− − i
w=− + i
2 2 και
2 2 .
β.
Είναι
z = yi
και
w=x
με
x, y ∈R
. Τότε η σχέση που μου έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται
(1 + i) yi == 3 + 4 xi ⇔
⇔ −y + yi = 3 + 4 xi
.
Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα
 y −= 3
 − y= 3 
 ⇔ 3
 y = 4x  x −=
 4
Επομένως,
5.
z = −3i
και
w =−
3
4.
Για τον μιγαδικό z , να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες
z = z ⇔ z ∈R
α.
β.
z = −z ⇔ z ∈ I
(Να τις ξέρω ως θεωρία και να τις α ποδεικνύω αν τις χρειαστώ στις
εξετάσεις .

13. 13
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ z = α + βi α, β ∈R
Έστω z = z ⇔ z −,z = 0 ⇔ 2βi τότε⇔β = 0 ⇔ z ∈R
=0
α.
β.
6.
z = − z ⇔ z + z = 0 ⇔ 2α = 0 ⇔ α = 0 ⇔ z ∈ I
.
ν
ν
*
Αν z = (z + yi) − ( x − yi) , με x, y ∈R και ν ∈Ν , να δειχθεί ότι ο αριθμός
φανταστικός.
ΛΥΣΗ
Για να δείξω ότι ο
z
είναι φανταστικός, αρκεί να δείξω ότι
Πράγματι
z = −z
z =( x + yi) ν −( x − yi) ν =
=( x + yi) ν −( x − yi) ν =
= ( x − yi) ν − ( x + yi) ν =
[
]
= − ( x + yi) ν − ( x − yi) ν = −z
7.
Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση
z 2 + 2z + 1 = 0
ΛΥΣΗ
Θέτω
z = x + yi
με
x, y ∈R
και η εξίσωση γίνεται
2
( x + yi) + 2( x − yi) + 1 = 0 ⇔
⇔ x 2 + 2 xyi − y 2 + 2 x − 2 yi + 1 = 0 ⇔
⇔ x 2 − y 2 + 2 x + 1 + 2( x − 1) yi = 0 ⇔
 x 2 − y 2 + 2x + 1 = 0
⇔
⇔
 2(x − 1) y = 0
 x= 1
 2
y = 4
⇔ ⇔
  y= 0
  (x + 1)2 = 0

 x= 1

  y= ± 2

  y= 0
x= −1

.
z
είναι

14. 14
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης είναι
z = 1 + 2i , z = 1 − 2i , z = −1 .
8.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού
1

Re z −  = 0
z

z για τον οποίο ισχύει
ΛΥΣΗz = x + yi x, y ∈R
Θέτω
και έχω
1
z
Οπότε
Έτσι
z−
=
y
1
x
= 2
− 2
i
2
x + yi x + y
x + y2
.
 

y
1 
x
+y+ 2
i
= x − 2
2 
2 


z 
x +y  
x +y 
.
x
1

=0⇔
Re z −  = 0 ⇔ x − 2
x + y2
z



x 2 + y2 − 1
1
=0⇔ x
⇔ x 1 − 2
=0⇔

x 2 + y2
x + y2 


x= 0
⇔2 2
x + y = 1
Επομένως, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που επαληθεύουν τη δοθείσα σχέση είναι τα
σημεία του άξονα των φανταστικών, χωρίς το σημείο (0,0) καθώς και ο κύκλος (O,1) , όπου
Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς,
9.
Αν z ∈C και ισχύει
z −4 =2 z −
1
, να δειχθεί ότι z = 2 .
ΛΥΣΗ
Είναι
z −4 =2 z − ⇔
1
⇔z −4
2
= 4 z −1
2
⇔
(z − 4)(z − 4) = 4(z −1)(z −1) ⇔
⇔ (z − 4)(z − 4) = 4(z − 1)(z − 1) ⇔
⇔ z z − 4z − 4z + 16 = 4z z − 4z − 4z + 4 ⇔
⇔ 3zz = 12 ⇔
⇔z
2
=4 ⇔ z =2

15. 15
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
10. Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει
z − =1 − w
w
z
,
z =
1
.
να δειχθεί ότι
w =
1
ή
ΛΥΣΗ
Είναι
z −w =1 −z w ⇔
⇔ z −w
2
= 1 −z w
2
⇔
⇔( z − w)( z − w) = (1 − z w)(1 − z w) ⇔
⇔ ( z − w)( z − w ) = (1 − z w)(1 − zw ) ⇔
⇔ zz − zw − z w + ww = 1 − zw − z w + zz ww ⇔
⇔ zz + ww −1 − zz ww = 0 ⇔
⇔ zz −1 − ww ( zz −1) = 0 ⇔
⇔( zz −1)(1 − ww ) = 0 ⇔
(
⇔ z
2
)(
−1 1 − w
⇔z =1
ή
2
) =0 ⇔
w =
1
.
11. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τις εικόνες των μιγαδικών
z −2 +3i =3
α.
γ.
β.
z για τους οποίους ισχύει
z + 2 + i <2
1 ≤ z <2
y
ΛΥΣΗ
α.
x΄
x
(1. Γνωρίζω ότι η
ρ
εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ εικόνα του μιγαδικού και ακτίνα
, είναι
η
Η ισότητα που έχει δοθεί γράφεται
2
z −(2 −3i) =3
z −z0 =ρ
.
Επομένως, η (1. περιγράφει κύκλο με κέντρο
ρ =3
2 − 3i
μιγαδικού
και ακτίνα
.
Κ 2,− )
(
3
-3
y΄
, εικόνα του
y
-2
x΄
x
-1
β.
Είναι
z + 2 + i < 2 ⇔ z − (− − i ) < 2
2
y΄
.
( 2 1
Επομένως, πρόκειται για τα σημεία κυκλικού δίσκου με κέντρο το σημείο Κ − ,− ) και
ακτίνα ρ = 2 χωρίς τα σημεία της περιφέρειας.
γ.
Η ανισότητα
z ≤
2
προσδιορίζει τα σημεία κυκλικού δίσκου με
κέντρο O (0,0) και ακτίνα 2, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας.
y
x΄
-1
1
y΄
2
x

16. 16
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
z ≥
1
Η ανισότητα
προσδιορίζει τα σημεία που βρίσκονται εκτός του κυκλικού δίσκου με
κέντρο O (0,0) και ακτίνα 1, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας.
12. Να προσδιορίσετε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει :
z −1 = z −i = z +3i
y
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση
1
x΄
x
0
τμήματος ΑΒ με
Η εξίσωση
-3
y΄
εξίσωση
Α1,0)
(
(1. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου
και
y=x
επίπεδο έχει εξίσωση
.
1
y =−
1
z − = z −i
1
z −i = z +3i
τμήματος ΒΓ με
Γ0,− )
(
3
.
Β0,1)
(
. Η ευθεία αυτή σε καρτεσιανό
(2. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου
. Η ευθεία αυτή στο καρτεσιανό επίπεδο έχει
.
Αφού οι (1., (2. πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, προκύπτει το σύστημα
 y = x  x −= 1
 ⇔
 y −= 1  y −= 1
Άρα, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο z = −1 − i .
13. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δειχθεί η ισοδυναμία
2
2
2
z1 + z2 = z1 + z2 ⇔ z1 + z2 = z1 − z2 .

17. 17
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ
Έστω ότι
2
2
2
z1 + z2 = z 1 + z2
Ισοδύναμα έχω
.
z1 z1 + z 2 z 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) ⇔
⇔ z1 z1 + z2 z2 = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 ⇔
⇔ z1 z 2 + z 1 z 2 = 0
Έστω ότι
(1.
z1 + z 2 = z1 − z 2
Ισοδύναμα έχω
z1 + z 2
2
= z1 − z 2
.
2
⇔
⇔ ( z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ) = ( z 1 − z 2 )( z 1 − z 2 ) ⇔
⇔ z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2 = z1 z1 − z1 z 2 − z 2 z 1 +z 2 z 2 ⇔
⇔ 2( z1 z 2 + z1 z 2 ) = 0 ⇔
⇔ z1 z 2 + z1 z 2 = 0
Από τις σχέσεις (1.,(2. έχω ότι
2
+ z2
z1
2
= z1 + z 2
2
(2.
⇔ z1 + z 2 = z1 − z 2
14. Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 ισχύει z 1 z 2 ≥ 2 , να δείξετε ότι:
z1 + z 2
2
β.
z1 − z 2
2
γ.
1 + z1 z2 + 1 − z1 z2 ≥ 6
α.
2
= z1
2
= z1
2
2
+ z2
+ z2
2
+ 2 Re(z 1 z 2 )
− 2 Re(z 1 z 2 )
2
ΛΥΣΗ
α.
Γνωρίζω ότι το μέτρο ενός μιγαδικού υψωμένο στο τετράγωνο ισούται με το γινόμενο του
μιγαδικού και του συζυγή του. Επομένως,
2
z1 + z 2
=(z1 + z 2 )(z1 + z 2 ) =
2
2
= z1 z1 + z2 z2 + z1 z2 + z1 z2 = z1 + z2 + z1 z2 + z1 z2 =
= z1
2
+ z2
2
+2 Re(z1 z 2 )
β.
Αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.
γ.
Το πρώτο μέλος της ζητούμενης ανίσωσης γίνεται
1 +z1 z 2
=1 + z1
2
z2
2
2
+1 −z1 z 2
+2 Re(z1 z 2 ) +1 + z1
= 2 + 2 z1
2
z2
2
(
= 2 + 2 z1 ⋅ z 2
2
=
2
)
z2
2
2
≥ 2 +2 ⋅ 2 = 6
−2 Re(z1 z 2 ) =

18. 18
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
15. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού
οποίο ισχύει
2 z −3 +4i =6
z για τον

19. 19
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ
z −z 0 = ρ
Γνωρίζω πως η εξίσωση
ρ
K(z 0 )
και ακτίνα
.
στο μιγαδικό επίπεδο παριστάνει κύκλο με κέντρο
Η εξίσωση που έχει δοθεί γράφεται
2z −
Ισοδύναμα
z−
Επομένως, οι εικόνες του
3
+ 2i = 6
2
3
3

+ 2i = 3 ⇔ z −  − 2 i  = 3
2
2


3

ρ =3
K ,−2 
2
 και ακτίνα
γράφουν κύκλο με κέντρο 
.
z
16. Στο μιγαδικό επίπεδο, να προσδιορισθεί το σύνολο των σημείων, εικόνων του μιγαδικού z ,
για τον οποίο ισχύει
z − =z −
1
i
.
ΛΥΣΗ
α΄ τρό π ο ς
z − z1 = z − z 2
Γνωρίζω ότι η εξίσωση
AB
γράμμου τμήματος
περιγράφει τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυB z2 )
(
Az1 )
(
με
και
.
Επομένως,A1,0) B 0,1) περιγράφει την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα
η(δοθείσα εξίσωση
(
τα σημεία
,
.
y
y=x
Από τη συμμετρία προκύπτει ότι είναι η ευθεία
.
1
x΄
x
0
1
β΄ τρό π ο ς την αρχική ισότητα στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχουμε
Υψώνοντας
z −1
2
= z −i
2
⇔
⇔ ( z −1)( z −1) = ( z − i )( z + i ) ⇔
y΄
⇔ z z − z − z + 1 = z z + iz − iz + 1 ⇔
⇔ i(z − z ) = −(z + z )
(1.
Θέτω z = x + yi και η (1. ισοδύναμα δίνει
i(2 yi) = −2 x ⇔
−2 y = −2 x ⇔ y = x
17. Έστω P(z ) η εικόνα, πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, του μιγαδικού αριθμού
z για τον οποίο
ισχύει
z =z − − i
3 2
Να βρεθεί ο μιγαδικός
z
.
που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση και έχει το μικρότερο μέτρο.

20. 20
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΛΥΣΗ
Είναι
z
2
= z −3 −2i
2
⇔
⇔ z z = ( z − 3 − 2i )( z − 3 + 2i ) ⇔
⇔ z z = z z − 3z + 2iz − 3z + 9 − 6i − 2iz + 6i + 4 ⇔
⇔ 3z + 3z − 2iz + 2iz − 13 = 0 ⇔
⇔ 3(z + z ) − 2i(z − z ) − 13 = 0
(1.
Θέτω z = x + yi , x, y ∈R οπότε η (1. δίνει :
3(2 x ) − 2i(2 yi) −13 = 0 ⇔
⇔ 6 x + 4 y −13 = 0 .
Συνεπώς τα σημεία P(z ) γράφουν την ευθεία ε : 6 x + 4 y +13 = 0 .
Ο μιγαδικός που ανήκει στην
ε
και έχει το μικρότερο μέτρο είναι εκείνος που αποτελεί σημείο
τομής της κάθετης από την αρχή των αξόνων πάνω στην
ε
. Είναι :
λ ε λ ΟΚ = −1 ⇔
3
2
⇔ − λ ΟΚ = −1 ⇔ λ ΟΚ = .
2
3
2
Επομένως, η ευθεία ΟΚ είναι η y = 3 x ⇔ 2 x − 3 y = 0 .
y
13
4
Κ
Προσδιορίζω το σημείο Κ λύνοντας το σύστημα των δύο ευθειών. Έχω
 6x + 4 y − 13 = 0
⇔

2x − 3 y = 0

 3
x =
 6 x + 4 y = 13
⇔
⇒
2
2 x − 3 y = 0 ×(−3) 
 y = 1
( +)
3
Συνεπώς, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο z = 2 − i
x΄
x
13
6
0
y΄

21. 21
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
18. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει
z − +4i =2
1
,
να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης
A= z +2
.
ΛΥΣΗ
z
z − +4i =2
1
Οι εικόνες του μιγαδικού 4) που επαληθεύουν την εξίσωση
K(1,−
βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο
και
A εκφράζει την απόσταση του τυχαίου σημείου
Η παράσταση
M ) που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου από το
(z
y
x ΄ P (- 2 ,0 )
1
2
σταθερό σημείο P(− ,0) και για να γίνει η απόσταση αυτή ελάχιστη
1
πρέπει το M να πάρει τη θέση M ενώ για να γίνει μέγιστη πρέπει
M
2
1
2
να πάρει τη θέση M , όπου M , M είναι τα σημεία όπου η PK
1
K
-4
τέμνει τον κύκλο.
M
Η απόσταση των σημείων P, K είναι
( PK ) =
x
0
2
y΄
( 1 − (−2)) 2 + ( −4 − 0 ) 2 = 25 = 5 .
Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι ρ = 2 θα έχω
(PM ) = 5 − 2 = 3 και (PM ) = 5 + 2 = 7 .
1
2
Επομένως
A = 3 και A = 7 .
min
max
Παρατήρηση : Αν ήθελα να π ρ ο σδι ορίσω και τα σημεία – μιγαδικούς για
τους ο π ο ί ο υς έχω την ελάχιστη και μέγιστη α πό σ τ αση θα έλυνα το
σύστημα κύκλου και ευθείας .
19. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει :
z ≤
1
,
να προσδιορισθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης
ΛΥΣΗ
Είναι
Όμως,
οπότε
και
Άρα
z − ≤z + ≤z +
2
2
2
.
z ≤1 ⇔ z ≥− ⇔ − z ≥1
−
1
2
z − =2 −z
2
≥
1
z +2 ≤1 +2 =3
A= z +2
.

22. 22
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
1 ≤ z +2 ≤3
.
20. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει
z − 2i
w=
z ≠ −i .
z +i ,
Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών
z όταν ο w είναι καθαρά
φανταστικός.
ΛΥΣΗ
Ο μιγαδικός
y
w
είναι καθαρά φανταστικός όταν και μόνο όταν
Ισοδύναμα έχω
x
0
.
z + 2i
z − 2i
=−
⇔
z − 2i
z +i
K (0 ,1 )
x΄
w = −w
⇔ (z + 2i)(z + i) = −(z − 2i)(z − i) ⇔
⇔ z z + iz + 2iz − 2 = −z z + iz + 2iz + 2 ⇔
y΄
⇔ 2z z + i(z − z ) − 4 = 0
z = x + yi
( x , y) ≠(0,− )
1
x, y ∈R
(1..
Θέτω
με
και
2( x 2 + y 2 ) − 4 y − 4 = 0 ⇔
. Η εξίσωση (1. ισοδύναμα γίνεται
⇔ x2 + y 2 − 2 y − 2 = 0 ⇔
.
Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του
σημείο K(0,1) και ακτίνα
z είναι κύκλος με κέντρο το
ρ= 3
21. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει
z −2 + z +2 =6
.
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση που προσδιορίζει το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του
z −2 + z − − ) =6
( 2
z
ισοδύναμα γράφεται
(1..
Γνωρίζω ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους
στο μιγαδικό επίπεδο.
Η (1. επαληθεύεται από τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που το άθροισμα των αποστά-σεών
(
( 2
τους από τα σταθερά σημεία A2,0) και B − ,0) είναι σταθερό ( ίσο με 6. και μεγαλύτερο
από την απόσταση των δύο σημείων

23. 23
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Συνεπώς, ο γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με γ = 2 , α = 3 και
β = α 2 −γ 2 = 5
.
,
Δηλαδή πρόκειται για την έλλειψη με εστίες τα σημεία A B και εξίσωση
x 2 y2
+
=1 .
9
5
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Στο ίδιο συμπέρασμα θα κατέληγα αν έκανα διαδοχικές υψώσεις στο
τετράγωνο στην αρχική σχέση και κατόπιν αντικαθιστούσα z = x + yi με x, y ∈R .

24. 24
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
1.
Αν z1 , z 2 , z 3 είναι καθαρά φανταστικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι ο αριθμός
( z1 − z2 ) 2 + ( z2 − z3 )2 + ( z3 − z1 ) 2
είναι μη θετικός.
2.
Aν z = x + yi , w = κ + λi και zw = 1 , να δειχθεί ότι
κ=
x
y
λ=− 2
2 και
x +y
x + y2 .
2
Αν
ν ∈ ¥ * να δείξετε ότι:
α.
i ν + i ν +1 + i ν + 2 + i ν +3 = 0 .
γ.
3.
2006
αν z ≠ 0 είναι φανταστικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός z
είναι αρνητικός
β.
1
i
ν
+
1
i
ν +1
+
1
i
ν+ 2
+
1
i
ν+3
=0.
πραγματικός αριθμός.
4.
Να βρεθούν οι δυνατές τιμές της παράστασης
ν
ν
 3+i   i −3 
Α =
÷ +
÷ .
 1 − 3i   1 + 3i 
5.
Έστω οι μιγαδικοί z1 = 3 + 2i, z2 = 2 − 3i .
α.
Να δείξετε ότι
50
50
z1 + z2 = 0 .
*
Να προσδιορίσετε το μικρότερο ν ∈ ¥ για τον οποίο ισχύει
β.
ν
 z1 
 ÷ >0.
 z2 
6.
Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης
(
)(
)
Α = 1 + i ν ⋅ 1 − 3i ν +2 , ν ∈ ¥ .
7.
Nα δείξετε ότι ο αριθμός
(
z = 3+i 3
) + ( 3− i 3)
ν
ν
,
είναι πραγματικός για κάθε ν ∈ ¥ .
*
8.
Δείξτε ότι ο μιγαδικός αριθμός
z = ( α + βi ) 4 ν + ( β + αi ) 4 ν , ν ∈ ¥ *
είναι πραγματικός.
9.
Αν
z
μιγαδικός για τον οποίο ισχύει (z − i)(z + i) = 1 και z ≠ 1 + i ,να δειχθεί ότι ο μιγαδικός
z +1 − i
w=
1+ i − z

25. 25
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
είναι φανταστικός.
10. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ότι
( z − 2) ν = ( z + 2) ν
*
όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι φανταστικός.
11. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει
( z + i)
ν
α
1
3 
ν
= +
 2 2 i ÷ ( z − i)
÷


*
όπου ν ∈ ¥ , να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός.
12. Να δείξετε ότι η εξίσωση
( 1 + iz ) ν =
2 + 3ι
2 3 −i ,
ν∈¥ *
δεν έχει πραγματική ρίζα.
13. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση
2z z + z − z + 1 = 5 − 6i .
Δίνεται η εξίσωση
2 z 2 + 2 z + 1 = 0 ( 1) .
α.
Να λύσετε την εξίσωση (1..
β.
Αν z1 είναι η ρίζα της (1. με θετικό το φανταστικό μέρος, να γράψετε τον αριθμό
2
3
z1 − z1
2
z1 − z1 σε καρτεσιανή μορφή.
γ.
2
3
Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z1 , z1 αντίστοιχα, να προσδιρίσετε το είδος
του τριγώνου ΑΒΓ.
2
14. Δίνεται η εξίσωση z + αz + β = 0, α, β ∈ ¡ .
α.
Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι ο αριθμός
w=
z1 + z2 + 2βi
2 z1 z2 + α i
είναι φανταστικός.
β.
*
Αν η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα της μορφής λ ( 1 + i ) , λ ∈ ¡ , να δείξετε ότι:
i.
β>0
ii.
β=
α2
.
2
z z
2,
15. Να δειχθεί ότι ο μιγαδικός w = z + z είναι πραγματικός και ανήκει στο διάστημα [ − 2] .
16. Να λύσετε τις ανισώσεις
α.
z2 − 4z + 5 < 0
β.
z2 + 5 < 4z .

26. 26
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
1
17. Έστω μιγαδικός z με z ≠ − 2 i και z ≠ 0 . Θεωρούμε και τους μιγαδικούς
u=
z −1
1+ i
, w=
2z + i
z .
Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στην ευθεία ε : x − 2 y − 1 = 0 , να δείξετε ότι:
α.
Ο μιγαδικός u είναι πραγματικός.
β.
Η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει σε κύκλο.
/
18. Έστω z, w ∈C και ισχύει
z2
w=
.
z −1
Να δειχθεί ότι αν w ∈ ¡ , τότε οι εικόνες του μιγαδικού
z ανήκουν σε υπερβολή της οποίας
έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.
19. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w με
z +1
w= 2
z +1 .
Αν w ∈ ¡ να βρεθεί η γραμμή που γράφουν στο επίπεδο οι εικόνες του μιγαδικού
z.
z + 8i
20. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z . Αν w = z + 6 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων
του z , όταν:
w∈ ¡
α.
β.
w∈ I
z +i
21. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w . Αν ο w = z − i έχει εικόνα πάνω στον άξονα των
πραγματικών, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του
22. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών
z > c , c∈¡
3
z
z.
για τους οποίους ισχύει
*
+
2
23. Δίνεται η συνάρτηση f ( z ) = z + z , z ∈ £ . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ,
όταν:
α.
f ( z) = f ( z )
β.
Re ( f ( z ) ) = 1 + Re ( z )
24. Έστω μιγαδικοί z 1 , z 2 , z 3 διαφορετικοί ανά δύο με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία
Α , Β, Γ αντίστοιχα.
z −z
2
1
Να δείξετε ότι τα Α , Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ισχύει : z − z ∈ ¡ .
3
1
Μ

27. 27
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2
2
25. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z ≠ 0 .Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , 1 − z και − z
αντίστοιχα, να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z
οποίους ισχύει ΑΒ ⊥ ΑΓ .
26. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί
z +z = 2 + i
z
για τους
για τους οποίους ισχύει
.
27. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z , να δείξετε ότι:
α.
αν z − 10 = 3 z − 2 , τότε z − 1 = 3 .
β.
αν z + 1 = 4 , τότε z = 4 .
z + 16
28. Στο μιγαδικό επίπεδο να βρεθούν τα σημεία που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών
για τους οποίους ισχύει:
α.
z + 2 + 4i = 1
β.
Im ( z ) − 1 = z + i
γ.
z + 2 − 3i = z − 1 − i
δ.
z + 2 + z − 2 = 12
ε.
z
z −i − z +i =1.
29. α.
Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που περνά από ην αρχή των αξόνων και έχει
κέντρο την εικόνα του μιγαδικού z0 = x0 + y0i , x0 , y0 ∈ ¡ , έχει τη μορφή
z − z0 = z 0 .
β.
1
Αν z, w∈ £ με z ≠ 0 και w = z , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων
μιγαδικού w είναι ευθεία, όταν ο z βρίσκεται στον κύκλο του (α. ερωτήματος.
1
30. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 1 − z > z , να αποδείξετε ότι Re ( z ) < 2 .
1
1
2
*
31. Αν z ∈ £ και ισχύει z + z = z , να αποδείξετε ότι Re ( z ) = − 2 .
*
32. Αν z1 , z2 ∈ £ και 3z1 + 2 z2 = 3 z1 − 2 z2 , να αποδείξετε ότι:
α.
z1
∈Ι .
z2
β.
το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, όπου Α, Β οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα
και Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς.
του

28. 28
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
33. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 έχουν μέτρο 1, τότε:
α.
να αποδείξετε ότι είναι ισοδύναμες οι ισότητες
z1 + z2 − z1 z2 + 1 = 0 και z1 + z2 + z1 z2 − 1 = 0
β.
να προσδιορίσετε το μέτρο του μιγαδικού
z1 + z 2 + z1 z2 − 1
z1 + z 2 − z1 z2 + 1
34. Αν για τους μιγαδικούς z, w είναι
z =w =
1
, να δειχθεί ότι ο αριθμός
z +w
1+z ⋅w
είναι πραγματικός.
35. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει
z − 1 = z − 2i = z + 1 − 3i .
36. Αν z1 , z 2 μιγαδικοί αριθμοί , να δειχθεί ότι ισχύει
z1 z 2 + z 2 z1 ≤ z 1
2
2
+ z2
.
37. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , να δείξετε ότι
( 1+ z ) ( 1+ w ) ≥ z − w
2
2
2
.
38. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δείξετε ότι
2
(
1 + z1 z2 ≤ 1 + z1
2
) (1+ z ) .
2
2
39. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 = z2 = z3 = ρ > 0 , να δειχθεί ότι
z1 + z2 + z3 =
1
z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
ρ
40. Για τους μιγαδικούς z1 , z 2 να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις :
2
Re(z1 z 2 ) = Re(z1 z 2 )
z1 + z 2 = z 1
α.
β.
2
2
z1 − z2 = z1 + z2 − 2 Re( z1 z2 )
δ.
z1 + z 2
+ z1 − z 2
+ z2
2
+ 2 Re(z 1 z 2 )
2
γ.
2
2
2
(
= 2 z1
2
+ z2
2
) (Κανόνας παραλληλογράμμου.
(Το δ ερώτημα να το ξέρω ως θεωρία γιατί είναι πολύ «δυνατό εργαλείο »

29. 29
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
στα μέτρα )
41. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z 2 ισχύει
z1 −z 2 = z1 = z 2
να δειχθεί ότι
z1 +z 2 = 3 z1
42. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει
2
2
z12 + z 2 + z 3 = z1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z1 ,
να δειχθεί ότι
z1 − z 2 = z 2 − z 3 = z 3 − z1 .
43. Για τον μιγαδικό αριθμό z , να δειχθεί η ισοδυναμία
z 2 + z +1 = 0 ⇔ z = z + 1 = 1
44. Να δειχθεί ότι για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , ισχύει η ισοδυναμία
z1
2
+ z2
2
= z1 + z 2
2
⇔ z1 + z 2 = z 1 − z 2 .
2
45. Αν για τους μιγαδικούς z , z1 , z 2 ισχύει z1 z 2 = z ,, να δειχθεί ότι
z1 + z 2 =
z1 + z 2
z + z2
+z + 1
−z .
2
2
46. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών
z που ικανοποιούν την σχέση
z − 4i
=1 .
z −2
47. Για τους μιγαδικούς z1 ,z 2 ≠ 0 να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες:
α.
z1 + z2 = z1 + z2 ⇔
γ.
z1 − z2 = z1 − z2 ⇔
48. Έστω
z1
∈¡
z2
z1
∈¡
z2
*
+
*
+
β.
z1 − z2 = z1 + z2 ⇔
z1
∈¡
z2
*
−
.
z −3λ −3i = 2 z +3 −3λi
, z ∈£ .
Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες οι εικόνες του μιγαδικού
βρίσκονται σε περιφέρεια κύκλου.
Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των πιο πάνω κύκλων.
49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει z1 ×z2 = 1 + i .
Αν η εικόνα του z1 ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ ( 0, 1) και ακτίνα ρ = 1 , τότε:
α.
Να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z2 κινείται σ ευθεία.
β.
Να προσδιορίσετε το μιγαδικό z2 με το μικρότερο μέτρο.
z

30. 30
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
50. Αν
z1 , z2 ∈ £ *
με
z1 + z 2 = z1 − z 2
και Μ1 , Μ 2 είναι οι εικόνες τους αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο και Ο είναι η αρχή των
αξόνων, να δειχθεί ότι:
α.
γ.
∧
β.
Μ1 O Μ 2 = 900
Re( z1 z 2 ) = 0
z1 − z 2
2
= z1
2
+ z2
2
51. Αν t ∈ ¡ , και z = 4t + 3(1 − t)i ,
α.
Να δειχθεί ότι οι εικόνες του z κινούνται σε ευθεία
12
β.
Να δειχθεί ότι z ≥ 5 .
52. Δίνεται η εξίσωση z − 1 = z − 3i , z ∈ £ .
α.
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z .
β.
Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z , για την οποία το z γίνεται ελάχιστο.
53. Να προσδιορισθούν τα σημεία M του μιγαδικού επιπέδου που αποτελούν εικόνες του
μιγαδικού
z για τον οποίο ισχύει
z +i + z −i =10
54. α.
Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο
1
1
10
+
= 2
ισχύει z − 3i z + 3i z + 9 .
β.
Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 ανήκουν στη γραμμή του (α. ερωτήματος και
είναι συμμετρικές ως προς το O ( 0, 0 ) , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή
z1 − z2 .
55. α.
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z , για τον
οποίο ισχύει
z − 4i − z + 4i = 6 .
β.
Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς του (α. ερωτήματος έχει το ελάχιστο δυνατό
μέτρο.
56. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 = z2 = z3 = κ > 0 και z1 + z2 + z3 = 0 να δείξετε ότι:
α.
z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 0
β.
1999
z1 + z1999 + z1999 = 0
2
3
του

31. 31
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2
2
2
57. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z 2 , z 3 ισχύει z1 + z 2 + z 3 = z1 + z 2 + z 3 = 0 να δείξετε ότι
z1 = z 2 = z 3 .
58. Για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 , με z1 ≠ z2 ≠ z3 ≠ z1 να δείξετε την ισοδυναμία
2
2
z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1 ⇔ z12 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
59. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 , με z1 ≠ z2 ≠ z3 ≠ z1 και ισχύει η σχέση
2
2
z12 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ,
να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
60. Αν για τον μιγαδικό αριθμό
z
ισχύει
z −3 +2 i =4
, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή
της παράστασης
Α = z + 4 −2i
.
61. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει
z ≤
1
, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της
παράστασης
Α = z −3 +i
62. α.
.
Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων που είναι εικόνες των μιγαδικών z για τους
οποίους ισχύει
z + 3 = z − 5 + 4i .
β.
Από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την παραπάνω ισότητα ποιος είναι εκείνος που
έχει το μικρότερο και ποιος εκείνος που έχει το μεγαλύτερο μέτρο.
63. Αν z1 , z2 ∈ £ με z1 = −2λ + ( 2λ − 3 ) i και z2 = λ − 2 − λi, λ ∈ ¡ , να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή
του z1 − z2 .
*
2
2
64. Αν z1 , z2 ∈ £ και z1 + z2 = z1 z2 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες
των z1 , z2 και την αρχή του συστήματος αναφοράς είναι ισόπλευρο και ότι
13
13
 z1 
 z2 
 ÷ +  ÷ =1.
 z2 
 z1 
z + 2i
65. Αν w = i z + 2 , z ∈ £ , z ≠ 2i και η εικόνα του z κινείται στον άξονα x ' x , να δείξετε ότι:
α.
Η εικόνα του w κινείται σε κύκλο.
2 ≤ w − 2 − 2i ≤ 3 2 .
β.
66. Οι μιγαδικοί αριθμοί z, w επαληθεύουν τις σχέσεις
2 z +i
2
−z −i
2
=17
και
w −4 = w −
12 −6i
.

32. 32
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης
Α = z −w
καθώς και οι τιμές των
z, w για τις οποίες η πιο πάνω παράσταση γίνεται ελάχιστη.
67. α.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w και τις εικόνες τους Α, Β αντίστοιχα.
Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς, να δείξετε ότι:
uuur uuu
r
ΟΑ ×ΟΒ = Re ( zw ) .
β.
Δίνονται οι μοναδιαίοι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 και Α, Β, Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα.
Αν ισχύει
z1 z2 ( z1 + z2 ) + z2 z3 ( z2 + z3 ) + z3 z1 ( z1 + z3 ) = 0 ,
να δείξετε ότι:
uuur uuu uuu
r
r
( ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ )
2
uuur 2 uuu 2 uuu 2
r
r
= ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ .
68. Έστω οι μιγαδικοί z1 , z 2 και Α,Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα.
Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ να δείξετε ότι:
α.
Το Μ είναι εικόνα του μιγαδικού
β.
2 ΟΜ ΑΒ ≤ ΟΑ
→
→
→
2
→
+ ΟΒ
2
.
1
( z1 + z2 )
2
Αν

33. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΠΡΩΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Άσκηση 1
α + βi
(1)
β + αi
Να δείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός.
Να δείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου, του
οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
Να βρείτε τους μιγαδικούς z που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο.
Να δείξετε ότι
4 < z − 3 + 4i < 7
Αν z1 , z2 μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να δείξετε ότι
ν
Έστω z ∈ £ , α,β ∈ ¡ με α ≠ β και ( 1 + iz ) =
α.
β.
γ.
δ.
ε.
z1 − z2 ≤ 2 .
Άσκηση 2
Δίνεται η εξίσωση z 2 − α z + β = 0 , z ∈ £ , α,β ∈ ¡ και z1 , z2 είναι οι ρίζες της με z1 = 2 + i .
α.
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β .
β.
γ.
2008
Να δείξετε ότι ο αριθμός z12008 + z2 είναι πραγματικός.
Έστω Α ( z1 ) , Β ( z 2 ) , Γ ( z3 ) οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 αντίστοιχα, με
z3 =
z1 1
+ ( 17 + i ) ,
z2 5
τότε:
ι.
Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
ii.
Αν
w − z1 = w − z1 ,
να δείξετε ότι w ∈ ¡ .
iii.
Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w , που επαληθεύουν των
εξίσωση
w − z2 + w − z2 = 10 ,
βρίσκονται πάνω σε έλλειψη.
Άσκηση 3
α.
β.
Έστω w ∈ £ τέτοιος, ώστε α w + βw + γ = 0 με α, β, γ ∈ ¡ και α ≠ β .
Να δείξετε ότι:
α w + βw + γ = 0
i.
ii.
w∈¡
Αν ο μιγαδικός αριθμός z επαληθεύει τη σχέση 2z 3 z + 5zz 3 + 7 = 0 , τότε:
i.
Να δείξετε ότι
z 3 z = zz 3 = −1 .
ii.
Να βρείτε το z .
iii.
Να βρείτε τον μιγαδικό z .
Άσκηση 4
 π
Δίνεται η εξίσωση z 2 − ( 2εφθ ) z + 1 = 0 , θ ∈  0, ÷ .
 4
α.
Να δείξετε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι μη πραγματικοί αριθμοί.
33

34. 34
β.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Έστω z1 , z2 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης .
Αν ισχύει
z + z2
,
z1 + z 2 = 1
3
να βρείτε την τιμή του θ και τις z1 , z2 .
Άσκηση 5
Έστω f ( z ) = z − iz , z ∈ £ .
α.
Να λύσετε την εξίσωση f ( z ) = 2 − i
β.
Αν f ( z ) = 2 , να βρείτε το z .
γ.
Αν z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες του w = f ( z ) ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται
από την αρχή των αξόνων .
Άσκηση 6
Δίνεται η εξίσωση zz + 4 Re( 1 − 2i ) z  + 4 = 0 (1).


α.
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών .
β.
Αν z1, z2 είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι
z1 − z2 ≤ 8 .
γ.
Αν t1, t2 είναι αντίστοιχα οι τιμές των z1 , z2 του β’ ερωτήματος , για τις οποίες η
παράσταση z1 − z2 γίνεται μέγιστη , να δείξετε ότι :
t1 + t2
2ν
ν
+ 10 ( t1 − t2 ) = 24 ν+1 ×5ν ,ν ∈ ¥
Άσκηση 7
Αν z ∈ £ ,
α.
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ( z ) όταν
1
z=
,λ ∈ ¡ .
1 + λi
β.
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z .
Άσκηση 8
Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με
z 
z 
z 
1
z1 = z2 = z3 = ρ και Re 1 ÷ = Re 2 ÷ = Re 3 ÷ = − .
2
 z2 
 z1 
 z3 
Να δείξετε ότι :
z1 + z2 + z3 = 0
α.
β.
Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι ισόπλευρο .

35. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Άσκηση 9
,
Δίνεται η εξίσωση z 2 − 6συνθ ×z + 4 + 5συν2θ = 0 , z ∈ £ ,θ ∈ ( 0 π ) .
α.
Να λυθεί η εξίσωση .
β.
Αν z1 , z2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης , τότε :
i.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των ριζών για κάθε θ ∈ ( 0, π) .
ii.
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του z1 − z2 .
Άσκηση 10
Αν για το μιγαδικό z , ισχύει z − ( 2 + 2i ) = 2 , να βρεθεί :
α.
Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z .
β.
Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z .
Άσκηση 11
z+i
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z , w με w =
,z≠i.
1 + iz
α.
Να δείξετε ότι w ≠ − i .
w−i
= z .
β.
Να δείξετε ότι
w+i
γ.
Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w στο επίπεδο και ισχύει ότι z = 1 , να
δείξετε ότι το Μ ανήκει στον άξονα x ′x .
δ.
Να δείξετε την ισοδυναμία w ∈ I ⇔ z ∈ I
Άσκηση 12
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει
z + 1 = z + 4i .
Να βρεθεί ο μιγαδικός με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο .
Άσκηση 13
z +1
, z ≠ 0.
z
Να γράψετε τον μιγαδικό f ( z ) σε κανονική μορφή .
Να δείξετε την ισοδυναμία
f ( z) ∈ ¡ ⇔ z ∈ ¡ .
Αν ισχύει f ( z ) ×f ( z ) = 2 , να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z
είναι κύκλος , του οποίου να βρείτε τα στοιχεία του .
Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος , να βρεθεί η μέγιστη και η
ελάχιστη τιμή του f ( z ) − 1 .
Δίνεται η συνάρτηση f ( z ) =
α.
β.
γ.
δ.
Άσκηση 14
Δίνονται οι μιγαδικοί z = 3 + 5συνφ + i ( 4 + 5ημφ ) , φ ∈ [ 0, 2π) .
α.
Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την
αρχή των αξόνων .
β.
Να βρείτε τον μιγαδικό z με το μεγαλύτερο μέτρο .
γ.
Αν για τους μιγαδικούς w, z ισχύει
i
z + = 4( 2 + i)
w
να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w είναι σημεία συνευθειακά .
35

36. 36
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Άσκηση 15
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους , ισχύει
z −2
 z −2
Re

÷= I m 
÷.
 z −6
 z −6
Άσκηση 16
Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει
3
z1 + z2 = 1 και z13 + z2 = −2 .
α.
β.
Να βρείτε τους z1, z2 .
Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0, z1 , z2 .
γ.
100
Να δείξετε ότι z1 + z100 = −1 .
2
Άσκηση 17
Θεωρούμε μιγαδικούς z για τους οποίους ισχύει z + 8 = 2 2z + 1 . (1)
α.
Να δείξετε ότι z = 2 .
β.
Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z + 3 − 2i .
γ.
Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση (1) με z1 ≠ − z2 και ν ∈ ¥ * , να
ν
z1ν + z 2
∈¡ .
δείξετε ότι ο μιγαδικός w =
ν
( z1 + z2 )
Άσκηση 18
Έστω α, β ∈ ¡ , ν ∈ ¥ * και οι μιγαδικοί z1 = ( α + βi ) , z2 = ( β + α i ) .
ν
α.
Να εκφράσετε τον z 2 συναρτήσει των z1 και i ν .
β.
Να δείξετε ότι , αν ο αριθμός ( α + βi )
ν
( β + αi )
2003
2003
είναι πραγματικός , τότε ο αριθμός
είναι φανταστικός .
Άσκηση 19
Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 ισχύει
( z1 + z2 ) 100 = ( z1 − z2 ) 100
να δείξετε ότι :
α.
Ο αριθμός z1z2 είναι φανταστικός .
β.
γ.
Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες των z1 , z2 και το σημείο Ο ( 0, 0 ) είναι
ορθογώνιο .
Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο παραπάνω τρίγωνο έχει εξίσωση
2
Άσκηση 20
z − Re ( z1 + z2 ) z  = 0


Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί z1 , z2 , z3 για τους οποίους ισχύει
Να δείξετε ότι :
3
3
α.
z13 = z2 = z3
γ.
ε.
z1 = z2 = z3
2
2
z1 + z2 + z3 = 0 και z12 + z2 + z3 = 0 .
β.
z1z 2 + z2 z3 + z3z1 = 0
δ.
22
22
z122 + z2 + z3 = 0
Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι ισόπλευρο .

37. 37
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Άσκηση 21
Έστω
α.
β.
γ.
δ.
λ ∈ ¡ και οι μιγαδικοί z ∉ ¡ τέτοιοι , ώστε λz + z = z .
Να δείξετε ότι λ = 1 .
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z .
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z − i .
Να δείξετε ότι z 3 ∈ ¡ .
Άσκηση 22
Έστω η εξίσωση x 2 − 6 x + α = 0 , α ∈ ¡ , η οποία έχει ρίζα έναν μιγαδικό και μη πραγματικό αριθμό που έχει
μέτρο 5.
α.
Να βρείτε τον α και τις ρίζες της εξίσωσης .
ν
β.
Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης και ν ∈ ¥ * , να δείξετε ότι ο αριθμός w = z1ν + z2
είναι πραγματικός .
γ.
Να βρείτε κάθε σημείο Μ ( x , 0 ) , ώστε το τρίγωνο που έχει κορυφές το Μ και τις
εικόνες των ριζών της εξίσωσης να είναι ορθογώνιο .
δ.
Αν w1 , w2 είναι συζυγείς μιγαδικοί , να δείξετε ότι
(w
2
− 6w1 + α ) ( w2 − 6w2 + α ) ≥ 0
2
1
Άσκηση 23
Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει
z8 + z + 3 = 0 .
Να δείξετε ότι :
α.
β.
8
z + z ≥3
z >
3
2
Άσκηση 24
Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει
α.
β.
z + z ( 1 + i) + z ( 1 − i) + 1 = 0 .
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z .
Να δείξετε ότι
2 −1 ≤ z ≤ 2 +1 .
γ.
Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση του πρώτου ερωτήματος , να
2
βρείτε το μέγιστο της παράστασης z1 − z2 .