Este documento explica cómo calcular el área y volumen de diferentes cuerpos geométricos. Describe las fórmulas para el área de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, así como las fórmulas para el volumen de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas.

1. ÁREAS DE CUERPOSÁREAS DE CUERPOS
GEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS
Para calcular el área de un cuerpo geométrico
realizaremos el desarrollo plano de la figura,
calculando las distintas áreas por separado y
sumándolas al final.

2. Antes de comenzar, tenemos que
repasar el Teorema de Pitágoras,
puesto que va a aparecer en algunos
de estos problemas.
Pero no sólo aparecerá sobre un plano,
como estamos acostumbrados, sino
que también aparecerá en el espacio.

3. Para hallar la distancia D podemos aplicar
lo siguiente:
Habrá ocasiones en
que no se presente de esta forma y
tengamos que considerar triángulos por
separado en distintos planos
para calcular las longitudes

4. Área de un PRISMA
A = 2·Abase + nºcaras · Acara

5. Ejemplo: Área de un PRISMA
A = 2·Abase + nºcaras · Acara
20 cm
4 cm
Ap
2 cm
4 cm
Teorema de Pitágoras
42
= Ap2
+ 22
12 = Ap2
Ap = 3’464 cm
Área de la base = perímetro x apotema
2
Área de la base = = 41’569 cm224 x 3’464
2
Área de una cara = 20 x 4 = 80 cm2
Atotal = 41’569 · 2 + 6 · 80 = 563’138 cm2

6. Área de una PIRÁMIDE
A = Abase + nºcaras · Acara
Nota: La altura de la pirámide no coincide con la altura de los
triángulos que forman las caras.

7. Ejemplo: Área de una PIRÁMIDE
A = Abase + nºcaras · Acara
15 cm
4 cm
5’505 cm
h
Teorema de Pitágoras
h2
= 152
+ 5’5052
h2
= 255’3109
h = 15’978 cm
Área de la base = perímetro x apotema
2
Área de la base = = 55’05 cm220 x 5’505
2
Área de una cara = = 31’956 cm2
Atotal = 55’05 + 5 · 31’956 = 214’83 cm2
5’505 cm
15 cm
15’978 x 4
2

8. Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE
A = Abase mayor + Abase menor + nºcaras· Acara
Nota: En este caso, tampoco la altura
de la pirámide coincide con la
altura de los triángulos que
forman las caras.

9. Ejemplo: Área de un TRONCO DE
PIRÁMIDE
A = Ab mayor + Ab menor + nºcaras · Acara
10 cm
4 cm
4 cm
h
Teorema de Pitágoras
h2
= 102
+ 12
h2
= 101
h = 10’05 cm
Área de la base mayor = 4 x 4 = 16 cm2
Área de una cara = = 30’15 cm2(4 + 2) x 10’05
2
Atotal = 16 + 4 + 30’15 x 4 = 140’60 cm2
10 cm
2 cm
Área de la base menor = 2 x 2 = 4 cm2
2 cm
10 cm
1 cm
h

10. Área de un CILINDRO
A = 2·Abase + Alateral
Abase = π r2
Alateral = 2πr · h
r
h
2 π r
r
h

11. 3 cm
12 cm
Ejemplo: Área de un CILINDRO
A = 2·Abase + Alateral
Área de la base = π r2
= 9π cm2
Área lateral = 2 π r h = 2 π 3 · 12 = 72 π cm2
Atotal = 2·9π + 72π = 90π cm2
= 282’743 cm2

12. Área de un CONO
A = Abase + Alateral
Abase = π r2
Alateral = π r g
A = π r2
+ π r g

13. Ejemplo: Área de un CONO
A = Abase + Alateral
Área de la base = π r2
= 9π cm2
Área lateral = π r g = π 3 · 10’44 = 31’132 π cm2
Atotal = 9π + 31’132π = 40’132π cm2
= 126’08 cm2
Datos
r = 3 cm
h = 10 cm
Teorema de Pitágoras
g2
= 102
+ 32
g2
= 109
g = 10’44 cm

14. Área de un TRONCO DE CONO
A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase menor = π r2
Abase mayor = π R2
Alateral = π g (R + r)
A = πR2
+ πr2
+ πg(R+r)

15. Ejemplo: Área de un TRONCO DE CONO
A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase mayor = π R2
= 64π cm2
Abase menor = π r2
= 4π cm2
Alateral = π g (R + r) = π 10 (8 + 2) cm2
Alateral = 100 π cm2
Atotal = 64π + 4π + 100π = 168π cm2
Atotal = 527’78 cm2
Teorema de Pitágoras
g2
= 62
+ 82
g2
= 100
g = 10 cm

16. VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri

17. VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri

18. VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri

19. VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri

20. Volumen de PRISMAS y CILINDROS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un prisma
Abase = 32
= 9 cm2
V = 9 cm2
· 5 cm = 45 cm3

21. Volumen de PRISMAS y CILINDROS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un cilindro
Abase = π r2
= 9π dm2
V = 9π dm2
· 5 dm = 45π dm3
V= 141’372 dm3

22. Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un cono
Abase = π r2
= π 152
= 225π cm2
V= (1/3) 225π cm2
· 13’229 cm
V= (1/3) 2976’47π cm3
= 992’16π cm3
1
3
Teorema de Pitágoras
g2
= r2
+ h2
202
= 152
+ h2
175 = h2
h = 13’229 cm

23. Área y Volumen de una ESFERA
A = 4 π r2
V = π r3
Ejemplo de área y volumen de una esfera:
A= 4 π r2
= 4 π 102
= 400π m2
= 1256’637m2
V= (4/3) π 103
m3
= (4/3) 1000 π m3
V= 1333’333 π m3
= 4188’789 m3
4
3