정점 변환

정점 변환
박수찬(ACA)
데브루키 525회

01
정 점 변 환
정점 변환이란,
3차원 세계의 깊이와 부피를 2차원인 모니터 화면에 나타내기 위해,
오브젝트의 구성 요소인 정점(vertex)을 적절한 공간으로 변환하는 것이다
로컬 공간 -> 월드 공간 -> 뷰 공간 -> 투영 공간
으로 변환해야 한다.

로컬공간->월드공간
01
정 점 변 환
오늘 할 내용은 이 4가지

로컬공간->월드공간
01
정 점 변 환
로컬 공간(Local Space)
오브젝트별 각자의 기준좌표(원점을 중심으로 하는 좌표)계
를 가지고 있으며, 물체마다 서로 다릅니다.
게임에 사용하기 위해, 우리는 이 로컬 공간의 물체를 세계
공간(World Space)에 적절히 배치해야 합니다.

왜로컬공간을사용할까?
01
1. 오브젝트는 한 씬에서만 사용되는게 아니므로, 한 씬에서의
월드좌표에 고정하는것은 효율적이지 않다. 그러느니 로컬 좌표로
가지고 있다가, 필요한 씬에서의 월드 좌표로 변환하는것이 더욱
낫다.
2. 같은 오브젝트를 위치, 회전방향만 다르게 해서 한 번에 많이
띄워야 할 때, 공통적인 정보만 정의해 놓고(나무 모양, 껍질
색 등) 나무의 위치나 방향, 크기 등은 각각 적절한 월드 변환을
통해 만드는 것이 낫다(인스턴싱).

잠깐멀리돌아갑시다
01
아 핀 공 간 / 아 핀 변 환
벡터 : 크기와 방향만을 가진 값.
벡터 공간 : 벡터에 대해 정의된 연산
법칙(덧셈, 스칼라 배수)이 적용되는
공간
(x, y, z)
벡터의 한계점 : 크기와 방향만을 가졌기 때문에, 위치를 표
현할 수 없다.
즉 게임의 오브젝트를 벡터만으로는 표현할 수 없다.
아핀 공간

01
P = (𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑃𝑧)
그래서 ‘점(point)’을 더했습니다.
즉 벡터 공간에 점의 개념을 추가한 공간
이 아핀 공간.
우리가 흔히 사용하는 좌표계(데카르트 좌
표계)과
똑같이 사용합니다.

01
(2,2,1)
(3,1,5) 1. 𝑃 ± 𝑉 = 𝑃
2. 𝑉 ± 𝑉 = 𝑉
3. 𝑃 − 𝑃 = 𝑉
아핀 공간에서의 점과 벡터의 연산
점 + 점은 아핀 공간에서 사용할 수 없다.
(3,1,5)
(2,2,1)
V = (1, -1, 4)

01
아핀 변환
로컬 좌표계 -> 월드 좌표계 좌표 변환을 위해 오브젝트의 구성 요소
인 점, 선, 면 등은 크기/방향/위치를 변환할 수 있어야 한다.

01
선형 변환
하나의 벡터 공간을 다른 벡터 공간으로 변환하는 함수.
== 벡터의 크기와 방향을 바꾸는 변환
즉, 스케일 변환과 회전 변환은 선형변환에 속한다.
또한, 선형변환은 행렬의 곱셈 형태로 만들 수 있다.

01
회전변환 / 스케일 변환의 예

01
위치 변환
𝑃 = 𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑃𝑧
𝐷 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑃` = 𝑃 + 𝐷 = (𝑃𝑥 + 𝑎, 𝑃𝑦 + 𝑏, 𝑃𝑧 + 𝑐)
그런데,
위치 변환은 행렬의 곱셈으로 나타낼 수 없으므로, 점점 계산이 복잡해진다..
𝑃` = 𝑃 ∗ 𝑀 + 𝐴
𝑃`` = 𝑁 𝑃 ∗ 𝑀 + 𝐴 + 𝐵
𝑃``` = 𝑄(𝑁 𝑃 ∗ 𝑀 + 𝐴 + 𝐵) + C....
단순한 덧/뺄셈.

01
만약, 위치 변환을 행렬의 곱셈으로 만들 수 있다면
훨씬 간단해질 수 있다.
𝑃′ = 𝑃 ∗ 𝑀
𝑃′′ = 𝑁 ∗ 𝑀 ∗ 𝑃
𝑃′′′
= 𝑄 ∗ 𝑁 ∗ 𝑀 ∗ 𝑃

01
그래서 차원을 하나 늘렸습니다.
Z = 1 인 xy평면이 있다고 생각해봅시다.

01
𝑃 ∗ 𝑇 = 𝑃′ 가 되는 행렬이 있다고 생각해보자.
[Px , Py , 1] *
𝑡11 𝑡12 𝑡13
𝑡21 𝑡22 𝑡23
𝑡31 𝑡32 𝑡33
=
𝑃𝑥 + 𝑎
𝑃𝑥 + 𝑏
1
𝑃𝑥 ∗ 𝑡11 + 𝑃𝑦 ∗ 𝑡21 + 𝑡31 = 𝑃𝑥 + 𝑎
𝑃𝑥 ∗ 𝑡12 + 𝑃𝑦 ∗ 𝑡22 + 𝑡32 = 𝑃𝑥 + 𝑏
𝑡11 = 1 , 𝑡21 = 0 , 𝑡31 = 𝑎
𝑡12 = 1 , 𝑡22 = 0 , 𝑡32 = 𝑏
1 0 0
0 1 0
𝑎 𝑏 1
T =

01
3차원에서도 동일하게 적용됩니다.
(x, y, z) -> (x, y, z, 1)

𝑥, 𝑦 → 𝑥 ∗ 𝑤, 𝑦 ∗ 𝑤, 𝑧 (𝑤 ≠ 0)
01
동 차 좌 표 계
𝑥, 𝑦 → 𝑥 ∗ 𝑤, 𝑦 ∗ 𝑤, 𝑧 (𝑤 ≠ 0)
𝑥, 𝑦, 𝑤 → (
𝑥
𝑤
,
𝑦
𝑤
)
직교좌표계에서 동차좌표계로 변환
동차좌표계에서 직교좌표계로 변환
간단한 형태의 동차좌표계 변환(w = 1)
𝑥, 𝑦 → 𝑥 ∗ 1, 𝑦 ∗ 1, 1
== (𝑥, 𝑦, 1)
이런 식으로 직교좌표계의 점을 동차좌표계의 점으로 바꿀 수 있다
아핀 변환에서는 W = 1인 동차좌표계만을 사용한다.

01
무한원점
W값이 0에 가까워질 수록 직교좌
표계로 변환했을 때 점점 무한히
원점에서 멀어지게 된다.
이러한 동차 좌표계의 무한원점을
직교좌표계의 벡터에 대응할 수
있다.

01
1 0 0
0 1 0
𝑎 𝑏 1
=2 5 0 2 5 0
크기와 방향만을 가진 벡터의 특징을 만족한다

2 5 1 − 2 5 0
= 0 0 1
01
1. 𝑃 ± 𝑉 = 𝑃
2. 𝑉 ± 𝑉 = 𝑉
3. 𝑃 − 𝑃 = 𝑉2 5 1 − 2 5 0
= 0 0 1
점 – 벡터 = 점
2 5 0 + 2 5 0
= 4 10 0
벡터 + 벡터 = 벡터
이제 아핀 공간에서 점과 벡터
를 구분할 수 있다.
W = 1이면 점, w= 0이면 벡터

다시좌표변환으로
01
벡터의 좌표변환

01
점의 좌표변환
좌표계 B에서 좌표계 A의 오브젝트를 변환하여
사용하고 싶을 때, B 좌표계 기준에서 A 좌표계
의 축 벡터의 방향(u,v)을 알고있으면 u,v에 x,y만
큼 스칼라곱을 해주어 변환할 수 있다.
즉 월드 변환을 위해선 월드 좌표 기준에서의
로컬 공간의 축 벡터와, 원점을 알고 있어야 한
다.

01
3차원도 똑같습니다.
만약 동차좌표계를 사용한다면..
좌표 변환 식을 행렬로
만들 수 있습니다.

01
참고 : 아핀 변환(비례,이동,회전)과 좌표 변환은 수학적 동치이다.
(둘이 바꿔 쓸 수 있다)
결론 : 로컬 좌표 -> 월드 좌표 변환을 위해서는, 월드 좌표 기준으로
서술된 로컬 좌표의 축 벡터와, 크기, 원점 좌표를 알고 있어야 한다.

01
로컬좌표계->월드좌표계
좌표 변환은 이런 식으로 해도 되지만..
그냥 SRT 형태로 정의해도 된다.
장점
u, v, w와 Q(월드 좌표계 기준
로컬 좌표계의 원점) 을 직접 구해서
좌표변환을 하는 대신, 원하는대로
편하게 스케일, 회전, 이동을 사용하
여 세계 좌표계에 안착시킬 수 있다.

이제카메라로
01
월드좌표계->카메라좌표계
게임에서는 세상(월드)을 가상의 카메라를 통해서 보게 된다.
월드 변환을 통해 모든 오브젝트의 좌표의 원점을 일치시켰으니,
이젠 카메라의 원점을 기준으로 좌표 변환을 수행해야 한다.
카메라 좌표계(뷰 좌표계) 변환

카메라변환
01
카메라변환
이전 로컬 좌표계->월드 좌표계 변환을 할 때, 월드 좌표 기준에서의
로컬 좌표의 축 벡터 / 원점 위치를 가지고 있으면 변환 행렬을 만들
수 있었다.
이 방법을 사용하여, 월드 좌표계 기준에서의 카메라의 위치/ 카메라
의 축 벡터(xyz) 를 가지고 있으면,
카메라 좌표계->월드 좌표계 변환을 수행하는 행렬을 만들 수 있다.

얼마안됐지만다시한번보자면..
01
카메라변환
그러므로, 카메라 좌표계->월드 좌표계를 수행하는 행렬을 M이라고
했을 때, 𝑀−1을 수행하면 월드 좌표계->카메라 좌표계를 수행하는
행렬을 구할 수 있다.
그런데, 현재 W는 좀 역행렬 구하기 힘들게 생겼다.

01
월드좌표계->카메라좌표계
카메라와 월드는 서로 역방향으로 움직이는 것 처럼 보인다.
그렇다면, 월드의 회전과 이동을 반대로 적용하면 카메라 시점으로
변환할 수 있지 않을까?

01
카메라변환
뷰 행렬(VM) = 카메라 회전 행렬 * 카메라 이동 행렬
== (월드 회전 행렬 * 월드 이동 행렬) 의 역행렬
참고 : 회전행렬의 역행렬은
전치행렬과 같으며, 이동행렬의
역행렬은 요소에 –를 취해준 행렬
과 같다.

01
필요한 요소 : 카메라를 배치할 원점, 월드 좌표계 기준에서 본 카메라의 축 3개.
w(look) = T – Q
y(right) = w 외적 j
v(up) = u 외적 w
두 벡터를 외적하면, 두 벡터에
동시에 수직인 벡터를 얻을 수
있다.
두 벡터를 외적하여 수직인 벡터
를 구할 때, 두 벡터는 직교하지
않아도 상관없다.

카메라좌표계->원근투영좌표계
01
투영변환
Near plane(근평면) : 카메라로
볼 수 있는 가장 가까운 거리
Far plane(원평면) : 카메라로 볼
수 있는 가장 먼 거리
Aspect Ratio : 화면의 종횡비
Fovy(field of view) : 시야각
이제 시야 절두체(view frustum) 안에 있는 오브젝트들을 투영 창에 투영
(Projection)하여, 게임에 출력할 수 있는 평면 창 형태로 만들어야 한다.

01
왜 절두체 형태로 생겼냐면, 원근감 구현을 위해서이다.
평행선들이 하나의 소실점으로 수렴되는 형태로 만들어야
깊이가 증가할수록(멀어질수록) 더 작아지는 현상을 만들
수 있다.
원근투영 변환은 하나의 3차원 정점 v를 v에 그어진 투영
선이 투영 창과 만나는 점 v＇로 변환하는 변환이다.
깊이

01
Fovy(FOV, field of view) 시야각

01
수직 시야각(α)과 종횡비(r)로 수평 시야각(β )까지 구할 수 있다.
d = 초점거리

01
닮음꼴 삼각형의 원리를 이용하여, 정점 x,y를 투영 창에 투영한
x’, y’를 구할 수 있다.
𝑦′ =
𝑦
𝑧 ∗ 𝑡𝑎𝑛(
𝑎
2
)
𝑥′ =
𝑥
𝑧 ∗ 𝑡𝑎𝑛(
𝑎
2
)

01
현재 모든 절두체 안의 정점들은, 이 범위 안에 있다.
이러한 작업을 수행한 뒤의 x’, y’ 좌표를 NDC(정규
화된 장치 좌표, Normalized device coordinates)라
고 한다.
투영 창의 크기가 종횡비(r)에 의존하므로, 하드웨어에 종횡비 값을
알려주어야 한다. 이러한 의존을 없애려면, 현재 –r~ r 범위내에 있
는 x’를 r로 나누어주면 된다.

01
이제 투영 행렬을 만들어 봅시다
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗
1
𝑟𝑧 tan
𝑎
2
0 0
0
1
𝑟𝑧 tan
𝑎
2
0
0 0 1
=
𝑥
𝑟𝑧 tan
𝑎
2
,
𝑦
𝑟𝑧 tan
𝑎
2
, z
문제점 1. 투영행렬에 정점의 z값이 들어가 있으므로, 정점마다 각
각 다른 투영행렬을 만들어 주어야 한다. 이는 수만 개의 정점마다
다른 투영행렬을 만들어 주어야 하므로, 효율이 떨어진다는 것을 의
미한다.
문제점 2. z로 나누는 연산이 비선형이다. 즉 행렬로 만들 수 없다.
해결방법 : 동차좌표계로 만든 다음, w를 z로 만들어버리자.

01
동차좌표계로 만들어서
투영행렬의 z에 대한 의존
성을 없애준 뒤
이후에 곱한 결과값을
직교좌표계로 다시
바꾸어 주면 된다.
(원근 나누기)

01
이제 절두체 안의 모든 정점들을 투영 창에 투영하는 행렬을 만드는
작업이 끝났습니다.
그런데, 누가 앞이고 누가 뒤지?

01
n = near plane 값
f = far plane 값
Direct3D는 깊이(z값)이 0~1 사이로 정규화 되어있
기를 요구한다. 이를 위해 [n, f] (그려지는 가장 가까
운 영역/ 가장 먼 영역)을 [0, 1]로 사상하는 작업이
필요하다. D3D는 실제 깊이값이 얼마인지는 관심이
없으며, [0, 1] 사이의 상대적인 깊이 비례만이 필요
하다.

01
조건 1을 B에 대하여 풀면 𝐵 = −𝐴𝑛 이 나오므로
이를 조건 2에 대입
𝐴 −
𝐴𝑛
𝑓
= 1
A의 분자 분모에 f를 곱하여 계산
𝐴𝑓
𝑓
−
𝐴𝑛
𝑓
= 1
𝐴𝑓 − 𝐴𝑛 = 𝑓
A로 묶으면
𝐴 =
𝑓
𝑓 − 𝑛
B = -An 이므로 𝐵 = −(
𝑓𝑛
𝑓−𝑛
)
즉
𝑔 𝑧 =
𝑓
𝑓 − 𝑛
−
𝑛𝑓
𝑓 − 𝑛 ∗ 𝑧

01
최종적으로 만들어진 원근투영 행렬
이 투영 행렬을 곱한 뒤의 정점을 가리켜 동차 절단 공간
(homogeneous clip space)에 있다, 혹은 투영 공간에 있다라고
표현하며, 투영 행렬을 곱한 뒤 원근 나누기(w로 나누기)까지
수행한 결과를 가리켜 NDC 공간에 있다고 표현한다.

THANK
YOU
출처 : DirectX 11을 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문 – 프랭크 D 루나
수학으로 시작하는 3D 게임 개발 – 양영욱
https://momenty.tistory.com/219 참고 블로그

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