아꿈사 (http://cafe.naver.com/architect1) 스터디 발표자료 이산수학 Ch.5 Graph,Tree

1. Mathematical structuresfor Computer Science이산수학 5.1 그래프의 정의와 표현 5.2 트리 아키텍트를 꿈꾸는 사람들 (http://cafe.naver.com/architect1) 현수명

3. 그래프의 응용

4. 그래프의 용어

5. 동형 그래프

6. 평면 그래프

7. 그래프의 표현

8. 트리

9. 트리의 용어

10. 트리의 응용

11. 이진트리의 표현

12. 트리 순회 알고리즘

14. 그래프의 응용

15. 그래프의 용어

16. 동형 그래프

17. 평면 그래프

19. Definition Graph 그래프는 순서쌍 (N, A, g)이다 N : Node 들의 집합. (공집합 안됨) A : Arc 들의 집합. (공집합 허용,유한개) g : Arc a 의 끝점이라고 하는 비순서쌍 x-y 가 각각의 arc a 로 사상하는 함수

20. Example 5.3 a3 Node Arc 2 a2 g(aX) 함수 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5 g(a1) = 1-2 g(a2) = 1-2 g(a3) = 2-2 g(a4) = 2-3 g(a5) = 1-3 g(a6) = 3-4

21. Example 5.4 a5 a1 a2 a3 2 4 1 a4 3 g(a3) = (1,3) g(a4) = (3,1) g(a1) = (1,2)

22. Definition Directed Graph 방향성 그래프는 순서쌍 (N, A, g)이다 N : Node 들의 집합. (공집합 안됨) A : Arc 들의 집합. (공집합 허용,유한개) g : Node x 와 node y 를 연결하는 arc a 를 사상하는 함수로서, 순서쌍인 (x,y) 로 표시

24. 그래프의 응용

25. 그래프의 용어

26. 동형 그래프

27. 평면 그래프

29. 그래프의 응용

30. 그래프의 용어

31. 동형 그래프

32. 평면 그래프

34. 루프loop 어떤 노드n 에 대하여 아크 n-n 이 있는 경우 a3 a3 = 2-2 는 루프이다. 2 a2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5 비루프그래프loop-free 그래프에서 루프가 없는 경우

35. 병렬 아크parallel arc 어떤 두개의노드가 서로 다른 두개의아크들로 연결된 경우 a3 a1과 a2는 병렬 아크 2 a2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5 단순 그래프simple graph 그래프가 루프와 병렬 아크를 갖지 않는 경우

36. 고립 노드isolated node 노드가 인접한 노드들을 갖고 있지 않은 경우 a3 노드5 는 고립 노드 2 a2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5

37. 차수degree 어떤 노드에 연결되어있는 아크의 수 a3 노드1 의 차수는 3 노드3 의 차수도 3 노드4 의 차수는 1 노드5 의 차수는 0 2 a2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5

38. 부분 그래프subgraph 그래프 g 의 노드집합과 아크집합에 대해 각각 이들의 부분 집합으로 이루어진 그래프 g’ a3 a3 a2 2 a4 a1 2 2 a6 a5 1 3 4 5 a2 a4 a1 a1 a5 a5 1 1 3 3 부분그래프 g’ 은 원래의 그래프 g 에서 어떤 부분을 삭제하고 나머지 부분은 변경하지 않은 채로 얻게 된다

39. 완전 그래프complete graph 그래프에서 어떠한 두개의노드가 서로 모두 인접해 있는 경우 2 a3 a4 2 a2 a1 a1 a5 1 a5 3 1 3 단순 그래프 이면서 완전 그래프

40. 경로path 노드와아크들의 연속적인 순서 어떤 노드n0에서 nk까지의 순서 n0, a0, n1, a1, … , nk-1, ak-1, nk a3 노드2 에서 4 까지의 경로들중에 하나 2, a1, 1, a2, 2, a4, 3, a6, 4 노드2 에서 4 까지 경로의 길이는 4 a2 2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5 경로의 길이length of path 경로상에 있는 아크들의 수

41. 연결 그래프connected graph 각 노드에서 시작하여 다른 모든 노드까지 경로가 있는 경우 2 a3 a4 연결 그래프 a3 2 a2 a1 a2 a1 2 a4 a5 1 a5 3 1 3 a1 a6 a5 1 3 4 5 연결 그래프아님!

42. 사이클cycle 어떤 노드n0에서 시작하여 n0까지 도달하는 경로가 있는 경우 1, a1, 2, a4, 3, a5, 1 a3 a2 2 a4 a1 a6 a5 1 3 4 5 비순환 그래프acyclic graph 그래프에 사이클이 존재하지 않는 경우

43. Example 5.8 K4 K1 K2 K3 simple-complete graph 각각 한 개, 두 개, 세 개, 네 개의 노드들로 구성된 단순, 완전 그래프 N 개의 노드들로 구성된 단순,완전 그래프는 Kn으로 표기

44. 1 2 완전 그래프는 아니다. 각 노드가 다른 모든 노드와 인접해 있지 않기 때문 {1, 2} 와 {3, 4, 5} 로 표현가능 3 4 5 같은 집합에 속한 노드들 사이에는 아크가 없지만, 서로 다른 집합에 속한 노드들 사이에는 아크가 있다 완전 이분할 그래프bipartite complete graph

47. 그래프의 응용

48. 그래프의 용어

49. 동형 그래프

50. 평면 그래프

55. 그래프의 응용

56. 그래프의 용어

57. 동형 그래프

58. 평면 그래프

63. 노드2, 4 연결 3 4 3 4

64. Definition Euler 공식 그래프가 r 개의 영역들, n 개의 노드들, a 개의 아크들로 되어있다고 할때 n – a + r = 2 준동형 그래프homeomorphic graph 두개의 그래프를 어떤 그래프의 단일 아크 x-y 를 새로운 아크인xv-vy들로 연속적으로 대체하면서 각각 얻을수있는 경우 이 두 그래프를 준동형 이라 한다 Kuratowshki정리 만약 그래프가 K5혹은 K3,3와 준동형인 부분 그래프를 포함하고 있으면 이 그래프는 비평면 그래프이다

66. 그래프의 응용

67. 그래프의 용어

68. 동형 그래프

69. 동형 그래프

71. 그래프에 대한 컴퓨터 표현방식 인접 리스트 adjacency list 즉 Linked list 1 1 2 4 • 1 1 3 • 2 2 3 3 4 4 • 2 4 1 3 3 • 4

73. 트리의 응용

74. 이진트리의 표현

75. 트리 순회 알고리즘

77. 부모parent 부분 트리subtree 자식child r 리프leaf 자식노드를갖고있지 않는 노드 노드의 깊이depth of node 루트에서 그 노드까지의 경로의 길이

78. 완전 이진트리complete binary tree 각 노드의 왼쪽오른쪽에 차례로 번호를 부여하면서 중간에 끊기는 일이 없는 트리 이진트리binary tree 각 노드가 반드시 두개 이하의 자식노드를 가지는 트리 r r 1 2 3 5 4 포화 이진트리full binary tree 모든 내부 노드가두개의자식노드를 가지며 모든 leaf 노드는 같은 depth 를 갖는 binary tree

80. 트리의 응용

81. 이진트리의 표현

82. 트리 순회 알고리즘

84. 트리의 응용

85. 이진트리의 표현

86. 트리 순회 알고리즘

89. 트리의 응용

90. 이진트리의 표현

91. 트리 순회 알고리즘

93. Example 5.24,25 a 전위preorder 루트 – 왼쪽 - 오른쪽 a b d e c f h i g c b 중위inorder 왼쪽 - 루트 - 오른쪽 d b e a h f I c g d g f e 후위postorder 왼쪽 – 오른쪽 - 루트 d e b h I f g c a i h

94. Example 5.27 * 전위prefix notation * + 2 x 4 -> *(2+x)4 -> (2+x)*4 4 + 중위infix notation (2+x)*4 2 x 후위postfix notation 2x+4* -> (2+x)4* -> (2+x)*4

96. 트리의 응용

97. 이진트리의 표현

98. 트리 순회 알고리즘트리에 대한 결과

99. 감사합니다