Simulação Estocástica - Introdução à Simulação Estocástica

Draft Cap´
ıtulo de Introdu¸õ ` Simula¸õ Estoc´stica
ca a ca a

Th´rsis T. P. Souza
a
t.souza@usp.br

Instituto de Matem´tica e Estat´
a ıstica
Universidade de Sõ Paulo
a

29 de outubro de 2012

Th´rsis T. P. Souza (USP)
a Introdu¸õ ` Simula¸õ Estoc´stica
ca a ca a 29 de outubro de 2012 1 / 36

Agenda

1 Preliminares

2 Equa¸˜es Diferenciais Estoc´sticas
co a

3 Solu¸˜es Num´ricas
co e


Agenda

1 Preliminares

co a

co e


Processos Estoc´sticos
a

Defini¸õ [Mikosch, 1999]
ca
Um Processo Estoc´stico X ´ uma cole¸õ de vari´veis aleat´rias
a e ca a o

(Xt , t ∈ T ) = (Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω),

definido em um espa¸o Ω.
c


Processos Estoc´sticos
a

Um Processo Estoc´stico X ´ uma fun¸õ de duas vari´veis.
a e ca a
Para um valor fixo de tempo t, X ´ uma vari´vel aleat´ria:
e a o

Xt = Xt (ω), ω ∈ Ω.

Para uma amostra aleat´ria ω ∈ Ω, X ´ uma fun¸õ do tempo:
o e ca

Xt = Xt (ω), t ∈ T .


Esperan¸a e Covariˆncia
c a

Defini¸õ
ca
Seja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estoc´stico.
a
A fun¸õ de esperan¸a de X ´ dado por
ca c e

µX (t) = E [Xt ], t ∈ T .

A fun¸õ de covariˆncia de X ´ dado por
ca a e

cX (t, s) = cov (Xt , Xs ) = E [(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t, s ∈ T .

A fun¸õ de variˆncia de X ´ dado por
ca a e
2
σX (t) = cX (t, t) = var (Xt ), t ∈ T .


Incrementos Estacion´rios e Independentes
a

ca
Seja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estoc´stico e T ⊂ R um intervalo. X ´
a e
dito ter incrementos estacion´rios se
a
d
Xt − Xs = Xt+h − Xs+h , para todo t, s ∈ T e t + h, s + h ∈ T .

X ´ dito ter incrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ T
e
com t1 < . . . < tn e n ≥ 1,

Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1

s˜o vari´veis aleat´rias independentes.
a a o


a

Exemplo
Seja ξ1 , ξ2 , . . . uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias independentes e
e a o
identicamente distribu´ ıdas. Ent˜o
a

Xn = ξ1 + ξ2 + . . . + ξn

´ um processo estoc´stico de incremento estacion´rio e independente em
e a a
respeito a n.


a

Exemplo
Existe um processo Xt de incremento estacion´rio e independente tal que
a
todo incremento ´ uma vari´vel aleat´ria normal, i.e.
e a o

Xt+∆t − Xt ∼ N (0, ∆t).

Al´m disso, Xt deve possuir uma distribui¸˜o de probabilidade normal, i.e.
e ca

Xt ∼ N (0, t).


Passeio Aleat´rio
o

Defini¸õ
ca
Seja {Xk }∞ uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias discretas
k=1 e a o
identicamente distribu´
ıdas. Para cada inteiro positivo n, denotamos Sn
como a soma X1 + X2 + . . . + Xn . A sequˆncia {Sn }∞ ´ chamada de
e n=1 e
Passeio Aleat´rio.
o

Propriedade
Incrementos em um Passeio Aleat´rio sõ independentes e identicamente
o a
distribu´
ıdos.


Processo de Wiener

ca
Um processo estoc´stico B = (Bt , t ∈ [0, ∞)) ´ chamado Processo de
a e
Wiener ou Movimento Browniano Padr˜o se:
a
O processo tem seu in´ em zero: B0 = 0;
ıcio
Possui incrementos estacion´rios e independentes;
a
Para todo t > 0, Bt tem uma distribui¸˜o normal N (0, t).
ca


Processo de Wiener

Segue da defini¸õ que um Movimento Browniano tem uma fun¸õ de
ca ca
esperan¸a
c

µB (t) = E [Bt ] = 0, t ≥ 0,

e como os incrementos Bs − B0 = Bs e Bt − Bs sõ independentes para
a
t > s, sua fun¸õ de covariˆncia ´
ca a e
2
cB (t, s) = E [[(Bt − Bs ) + Bs ]Bs ] = E [(Bt − Bs )Bs ] + E [Bs ]
= E (Bt − Bs )E [Bs ] + s = 0 + s = s, 0 ≤ s < t.


Movimento Browniano com Drift

ca
Considere o processo

Xt = µt + σBt , t ≥ 0,

com constantes σ > 0 e µ ∈ R. X ´ chamado de Movimento Browniano
e
com drift (linear) e possui as seguintes fun¸˜es de esperan¸a e covariˆncia,
co c a
respectivamente

µX (t) = µt e cX (t, s) = σ 2 s, s, t ≥ 0 com s < t


Movimento Browniano Geom´trico
e

ca

Xt = e µt+σBt , t ≥ 0,

com constantes σ > 0 e µ ∈ R. X ´ chamado de Movimento Browniano
e
Geom´trico e possui as seguintes fun¸˜es de esperan¸a e covariˆncia,
e co c a
respectivamente
2 )t
µX (t) = e (µ+0.5σ e
(µ+0.5σ 2 )(t+s) 2 s−1
cX (t, s) = e (e σ ), s, t ≥ 0 com s < t


Agenda

1 Preliminares

co a

co e


Integral de Itˆ
o

Considere a seguinte equa¸õ
ca
t t
X (t) = X (0) + a(X (τ ), τ )dτ + b(X (τ ), τ )dW (τ ) (1)
0 0

Em um intervalo infinitesimal, podemos re-escrever essa equa¸õ em sua
ca
forma diferencial:

dX (t) = a(X (t), t)dt + b(X (t), t)dW (t), (2)
onde W (t) representa um processo de Wiener e a(X (t), t) e b(X (t), t)
sõ, respectivamente, a m´dia instantˆnea e desvio padrõ instantˆneo.
a e a a a


Integral de Itˆ
o

Genericamente, podemos escrever
t t
X (t) = X (0) + A(τ )dτ + B(τ )dW (τ ), (3)
0 0
onde A(τ ) e B(τ ) sõ fun¸˜es de X (τ ) para 0 ≤ τ ≤ t.
a co
Estamos interessados no caso em que
t t
E [|A(τ )|]dτ + E [|B(τ )|2 ]dτ < ∞ (4)
0 0
Processos que sõ solu¸˜es dessa equa¸õ sõ chamados de Processos de
a co ca a
Itˆ.
o


Integral de Itˆ
o

Defini¸õ [Soumar´, 2008]
ca e
A integral de Itˆ ´ definida como
oe

t n−1
t
B(τ )dW (τ ) = lim B(tk )[W (tk+1 ) − W (tk )], onde tk = k (5)
0 n→∞ n
k=0

Nota
No caso particular onde B(t) ´ uma fun¸õ determin´
e ca ıstica, essa integral ´
e
chamada de Integral de Wiener.


Lema de Itˆ
o

Considere X um processo uni-dimensional deﬁnido como:

dX (t) = a(X (t), t)dt + b(X (t), t)dW (t). (6)

Seja Y (t) = g (t, X (t)), onde g ´ duplamente diferenci´vel e cont´
e a ınua.
Ent˜o, o Lema de Itˆ diz que
a o

∂g ∂g 1 ∂2g
dY = + a(X (t), t) + b 2 (X (t), t) 2 dt
∂t ∂x 2 ∂x
∂g
+ b(X (t), t) dW .
∂x


Lema de Itˆ
o

Similarmente ao caso uni-dimensional, a mesma regra aplica-se para o caso
multi-dimensional.
¯
Seja X ∈ Rn um vetor de vari´veis aleat´rias com processo deﬁnido como
a o
¯ ¯ ¯ ¯
d X (t) = A(X (t), t)dt + B(X (t), t)d W (t). (7)
¯ ¯ ¯
onde A(X (t), t) ∈ Rn , W ∈ Rn e B(X (t), t) ∈ Rn×m .
Fazendo
¯ ¯ ¯
Y (t) = g (t, X (t)) = (Y1 (t, . . . , Yd (t)))T (8)
com g : R × Rn → Rd , ent˜o o Lema de Itˆ generalizado ´
¯ a o e

∂gk ∂gk 1 ∂ 2 gk
dYk (t) = dt + dXi (t) + dXi (t)dXj (t) (9)
∂t ∂xi 2 ∂xi ∂xj
i i


Lema de Itˆ
o

Exemplo de aplica¸˜o do Lema de Itˆ
ca o

Deseja-se calcular a seguinte integral
t
W (τ )dW (τ )
0

Para isso, fazemos X (t) = W (t) e escolhemos g tal que

Y (t) =g (t, X (t))
1
= W 2 (t).
2


Lema de Itˆ
o

Aplicando o Lema de Itˆ, temos
o
1
dY (t) = W (t)dW (t) + dt.
2
Assim,
t
1
W (τ )dW (τ ) =Y (t) − Y (0) − t
0 2
1 2 1
= W (t) − t.
2 2


Processo Log-Normal

dS = µSdt + σSdz,

onde µ e σ sõ constantes e dz representa um processo de Wiener.
a
Definimos

Y = ln S

Pelo Lema de Itˆ, temos que o processo seguido por Y ´
o e

σ2
dY = µ− dt + σdz
2

Como µ e σ sõ constantes, essa equa¸õ indica que Y = ln S segue um
a ca
processo de Wiener. O mesmo possui, entõ, m´dia µ − σ 2 /2 e variˆncia
a e a
com taxa constante σ 2 .

Processo Log-Normal

O incremento em ln S de um tempo 0 a um tempo futuro T segue,
portanto, uma distribui¸õ normal com m´dia (µ − σ 2 /2)T e variˆncia
ca e a
σ 2 T . Isso significa que

ln ST − ln S0 ∼ N ( µ − σ 2 /2 T , σ 2 T ).

ou

ln ST ∼ N (ln S0 + µ − σ 2 /2 T , σ 2 T ).

Esse ´ um processo comumente utilizado para descrever a dinˆmica de
e a
ativos financeiros.


Processo de Ornstein-Uhlenbeck
Seja X um processo aleat´rio representado por
o

dX (t)
= −aX (t) + bξ(t),
dt
dW (t)
onde ξ segue uma distribui¸õ normal. Se fizermos ξ(t) =
ca dt com
W (t) sendo um processo de Wiener, entõ
a

dX (t) = −aX (t)dt + bdW (t).

A resolu¸õ dessa equa¸õ diferencial implica em
ca ca
t
X (t) = X (0)e −at + e −a(t−s) bW (s)
0

Em finan¸as, esse ´ um processo de reversõ ` m´dia muito comum para
c e a a e
descrever a dinˆmica de taxas de juros e volatilidades estoc´sticas de
a a
retornos de ativos.

Agenda

1 Preliminares

co a

co e


Solu¸oes Num´ricas de Equa¸oes Diferenciais Estoc´sticas
c˜ e c˜ a

Considere a seguinte equa¸õ diferencial estoc´stica
ca a

dS(t) = a(S(t), t)dt + b(S(t), t)W (t), t ∈ (0, T ]
(10)
S(0) = S0

onde b : Rd × [0, T ] → Rd ´ conhecido e W (·) representa um processo de
e
Wiener.
Seja
t t
S i+1 (t) = S0 + a(S i (r ))du b(S i (r ))dW (u) (11)
0 0

para i ≥ 1 e S 0 = S0 . Entõ, S i → S quando i → ∞, onde S ´ a solu¸õ
a e ca
da equa¸õ 10.
ca


c˜ e c˜ a

Assim, a equa¸õ 11 fornece uma forma de obten¸õ de uma solu¸õ
ca ca ca
num´rica da equa¸õ 10.
e ca
H´ dois m´todos principais na literatura de como aproximar as
a e
integrais enunciadas: a Discretiza¸õ de Euler e a Discretiza¸õ de
ca ca
Milstein.


Discretiza¸˜o de Euler
ca

Para N ∈ N, seja h = T . Denotemos Si , Wi , ai para o i-´simo componente
N e
de S, W , a e bij para a ij-´sima entrada de b.
e
Seja
(k+1)h
Si ((k + 1)h) =Si (kh) + ai (S(u))du
kh
m (k+1)h
+ bij (S(u))dWj (u)
j kh


Discretiza¸˜o de Euler
ca

Na discretiza¸˜o de Euler, a integral ´ aproximada como
ca e
(k+1)h
ai (S(u))du ≈ ai (S(kh))h (12)
kh

e a Integral de Itˆ como
o
(k+1)h
bij (S(u))dWj (u) ≈ bij (S(kh))[Wj ((k + 1)h) − Wj (kh)] (13)
kh


Discretiza¸õ de Milstein
ca

A diferen¸a da Discretiza¸õ de Milstein para Discretiza¸õ de Euler
c ca ca
est´ na forma como a Integral de Itˆ ´ aproximada.
a oe
Na Discretiza¸õ de Euler, nõ sõ considerados os termos de maior
ca a a
ordem na s´rie de expansõ de Taylor da Integral de Itˆ, enquanto
e a o
que a Discretiza¸õ de Milstein os consideram.
ca
Isso faz com que o esquema de Milstein seja mais preciso e tenha
maior taxa de convergˆncia.
e


ca

Para N ∈ N, seja h = T . Denotemos Si , Wi , ai para o i-´simo componente
N e
de S, W , a e bij para a ij-´sima entrada de b.
e
Seja
(k+1)h
Si ((k + 1)h) =Si (kh) + ai (S(u))du
kh
m (k+1)h
+ bij (S(u))dWj (u)
j kh


ca

Na discretiza¸˜o de Milstein, a integral ´ aproximada como
ca e
(k+1)h
ai (S(u))du ≈ ai (S(kh))h (14)
kh

e a Integral de Itˆ como
o
(k+1)h
bij (S(u))dWj (u) ≈ bij (S(kh))[Wj ((k + 1)h) − Wj (kh)]
kh
d d (k+1)h
∂bij
+ (S(kh))blm [Wm (u) − Wm (kh)]dWj (u)
∂xl kh
l=1 m=1


c˜ e c˜ a

Exemplo de Discretiza¸õ
ca

Se tomarmos a(S(t), t) = µSt e b(S(t), t) = σSt na Equa¸õ 10, entõ
ca a
chegamos ao seguinte modelo

dSt = µSt dt + σSt W (t), t ∈ (t0 , T ]
(15)
S(t0 ) = S0


c˜ e c˜ a

Os poss´
ıveis valores assumidos por ST sõ, entõ, gerados ao sub-dividir o
a a
−t
tempo T − t0 em M passos temporais discretos de tamanho δt = TM 0 .
Assim, pela discretiza¸õ de Euler chegamos a
ca
√
Si+1 = Si + µSi δt + σSi δtx (16)

Utilizando a discretiza¸õ de Milstein temos
ca
√ 1
Si+1 = Si + µSi δt + σSi δtx + σ 2 Si (δtx 2 − δt) (17)
2
onde x ∼ N (0, 1) e i = 1, . . . , M.


Referˆncias
e

Mikosch, T. (1999)
Elementary Stochastic Calculus With Finance in View. Advanced Series on
Statistical Science and Applied Probability, Vol 6.

Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumar´, S. (2008)
e
Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLAB Programs. Wiley,
1 edition.


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