This is a pair of examples of Digital Electronic problems, solved just with the use of Boolean Algebra! One drawback... it's in portuguese language!!! Anyway... digital electronic is worldwide.

1. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
Exemplos de Eletrônica Digital
Exemplo 1
Projetar um circuito multiplicador de números binários positivos de 2 bits cada um.
Utilizar somente as regras da álgebra Booleana (e não os Mapas de Karnaugh) para
encontrar o circuito resultante.
Sol.:
Como os números binários de entrada A e B são compostos cada um de 2 bits, então
trata-se de um circuito de 4 bits de entrada. Neste caso o maior valor dado por cada um
deles é o valor 3 em decimal ou 11 em binário, ou seja, 3x3 = 9, aqui observamos que 9
é um número decimal de 4 bits!
Portanto, o nosso circuito multiplicador de 2 bits deverá ter como máximo 4 linhas de
saída, ou seja,
Agora vamos analisar como as funções booleanas de saída M0, M1, M2 e M3 são
formadas. Para isto, vejamos através de um exemplo numérico, para o caso de A = 11 e
B = 11, fazendo a multiplicação temos,
Aqui os bits 1 (em vermelho) são os bit de carry devido às somas em módulo 2! Como
esperado o resultado de 3x3 é 9 (1001 binário).
Então no caso genérico de termos os dois números A (A1 A0) e B (B1 B0) ambos de 2
bits, temos o seguinte,
Circuito Multiplicador
Binário de
2 bits
A0
A1
B0
B1
M0 (LSB)
M1
M2
M3 (MSB)
A
B
1 1
X 1 1
1 1 1
+ 1 1 1 a
1 0 0 1
A1 A0
X B1 B0
C1 A1B0 A0B0
C2 A1B1 A0B1 a
M3 M2 M1 M0

2. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
Neste caso,
M0 = A0B0,
M1 = A1B0 + A0B1
M2 = A1B1 + C1
M3 = C2
Onde C1 e C2 são os possíveis bits de carry que podem aparecer das somas realizadas
em módulo 2. Agora sim estamos prontos para escrever a nossa tabela-verdade deste
projeto.
B1 B0 A1 A0 A0B0 A1B0 + A0B1 = M1 C1 + A1B1 = M2 M3 = C2
0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 0 0 1 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 0 1 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 0 1 1 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 1 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 1 0 1 1 0 + 0 0 0 + 0 0 0
0 1 1 0 0 1 + 0 1 0 + 0 0 0
0 1 1 1 1 1 + 0 1 0 + 0 0 0
1 0 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
1 0 0 1 0 0 + 1 1 0 + 0 0 0
1 0 1 0 0 0 + 0 0 0 + 1 1 0
1 0 1 1 0 0 + 1 1 0 + 1 1 0
1 1 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0
1 1 0 1 1 0 + 1 1 0 + 0 0 0
1 1 1 0 0 1 + 0 1 0 + 1 1 0
1 1 1 1 1 1 + 1 0 1 + 1 0 1
Bits de Entrada M0 M1 M2 M3
Aqui as colunas sombreadas são as colunas que nos interessam para projetar o circuito
multiplicador de 2 bits.
Portanto,
1. Para M0 temos 4 mintermos,
2. Para M1 temos 6 mintermos,
3. Para M2 temos 3 mintermos,
4. Para M3 temos um (1) único mintermo.
O nosso seguinte passo é escrever as respectivas funções booleanas para M0, M1, M2 e
M3 e logo minimizá-las utilizando as regras da álgebra de Boole.

3. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
No caso de M0 temos,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Simplificando fica,
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ )
̅̅̅̅
(̅̅̅̅ )
Finalmente
Agora a função booleana para M1 é dada pela soma de 6 mintermos,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Fazendo as simplificações necessárias,
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ( ̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)
Portanto,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( )
Para M2 temos a função booleana,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Simplificando fica,
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)
Pela lei da Absorção,
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)

4. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
E para M3 temos,
O nosso último passo é o montar o circuito digital, no exemplo temos os valores A=11 e
B=11 de entrada e na saída podemos observar o resultado 1001.

5. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
Exemplo 2
Projetar um circuito somador de números binários de 2 bits cada. Utilizar somente as
regras da álgebra Booleana (e não os Mapas de Karnaugh) para encontrar o circuito
resultante.
Onde A0 A1 são os bits do número A e B0 B1 são os bits do número B, as saídas S0 e
C0 são as somas e o possível bit de carry respectivamente. Da mesma forma S1 e C1
são a soma e o bit de carry dessa segunda etapa do circuito.
Por exemplo, fazemos a soma dos números binários, A = 11 e B = 11,
Onde os bits em vermelho são os bits de carry C0 para a primeira soma e C1 para a
segunda soma, o resultado, como era de se esperar, é 110 (6 decimal).
Portanto, de forma genérica a soma de números binários de 2 bits é dada da seguinte
forma,
As saídas do circuito são,
S0 = B0 + A0
S1 = B1 + A1 + C0
C1 = C1
Meio Somador
Somador Completo
A0
B0
A1
B1
S0
C0
S1
C1
1 1
1 1
+ 1 1 1
1 1 0
C0 a
A1 A0
+ C1 B1 B0
C1 S1 S0

6. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
Agora passamos a fazer a tabela-verdade deste projeto de 4 bits de entrada (B1, B0, A1,
e A0).
B1 B0 A1 A0 B0 + A0 = S0 C0 + B1 + A1 = S1 C1
0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 + 0 0 0
0 0 0 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 0
0 0 1 0 0 + 0 0 0 0 + 1 1 0
0 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 1 1 0
0 1 0 0 1 + 0 1 0 0 + 0 0 0
0 1 0 1 1 + 1 0 1 0 + 0 1 0
0 1 1 0 1 + 0 1 0 0 + 1 1 0
0 1 1 1 1 + 1 0 1 0 + 1 0 1
1 0 0 0 0 + 0 0 0 1 + 0 1 0
1 0 0 1 0 + 1 1 0 1 + 0 1 0
1 0 1 0 0 + 0 0 0 1 + 1 0 1
1 0 1 1 0 + 1 1 0 1 + 1 0 1
1 1 0 0 1 + 0 1 0 1 + 0 1 0
1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 + 0 0 1
1 1 1 0 1 + 0 1 0 1 + 1 0 1
1 1 1 1 1 + 1 0 1 1 + 1 1 1
Bits de Entrada S0 C0 S1 C1
Dessa tabela verdade, as colunas que nos interessam apresentam as seguintes
características,
1. S0 tem 8 mintermos,
2. C0 tem 4 mintermos,
3. S1 tem 8 mintermos,
4. C1 tem 6 mintermos.
Portanto, a função boolena para S0 é dada por,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Simplificando,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)
̅̅̅̅ ( ) ( )

7. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
(̅̅̅̅ )( )
Finalmente,
( )
Agora encontramos a função booleana para o bit de carry C0,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ )
̅̅̅̅
(̅̅̅̅ )
Finalmente,
A função booleana para S1 é dada por 9 mintermos como mostrada embaixo,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Simplificando e lembrando que o bit de carry , podemos escrever,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Do primeiro e o quarto termo fatoramos (̅̅̅̅ ) e do terceiro e quinto termos
fatoramos ( ̅̅̅̅)
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ )

8. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
Agora temos que prestar muita atenção ao conteúdo entre parêntesis do primeiro e
terceiro termos.
Pela lei da Absorção temos que,
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
e
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Portanto, com essas considerações podemos escrever,
̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ̅̅̅̅)
Fatorado mais uma vez,
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)(̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Finalmente,
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅)( ) ( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Agora encontramos a função booleana para o bit de carry C1, esta é dada por 6
mintermos,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Fatorando elementos comuns do primeiro e quarto termo, assim como do segundo e
terceiro e do quinto e último para obter,
(̅̅̅̅ ̅̅̅̅) ̅̅̅̅ (̅̅̅̅ ) ( ̅̅̅̅ )
( ) ̅̅̅̅
( ) (̅̅̅̅ )
Finalmente,
( )

9. Eletrônica Digital
Prof. Aníbal Miranda
O passo final é a montagem do circuito digital, no exemplo temos os valores A=11 (3) e
B=11 (3), ou seja, 3 + 3 de entrada e na saída podemos observar o resultado 110 (6)
como esperado.