1. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
СОВЕТ РЕКТОРОВ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МОСКВЫ И МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
СБОРНИК ТРУДОВ
IХ РЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ
КОНФЕРЕНЦИИ
«ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ И МЕТОДИКИ
ПРЕПОДАВАНИЯ В СИСТЕМЕ «ШКОЛА – ВУЗ»
В УСЛОВИЯХ ПЕРЕХОДА К ЕДИНОЙ ФОРМЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ АТТЕСТАЦИИ ВЫПУСКНИКОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ»
Том 2
24 апреля 2008 года
МОСКВА 2009

2. 2
ББК 74.2+74.58 С 23
УДК 371+378
С 23 Сборник трудов IХ Региональной научно-практической
конференции «Профессиональная ориентация и методики препо-
давания в системе «школа – вуз» в условиях перехода к единой
форме государственной аттестации выпускников общеобразова-
тельных учреждений».
В настоящем сборнике представлены доклады и статьи
участников конференции. Работы печатаются в авторской редак-
ции.
Сборник предназначен работникам средней и высшей шко-
лы, интересующимся проблемой создания системы непрерывного
образования «школа – вуз».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
университета.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
В.Л. Панков (гл. редактор), В.В. Кузнецов (отв. редактор),
Л.С. Шпиленок (редактор)
© МИРЭА, 2009

3. 3
СОДЕРЖАНИЕ
С.В. Костин
СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ МНОГО-
ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И
ДЛЯ ИХ ЗНАЧЕНИЙ………………………................................... 6
О.А. Малыгина
ВНЕДРЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ВЫС-
ШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ....................... 19
О.Э. Немировская-Дутчак, О.Р. Параскевопуло
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕ-
НИЕ……………………………………………............................... 22
Е.Ю. Кузнецова, Т.А. Морозова, С.А. Унучек
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОНОТОННОСТИ БУЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ ПУТЕМ ДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИИ ПОПОЛАМ…………………………....................…... 24
К.Н. Лунгу
ФОРМИРОВАНИЕ, ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ
ПРИЕМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ…………. 28
Л.И. Лапушкина
ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НА-
ВЫКОВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ……………………....................... 35
И.В. Паламарчук, В.А. Росляков, М.Ю. Тихонов
ОБ ОДНОЙ ОШИБКЕ ПРИ НАХОЖДЕНИИ ЭКСТРЕМУМА
В КНИГЕ «3800 ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ»…………......................... 38
И.В. Паламарчук
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА В
ШКОЛЕ………………………………………………...................... 40
А.А. Сафронов
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ПО ТЕМЕ О
ДВИЖЕНИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ В КУРСАХ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ………....................................... 42
А.А. Сафронов
ОСВОЕНИЕ МЕТОДОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ПРО-
ЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ
ШКОЛЬНОГО И ВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ..................... 44

4. 4
Ю.И. Туснов, Н.А. Экономов
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТЕЙ.......... 46
Е.Э. Ратбиль
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВ-
КИ ПО ФИЗИКЕ……………………………………………... 47
О.В. Никольская
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ УРОКОВ ПО ЭЛЕКТИВНОМУ
КУРСУ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО
РУССКОМУ 51
ЯЗЫКУ……………………………………………..........
О.М. Корчажкина
МЕТОДИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ
УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО
ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ В РАЗДЕЛЕ 58
«АУДИРОВАНИЕ»........................
О.В. Кадырова
КОММУНИКАТИВНО-КОГНИТИВНАЯ НАПРАВЛЕН-
НОСТЬ ОБУЧЕНИЯ ЧТЕНИЮ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
СПЕЦИАЛЬНОГО АНГЛИЙСКОГО 69
ЯЗЫКА…………………………...
Н.А. Мищенко
КТО ВИНОВАТ? ЧТО ДЕЛАТЬ … С ОШИБКАМИ?................ 73
Н.А. Миролюбова
МЕТОДЫ САМООЦЕНКИ И САМОКОНТРОЛЯ, ПОЗВОЛЯ-
ЮЩИЕ СФОРМИРОВАТЬ ЯЗЫКОВОЙ ПОРТФЕЛЬ
(ПОРТФОЛИО) В ПРОЦЕССЕ РАЗВИТИЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТОВ
ТЕХНИЧЕСКОГО 82
УНИВЕРСИТЕТА………….......................................................
А.И. Орехова, М.А. Муравьева
ОБРАЗОВАТЕЛЬНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЛАТЫ-
НИ…............................................................................................ 89
Н.Б. Богуш
ОСОБЕННОСТИ НАЧАЛЬНОГО ЭТАПА ОБУЧЕНИЯ ИНО-
СТРАННОМУ ЯЗЫКУ В УСЛОВИЯХ ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА....... 91
Н.М. Симеонова
РАЗВИТИЕ КРЕАТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ
ОБУЧЕНИЯ АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ………………................ 97

5. 5
И.А. Щапова
РОЛЬ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НАУЧ-
НОГО ТЕКСТА………………………………………..................... 100
О.С. Абайдуллина, Ф.А. Нанай
ЛИНГВОСОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ АН-
ГЛИЙСКОГО 103
ЯЗЫКА………………………………………............
Е.А. Никитина
МУЛЬТИМЕДИЙНЫЙ КОМПЛЕКС «ФИЛОСОФИЯ» И ВА-
РИАТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ ОБУЧЕНИЯ…………………......... 105
А.В. Гусева
ПСИХОЛОГИЯ ИГРЫ…………………………………………..... 112
Н.И. Речкалова, Ю.А. Шерашова
ОБЕСПЕЧЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНО-
ГО ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ……………………... 117
Н.Б. Богуш
РОЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ АКЦЕНТУАЦИИ ХАРАКТЕРА И
СТИЛЯ САМОРЕГУЛЯЦИИ КАК ОДНОГО ИЗ ФАКТОРОВ
УСПЕШНОСТИ В РАЗНЫХ ВИДАХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ…....... 122
М.В. Попова
ТВОРЧЕСТВО И КУЛЬТУРА НЕОБХОДИМЫ КАЖДОМУ
УЧЕНИКУ………………………………………………………..... 129
И.В. Соколова
ВАЖНОСТЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ХОРЕОГРАФИИ В ШКОЛЕ
(ЗАНЯТИЯ РИТМИКИ)…………………………………………... 131
Е.Н. Гущина
ПЛАН ЗАНЯТИЙ КУРСА «НЛП В ПРЕПОДАВАНИИ»…….... 135
Г.Н. Мелехова
ЭТНОКОНФЕССИОНАЛЬНАЯ (ПРАВОСЛАВНО-РУССКАЯ)
ПРОБЛЕМАТИКА В ШКОЛЕ И В ВУЗЕ………… 142
С.Г. Гладышева
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ МИРО-
ВОЗЗРЕНИЯ РЕНЕССАНСА…………………………............. 156
Н.Н. Тарасенко
ОСОБЕННОСТИ РАЗВИВАЮЩЕЙ ПРОФОРИЕНТАЦИОН-
НОЙ РАБОТЫ ПСИХОЛОГА С РАЗЛИЧНЫМИ ГРУППАМИ
УЧАЩИХСЯ…………………......................................................... 168

6. 6
Е.Г. Андрианова, А.В. Мищенко, М.В. Ткачева, Д.И. Мирзоян
РАЗРАБОТКА МУЛЬТИМЕДИЙНОГО КОМПОНЕНТА ИН-
ТЕРНЕТ-ОРИЕНТИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА ПО
ФИЛОСОФИИ…………………………………………………...... 172
............
СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ МНОГО-
ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И
ДЛЯ ИХ ЗНАЧЕНИЙ
С.В. Костин
Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)
1. Полисемия и омонимия
Опыт преподавания математики студентам МИРЭА показы-
вает, что использование четкой и продуманной системы обозна-
чений позволяет существенно повысить быстроту и качество
усвоения материала.
Достаточно часто встречаются такие недостатки математи-
ческой символики как полисемия и омонимия.
Явление полисемии заключается в том, что один и тот же
математический знак, символ используется в разных местах для
обозначения различных, но в то же время родственных понятий.
Например, символ AB может обозначать прямую AB ( AB CD ), а
b
может обозначать длину отрезка AB ( AB = 5 ). Символ ∫ f ( x) dx мо-
a
жет обозначать определенный интеграл Римана (тогда, например,
1 dx
интеграл ∫ не существует), а может обозначать несобственный
0 x
1 dx
интеграл (тогда ∫ = 2 ).
0 x

7. 7
Явление омонимии заключается в том, что для обозначения
совершенно различных, не родственных друг другу понятий ис-
пользуются графически совпадающие математические символы.
Например, символ (4, 6) может обозначать числовое множество (
(4, 6) ⊂ R ), упорядоченную пару чисел ( (4, 6) ∈ R 2 ), наибольший об-
щий делитель ( (4, 6) = 2 ). Символ A может обозначать модуль
числа A , число элементов множества A , определитель матрицы
A , объем тела A .
Между полисемией и омонимией нет непроходимой грани-
цы. Иногда сложно определить, имеем ли мы дело с различными
значениями одного знака (полисемия) или с графически совпада-
ющими различными знаками (омонимия).
Полисемия и омонимия могут существенно затруднить вос-
приятие материала, а в некоторых случаях могут привести к его
полному непониманию. Определить значение полисемичного
знака (или определить, какой из нескольких омонимичных знаков
используется в данном месте текста) можно только из контекста.
Часто это бывает под силу сделать далеко не каждому студенту.
В теории функций комплексной переменной иногда одним и
тем же символом обозначают как одно какое-либо значение
многозначной функции, так и множество всех значений этой
многозначной функции. Речь, прежде всего, идет о следующих
многозначных функциях: 1) многозначная экспонента; 2) показа-
тельная многозначная функция; 3) корень n -й степени ( n = 2, 3,
…); 4) степенная многозначная функция.
Символы e z , a z , n z , zα могут обозначать, в зависимости от
контекста, либо одно из значений (обычно главное значение) со-
ответствующей многозначной функции, либо сразу множество
всех значений этой функции. Очевидно, что здесь мы имеем дело
с явлением полисемии.
Больше повезло тем многозначным функциям, которые
обозначаются с помощью последовательности букв латинского
алфавита. Достаточно распространенным и очень удобным яв-
ляется соглашение, согласно которому последовательность ла-
тинских букв, начинающаяся с прописной буквы, служит для

8. 8
обозначения множества всех значений многозначной функции, а
та же последовательность, начинающаяся со строчной буквы,
служит для обозначения главного значения этой многозначной
функции. В качестве примера можно привести следующие много-
значные функции: Arg z (аргумент), Ln z (логарифм), Arccos z
(арккосинус), Arch z (ареакосинус гиперболический) и др.
Цель данной работы заключается в том, чтобы предложить
новые обозначения, которые устраняют отмеченное выше явле-
ние полисемии, и позволяют, не прибегая к контексту, по самому
виду математического знака определить, идет ли речь об одном
из значений многозначной функции или о множестве всех значе-
ний этой многозначной функции.
Однако сначала, во избежание недоразумений, мы хотели
бы определить некоторые используемые нами понятия.
2. Многозначная функция и ее значения
Пусть A и B  множества, состоящие из элементов любой
природы, причем множество B не является пустым множеством (
B ≠ ∅).
Определение 1. Пусть каждому элементу множества A по-
ставлен в соответствие некоторый элемент множества B . Тогда
говорят, что задано отображение f множества A во множество
B и пишут: f : A → B .
Определение 2. Пусть f : A → B  отображение множества
A во множество B . Элемент b ∈ B , который отображение f ста-
вит в соответствие элементу a ∈ A , называется значением отобра-
жения f на элементе a и обозначается f (a) .
Прежде чем давать следующее определение, напомним, что
символом P(B) обозначается булеан (множество всех подмно-
жеств) множества B . Например, если B = {1, 2}, то P(B) = {∅, {1},
{2}, {1, 2}}.
Поскольку пустое множество ∅, по определению, является
подмножеством любого множества B , то оно является одним из
элементов множества P(B) .

9. 9
~
Обозначим символом P ( B) множество всех непустых под-
~
множеств множества B . Иначе говоря, P ( B) = P( B) {∅}.
~
Определение 3. Отображение F : A → P ( B) множества A во
~
множество P ( B) называется многозначным отображением множе-
ства A во множество B .
~
Определение 4. Пусть F : A → P ( B)  многозначное отоб-
ражение множества A во множество B и пусть a  произволь-
ный элемент множества A . Каждый элемент b непустого множе-
ства F (a) ⊂ B называется значением многозначного отображения
F на элементе a .
Определение 5. Пусть f : A → B  отображение множества
~
A во множество B и пусть F : A → P ( B)  многозначное отобра-
жение множества A во множество B . Отображение f называется
однозначной ветвью многозначного отображения F , если для лю-
бого a ∈ A элемент f (a) принадлежит множеству F (a) , то есть
f (a ) ∈ F ( a ) .
По поводу данных определений уместно сделать следующие
замечания.
Замечание 1. Если множество B является числовым множе-
ством, то есть если B  подмножество множества R действи-
тельных чисел или множества C комплексных чисел, то наряду с
термином «отображение» часто используют термин «функция», а
наряду с термином «многозначное отображение» часто использу-
ют термин «многозначная функция».
Замечание 2. Множество A называется множеством опреде-
ления отображения f : A → B (или многозначного отображения
~
F : A → P ( B) ) и обозначается символом V ( f ) (или V (F ) ). Множе-
ство определения может быть пустым множеством. Например,
функция f ( x) = arccos x + ln( x 2 − 4) имеет пустое множество опреде-
ления, то есть V ( f ) = ∅ (предполагается, что f  действительно-
значная функция действительной переменной).
Замечание 3. Из определения 3 следует, что понятие «отоб-
ражение множества A во множество B » не является частным слу-
чаем понятия «многозначное отображение множества A во мно-

10. 10
жество B ». Это связано с тем, что отображение ставит в соответ-
ствие элементам множества A элементы множества B , тогда как
многозначное отображение ставит в соответствие элементам мно-
жества A непустые подмножества (пусть даже одноэлементные)
множества B .
~
Замечание 4. Пусть F : A → P ( B) и пусть a ∈ A . Если рассмат-
~
ривать F как отображение множества A во множество P ( B) , то
значением этого отображения на элементе a будет непустое мно-
жество F (a) ⊂ B (см. определение 2). Если же рассматривать F как
многозначное отображение множества A во множество B (см.
определение 3), то значениями этого многозначного отображения
на элементе a будут элементы множества F (a) (см. определение 4).
Такая терминология может показаться нелогичной, но она об-
щепринята. Например, говорят: «корень n -й степени из z ( z ≠ 0 )
принимает n различных значений», вместо того чтобы сказать:
«значением корня n -й степени из z ( z ≠ 0 ) является множество из
n элементов». Даже само слово «многозначный» содержит в себе
как бы намек на то, что многозначное отображение принимает на
данном элементе a , вообще говоря, «много значений».
Если же подходить сугубо формально, то, поскольку «отоб-
ражение» и «многозначное отображение»  это разные понятия
(см. замечание 3), то у нас есть полное право по-разному опреде-
лить и понятия «значение отображения» и «значение много-
значного отображения». Так что с формально-логической точки
зрения никакого противоречия в наших определениях нет.
3. Принципы построения математической символики
Сформулируем основные принципы, которыми надо руко-
водствоваться при построении математической символики.
1). Принцип системности. Математические символы, ис-
пользуемые в каждом разделе математики, должны образовывать
систему. Это связано с тем, что математические символы служат
для обозначения математических понятий, а понятия, используе-
мые в каждом разделе математики, образуют целостную совокуп-
ность взаимосвязанных элементов, то есть систему. Системный

11. 11
характер математической символики нашел свое отражение даже
в самом термине «система обозначений».
2). Принцип однозначности. Каждому математическому
символу должно однозначно соответствовать обозначаемое им
понятие. Значение символа не должно зависеть от контекста (по
крайней мере, в пределах одного раздела математики), а должно
определяться исключительно его графической структурой.
Соблюдение этого принципа существенно повышает доступность
материала, способствует его более быстрому восприятию и более
глубокому пониманию.
3). Принцип преемственности. При расширении системы
обозначений ранее введенные символы должны сохранять свои
значения и должны входить в новую систему обозначений в каче-
стве подсистемы. Например, символ n z ( z ∈ R , z ≥ 0 , n = 2, 3,  )
обозначает в школе неотрицательное действительное число, n -я
степень которого равна z (арифметический корень n -й степени).
Символ n z ( z ∈ R , z < 0 , n = 2k + 1 , k ∈ N ) обозначает в школе от-
рицательное действительное число, n -я степень которого равна z
. Желательно, чтобы эти символы сохранили свои значения при
расширении системы обозначений.
4). Принцип мотивированности. Графические элементы, из
которых состоит символ, должны быть по возможности мотиви-
рованными. Например, должно быть понятно, почему в состав
символа входят, например, фигурные скобки, а не круглые или
квадратные, и т.п.
5). Принцип экономности. Число новых вводимых символов
должно быть минимальным, а каждый из этих символов должен
иметь как можно более простую структуру, то есть должен состо-
ять из наименьшего возможного числа как можно более простых
графических элементов.
4. Система обозначений
для многозначных функций и для их значений
Руководствуясь изложенными выше принципами, мы разра-
ботали стройную и логичную систему обозначений для всех наи-

12. 12
более часто встречающихся многозначных функций комплексной
переменной и для значений этих многозначных функций.
Перечислим основные символы нашей системы обозначе-
ний, сгруппировав их по тем многозначным функциям, к кото-
рым они относятся. Для полноты картины мы приводим не толь-
ко новые, специально созданные нами символы, но и те символы,
которые уже существуют и успешно используются в математике
и которые вошли в разработанную нами систему обозначений.
1) Аргумент.
Множество определения: V ( F ) = C {0} .
(Arg z ) ≡ arg z ( arg z ∈ ( − π, π] )  главное значение;
0
(Arg z) = arg z + 2πk  k -е значение ( k ∈ Z );
k
Arg z = { (Arg z) k | k ∈ Z }  множество всех значений.
2) Логарифм.
Множество определения: V ( F ) = C {0} .
(Ln z ) ≡ ln z = ln | z | + i arg z  главное значение;
0
(Ln z) = ln z + i ⋅ 2πk  k -е значение ( k ∈ Z );
k
Ln z = { (Ln z) k | k ∈ Z }  множество всех значений.
3) Многозначная экспонента.
Множество определения: V (F ) = С .
z 
(e ) ≡ e z ≡ exp z = e x (cos y + i sin y ) ( z = x + iy , x ∈ R, y ∈ R )
0
главное значение;
z
(e ) = e z (1 + i ⋅ 2 πk )  k -е значение ( k ∈ K ; K = {0, 1,  , q − 1} ,
k
p p
если z = , где p ∈ Z , q ∈ N и дробь несократима; K = Z , если
q q
z ∉ Q );
z
{e } = {( e z ) k | k ∈ K }  множество всех значений.
C
4) Показательная многозначная функция с основанием a (
a ∈ C , a ≠ 0 ).
Множество определения: V (F ) = С .
( a z ) 0 = e z ln a  главное значение;

13. 13
( a z ) k = e z ( Ln a ) k  k -е значение ( k ∈ K ; K = {0, 1,  , q − 1} ,
p p
если z = , где p ∈ Z , q ∈ N и дробь несократима; K = Z , если
q q
z ∉ Q );
{ a z } С = {( a z ) k | k ∈ K }  множество всех значений;
a z ≡ ( a z ) 0 ( a ∈ R , a > 0 , z ∈ R )  положительное действи-
тельное значение степени с положительным действительным
основанием и действительным показателем;
p
az ≡(az )k (a ∈ R, a < 0 , z = , где p ∈ Z , q = 2k + 1 , k ∈ N , и
q
p
дробь несократима)  действительное значение степени с от-
q
рицательным действительным основанием и действительным по-
казателем указанного вида.
5) Корень n -й степени ( n = 2, 3,  ).
Множество определения: V (F ) = С .
 arg z 
( n z ) 0 = n | z | ⋅ exp  i   главное значение;
 n 
 ( Arg z ) k 
( n z ) k = n | z | ⋅ exp  i
   k -е значение ( k ∈ K ; K = {0} ,

 n 
если z = 0 ; K = {0, 1,  , n − 1} , если z ≠ 0 );
{ n z } С = {( n z ) k | k ∈ K }  множество всех значений;
n z ≡ ( n z ) 0 ( z ∈ R , z ≥ 0 )  неотрицательное действительное
значение корня n -й степени из неотрицательного действительно-
го числа (арифметический корень n -й степени);
n z ≡ ( n z ) k = − n | z | ( z ∈ R , z < 0 , n = 2k + 1 , k ∈ N )  действи-
тельное значение корня нечетной степени из отрицательного дей-
ствительного числа.
6) Степенная многозначная функция с показателем α (α ∈ С , α ∉ Z ).
Множество определения: V (F ) = С , если Re α > 0 ; V (F ) =
= C {0} , если Re α ≤ 0 .
( zα ) 0 = eα ln z ( z ≠ 0 )  главное значение;

14. 14
( zα ) k = eα ( Ln z ) k ( z ≠ 0 )  k -е значение (k ∈ K ;
p p
K = {0, 1,  , q − 1} , если α = , где p ∈ Z , q ∈ N и дробь несо-
q q
кратима; K = Z , если α ∉ Q );
{ zα } С = {( zα ) k | k ∈ K } ( z ≠ 0 )  множество всех значений;
α α
z ≡ ( z ) 0 ( z ∈ R , z > 0 , α ∈ R )  положительное действи-
тельное значение степени с положительным действительным
основанием и действительным показателем;
p
α α
z ≡ ( z )k ( z ∈ R, z < 0, α = q
, где p ∈ Z , q = 2k + 1 , k ∈ N , и
p
дробь несократима)  действительное значение степени с от-
q
рицательным действительным основанием и действительным по-
казателем указанного вида;
( 0α ) 0 = 0 ( Re α > 0 )  главное значение, 0-е значение (в
точке z = 0 );
{ 0α } С = {( 0α ) 0 } = {0} ( Re α > 0 )  множество всех значений
(в точке z = 0 );
α α
0 ≡ ( 0 ) 0 = 0 ( α ∈ R , α > 0 )  степень с нулевым основани-
ем и положительным действительным показателем.
7) Арккосинус.
Множество определения: V (F ) = С .
arccos z  главное значение;
Arccos z = { ± arccos z + 2πk | k ∈ Z } – множество всех значений.
8) Ареакосинус гиперболический.
Множество определения: V (F ) = С .
arch z  главное значение;
Arch z = { ± arch z + i ⋅ 2πk | k ∈ Z } – множество всех значений.
Сделаем несколько замечаний относительно нашей системы
обозначений и используемых нами терминов.
Замечание 1. Многозначная экспонента F ( z ) = {e z }C  это

15. 15
многозначная функция, которая является частным случаем пока-
зательной многозначной функции с основанием a , когда a = e .
Чаще всего в теории функций комплексной переменной встреча-
ется однозначная ветвь f ( z ) = e z этой многозначной функции.
Функцию f ( z ) = e z можно было бы называть «главное значение
многозначной экспоненты», однако ввиду важности и распро-
страненности этой функции для нее существует более короткое и
более удобное название: «экспонента».
Замечание 2. Для обозначения главного значения корня n -й
степени из числа z нельзя, вообще говоря, вместо символа ( n z ) 0
использовать более простой символ n z . Это связано с тем, что
система обозначений должна удовлетворять принципу преем-
ственности и принципу однозначности. Символ 3 − 8 обозначает в
школе число (−2) . Это значение символ 3 − 8 должен сохранить и
в новой системе обозначений. Главное значение корня 3-й степе-
 arg(−8)  = 2 ei (π / 3) = 1 + i 3
ни из числа (−8) равно 3 − 8 ⋅ exp  i  . Для
 3 
обозначения этого числа мы используем символ ( 3 − 8 ) 0 .
Замечание 3. Степень с основанием x ( x ∈ R ) и показателем
y ( y ∈ R , y ∉ Z ) определяется в школе для x ≥ 0 , если y > 0 , и для
x > 0 , если y < 0 . Поэтому символ вида (−8) 2 / 3 в школе не имеет
смысла. Однако во многих вузовских курсах математики степень
y y име-
x определяется также для x < 0 в том случае, если число
p p
ет вид y = , где p ∈ Z , q = 2k + 1 , k ∈ N , и дробь несократима.
q q
А именно: x y = x p / q = q x p .
Такое расширение понятия степени вполне обоснованно.
Пусть, например, нам надо найти производную функции
3 4 / 3 , мы имеем
f ( x ) = x 4 . Записав функцию f (x ) в виде f ( x ) = x
возможность воспользоваться для нахождения ее производной
общей формулой ( xα )′ = α xα − 1 (в вузовских курсах математики

16. 16
доказывается, что эта формула справедлива и при x < 0 , если по-
казатель степени α имеет указанный выше вид). Имеем: f ′(x ) =
4 1/ 3 4 3
= x = x.
3 3
Итак, мы хотим, чтобы символ (−8) 2 / 3 обозначал число
3 ( −8) 2 = 4 . В то же время главное значение степени с основанием
2 2  2 2π 
(−8) и показателем равно exp  ln(−8)  = exp  ln 8 + i  =
3 3  3 3 
i ( 2π / 3)
= 4e = −2 + 2i 3 . Следовательно, для обозначения главного
значения степени с основанием x и показателем y мы, вообще
говоря, не можем использовать символ x y и должны использо-
вать более сложный символ ( x y ) 0 . В противном случае был бы
нарушен принцип однозначности обозначений.
Замечание 4. Во многих курсах теории функций комплекс-
ной переменной пишут, что степенная многозначная функция
F (z ) = { zα } С ( α ∈ С , α ∉ Z ) имеет множество определения V (F ) =
= C {0} . По нашему мнению, если Re α > 0 , то исключение из
множества определения степенной многозначной функции точки
z = 0 является неправильным. Если Re α > 0 , то, по нашему мне-
нию, следует считать, что V (F ) = С , причем F (0) = {0} . Приведем
аргументы в пользу нашей точки зрения.
1) Если Re α > 0 , то, как легко доказать, при любом фикси-
α
рованном k существует предел lim ( z ) k = 0 . Это означает, что
z→0
каждая из однозначных ветвей f k ( z ) = ( zα ) k многозначной функ-
ции F (z ) = { zα } С становится непрерывной в точке z = 0 , если ее
доопределить в этой точке равенством f k (0) = 0 .
2) Из-за того, что множества определения многозначных
функций F1 ( z ) = { n z } С и F2 ( z ) = { z1 / n } С ( n = 2, 3,  ) различны (
V (F ) = С , V ( F ) = С {0} ), возникает ненужное различие между
1 2
этими функциями. Если доопределить многозначную функцию

17. 17
F ( z ) в точке z = 0 равенством F (0) = {0} , то многозначная функ-
2 2
ция «корень n -й степени» ( n = 2, 3,  ) станет частным случаем
1
степенной многозначной функции с показателем α , когда α = .
n
3) Степень с основанием 0 и показателем α определяется в
школе (и в вузе при изучении действительного анализа) при всех
α > 0 . Непонятно, почему в теории функций комплексной пере-
менной степень с основанием 0 и показателем α должна быть
определена только для α ∈ N . Здесь нарушается не столько прин-
цип преемственности математической символики, сколько прин-
цип преемственности самих математических понятий (в данном
случае понятия «степень»).
Исходя из сказанного выше, мы будем считать, что степен-
ная многозначная функция F (z ) = { zα } С (α ∈ С , α ∉ Z ) имеет
множество определения V (F ) = С , если Re α > 0 (при этом F (0) =
= {0} ) и множество определения V ( F ) = С {0} , если Re α ≤ 0 .
Замечание 5. Использование в символах { e z } С , { a z } С , {
n z } , { zα } фигурных скобок связано с тем, что эти символы
С С
обозначают множества, а множества в математике традиционно
обозначаются фигурными скобками (принцип мотивированности
обозначений). Наличие в каждом из этих символов буквы C под-
черкивает, что речь идет о множестве всех комплексных значе-
ний соответствующей многозначной функции. Опустить букву C
нельзя, так как тогда будет нарушен принцип однозначности
обозначений. Символ { 4 } обозначает одноэлементное множе-
ство {2} (поскольку 4 = 2 ), тогда как символ { 4 } С обозначает
двухэлементное множество {2, − 2 }.
Замечание 6. Знаком ≡ соединены символы, которые имеют
одинаковые значения. Такие символы называются синонимами. Су-
ществование синонимов не противоречит принципу однозначности,
поскольку он требует, чтобы каждому символу однозначно соответ-
ствовало обозначаемое им понятие, но не требует, чтобы для обозна-
чения каждого понятия существовал лишь один символ. Наличие
нескольких символов для обозначения одного и того же понятия поз-

18. 18
воляет использовать в данной ситуации тот из этих символов, кото-
рый по каким-либо причинам является более удобным. Например,
символ e z является более компактным, чем символ (e z ) 0 . Однако,
если показатель степени z задается каким-либо громоздким выраже-
нием, то более предпочтительным может оказаться символ exp z .
Замечание 7. Вместо распространенных терминов «общая
показательная функция» и «общая степенная функция» мы ис-
пользуем термины «показательная многозначная функция» и
«степенная многозначная функция». Это связано с тем, что ука-
занные объекты не являются функциями, а являются многознач-
ными функциями.
5. Заключение
Перечислим основные результаты данной работы.
1) Даны строгие определения понятий «функция», «много-
значная функция», «значение функции», «значение многозначной
функции». Отмечено, что понятие «функция» не является част-
ным случаем понятия «многозначная функция».
2) Приведены аргументы в пользу того, что если Re α > 0 , то
следует считать, что степенная многозначная функция F (z ) = = {
α
z } С определена не только при z ≠ 0 , но и в точке z = 0 , причем
F (0) = {0} .
3) Сформулированы основные принципы, которыми надо
руководствоваться при построении математической символики.
4) Разработана ясная и четкая система обозначений для всех
наиболее важных многозначных функций комплексной перемен-
ной и для значений этих многозначных функций.
Использование результатов данной работы в учебном про-
цессе, по нашему мнению, позволит сделать изучаемый материал
более логичным и последовательным, что как следствие должно
привести к повышению качества знаний студентов.
ВНЕДРЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

19. 19
О.А. Малыгина
Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)
Экспериментальное обучение высшей математике построе-
но на основе использования идей системного подхода и теории
деятельности. Внедрение модели осуществлялось в МИРЭА, на-
чиная с 2005 года. В эксперименте принимали участие студенты
дневного отделения факультета «Радиотехнические системы».
Начиная с первого курса, выделялись экспериментальный и
контрольный потоки (по 70 студентов).
В первом (экспериментальном) потоке лекции и практиче-
ские занятия по высшей математике проводились в соответствии
со следующими принципами: принципом системного построения
содержания курса высшей математики; принципом описания кур-
са высшей математики в единстве общего, особенного и единич-
ного; принципом оптимального сочетания фундаментальности и
профессиональной направленности обучения высшей математике
в техническом вузе; принципом предметной деятельности при
изучении высшей математики; принципом развивающего обуче-
ния; принципом единства основ подготовки педагога и ученика
по экспериментальной программе с учетом особенностей каждо-
го субъекта процесса; принципом интеграции современных тех-
нологий обучения. Автором разработан учебно-методический
комплекс экспериментального обучения. В контрольном потоке
обучение курсу высшей математики проводилось по традицион-
ной методике.
Контрольные мероприятия (контрольные работы, защита ти-
повых расчетов, экзамены) в каждом потоке осуществлялись по
одинаковым с точки зрения содержания заданиям. Критерии оце-
нок, требования к выполнению работ также были общими. Под-
водя итоги, можно отметить, что результаты контрольных меро-
приятий в экспериментальном потоке (ЭП) были более высокими
по сравнению с контрольным (КП) как по количественным пока-
зателям, так и по качественным.
Учащиеся ЭП продемонстрировали полноценное усвоение

20. 20
методологических и математических знаний и умений, которые
отличались осознанностью, обобщенностью, полнотой, высоким
уровнем абстракции. Студенты аргументировано решали при-
кладные задачи, демонстрировали усвоение исследовательской
деятельности при решении задач с элементами профессионально-
го содержания, осознанно конструировали познавательную про-
грамму самостоятельного изучения нового математического ма-
териала.
В то же время, студенты КП показали посредственное вла-
дение предметным материалом. Деятельность анализа, синтеза,
моделирования у них оказалась не сформированной, решение
прикладных задач вызывало значительные трудности, проводи-
лось методом проб и ошибок. В отличие от ЭП, в этом потоке не
было представлений о целостности курса высшей математики, о
внутренних и межпредметных связях.
Проверка прочности сформированных знаний и умений, их
осознанности осуществлялась несколько раз: в конце второго
курса, т.е. сразу после окончания изучения высшей математики,
через полгода и, наконец, в конце третьего курса (по истечении
года с момента окончания изучения высшей математики). Про-
верка проводилась двумя независимыми группами экспертов.
Первую составляли преподаватели кафедры высшей мате-
матики, не участвующие в эксперименте. Студентам ЭП и КП
предлагалось выполнить работу, содержащую задания из разных
разделов высшей математики. Такие задания предполагали в про-
цессе решения использование ряда общенаучных методов позна-
ния (метода системного анализа, метода синтеза, метода матема-
тического моделирования с опорой на системный анализ) и, ко-
нечно, математических методов. Деятельность решения следова-
ло описывать подробно. Данное требование обеспечивало про-
верку уровня усвоения студентами методологических и матема-
тических знаний и умений, полноты сформированной у учащихся
деятельности по решению определенных типов задач. С таким
заданием успешно справились 67% ЭП и 35% КП.
Вторая группа экспертов была представлена внешней орга-
низацией. Ими были проведены три проверочных работы (в кон-

21. 21
це четвертого семестра, в середине пятого и в шестом семестрах).
Контрольные мероприятия в этом случае имели форму тестирова-
ния по всем разделам высшей математики. Ответы студентов ЭП
и КП проверялись вне МИРЭА. Результаты тестирования (в сред-
нем по трем этапам проверки) показали полноценное усвоение
программы обучения высшей математике в ЭП – 75% учащихся,
а в КП – 53%. В рамках тестирования имеются более детальные
данные об усвоении каждым учащимся дидактических единиц
(материала по математическому анализу, по аналитической гео-
метрии, по теории вероятностей и т.д.). По таким показателям
разброс результатов по ЭП и КП более значительный (у учащих-
ся ЭП параметр «100% правильных ответов по дидактическим
единицам» выше).
Отметим некоторую разницу в итогах проверки уровня
сформированных знаний и умений по математике двумя группа-
ми экспертов. В первом случае уровень экзаменационных задач
был достаточно высоким: студентам предлагались не просто за-
дачи из разных разделов курса высшей математики, а задачи с
прикладным содержанием. Такие задания предполагали примене-
ние общих методов познания наряду с математическими. Про-
цесс решения следовало подробно описывать с тем, чтобы препо-
даватель мог оценить полноту, развернутость, логику сформиро-
ванной у студента деятельности. В содержание тестов, наоборот,
вошли задачи более простые, но в большем количестве, причем
деятельность решения не раскрывалась.
В целом, результаты двух вариантов контроля подтвержда-
ют развивающий эффект экспериментального обучения, которое
обеспечивает полноценное формирование у учащихся как мето-
дологических, так и математических знаний и умений. Экспери-
ментальное обучение высшей математике уже на младших курсах
вуза закладывает основы подготовки высококвалифицированных
специалистов, компетентных работников в разных сферах эконо-
мики.
Отдельно следует выделить повышение квалификации педа-
гогов, проводящих занятия по экспериментальной методике. Пре-
подаватели высшей математики усвоили понятия и процедуры

22. 22
метода системного анализа, научились использовать взаимосвязь
этого метода с методом моделирования, расширили круг решае-
мых типов задач путем введения задач с элементами профессио-
нального содержания. Преподаватели не только узнали о теории
деятельности, но и научились внедрять эти идеи в учебный про-
цесс. Таким образом, развивающий эффект экспериментального
обучения имеет отношение к каждому субъекту педагогического
процесса.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ
РЕШЕНИЕ
О.Э. Немировская-Дутчак, О.Р. Параскевопуло
Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)
При работе с абитуриентами на подготовительных курсах и в
вечерних физико-математических школах нередко приходится
сталкиваться с ребятами в недостаточной мере обладающими аб-
страктным мышлением, необходимым для освоения некоторых
разделов математики. Такие подростки более склонны к восприя-
тию материала, подкрепленного какими-либо цвето-графическими
изображениями, чем к логическим последовательностям (как,
например, доказательства теорем алгебры и анализа).
Нередко на занятиях при решении, скажем, уравнений и не-
равенств с параметрами внимание этих школьников отключается
от решения задачи уже через 7 – 10 минут. С точки зрения психо-
логов у таких детей лучше развито правое (речь идет преимуще-
ственно о праворуких), чем левое полушарие. Они воспринимают
окружающий мир в большей мере через цвет, объемные формы,
линии и т. д. и т. п. Их способности к логическим рассуждениям
значительно ниже, чем у "левополушарных".
Так же известно, что наибольших успехов, в том числе и в
науке, добиваются люди, у которых развитие левого и правого
полушария сбалансировано. А наша задача, как педагогов, не
только помочь детям наиболее полно освоить некоторый матери-

23. 23
ал по математике, но и способствовать их всестороннему разви-
тию. И для более успешного вовлечения "правополушарных"
школьников в процесс обучения на уроках математики необходи-
мо подкрепление материала, в частности, всевозможными графи-
ческими изображениями. Здесь незаменимую роль играет графи-
ческий способ решения задач.
Разберем пример аналитического и графического метода ре-
шения задачи, содержащей модули и параметр. Если возможно
уравнение с параметром записать в виде f(x)=g(x;a), то такое
уравнение можно решать графически: y1=f(x) и y2=g(x;a) (напри-
мер |||8x|-16|-2|=5x+a).
В частности, если функции y1=f(x) содержит модули или
модуль от модулей, то попытки построить график функции по
точкам приводит к фиаско. В этом случае удобнее строить гра-
фик функции y1=f(x) поэтапно, начиная с внутренней функции.
Помнить нужно только одно – модуль из любой величины делает
величину только неотрицательной. Графически это будет озна-
чать следующее – вся отрицательная часть графика (то, что ниже
оси OX) становится положительной, т.е. отображается симмет-
рично, относительно оси OX.
На каждом этапе обязательно находим точки пересечения
графика с осями OX и OY.
Рассмотрим пример: |||8x|-16|-2|=5x+a.
f(x)=|||8x|-16|-2|; g(x;a)=5x+a.
Строить начинаем с внутренней функции y1(x)=8x, далее
y2(x)=| y1(x)|=|8x| -
симметричное отображение отрицательной части y1(x) отно-
сительно оси OX.
Следующий шаг – y3(x)= y2(x)-16 – график функции сдвига-
ется по оси OY на –16. Далее y4(x)=| y3(x)|= ||8x|-16| - симметрия
отрицательной части y3(x) относительно оси OX; затем y5(x)=
y4(x)-2= ||8x|-16|-2 – снова сдвиг по оси OY на –2.
И последнее y6(x)=| y5(x)|=|||8x|-16|-2| - симметричное отоб-
ражение отрицательной части y5(x) относительно оси OX. Таким
образом мы построили левую часть нашего уравнения или функ-
ция f(x).

24. 24
Правая часть нашего уравнения или функция g(x;a)=5x+a
является множеством прямых, параллельных прямой y(x)=5x.
Сейчас мы подошли к самому трудному в задачах с парамет-
рами – к анализу получаемого решения от параметра. После нане-
сения графиков на одну координатную плоскость смотрим сколь-
ко получается точек пересечения у графиков f(x) и g(x;a) в зави-
симости от значений параметра a, т.е. пресечения графика f(x) с
прямой из множества параллельных прямых при данном значе-
нии параметра a.
Таким образом, решение задач с параметрами сводится к
анализу взаимного расположения двух сложных графиков функ-
ций на плоскости OXY, при этом построение сложных графиков
производится поэтапно.
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОНОТОННОСТИ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПУТЕМ ДЕЛЕНИЯ
ВЕКТОРА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПОПОЛАМ
Е.Ю. Кузнецова, Т.А. Морозова, С.А. Унучек
Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)
Определение 1. Для двух двоичных наборов длины n
~
α = ( α1 ,  , α n ) и β = ( β1 ,  , β n ) выполнено отношение предше-
~
ствования, если α 1≤ β1 , α 2 ≤ β 2 ,  , α n ≤ β n .
~ ~
Если для наборов α и β выполнено отношение предше-
~ ~
ствования, то говорят, что «набор α предшествует набору β »
~ ~
(обозначение α ≤ β ).
Определение 2. Булева функция f ( x1 ,  , xn ) называется мо-
~ ~
нотонной, если для любых двух наборов α и β таких, что α ≤ β , ~ ~
( )
выполнено неравенство f ( α ) ≤ f β .
~ ~
Алгоритм определения монотонности функции алгебры ло-
гики путем деления вектора значений функции пополам состоит
в последовательном выполнении следующих шагов:

25. 25
~
(
1. Делим вектор значений функции f = α 0 α 2 n −1 на две )
~ ~ ~ (
равные части, обозначим их через α 0 и α1 : α 0 = α 0 α 2 n −1 −1 , )
~ ( )
α1 = α 2 n −1 α 2 n −1 .
2. Если отношение предшествования для полученных набо-
ров α 0~ и α ( α ≤ α ) не выполнено, то функция не является мо-
~ ~ ~
1 0 1
нотонной.
3. В противном случае каждый из векторов α i0 , i0 ∈ { 0;1} де-
~
лим на две равные части; получаем 4 набора
~ , i ∈ { 0;1} , i ∈ { 0;1}
α i0 i1 0 ~
1 (длина каждого из наборов α ij равна поло-
~
вине длины наборов α i0 ) и проверяем, выполнено ли отношение
предшествования у полученных пар наборов α i0 0 ≤ α i0 1 , i0 ∈ { 0;1} .
~ ~
~ ~
Если не выполнено хотя бы одно из отношений α i0 0 ≤ α i0 1 ,
то функция не принадлежит классу монотонных функций.
~ ~
4. Если все наборы α i0 0 предшествуют наборам α i0 1 , то
опять делим векторы пополам и т.д. Так как длина вектора значе-
ний булевой функции, зависящей от n переменных, равна 2 n , то
такое деление будет производиться не более, чем n раз. Алгоритм
конечен. Если отношение предшествования выполняется для всех
~ (~ ~ )
полученных векторов α i0i1is α i0i1is −1 0 ≤ α i0i1is −11 , 0 ≤ s ≤ n − 1 ,
ik ∈ { 0;1} , k = 1, s , то функция является монотонной. Как только
~ / ~
получаем пару векторов таких, что α i0i1 is −1 0 ≤ α i0 i1 is −11 , работу
алгоритма прекращаем, делаем вывод о немонотонности исход-
ной функции.
Пример 1. Исследовать на монотонность двоичные функ-
~
( ) ~
(
ции: а) f1 = 0011 0111 ; б) f 2 = 0010 0111 . )
~
(
а) f1 = 0011 0111 . )
~
1. Делим вектор значений функции f1 пополам, получаем
пару наборов α 0 = ( 0011) , α1 = ( 0111) .
~ ~
2. Так как α 0 = ( 0011) ≤ α1 = ( 0111) (покоординатно выполне-
~ ~

26. 26
( )
но неравенство 0 ≤ 0, 0 ≤ 1, 1 ≤ 1, 1 ≤ 1 , то продолжаем алгоритм,
~ ~
деля каждый из наборов α 0 и α1 и на две равные части.
3. α 0 = ( 0011) , α 00 = ( 00 ) , α 01 = (11) , α 00 = ( 00 ) ≤ α 01 = (11)
~ ~ ~ ~ ~
α1 = ( 0111) , α10 = ( 01) , α11 = (11) , α10 = ( 01) ≤ α11 = (11) .
~ ~ ~ ~ ~
Так как для всех полученных пар наборов выполнено отно-
~
шение предшествования, то опять делим наборы α i0i1 пополам.
α 00 = ( 00 ) , α 000 = ( 0 ) ≤ α 001 = ( 0 )
~ ~ ~
α 01 = (11) , α 010 = (1) ≤ α 011 = (1)
~ ~ ~
α10 = ( 01) , α100 = ( 0 ) ≤ α101 = (1)
~ ~ ~
α11 = (11) , α110 = (1) ≤ α111 = (1)
~ ~ ~
Так как для всех полученных пар наборов выполнено отно-
~
шение предшествования, а длина наборов α i0i1i2 равна 20 = 1
(дальше делить наборы нельзя), то алгоритм закончен. Делаем
вывод: функция монотонна.
~
(
б) f 2 = 0010 0111 . )
1. Аналогично примеру а) делим вектор значений функции
f 2 на две равные части α 0 = ( 0110 ) , α1 = ( 0111) . Так как α 0 ≤ α1 ,
~ ~ ~ ~
продолжаем алгоритм.
2. α 0 = ( 0110 ) , α 00 = ( 01) , α 01 = (10 ) . Так как α 00 = ( 01) не
~ ~ ~ ~
предшествует набору α 01 = (10 ) , функция f 2 не принадлежит
~
классу монотонных функций.
На приведенном примере можно убедиться в большом до-
стоинстве изложенного алгоритма – простоте применения.
Несмотря на то, что традиционно изучаемый в МИРЭА ал-
горитм определения монотонности функции при помощи классов
монотонности наборов носителя сразу позволяет указать наборы,
на которых нарушается монотонность, вышеописанный алгоритм
также позволяет определять такие наборы. Это необходимо при
выражении из немонотонной функции x по лемме М, обычно
формулируемой следующим образом:
Лемма М (лемма о немонотонной функции). Из немонотон-
ной функции f ( x1  xn ) путем подстановки в нее вместо пере-

27. 27
менных x1  xn функций 0,1 и x можно выразить функцию x .
Чтобы получить наборы, на которых нарушается моно-
тонность, сначала находят пару наборов, полученных делением
вектора значений функции пополам, для которых не выполнено
отношение предшествования. Затем делят полученные наборы до
~
тех пор, пока не получат наборы α i0i1in длины 20 = 1 . Номер та-
кого набора i0i1  in , ik ∈ { 0,1} , равен двоичному номеру набора в
таблице истинности, т.к. f ( i0i1  in −1 ) = α i0 i1in −1 . Если для какой-
~ ~
то пары наборов α i0i10in −1 и α i0i11in −1 не выполнена опера-
ция предшествования, это означает, что на наборах
i0i1  ik −1 0ik  in −1 и i0i1  ik −11ik  in −1 нарушается монотонность,
т.к. α i0 ik −1 0ik in −1 = f ( i0i1  0  in −1 ) = 1  α i0 ik −11ik in −1 =
= f ( i0i1  0  in −1 ) = 0
Пример.
Найти наборы, на которых нарушается монотонность функ-
ции f 2 из примера 1.
В примере 1б) мы получили, что α 00 = ( 01) ≤ α 01 = (10 ) . Де-
~ / ~
~ ~
лим каждый из наборов α 00 и α 01 на две равные части.
α 000 = ( 0 ) ≤ α 010 = (1) – на этой паре наборов монотонность не на-
~ ~
рушается.
α 001 = (1) ≤ α 011 = ( 0) . Значит, ( 001) ≤ ( 011) – для данных на-
~ / ~
боров выполнена операция предшествования, а
f 2 ( 001) = α 001 = 1  0 = α 011 = f 2 ( 011) . Определение монотонности
не выполнено, f 2 ∉ M . Можно применять лемму М:
ϕ ( x ) = f 2 ( 0 x0) = x .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.С.В.Яблонский «Введение в дискретную математику», М.,
1986.
2.Г.П.Гаврилов, А.А.Сапоженко «Задачи и упражнения по дис-
кретной математике», М., 2004.
3.А.С.Вшивцев, Э.А.Применко «Элементы дискретной мате-

28. 28
матики», МИРЭА, 1986.
ФОРМИРОВАНИЕ, ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ
ПРИЕМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
К.Н. Лунгу
Московский государственный открытый университет
Под приемом деятельности понимается наиболее рациональ-
ная совокупность действий и операций, служащих для решения
задач деятельности. Прием может быть представлен в виде пра-
вила, инструкции, предписания, совета, суждения о том, как мож-
но решить задачу проще, короче. Приемы деятельности допус-
кают самостоятельный выбор конкретных действий, и это их от-
личает от алгоритмов, которые понимаются как однозначные
предписания, определяющие процесс последовательного преоб-
разования исходных данных в искомый результат.
В статье рассматривается вопрос формирования, обобщения
и систематизации приемов вычисления пределов функций. Из по-
нятных соображений, связанных с объемом статьи, ограничимся
обсуждением вопроса вычисления пределов алгебраических
функций. Исходим из того, что элементарные функции непрерыв-
ны в их области определения, а тогда, если f(x) такая функция и
lim
х=а точка непрерывности, то x→ a f(x) = f(a). Под непрерывностью
функции понимается непрерывность ее графика как линия, полу-
чаемая на бумаге без отрыва от нее карандаша.
Для вычисления пределов комбинаций непрерывных функ-
ций необходимо использовать теоремы о пределах (алгебраиче-
ской суммы, произведения, частного, степени и суперпозиции).
Например.
3x 2 − 7 x + 5 − cos 2πx 3 3 + 7 + 5 −1 7
Пример 1. lim = = .
x → −1 2 x + 3 x 2 + 3 − sin πx −2+6−0 2
Интерес представляют задачи на вычисление пределов ком-
бинации функций, к которым теоремы о пределах неприменимы,
т.е. приводящие к неопределенностям вида 0:0; 0∙∞; ∞:∞; 1∞;

29. 29
∞ – ∞; 00; ∞0. ∙
Многие неопределенности можно привести к виду 0:0,
поэтому этой разновидности уделим основное внимание. Среди
выражений, приводящих к такой неопределенности целесообраз-
но выделить дробно-рациональные функции Rn,m(x) (отношение
двух многочленов Rn,m(x)=Pn(x)/Qm(x)). Если Pn(a)=Qm(a)=0, то
Rn,m(a)=0:0 – неопределенность, которую «раскрываем» делением
n P ( x)
и Pn(x) и Qm(x) на (х–а)≠0 (в символе lim Q ( x) подразумевается,
x→ a m
что равенство (х–а)=0 еще не достигнуто). Результат перехода к
пределу есть число p/q, если q≠0 (в частности p/q= 0, если p=0)
или ∞, если q=0 и р≠0 (принимаем р:0=∞, если р≠0 и р: ∞=0).
Процесс вычисления предела записываем следующим об-
разом.
Пример 2.
 0  3 + 2 x − 5 x = −( x − 1)(5 x + 3) 
2
3 + 2x − 5x 2  
lim =   = =
x →1 2 x 3 + 3 x − 2 x 2 − 3  0  2 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 3 = ( x − 1)(2 x 2 + 3
 
− 5x − 3 − 8
= lim 2 = = −1,6 .
x →1 2 x + 3 5
Примечание 1. Наша методика записи решения задачи со-
стоит в том, что прием решения фиксируется в фигурных скоб-
ках, не прерывая процесс и не привлекая дополнительного «чер-
новика». При необходимости, студенты могут внести в эту схему
все детали, относящиеся к решению.
Пример 3.
 0 
x2 − x − 6 подстановка х = −2 дает −  ( x + 2)( x − 3)
lim = 0  = lim =
x → −2 2 x 2 + 5 x + 2  x → −2 ( x + 2)(2 x + 1)
неопределенность; разложим  
сократим дробь на  x − 3 подстановка  5
=  = lim =  = .
( х + 2) ≠ 0 при х → −2  x → −2 2 x + 1  х = −2 дает число  3
Схема может быть достаточно краткой.
x2 − x − 6 9+3−6 6
Пример 4. lim = = = ∞.
x → −3 2 x 2 − x − 21 18 + 3 − 21 0
Примечание 2. Символ ∞ включает две возможности ∞ и –

30. 30
∞. Именно это имеет место в примере 4. При x>–3 знаменатель
положительный, а при x<3 – он отрицательный; с правой стороны
прямой х= –3 график функции, стоящей под знаком предела, не-
ограниченно поднимается над осью Ох, а с левой стороны – не-
ограниченно опускается под ней.
Таким образом, метод вычисления предела рациональной
функции – это метод преобразования (замена разрывной при х=а
функции f(x) тождественно равной непрерывной функцией g(x)
при х≠а). Метод распространяется на случай х→+∞, х →–∞ и
х→∞.
Пример 5.
3x 4 − 5 x 3 + 1
подстановка затруднительна, дробь 
lim = =
x → −∞ 6 x 3 + 2 x − 7  не контролируема; условно пишем ∞ / ∞ 
= { выносим за скобки старшие степени с целью сокращения} =
x 4 (3 − 5 / x + 1 / x 4 ) 3 − 5 / x + 1/ x 4
= lim = lim x ⋅ lim =− ∞ .
x → −∞ x 3 (6 + 2 / x 2 − 7 / x 3 ) x → −∞ x → −∞ 6 + 2 / x 2 − 7 / x 3
Приемы преобразования рациональной функции системати-
зируются, закрепляются еще примерами и проверяются при по-
мощи, например, такой самостоятельной работы. Описать прие-
мы вычисления пределов.
(1 + x)3 − (1 + 3x) ( x + 3) 2 − ( x + 7) 2
1) lim . 2) lim .3)
x →0 x5 + x x →∞ (2 x + 5) 2 + 3 x 2
x3
lim ( − x) .
x →∞ x 2 − 3
x( x − 3) x 3 − x 2 + 3x − 3
4) lim
x → ∞ ( x 2 − 4 x + 3) | x |
. 5) lim . 6)
x →1 x 3 + 3 x − 4 x 2
 10 1 
lim  − .

x →5  x 2 − 25 x − 5 
Метод преобразования переносится на задачи вычисления
пределов других типов, например, содержащих радикалы (ирра-
циональности). Для переноса приема в другие ситуации необхо-
димо его запоминать, для чего соблюдаем схему решения. То, что
проблема запоминания актуальна, подтверждает следующее. На

31. 31
x + 2 − 2 x −1
вопрос «Как бы найти предел?» lim ответ такой:
x →2 2 x − 3x − 2
3 2x − 3 − 3 3 − x
«Возводим в квадрат», lim – «Возводим в куб», а
x → 2 3 3x + 2 − 3 4 x
3 2x − 3 − 3 − x
lim – «Неизвестно». Формулы
x → 2 3 3x + 2 − 3 4 x
( A − B )( A + B ) = A − B , (1)
3 3
(3 A − 3 B )( A2 + 3 AB + B 2 ) = A − B . (2)
показывают, что освобождение от иррациональности воз-
можно соответствуюшим умножением. Студенты часто использу-
ют этот прием по аналогии с «возведением в квадрат или куб».
Чтобы этого избегать мы рекомендуем использовать готовые
формулы
A− B 3 A −3 B = A− B
A− B= ; (3) 3 3 (4)
A+ B A 2 + 3 AB + B 2
3 A+3 B = A− B
3 3 . (5)
A 2 − 3 AB + B 2
комментируя это словами: умножением числителя и знаме-
нателя на соответствующий множитель получаем… Вот как это
выглядит в конкретном случае.
Пример 6.
4x + 1 − x + 7  3−3 0 
lim = подстановка х = 2 дает = − неопредел. =
x →2 3 3x + 2 − 3 5 x − 2  2−2 0 
дробь будем сокращать на х − 2 ≠ 0 (при х → 2) ; освобожаемся от 
 
=  радикалов умножением и делением на нужные множители , или =
используем формулы (3) и (4) 
 
(3 x − 6)(3 (3x + 2) 2 + 3 (3x + 2)(5 x − 2) + 3 (5 x − 2) 2 )
= lim =
x→2 ( −2 x + 4)( 4 x + 1 + x + 7 )
в первых множителях выносим за скобки , сократим дробь на ( х − 2) 
= =
используем теоремы о пределах , записываем результаты вычислений 
3 ⋅ ( 4 + 4 + 4)
= = −3.
− 2(3 + 3)