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                                           Æ        ½


          ÊÒ ¢ ª             ÊÒ                                                                             ¸ º º¸
                              ¸                 ´Ü µ                Ö ´Üµ ´                     º ¿¸   µº

                                   Æ
                   ´Üµ        ½            ´ ´Ü Ý µ   ´Üµµ´ ´Ü Ý µ   ´Üµµ¼                                           ´ µ
                             Æ         ½


                                            ¸                                                                          ¹
          ܼ   ¾ ÊÒ ¸                                                                                                ´¾µ
                                     ô Æ ¼¸                                                                            ¹
                                  ´¿µ ´ µº


                                           ÜØ·½         ÜØ              ´ÜØ µ                                        ´ µ
                                                                º
    þ                                           ´¾µ                                                         ¸
                             ´¿µ ´ µ¸                                                                            º      ¹
                                                                                                                     ´ µº


                              ´    º ½¾¸ ½¿ µº                                                                          ¹
               ô                     ½¼¼¼¹½ ¼¼                             ¸
                                                                                                                        ¹
        ½¿ º                                                ¸                                                           ¹
         ¸                                                          ¸
                                                                                    ´           º    ¸ ½ µº
           ¸                                                                                                            ¹
                                                                                        ¸
                                                                            ô                                    ¸      ¹
                         ¸                                                                  ô
                                                                                º
¸                                                                ¸             ¹
ô
                                                                    º

                                          ½                                        ÊÒ           ʸ
                                                            ´½µ¸
    ´Üµ           ·
                           ½ Ü ¾ ÊÒ                                                             ¸      ô
                                                                                            Ä         ¼º
                                  ¸                                     Ü   ¾ ÊÒ                      Æ         ½        ¹
                                                                                     ´¾µ                                 ¹
                              ¸                                             ô                                    Ô´Ü ¡µ  ¸
                                                                                 ´¿µ¸ ´ µ           ´ µº                 ¹
                      ¸
                                                        ´Ü µ   Ö ´Üµ ¾ Ã Ü ¾ ÊÒ º
              ¸                                                                                       ܼ       ¾ ÊÒ      ¹
                                          ÜØ       ½¼
                                                   Ø                                       ´ µ¸                 ô        ¹
                                               ¸
Æ ¼¸

                                              Æ Ø·½                             ·½                                     ´ µ
                                                                   ´ ÜØ µ ¾

                          Ø
                           Ð Ñ Ö ´ÜØ µ ¾ ¼´
                             ½                                              ÑÓ ´Èµ          µ                          ´ µ

          ¼           ½Ä                           ú
                                                                                                       º

                                          ¾                                                                               ¹
                  ¸                                        ¸                         ´Üµ
                                      ¸             Ö ´Üµ      ¾
                                                                        Ð       ¼ Ü ¾ ÊÒ º                     Ü·        ¹



                  ½
              Ñ Ò Ä ´½¿ е                                                      ľ
                                                                                           ½   ´Ð   Ä µ ½
                                                                                                     ¾
¼                     ·                                   ÃÑ Ü
                                                                                 Ð
                                                                                   ¬


                                  Ã                                              Ã Ø
          ÜØ   Ü· ¾ ·                                   ܼ   Ü· ¾ ·                ¬ Ø              ¼½¾               ´½¼µ
                                  ÆØ                                            Ƽ
¸                                                                          ¹
                           ¸                                                         º
                                                                                                                              º        ¹
                                                                                                                      º
                                                                                                         ¸
                   ¸                       ¸                                                                      ´   º¸               ¹
      ¸ ½ ¸ ½ µº                                                                                                                       ¹
      ´ µ                                                   ´ µ¸                                                             ô         ¹

                           ¸                                                                                             ¸             ¹
                                               º                                             Ò           × ´­ Ò Æ Ø   Òµ
               × ´­ Ò Æ Ø   Òµ                                              ­¹
             ´Ò Æ Ø   Òµ                                                ¸                                                              ¹
                       ¸                                                                                                      ´ µ¸
                                   ô

            Ñ Ò´Ñ Ü´ Ò × ¼´­ ÒØ Æ ½  ÒµØ · Ò ÆÑ Òµ ÆÑ Ü µ
                                    Ø
    Æ Ø·½                 Ø µ ´Ü µµ  ´Ü µ
                                                                                                                                  ´½½µ
                     ´ ´Ü
                                                                                                                                        ¹
                                                                                     ÆÑ Ò        ´               ¾¼¹ ¼µ           ÆÑ   Ü
´            ¾¼¼¼ ¹ ¼¼¼µº                                                            ¸                                       ´½½µ      ¹
                                                                                                                                       ¹
                                   ½ ­         ½ º                                                                                     ¸
                 ´½½µ                                       ´ µ
                                                                                                     º
                                                                ­ ´Òµ¸
                                                                ¾

            ÆØ             Òº                       ¸       ÆÑ      Ü                                                                   ¸

                                                                                 ´       º                                             µº
                               ¸                            ÜØ   Ü· ¾                                                         ÆØ        ¹
                                                                        ¸
¼ ¬ ½¸                                 ¸
ÿ                                                                                                                ´½¼µº                ¹
                                                                ½                                            ¸         ÆØ            ¬º
                                                                                                                      Æ Ø·½
þ
                                                Ø
                                                        Æ       Æ ØÉ
                                                    ¼
É                                                                 º                                  ¸                                           ¹
                                                                                                                             ô
                                                                                                                                 º
                                                ع                                ¸
                      ô            Æ Øº þ                                                                    ÈØ                                      ¹
         ¸                                                                                    ¸                          ¼Æ          ¸
                 Æ Ø¸                                                                                                                        ¸
                                                                                  ¸                 ¸                    ¸
                                        º                                             ¸                                                              ¹
                                    ¸
                                                         ¸
                                                                                                                                                     ¹
º                                                                                                                                                    ¹
                                            º

    ¿º


                                                                                                                                                     ¹
                                                                 º                                           ½
                     º º                                                      º
                                                                                                                                         ¸
                                                                                                                                                     ¸
                                                                                                                                                     ¹
             º                                               ¸
                           ¸            ¸            ¹                    ¸
                                                                                                                                                     ¸
¹                ¸             ô                                                                                     ¸
                                                                                                                                                     º
                                                                                                                                                     ¹
                                                  ¸                                                              ¹
                                                 ´¿µ                 ´ µ                                                                         ¹
                                                                                          ´       º ½    ½ µº þ
                                                                                                                                           ¹
                                                         Ì ¾¹                                                            ´       º ¾¼ µº º º
                                                                                                                 ÜØ                        ¹
                 ½         ¸

                                                                       ´Ý½ ݾ                     ÝÆ µ                                           ´½¾µ
´¿µ                                                     ¹
                                                                                                     ¸
                                                                          ¸                  ô
                                                                                                         ¯
                                                                 Ô
                                                     ¬    ´ÜØ µ Æ Ø ¯                                                ´½¿µ

     ¬                              ¬¹                                                                                  ¹
     ¸         ¾
                   ´ÜØ µ                                                  ´ µº
                                         ¸                                                                              ¹
                                                                          ´ µ¸                                   ô      ¹
                                                 ´ µ             ´½½µ¸
             ´½¾µ                  ´½¿µº                                                 ¹                              ¹
               ¸                                                                                                        ¹
                       ¸                                                                                                ¹
                                                                                                 º       ¸
                                     ´½¾µ                ´½¿µ                    ¸                                      ¹
                                                                                                                 º
                                                                                     ¸                                  ¹
                                     º º
         ¹                 º

                                                                                                                     ´½ µ
                                                                                                             º              ¹
                                                                                                                        ¹
                                                                      ¸                                                 ¹


                                             ´ ܵ               ´Ü · µ    ÑÒ
                                                 Ò
                                     ´Ýµ                 ´ ݾ · ´½   Ó×´ Ý µµµ
                                                     ½

Ý        Ü ·               ¸                                                  Æ ´¼ µ         ¾
                                                                                                                     ô ¹
                               ¸             ¼                  ´ ¼¼ ¼¼µ                     ´¿ ¼ ½ ¼¼µ
´¼   ¼ ¼µ Ò ¾º
                   ¸                                                                                                    ¹

                   ¸                                                                         Ü
¸                     ¸                      ¸                                         ¹
         º                                                                                                          º
                                                                      ¸                              ¸              ¹
                                                                                                ´ µ¸ ´½½µ           ¹
                                       ¾½ º                                                                         ¹
                                                              Ò            ¾¸                                       ¹
                          ´¿µº                                                             Ü·  ¼º ÿ                 ¹
              ¼¼                                   ¹                      ô     Æ      ´ ¼ ½¼¼ ¾¼¼ ¼¼          ½¼¼¼µ¸
                                                       Ì ¾¹                         ´½ µ
ܺ
                                                                                                ¾
                                                                                                        ª¾   ¾¼ º
                           ô       Æ           ¼                                                                          ¹
              ¾
                          ¼¾                                                               ¼ ´Ô ¼ ¼ µ¸                    ¹
             ª¾            ½ ½                                                             ¾ ´Ô ¼ ¼ µº                    ¹
                  ¸                                                                                                       ¹

                                                                                                    ¸               Ö
Ü   Ü·                    ¼ ½µº                                   ¸                                                       ¹
                                              ´½ µ
                                                                                                         ´Æ             ¼µº
þ                                              ¸                                                                          ¹

              ¸
                           ¸                                                                                   ô
                               º º ½ ¸ ¾¼ º
                                                                                                               ´½ µ
                                                         Ö                Ü   Ü·                                          º
                                                                                                                          ¹
                                                   º½´                                                          ¼        µº
              º¾                                                                                        Æ      ½¼¼¼
             ´¼ ¼ ¼              ¼ µº                                                           ¸
                                                              ô                                                           ¹
                                                                                                                          ¹
     ¸
                      º
                 º¿                                                                                                      ¹
         ´ µ¸ ´½½µ                                     ´½¾µ¸ ´½¿µ¸                                                      ¼¼
                                                                                                                         º
                                                                                                                         ¹

                                                                                                                        ½¼
º ½º       ¸       ¼   º




º ¾º   ¸       Æ   ½¼¼¼º


                           ½½
º ¿º                        ´ µ¸ ´½½µº

                         ¸                                      ¹
         º

     º

                                                                 ¹
                             º                                  ¹
                                          º
                                                                ¹
                                                                ¹
             º
                                                                ¹
             ¸                   ô            ¸
                         ¸
         ô       ¸                                       º
     þ                                        ô
´½          ¹                                     ¸ ¾¹
         ¸¿¹                         µº                         ¹
                                                ´Ü½ ܾ Ü¿ µº
                     ¸               Ü ´Ü½ ܾ Ü¿ µ¸             ¹




                                                               ½¾
¿                         ½¾                    ¿
                   ´Ü Þ µ                            Ü ·                     Ñ ÞÒ´
                                                                             Ý
                                                                                                 Õ Ý Ø · Ö Þ Øµ
                                             ½                 Ø    ½                        ½




     Ü       ¼ Ý   Ø           ¼ Þ       Ø           ¼ Ý       Ø        ¼ ¾ ØÜ                       ½¾¿ Ø ½                    ½¾
                       ¿                                                     ¿
                               Ý Ø·Þ             Ø       ÛØ   «Ø                     Ü Ø              ½         ½¾
                           ½                                                     ½

­  ½ ´Ü · Ý  ½ Ø · Þ  ½ Ø µ   ´Ü · Ý  ½ Ø · Þ  ½ Ø µ                                                           ¾¿ Ø ½                ½¾
Ü                                                                                                               ½ ¾ ¿¸
Ý Ø                                                                                                  ¸
Þ Ø                                            ¸
                                                                                                          ½¾¿
Õ                                                              ¸
Ö                                                                        ¸
ÛØ                                                         ظ
«Ø                                                                                                        ظ
­  ½                                                                                                                       ½º
         ¼¿         ¿¿           ¸
Õ                  ½             ¸
Ö ½½ ¼                               ¸
«    ¿ ½                                             ¼             ¼¿¾               ¾           ½¿                  ½ ¼¿
 ¼ ¿ ½¸
­ ¼ ¼¾¸
ÛØ                       ½   ½¾ Æ ´ Ø Ø¾ µ¸ ¾
                                            Ø              ¸   Ø                                                                     ظ
    ½½ ½½ ¼ ½¾½ ½¿½¿¾ ½¿ ¾ ½¾ ½¿ ¼¿ ½ ½ ½¾ ¼¾
½½ ¼ ½½¿¿ ½¼ ½¼ ¸
                                                                                                                     ¸                ¼¸
½¸ ½¼¸ ¾¼¸ ¿¼º
                                                                              ¸                                                        ¹
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                                                         ô
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                                             ´                                                                           ¹ ½¼¼ ÍË ¸
                                                                                                                                     ½¿
º º                                                  ´ÜØ µ      غ

                                        ÍË µº             º                                   ¹
                             ´ µ¸                                           ´½ µ¸             ¹
        Ìؾ      × ´ Ò Æ Ø   Òµ¸                                         ´½ µ¸
          ¸                                  ´½ µ¸                                            ¹
                   ½¼º              º
ô                                                                             ¸               ¹
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             º
          º ½º     º                                                                  º

                               ܽ          ܾ        ܿ
                       ¼      ¾¾¾          ¿¿    ½½¼              ¸
                       ½      ¾¾¾          ¿¿    ½½¼              ¸
                       ½¼     ¿            ½     ½¼               ¸ ¿¾
                       ¿¼       ¾            ¾   ½¼¿              ¸ ½



    º     þ


                                                 ¹            º                               ¹

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º º   Ìؾ   × ´ Ò Æ Ø   Òµ       غ


                             ½
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           ÈØ
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                                ½
´½¾µ¸ ´½¿µ¸
                            ´ µ ´½½µ                                     ô                                       ¹
     º                                                                            ¸
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                            ô                                            º                            ´ µ ´½½µ¸
                                 ô                                                            ô
                                                                                                  ¸
                                                                                                                 ¹
                      º º                                   º
                                                                                                                 ¹
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                                 º

 º



                       ½                                                                      ½¸
         Ü ¾ ÊÒ
                                                          Ä                          Ä
 ´Ü             ´Üµµ             ´Üµ           ´Üµ ¾ ´½   ¾ µ ·                   ½  ¾                     ´½ µ

                             º                                                                                       ¹
¾¾
                                                            ½
 ´Ü             ´Üµµ             ´Üµ         ´ÜµÌ               Ö ´Ü             ´Üµµ                      ´½ µ
                                                        ¼

                                                        ½
´Üµ             ´ÜµÌ Ö ´Üµ               ´ÜµÌ               Ö´ ´Ü                ´Üµµ   Ö ´Üµµ
                                                    ¼

                       ´½ µ                                                                                      ¹
                       ´½ µ¸

                                                Ã
                      ´Üµ   Ö ´Üµ ¾             Æ
                                                                Ü ¾ ÊÒ       Æ            ½                ´½ µ

            ¸                            ¸                                                                       ¹
                                              ´ µº                                    º

                                                                                                             ½
½º                 Ø Ø
                                                                             ½¼                                 ¹
       ¸                    ô                                                                  ÜØ ½ ¼º þ
                                                                                                  Ø             ¹


                                          ÎØ         ´ÜØ µ · ¿ Æ Ø
                                                             ¾
                                                                Ã

               ¸                                                                                   ÎØ   ·

 ½º                ¼            ½Ä                         ´½ µ       ´½ µ                     ¸

       ´ÎØ·½ صРÕÎØ   ¾                        ´Ü Ø µ ¾      Ø   · ¿ ¾Ã                   ½
                                                                                       Æ Ø·½       Ø


                       ÎØ   ´½  
                                          ¿Ã µ             ´ÜØ µ ¾            Ø        ½¾
                                                                         Ø
                                ¾
                            ¸ ÎØ                                                         ¿Ã           ½º        ¹
                                                                                               ¾¿ ¸     ¸       ¹
           ¸                        à   º º Ð Ñؽ      ´ÜØ µ ¾ Ø ¼            ½                 º º Ð ÑØ
Ö ´ÜØ µ        ¾
                       ¼¸                  Ð ÑØ ½ Ö ´Ü ص ¾   Ð ÑØ ½ ´ ´Üص ¾
                                                                              Ø µº
                                º
                                                     ¾º   þ       ô
                                                                             Ã
                                    Ï ´Ü Æ µ          Ü   Ü· ¾ ·
                                                                             Æ
                                                              ´½ µ                 ¸
                                                                                       ¡
                            ÜØ·½   Ü· ¾                    ´ ÜØ·½   Ü· ¾ Ø µ
      ´ ÜØ   Ü·   ´Ö ´ÜØ µ   Ö ´Ü· µµ   ´ ´ÜØ µ   Ö ´ÜØ µµ ¾ Ø µ
                  ´½   е ÜØ   Ü· ¾ · ¾ à      ½                ´½                                              µ
                                                                                  ÆØ
                       ´ µ¸                                       ´½ µ

   ½
  ´ÆØ µ                 Ö ´ÜØ µ   Ö ´Ü µ · Ã ´ ½ µ Ä · Ã ´ ½ µ
                                                 ·    ¾                            ¾
                                                                                                        ´½ µ
                                              ÆØ          ÆØ
                    ´½ µ        ´½ µ

                                               ½   ¾ Ð · ¾ о ÃÄ
                                                                 ¾
       ´Ï ´ÜØ·½ Æ Ø·½ µµ                                                                ÜØ   Ü· ¾ ·
                                                                                                            ½
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                                                                                      ¾
                                                                                               ´Ï ´ÜØ Æ Øµ
                                              ÆØ
     ¼              ÑÒ           ½          ¿
                                                                   ÃÑ Ü       ľ º                            º
                                 Ä        ´½·Ðµ                                Ð




½ ÊÓ Ò× Àº¸ ÅÓÒÖÓ Ëº      ×ØÓ ×Ø       ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó                                                     »»
   ÒÒºÅ Ø ºËØ Ø ×غ½ ½º ÎÓк ¾¾º ÆÓ ¿º Ⱥ ¼¼ ¼ º
¾    à        Ö Âº¸ ÏÓÐ ÓÛ ØÞ Âº                      ËØ Ø ×Ø Ð ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó
         Ö Ö ×× ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ »»                           ÒÒºÅ Ø ºËØ Ø ×غ ½ ¾º ÎÓк¾¿º Ⱥ ¾
          º
¿                            º        º                                                                           º
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      ÖÑÓÐÝ Ú   Ùº¸ Ï Ø× Êº ÆÙÑ Ö    Ð Ì                                              Ò ÕÙ × ÓÖ ËØÓ          ×Ø
     ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ º ÖÐ Òº ½                                             º
     Ë    Ð Ù× × Äº ÆÓÒÐ Ò Ö ×ØÓ   ×Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ý ÅÓÒØ ¹                                                  ÖÐÓ
      ×Ø Ñ ØÓÖ× »» ÁÒ ÓÖÑ Ø º ¾¼¼¼º ÎÓк ½½ ´ µº Ⱥ ½ ½ º
     Ë       Ð Ù×       × Äº      ÆÓÒÐ Ò Ö ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ý ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ
      ×Ø Ñ ØÓÖ× »»                 ÙÖÓÔ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ê × Ö º ¾¼¼¾º
     ÎÓк ½¿ º Ⱥ                      º
                    º ýº                                                                                     »»
             ºü                   º           º                                            º½      º ÆÓ ½º º ¿
     ½¿º
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              º     º                     º½          º
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   Å Ø Ñ Ø Ð ÇÔ Ö Ø ÓÒ× Ê × Ö º ½ ¿º ÆÓ º Ⱥ ¾ ¿¿º


                                                                                                              ½
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                                                                   þ º   º                      º½    º
½¿ ÂÙÒ Ë Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ò Ý × Ò                                                   × ÓÒ Ø ÓÖÝ
   »» Â Ë º ½ º ÎÓк º ÆÓ ¼ º Ⱥ ¾   ¿¾º
½    Ë          Ð Ù×         × Äº          ÒØ Ö Ò                 Ý Ø     ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ Ñ Ø Ó »»
     ËØÓ            ×Ø            Ò ÐÝ× × Ò    ÔÔÐ                Ø ÓÒ׺ ½ º ÎÓк ½ º ÆÓ º Ⱥ
½                                      º¸ ü           ÿº                                                  ¹
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                             »» ü                                                                         º
     ½ ¼º                    º ÆÓ ½º º ½½                  ½¾ º
½             ØØ         ÖÝ        ʺ ƺ¸ Ê Ò    Ê Ó Êº ÆÓÖÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò
      ×ÝÑÔØÓØ                      ÜÔ Ò× ÓÒ׺ ÂÓ Ò Ï Ð Ýº ½  º Æ Û ÓÖ ¹ÄÓÒ ÓÒ¹
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½        ÓÜ         º¸ Ï Ø×ÓÒ                  º ÊÓ Ù×ØÒ ×× ØÓ ÒÓÒ¹ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ö Ö ×× ÓÒ
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½      ÒØ Ù× Îº¸  ÓØÞ    º ÇÔØ Ñ Ð ÓÙÒ × Ò ÒÓÒ¹     Ù×× Ò Ð Ñ Ø
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       ×    ÓÒ Ø    ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ × ÑÙÐ Ø ÓÒ »» ÈÖÓ º ÁÒØ ÖÒº ÅË
      ÓÒ Ö Ò        ÔÔÐ   ÅÓ Ð Ò Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ º ÄÚ Ú ´Í Ö Ò µº
     Ë Ôغ ¿¼¹Ç غ ¾º ½ ¿º ÅË ÈÖ ×׺ Ⱥ ½ ¾¿º
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¾¿                      þº    þ                                                       ô                   ¸
         º ¾º       º              º½         º




                                                                                                      ¾¼

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Nonlinear Stochastic Optimization with the Monte-Carlo Method

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