บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

ยินดีต้อนรับเข้าสู่บทเรียนออนไลน์
เรื่อง ความน่าจะเป็น
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6
Home

ใช้วิธีการทางสถิติและความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็น
ในการคาดการณ์ได้อย่างสมเหตุสมผล
ใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็น
ช่วยในการตัดสินใจและแก้ปัญหา
มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด
Home
สาระที่ 5 : การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น
มาตรฐาน ค 5.2

มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์
การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ
และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
มาตรฐานการเรียนรู้ / ตัวชี้วัด
Home
สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ตัวชี้วัด
1. อธิบายการทดลองสุ่มเหตุการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สถานการณ์
ที่กาหนดให้ (มาตรฐาน ค 5.2 ตัวชี้วัดข้อที่ 2)
2. ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นช่วยในการตัดสินใจและแก้ปัญหา
(มาตรฐาน ค 5.3 ตัวชี้วัดข้อที่ 2)
3. ใช้วิธีการที่หลากหลายในการแก้ปัญหา
4. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม
มาตรฐานการเรียนรู้ / ตัวชี้วัด
Home

ด้านความรู้ (K)
ด้านทักษะกระบวนการ (P)
ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์ (A)
Home
จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้ (K)
1. นักเรียนสามารถเขียนผลที่สามารถเกิดขึ้นได้จากเหตุการณ์ที่กาหนดให้
โดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับและแผนภาพต้นไม้
ได้อย่างถูกต้อง
2. นักเรียนสามารถบอกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กาหนดให้
ได้ถูกต้อง
3. สามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์
ประกอบการตัดสินใจ และสามารถนาไปแก้ปัญหาได้
Home

ด้านทักษะกระบวนการ (P)
1. นักเรียนมีความสามารถในการสื่อสาร
2. นักเรียนมีความสามารถในการคิด
3. นักเรียนมีความสามารถในการแก้ปัญหา
4. นักเรียนมีความสามารถในการใช้ทักษะชีวิต
5. นักเรียนมีความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
Home

ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์ (A)
Home

สาระการเรียนรู้
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
แฟกทอเรียล
วิธีเรียงสับเปลี่ยน
วิธีจัดหมู่
ทฤษฏีบททวินาม
ความน่าจะเป็น
Home

ก่อนที่ผู้เรียนจะเข้าไปศึกษาเนื้อหาจากสาระการเรียนรู้ในบทเรียนออนไลน์นี้
ผู้เรียนจะต้องทาแบบทดสอบก่อนเรียน จากนั้นผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับ
เรื่องความน่าจะเป็นซึ่งมีเรื่องย่อยดังต่อไปนี้
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม และความน่าจะเป็น จากนั้นเพื่อเป็นการตรวจสอบดูว่า
ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจในเรื่องที่ได้ศึกษาไปแล้วนี้มากน้อยเพียงใด
ผู้เรียนจะต้องทาแบบทดสอบหลังเรียนว่าจากการที่ได้ศึกษาเนื้อหานั้น
มีความรู้มากขึ้นเพียงใดทั้งนี้ทั้งนั้นผู้เรียนจะต้องซื่อสัตย์ต่อตนเองด้วย
Home
ข้อตกลงเบื้องต้นในการเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน
Home

ข้อตกลงเบื้องต้นในการทาแบบทดสอบ
1. แบบทดสอบนี้มีทั้งหมด 10 ข้อ ควรทาให้ครบทุกข้อ
2. ก่อนทาแบบทดสอบผู้เรียนจะต้องเตรียมกระดาษและดินสอ หรือปากกา
เพื่อใช้สาหรับจดคะแนนที่ผู้เรียนได้ในการทา แบบทดสอบแต่ละข้อ
3. เมื่อผู้เรียนเลือกคาตอบ
- ถ้าถูกจะได้ 1 คะแนน
- ถ้าผิดจะได้ 0 คะแนน
4. ในการทาแบบทดสอบก่อนเรียนจะไม่มีการแสดงเฉลยคาตอบ
แต่จะมีเฉลยคาตอบแสดงในการทาแบบทดสอบหลังเรียน
Home

1. วิธีสร้างจานวนสามหลัก ที่มากกว่า 300 จากเลขโดด
0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ากัน
มีทั้งหมดกี่วิธี
ก. 60 วิธี ข. 70 วิธี
ง. 90 วิธีค. 80 วิธี
Home

2. จานวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คน
ยืนเรียงแถวหน้ากระดานโดยที่ไม่มีหญิง 2 คนใดยืนติดกัน
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. ข.
ง.ค.
Home
6,6 7,3P P
6,5 7,2P P 7,6 7,3P P
6,3 7,3P P

3. จะสร้างจานวนที่มีสี่หลัก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 , 9
ได้ทั้งหมดกี่จานวน โดยที่แต่ละจานวนนั้น
ต้องไม่มีเลขโดดในหลักใดซ้ากันเลย
Home

4. มีหลอดไฟสีขาว 4 หลอด สีแดง 5 หลอด และสีน้าเงิน 6 หลอด
ต้องการนาหลอดไฟทั้งหมดไปประดับตามรั้วในแนวเส้นตรง
ข้อใดคือการหาจานวนวิธีที่แตกต่างกันในการประดับหลอดไฟ
เมื่อหลอดไฟสีเดียวกันไม่แตกต่างกัน
ก. ข.
ง.ค.
Home
15!
4!5!6!
11!
4!5!6!
15!
3!4!5!
14!
4!5!6!

5. ถ้าต้องการจัดให้เด็กชาย 4 คน และเด็กหญิง 3 คน
นั่งเป็นวงกลม โดยไม่ให้เด็กหญิงนั่งติดกัน จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
Home

6. ต้องการเลือกกรรมการชุดหนึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 2 คน
นักเรียนหญิง 2 คน และครู 1 คน จากนักเรียนชาย 20 คน
นักเรียนหญิง 25 คน ครู 7 คน ข้อใดคือการหาจานวนวิธีทั้งหมด
ในการเลือกกรรมการ
ก. ข.
ง.ค.
Home
20,2 25,2 7,1C C C  20,2 25,2 7,2C C C 
30,2 25,2 7,1C C C 20,3 25,2 7,1C C C 

7. กล่องใบหนึ่งมีบัตร 5 ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1,2,3,4 และ 5
ถ้าหยิบบัตรจากกล่องนี้ 3 ใบพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็น
ที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10
ข.
ง.ค.
1
5
ก. 1
2
1
3
1
6
Home

8. ในการออกรางวัลแต่ละงวดของกองสลาก ความน่าจะเป็น
ที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว จะออกหมายเลขที่มีหลักหน่วยเป็นเลขคี่
และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วยเป็น 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(ข้อสอบ o-net ปี 2549)
ก. 0.04 ข. 0.05
ง. 0.25ค. 0.20
Home

9. ความน่าจะเป็นที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกินแบ่งรัฐบาล
จะออกทั้งเลขทั้งสองหลักเป็นเลขเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(ข้อสอบ o-net ปี 2550)
ก. ข.
ง.ค.
1
10
2
10
2
9
1
9
Home

10. ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูกหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็น
ที่จะได้แต้มรวมเป็น 7 โดยที่มีลูกเต๋าลูกหนึ่งขึ้นแต้มไม่น้อยกว่า
4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 3/2552)
ก. ข.
ง.ค.
Home

0 – 3 คะแนน ต้องปรับปรุงนะ
4 – 6 คะแนน ก็พอใช้ได้นะ
7 – 8 คะแนน ดีมากคะ
9 – 10 คะแนน สุดยอดไปเลย
Home

ถูกต้องคะ….
10321 4 5 6 7 8 9ทาข้อต่อไปได้เลย
ข้อ ก
Home

ถูกต้องคะ….
10321 4 5 6 7 8 9ทาข้อต่อไปได้เลย
Home

ผิดคะ !!!!!
คุณต้องพยายามมากกว่านี้นะคะ
10321 4 5 6 7 8 9ทาข้อต่อไปได้เลย
Home

แฟกทอเรียล
วิธีจัดหมู่
ทฤษฏีบททวินาม
Home

หลักการนับ
หลักการบวก หลักการคูณ
การเขียนแจกแจงวิธี
ทั้งหมด
Home

การเขียนแจกแจงวิธีทั้งหมด
ในการหาจานวนวิธีการทางานต่างๆนั้น วิธีซึ่งเป็นพื้นฐานที่สุดนั้น
คือการเขียนแจกแจงจานวนวิธีออกมาโดยตรงซึ่งวิธีที่สะดวกที่สุด
ในการเขียนแจกแจงกรณีเรามักจะใช้แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)
Home

จากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่ มีวิธีการเดินทางได้ 3 วิธี คือ
ทางรถยนต์ ทางรถไฟและทางเครื่องบิน และจากเชียงใหม่
ไปแม่ฮ่องสอนมีวิธีการเดินทางได้ 2 วิธี คือ ทางรถยนต์
และทางเครื่องบินอยากทราบว่าในการเดินทางจากกรุงเทพฯ
ไปแม่ฮ่องสอนโดยหยุดแวะที่เชียงใหม่มีวิธีการเดินทาง
ได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 1
Home

วิธีทา ในการหาจานวนวิธีการเดินทางทั้งหมดสามารถแสดงได้
ด้วยแผนภาพต้นไม้ ดังนี้
จากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่ จากเชียงใหม่ไปแม่ฮ่องสอน
รถยนต์ วิธีที่ 1
รถยนต์
เครื่องบิน
รถไฟ
รถยนต์
รถยนต์
เครื่องบิน วิธีที่ 2
วิธีที่ 3
Home

จากแผนภาพต้นไม้ จะได้ว่าวิธีการเดินทางจากกรุงเทพฯ
ไปแม่ฮ่องสอน โดยหยุดแวะที่เชียงใหม่ มีทั้งหมด 6 วิธี คือ….
Home

วิธีที่
วิธีการเดินทาง
กรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่ เชียงใหม่ไปแม่ฮ่องสอน
1 รถยนต์ รถยนต์
2 รถยนต์ เครื่องบิน
3 รถไฟ รถยนต์
4 รถไฟ เครื่องบิน
5 เครื่องบิน รถยนต์
6 เครื่องบิน เครื่องบิน
Home

จากตัวอย่าง จะเห็นว่าการใช้แผนภาพต้นไม้ช่วยในการหาคาตอบ
ทาได้โดยง่ายเมื่อจานวนวิธีที่นามาเขียนแผนภาพต้นไม้มีจานวนไม่มากนัก
แต่สาหรับปัญหาที่มีจานวนวิธีที่เกี่ยวข้องเป็นจานวนมาก
การเขียนแผนภาพต้นไม้อาจทาได้ไม่สะดวก
ดังนั้น เพื่อให้การหาคาตอบทาได้ง่ายและสะดวกรวดเร็ว
จะใช้วิธีการคานวณโดยอาศัยหลักการที่เกี่ยวกับการนับ
Home

หลักการบวก
หลักการคูณ
Home

ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีการทางาน k แบบ คือ แบบที่ 1 ถึงแบบที่ k โดยที่
แบบที่ 1 มีวิธีการทางานที่สิ้นสุด n1 วิธี
แบบที่ 2 มีวิธีการทางานที่สิ้นสุด n2 วิธี
แบบที่ k มีวิธีการทางานที่สิ้นสุด nk วิธี
และวิธีการทางานที่แตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n1 + n2 + … + nk วิธี
หลักการบวก
Home

นักเรียน 3 คน ต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งซึ่งมีประตู 3 บาน
โดยนักเรียนคนที่ 1 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานเดียวกัน
นักเรียนคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดิม และนักเรียนคนที่ 3
เข้าและออกโดยใช้ประตูบานใดก็ได้โดยถือว่าแต่ละคนเข้าออกประตู
ไม่เกี่ยวข้องกันจงหาจานวนวิธีที่นักเรียนทั้งสามคนนี้เข้าและออกห้องนี้
Home

คนที่ 1
ประตูที่ 1 ประตูที่ 1
ประตูที่ 3ประตูที่ 3
เข้า ออก
คนที่ 2
ประตูที่ 1
3 วิธี
6 วิธี
Home

คนที่ 3
9 วิธีประตูที่ 2
เข้า ออก
Home

นักเรียนคนที่ 1 มีวิธีเข้าและออกได้3 วิธี
ดังนั้น วิธีที่นักเรียนทั้งสามคนเข้าและออกห้องนี้มีทั้งหมด
3 + 6 + 9 = 18
วิธีทา
Home

ในการทางานอย่างหนึ่งที่จะทาให้งานสาเร็จมีขั้นตอนการทางาน
k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ k ตามลาดับ โดยที่
การทางานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทา n1 วิธี
การทางานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทา n2 วิธี
การทางานขั้นตอนที่ k มีวิธีทา nk วิธี
และวิธีการทางานแต่ละวิธีแตกต่างกัน
จานวนวิธีทางานนี้เท่ากับ n1 x n2 x . . . x nk วิธี
หลักการคูณ
Home

บริษัทผลิตเสื้อผ้าสาเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ
กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจัดแต่งตัวให้กับหุ่น
เพื่อนาไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่างๆ ได้กี่ชุด
Home

ในการแต่งตัวให้กับหุ่น มี 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี
ดังนั้น วิธีแต่งตัวให้กับหุ่นทาได้ทั้งหมด
6 x 5 x 4 = 120 วิธี
นั่นคือ จะแต่งตัวให้กับหุ่นเป็นชุดต่างๆกันได้120 ชุด
Home
วิธีทา

สมาคมแห่งหนึ่งมีสมาชิก 50 คน ถ้าต้องการเลือก
คณะกรรมการชุดหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยนายกสมาคม
อุปนายกสมาคม เลขานุการ และเหรัญญิก ตาแหน่งละ 1 คน
โดยที่กรรมการคนเดียวกันจะทาหน้าที่ 2 ตาแหน่งไม่ได้
จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี
Home

ในการเลือกกรรมการ จะเลือกตาแหน่งใดก่อนก็ได้
ซึ่งแบ่งได้เป็น 4 ขั้นตอน ดังนี้
ขั้นที่ 1 เลือกนายกสมาคมได้ 50 วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกอุปนายกสมาคมได้ 49 วิธี
(เลือกไปแล้ว 1 คน เหลือ 49 คน)
ขั้นที่ 3 เลือกเลขานุการได้ 48 วิธี
ขั้นที่ 4 เลือกเหรัญญิกได้ 47 วิธี
ดังนั้น เลือกคณะกรรมการได้ทั้งหมด
วิธี
วิธีทา
50 49 48 47 5,527,200   
Home

ต้องการสร้างจานวนที่มีสามหลักจากเลขโดด
2,4,6,7,8 โดยแต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซ้ากัน
จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน
Home

การสร้างจานวนที่มีสามหลัก ทาได้โดยเลือกเลขโดด
จากที่กาหนดให้วางในหลักหน่วย หลักสิบ หลักร้อย
โดยจะวางหลักใดก่อนก็ได้
หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย
วิธีทา
Home
5 วิธี4 วิธี3 วิธี

การสร้างจะแบ่งได้ 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขโดด 1 ตัว
วางที่หลักหน่วย เลือกได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวเลขโดด 1 ตัวจากที่เหลือ
วางที่หลักสิบ เลือกได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกตัวเลขโดด 1 ตัวจากที่เหลือ
วางที่หลักร้อย เลือกได้ 3 วิธี
ดังนั้น จานวนสามหลักที่ต้องการมีทั้งหมด
จานวน5 4 3 60  
Home

หลักการบวกและหลักการคูณแตกต่างกันอย่างไร ?
ข้อสังเกต
งานที่สาเร็จแล้ว จะใช้หลักการบวก
งานที่ยังไม่สาเร็จ จะใช้หลักการคูณ
Home

ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก แฟกทอเรียล หมายถึง
ผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง และเขียนแทนด้วย
นั่นคือ
หรือ
สัญลักษณ์ “ ” อ่านว่า “ แฟกทอเรียลเอ็น ” หรือ
“ เอ็นแฟกทอเรียล ”
บทนิยามที่ 1
แฟกทอเรียล (Factorial)
 n! 1 2 3 ... n 1 n      
 n! n n 1 ... 3 2 1      
n!
n!
n
n
Home

ตัวอย่าง
1! 1
2! 2 1 2
3! 3 2 1 6
4! 4 3 2 1 24
5! 5 4 3 2 1 120

  
   
    
     
Home

สมมติให้
จะได้
 
 
 
 
 
n! n n 1 ... 3 2 1
n n 1 !
n 1
1! 1 1 1 !
1! 1 0!
1 1 0!
0! 1
      
  

 



นิยาม 2 กาหนด 0! 1
Home

จงหาค่าของ
วิธีทา 4!6! 4 3 2 1 6!
8! 8 7 6!
3
7
   

 

4!6!
8!
Home

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) เป็นการจัดเรียงสิ่งของ
โดยคานึงถึงตาแหน่งของสิ่งของแต่ละสิ่งเป็นสาคัญ
Home

มีเลขโดด 1,2 และ 3 ถ้าต้องการนามาจัดเรียงเป็นจานวนสองหลัก
โดยที่แต่ละหลักมีเลขโดดไม่ซ้ากัน จะได้จานวนที่แตกต่างกันทั้งหมด
6 จานวน คือ 12 , 21 , 13 , 31 , 23 และ 32 ในกรณีนี้
เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนของเลขโดด 1 , 2 และ 3 โดยจัดทีละ 2 ตัว
การหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าว สามารถใช้หลักการคูณ
มาคานวณได้ดังนี้
เช่น
Home

หลักสิบ หลักหน่วย
ขั้นที่ 1 หลักสิบ เลือกได้3 วิธี จากเลขโดด 1 , 2 , 3
ขั้นที่ 2 หลักหน่วย เลือกได้2 วิธีจากเลขโดดที่เหลือ 2 ตัว
ดังนั้น จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของเลขโดดดังกล่าว
คือ วิธี
วิธีทา
3 2 6 
Home
1233 233

ในหัวข้อ นี้ต้องการคานวณหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ
โดยอาศัยหลักการคูณและแทนจานวนที่ได้อยู่ในรูปแฟกทอเรียล
โดยทั่วไป วิธีเรียงสับเปลี่ยนจะแบ่งได้ 2 แบบ คือ
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
ในหัวข้อ นี้ต้องการคานวณหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ
โดยอาศัยหลักการคูณและแทนจานวนที่ได้อยู่ในรูปแฟกทอเรียล
โดยทั่วไป วิธีเรียงสับเปลี่ยนจะแบ่งได้ 2 แบบ คือ
Home

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
Home

เป็นการจัดเรียงสิ่งของในแนวเส้นตรงซึ่งแบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น(Linear Permutation)
1.วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
Home

1.วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
ถ้ามีสิ่งของ สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดและต้องการ
นามาจัดเรียงในแนวเส้นตรงจานวน สิ่ง ( )
ตาแหน่งที่จะจัดเรียงมี ตาแหน่ง
ตาแหน่งที่ 1 ตาแหน่งที่ 2 ตาแหน่งที่ r
1 r n 
r
n
Home
r

ตาแหน่งที่ 1 มีวิธีนาสิ่งของวางได้ n วิธี
ตาแหน่งที่ 2 แต่ละวิธีที่วางสิ่งของในตาแหน่งที่ 1 มีวิธี
นาสิ่งของวางในตาแหน่งที่ 2 ได้n - 1 วิธี
ตาแหน่งที่ r แต่ละวิธีที่วางสิ่งของในตาแหน่งที่ 1
ถึงตาแหน่งที่ r - 1 มีวิธีนาสิ่งของวางใน
ตาแหน่งที่ r ได้ n - ( r -1) = n – r + 1 วิธี
Home

จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน
ทั้งหมด โดยจัดเรียงคราวละสิ่ง เท่ากับ วิธีn!
Home
ทฤษฏีที่ 1
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด
โดยจัดเรียงคราวละ r สิ่ง เท่ากับ วิธี
เมื่อ
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด
โดยจัดเรียงคราวละ r สิ่ง เท่ากับ วิธี
เมื่อ
 1 r n 
 n,r
n!
P
n r !


n,rP

มีหนังสือที่แตกต่างกัน 6 เล่ม ต้องการนาหนังสือมา 4 เล่ม
เพื่อจัดเรียงเป็นแถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี
วิธีทา จากสูตร
ดังนั้น จัดเรียงหนังสือ 4 เล่ม ได้360 วิธี
 
 
n,r
6,4
n!
P
n r !
n 6
r 4
6!
P
6 4 !
6!
2!
6 5 4 3
360







   

ในที่นี้
Home

ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคาว่า “hyperbola”จะสลับได้กี่วิธี
เมื่อต้องการให้ h และ y อยู่ติดกัน
วิธีทา ต้องการให้ h และ y อยู่ติดกัน ก็พิจารณาว่า hy
เป็นอักษร 1 ตัว และ yh ก็เป็นอักษร 1 ตัว
ในกรณีที่พิจารณาว่า hy เป็นอักษร 1 ตัว จะได้ว่ามีอักษรที่นามาสลับ 8 ตัว
คือ hy,p,e,r,b,o,l,a ซึ่งสลับได้ วิธี
ในกรณีที่พิจารณาว่า yh เป็นอักษร 1 ตัว จะได้ว่ามีอักษรที่นามาสลับ 8 ตัว
คือ yh,p,e,r,b,o,l,a ซึ่งสลับได้ วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่สลับตัวอักษรโดยที่ h และ y อยู่ติดกัน
วิธี
8,8P 8!
8! 8! 80,640 
8,8P 8!
Home

มีหนังสือคณิตศาสตร์ต่างกัน 6 เล่ม และหนังสือเคมี ต่างกัน 4 เล่ม
จะมีกี่วิธีที่จะจัดหนังสือเหล่านี้บนชั้น โดยที่
1) หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
2) หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ริมทั้งสองด้าน
Home

วิธีทา 1) กรณีหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
จัดหนังสือวิชาเดียวกันมัดติดกันโดยคิดเป็นสิ่งของ 1 สิ่ง
ดังนั้น จะมีหนังสืออยู่ 2 มัด จัดเรียงได้2! วิธี
แต่ละวิธีใน 2! วิธีนี้ มัดที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 6 เล่มนั้น
จัดเรียงได้ 6! วิธี
มัดที่เป็นหนังสือเคมี 4 เล่ม จัดเรียงได้ 4! วิธี
จะได้ว่า จานวนวิธีจัดเรียงให้หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
2!6!4! = 34560 วิธี
Home
คณิตศาสตร์ เคมี
2!6! 4!

วิธีทา 2) กรณีหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ริมทั้งสองด้าน
แบ่งเป็น 2 กรณี
กรณีที่ 1
ริมทั้งสองด้านเป็นหนังสือคณิตศาสตร์
จัดหนังสือคณิตศาสตร์อยู่ริมทั้งสองด้านก่อนได้ วิธี
จากนั้นจัดหนังสือที่เหลือทั้งหมดไว้ระหว่างหนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม
ได้ 8! วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดหนังสือโดยให้ริมทั้งสองด้านเป็นหนังสือคณิตศาสตร์
เท่ากับ วิธี
6,2P
6,2
6!
P 8! 8! 1,209,600
4!
   
Home

กรณีที่ 2 ริมทั้งสองด้านเป็นหนังสือเคมี
จัดหนังสือเคมีอยู่ริมทั้งสองด้านก่อนได้ วิธี
จากนั้นจัดหนังสือที่เหลือทั้งหมดไว้ระหว่างหนังสือเคมี 2 เล่ม
ได้ 8! วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดหนังสือโดยให้ริมทั้งสองด้านเป็นหนังสือเคมี
จากทั้ง 2 กรณี
ดังนั้น จานวนวิธีการจัดหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ริมทั้งสองด้าน เท่ากับ
1,209,600 + 483,840 = 1,693,440 วิธี
4,2P
4,2
4!
P 8! 8! 483,840
2!
   
Home

2.วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
Home
ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจานวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง
มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง
มี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k
โดยที่ n1 +n2 + … + nk = n
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มของสิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ วิธี
1 2 k
n!
n ! n ! n !  

จงหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคาว่า
“MATHEMATICS ” ที่แตกต่างกันโดยไม่คานึงถึงความหมาย
จานวนตัวอักษรมีทั้งหมด 11 ตัว
มีตัวอักษร M อยู่ 2 ตัว
มีตัวอักษร A อยู่ 2 ตัว
มีตัวอักษร T อยู่ 2 ตัว
และมีตัวอักษร H,E,I,C และ S อย่างละ 1 ตัว
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรดังกล่าวเท่ากับ
= 4,989,600 วิธี
11!
2!2!2!1!1!1!1!1!
Home
M A T H E M A T I C S

มีหนังสืออยู่ 10 เล่ม เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ (เหมือนกันทุกเล่ม)
จานวน 6 เล่ม และเป็นหนังสือภาษาอังกฤษ (เหมือนกันทุกเล่ม)
จานวน 4 เล่ม จงหาจานวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 10 เล่ม วางบนชั้นหนังสือ
โดยให้หนังสือที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเหมือนกัน
วิธีทา
กรณีที่ 1 ให้หนังสือคณิตศาสตร์ อยู่หัวแถวและท้ายแถวจัดได้ 1 วิธี
ส่วนตรงกลางเป็นการจัดเรียงหนังสือที่เหลือจานวน 8 เล่ม
ซึ่งประกอบด้วยหนังสือคณิตศาสตร์ 4 เล่ม
และหนังสือภาษาอังกฤษ 4 เล่ม จะจัดได้ วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดเรียงทั้งหมดเท่ากับ วิธี
8!
4!4!8!
1 70
4!4!
 
Home

กรณีที่ 2 ให้หนังสือภาษาอังกฤษ อยู่หัวแถวและท้ายแถวจัดได้ 1 วิธี
ส่วนตรงกลางเป็นการจัดเรียงหนังสือที่เหลือจานวน 8 เล่ม
ซึ่งประกอบด้วยหนังสือคณิตศาสตร์ 6 เล่ม
และหนังสือภาษาอังกฤษ 2 เล่ม จะจัดได้ วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดเรียงทั้งหมดเท่ากับ วิธี
จากทั้งสองกรณีสรุปได้ว่า จานวนวิธีจัดเรียงหนังสือดังกล่าว
โดยให้หนังสือที่เหมือนกันอยู่หัวแถวและท้ายแถวเท่ากับ 70 + 28 = 98 วิธี
8!
6!2!
8!
1 28
6!2!
 
Home

พิจารณาการจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C
เป็นแถวตรงจะมีวิธีจัดเรียงได้3! = 6 วิธี คือ
ABC BCA CAB
ACB BAC CBA
วิธีการจัดเรียงตัวอักษร ABC , BCA ,CAB , ACB ,
BAC และ CBA เป็นการจัดเรียงแถวตรงที่แตกต่างกัน
แต่ถ้านาแต่ละวิธีมาจัดเป็นวงกลมจะได้
Home

A→B→C B→C→A C→A→B
A→C→B B→A→C C→B→A
Home
A
A
AB
C
B
B
C C
A
C
BC
B
B
A
A C

A→B→C B→C→A C→A→B
จะเห็นว่า วิธีการจัดเรียงตัวอักษร ABC BCA และ CAB ถือว่าเป็น
การจัดเรียงเป็นวงกลมเพียง 1 วิธี ดังต่อไปนี้
A
A
AB
C
B
B
C C
A B
C
Home

A→C→B B→A→C C→B→A
ในทานองเดียวกัน จะเห็นว่าวิธีการจัดเรียงตัวอักษร ACB BAC และ CBA
ถือว่าเป็นการจัดเรียงเป็นวงกลมเพียง 1 วิธี ดังต่อไปนี้
A C
B
A
C
BC
B
B
A
A C
Home

ดังนั้น การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัว เป็นวงกลม จะจัดได้ 2 วิธี คือ
Home
A B
C
A C
B

แนวคิดในการหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
( Circular Permutation ) ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง
อาจจะเริ่มโดยให้สิ่งของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่ ณ ตาแหน่งใดตาแหน่งหนึ่ง
แล้วจัดเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่เหลืออยู่ n – 1 สิ่ง
จะได้จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมทั้งหมด เท่ากับ
     n 1 n 2 n 3 3 2 1 n 1 !      
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง
เท่ากับ (n-1)! วิธี
Home

จัดนักเรียน 10 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 10 ที่นั่ง
ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทา จานวนวิธีที่จะจัดนักเรียน 10 คน
นั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 10 ที่นั่ง
(10 – 1)! = 9!
= 362,880 วิธี
Home

มีนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ต้องการจัดนักเรียนทั้งหมด
ให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี 12 ที่นั่ง โดยที่นักเรียนชายกับนักเรียนหญิง
ต้องนั่งสลับกันจะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทา จัดให้นักเรียนชาย 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลมก่อน
โดยที่นักเรียนชาย 2 คนใดๆ ต้องไม่นั่งเก้าอี้ติดกัน จะได้(6-1)! = 5! วิธี
ช
ช
ช
ช
ช
ช
Home

ในแต่ละวิธีจัดนักเรียนหญิงให้นั่งเก้าอี้ที่ว่างซึ่งมีที่นั่ง 6 ที่
จะจัดได้6! วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีจัดให้นักเรียนชายและหญิงนั่งสลับกัน
เท่ากับ 5!6! = 86,400 วิธี
หมายเหตุ ในตัวอย่างนี้ อาจจัดให้นักเรียนหญิง 6 คน
นั่งโต๊ะกลมก่อนก็ได้ซึ่งจะได้คาตอบเท่ากัน
Home

มีชาย 5 คน และหญิง 4 คนต้องการจัดคนทั้ง 9 คนยืนเป็นวงกลม
โดยไม่มีหญิง 2 คนใดเลยยืนติดกันจะมีวิธีการจัดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทา วิธีการจัดคนทั้ง 9 คน ยืนเป็นวงกลม
โดยไม่มีหญิงสองคนใดเลยยืนติดกันก็คือการจัดให้ชายยืนเป็นวงกลมก่อน
หลังจากนั้นให้หญิงยืนแทรกระหว่างชาย ดังรูป
ช
ช
ช
ช
ช
Home

Home
เนื่องจากการจัดชายยืนเป็นวงกลมก่อนจัดได้4! วิธี
และตาแหน่งที่จะให้หญิงไปยืนแทรกมีทั้งหมด 5 ตาแหน่ง
แต่มีหญิงเพียง 4 คน
ฉะนั้น ต้องมีชายสองคนยืนติดกันซึ่งเป็นไปได้ 5 วิธี และแต่ละวิธี
สามารถจัดผู้หญิงเข้าไปยืนได้4! วิธี
ทาให้จัดหญิงยืนแทรกระหว่างชายได้ 5 × 4! หรือ 5! วิธี
ดังนั้น วิธีจัดคนทั้ง 9 คน ยืนเป็นวงกลม
โดยที่ไม่มีหญิงสองคนใดเลยยืนติดกัน เท่ากับ 4!5! = 2,880 วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันเป็นวงกลมในลักษณะ 3 มิติ
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งต่างกัน นามาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมทั้งหมด
ที่มีลักษณะ 3 มิติ (กล่าวคือ มองได้ทั้งสองด้าน เช่น การร้อยลูกปัด
พวงกุญแจ การร้อยพวงมาลัยดอกไม้)
จะได้ว่าจานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับ วิธี n 1 !
2

Home

มีดอกไม้7 ดอก ดอกละสี จะมีวิธีนาดอกไม้ทั้ง 7 ดอก
มาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลมได้กี่วิธี
วิธีทา
วิธีนาดอกไม้ทั้ง 7 ดอกมาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลม
ดังนั้น มีวิธีนาดอกไม้ทั้ง 7 ดอกมาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลม
ได้เท่ากับ 360 วิธี
(7 1)!
360
2


Home
วิธี

วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกเป็นหมู่หรือชุด
โดยไม่คานึงลาดับของสิ่งของเหล่านี้ว่าจะได้สิ่งของใดออกมาก่อนหรือหลัง
Home
จานวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง
โดยเลือกคราวละ r สิ่ง
 0 r n 
 n,r
n n!
C
r n r !r!
 
  
 

จงหาว่าจานวนวิธีเลือกนักเรียน3 คน จากนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมี 10 คน
มีทั้งหมดกี่วิธีในการเลือก
วิธีทา จานวนวิธีเลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียน 10 คน มี วิธี
เนื่องจาก
ดังนั้น จานวนวิธีเลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียน 10 คน มี 120 วิธี
n
r
 
 
 
10 10!
3 7!3!
10 9 8
3 2 1
120
 
 
 
 

 

Home

กล่องใบหนึ่งมีลากหมายเลข 1 ถึง 10 สุ่มหยิบฉลากมา 4 ใบ พร้อมกัน
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ฉลากแต้มน้อยกว่า 4 สองใบและมากกว่า 6 หนึ่งใบ
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(ข้อสอบแข่งขัน สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ปี 2542)
ก. ข. ค. ง.
4
35
6
35
1
21
2
21

มีฉลากหมายเลข 1 ถึง 10 ในกล่อง
สุ่มหยิบมา 4 ใบ
จานวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ วิธี
เหตุการณ์ที่ต้องการคือ ใน 4 ใบดังกล่าวมีแต้มน้อยกว่า 4 สองใบ
และมากกว่า 6 หนึ่งใบทาได้ดังนี้
ดังนั้น จานวนวิธีที่จะเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวเท่ากับ วิธี
ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ดังกล่าว คือ
ตอบ ตัวเลือก ข.
วิธีทา
10,4C 210 
2 3 4 7651 1098
น้อยกว่า 4 มากกว่า 6
หยิบมา 2 ใบ
ได้ วิธี3,2C 3
ได้ 3 วิธี
ได้ 4 วิธี
3 3 4 36  
36 6
210 35

Home

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)
ถ้า x , y เป็นจานวนจริง และ n เป็นจานวนเต็มบวกแล้ว
จานวน ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์
ในการกระจาย เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม
(Binomial coefficient)
 
n n n 1 n r r nn n n n
x y x x y x y y
0 1 r n
        
             
       
n n n n n
, , , , , ,
0 1 2 r n
         
         
         
 
n
x y
Home

การหาพจน์ทั่วไป
ให้ หมายถึงพจน์ที่ r ของการกระจาย
จะได้ว่าพจน์ที่ r ของการกระจาย คือ
หรือเพื่อสะดวกในการจา เราอาจใช้สูตรการหาพจน์ที่ r+1 แทน
นั้นคือ
หมายเหตุ
ผลบวกการกระจายต้องมี n + 1 พจน์
rT  
n
x y
 n r 1 r 1
r
n
T x y
r 1
   
  
 
n r r
r 1
n
T x y
r


 
  
 

จงกระจาย โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
วิธีทา
 
422x 3y
           
    
         
    
4 24 3 24 4 42 2 22x 3y 2x 2x 3y 2x 3y
0 1 2
3 44 42 22x 3y 3y
3 4
24 3 22 22x 4 2x 3y 6 2x 3y
3 42 24 2x 3y 3y
4 3 2 2 4 6 8
16x 96x y 216x y 216xy 81y
     
             
     
   
    
   
  
 
    
Home

จงกระจาย โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
วิธีทา
 5
2x y
            
        
5 5 4 3 25 5 5
2x y 2x 2x y 2x y
0 1 2
5 5 52 3 4 52x y 2x y y
3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 532x 80x y 80x y 40x y 10xy y
     
                
     
     
          
     
     
Home

ตัวอย่างที่ 4.13 จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์กลางจากการกระจาย
วิธีทา พจน์กลางของการกระจาย
คือ พจน์ที่ 4 เนื่องจากมีการกระจาย 7 พจน์
จาก
สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง คือ
6
2
3
1
y 




 
 
 
 
  
n r r
r 1
3
6 3
2
3 1
3
2
6
6
6
n
x y
r
6 1
y
3 3
6! 1
y
3! 6 3 ! 27
6.5.4.3! 1
y
3.2.1 3! 27
1
20y
27
20
y
27




 
   
 
   
     
  
 
  
  
 
  
 
 
  
 
 
6
2
3
1
y 




 
27
20

Home

และ
กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม
ปริภูมิตัวอย่าง
เหตุการณ์
Home

ในการทอดลูกเต๋าลูกหนึ่ง ผลลัพธ์ที่น่าสนใจคือแต้มบนหน้าที่หงายขึ้น
ดังนั้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ ได้แต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6
แต่ไม่สามารถบอกได้ว่าเมื่อทอดลูกเต๋าลูกหนึ่งแล้วจะได้แต้มใด
ในการโยนเหรียญหนึ่งอันบนพื้นราบ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
คือ ด้านที่หงายขึ้นเป็นด้านหัวหรือก้อย แต่ไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่า
ในการโยนครั้งนี้จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร การกระทาดังกล่าว
เรียกว่า การทดลองสุ่ม (Random Experiment)
Home
การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่ม หมายถึง การทดลองหรือการกระทาใดๆ ซึ่งทราบว่า
ผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอน
ว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์
ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้
Home

การโยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน จะเป็นการทดลองสุ่ม
เพราะว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เขียนแทนได้ด้วย คู่อันดับ
(หัว,หัว) , (ก้อย,หัว) , (หัว,ก้อย) และ (ก้อย,ก้อย)
หรือ
กาหนดให้ H แทน การออกหัว
T แทน การออกก้อย
จะได้คู่อันดับ (H,H),(H,T),(T,H) และ(T,T)
Home

ปริภูมิตัวอย่าง หรือ แซมเปิลสเปซ (Sample space)
หมายถึง เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้จากการทดลองสุ่ม
แต่ละสมาชิกของปริภูมิตัวอย่างหรือผลการทดลอง
เรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample point หรือ Outcome)
Home
ปริภูมิตัวอย่าง (Sample space)

ในการโยนเหรียญ 1 อัน ผลที่เกิดขึ้นเป็นหัวหรือก้อย
ปริภูมิตัวอย่างของการโยนเหรียญ 1 เหรียญ คือ
S = { หัว , ก้อย }
หรือให้ H แทน การออกหัว
T แทน การออกก้อย
จะได้ว่า S = { H , T } จุดตัวอย่างคือ H และ T
Home

ในการทดลองสุ่มครั้งหนึ่ง
อาจจะมีปริภูมิตัวอย่างได้มากกว่าหนึ่งแบบก็ได้
ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
Home

การโยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ
คือ
การขึ้นหน้าของเหรียญที่ปรากฏ
และให้ S1 แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองนี้
จะได้
แต่ถ้าสนใจผลลัพธ์ที่เป็นจานวนเหรียญที่ขึ้นหัวและให้ S2 แทน
ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองนี้
จะได้S2 = { 0 , 1 ,2 }
        1S H,H , H,T , T,H , T,T
Home
ภาพประกอบ

H
T
H
T
H
T
(H,H)
(H,T)
(T,H)
(T,T)
S1
H
T
H
T
H
T
(H,H)
(H,T)
(T,H)
(T,T)
S2
2
1
1
0
กลับ

จงเขียนปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1
ครั้ง โดยที่
1) สนใจผลลัพธ์ที่เป็นแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูก
2) สนใจผลลัพธ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูก
Home

วิธีทา 1) ให้ S1 แทนปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋า 2 ลูก
โดยสนใจผลลัพธ์ที่เป็นแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูก จะได้
S1 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
Home

2) ให้ S2 แทนปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋า 2 ลูก
โดยสนใจผลลัพธ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูก
จะได้ S2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
2 3 4 5 76
9
12
8
10
11
Home

เหตุการณ์ (Event) คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง
Home
เหตุการณ์ (Event)

ถ้าปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋า 2 ลูก คือ
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6),
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6),
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
เช่น
Home

ให้ E1 แทนเซตของเหตุการณ์ที่แต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจานวนคี่
จะได้E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}
ให้ E2 แทนเซตของเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเป็น 5
จะได้E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}
จะได้E3 = 
Home
ให้ E1 แทนเซตของเหตุการณ์ที่แต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจานวนคี่
จะได้E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6),
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6),
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

จะได้E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}
S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
5
Home

ให้ E3 แทนเซตของเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มบนหน้า
ลูกเต๋าทั้งสองเป็น 20
จะได้E3 =
Home

การโยนเหรียญหนึ่งเหรียญกับการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกพร้อมกัน จงหา
1) เหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยและลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นเลขคี่
2) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
3) เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัว และลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจานวนคู่
Home

1) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยและลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจานวนคี่
E1 = {(T,1), (T,3), (T,5)}
2) ให้ E2 แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
E2 = {(H,3), (H,6), (T,3), (T,6)}
3) ให้ E3 แทนเหตุการณ์ที่เหรียญออกหัว และลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจานวนคู่
E3 = {(H,2), (H,4), (H,6)}
วิธีทา
Home
อธิบาย
อธิบาย
อธิบาย

T
6
5
2
4
3
1
1
H
6
5
2
4
3
(H,1)
(H,2)
(H,3)
(H,4)
(H,5)
(H,6)
(T,1)
(T,2)
(T,3)
(T,4)
(T,5)
(T,6) กลับ
วิธีคิดข้อ 1

H
1
6
5
2
4
3
T
6
5
2
4
3
1
(H,1)
(H,2)
(H,3)
(H,4)
(H,5)
(H,6)
(T,1)
(T,2)
(T,3)
(T,4)
(T,5)
(T,6) กลับ

กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกบอลจากกล่อง
พร้อมกัน 2 ลูก จงหา
1)ปริภูมิตัวอย่างเมื่อสนใจสีของลูกบอลและเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอล
สีขาว
2) ปริภูมิตัวอย่าง เมื่อสนใจลูกบอลที่จะหยิบและเหตุการณ์ที่จะได้
ลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
Home

1) จงหาปริภูมิตัวอย่าง เมื่อสนใจสีของลูกบอล
และเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว
วิธีทา ให้ S1 แทนปริภูมิตัวอย่าง เมื่อสนใจสีของลูกบอล
และ E1 แทนเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว
จะได้S1 = {ขาวกับขาว , ขาวกับแดง , แดงกับแดง}
และ E1 = {ขาวกับขาว , ขาวกับแดง}
วิธีทา
Home

2) จงหาปริภูมิตัวอย่าง เมื่อสนใจลูกบอลที่จะหยิบและเหตุการณ์ที่จะ
ได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
วิธีทา ให้ S2 แทนปริภูมิตัวอย่าง เมื่อสนใจลูกบอลที่หยิบ
E2 แทนเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
เนื่องจากการทดลองสุ่มนี้สนใจลูกบอลแต่ละลูกที่หยิบ
ดังนั้น ให้ W1 , W2 , W3 เป็นลูกบอลสีขาว 3 ลูก
และ R1 , R2 เป็นลูกบอลสีแดง 2 ลูก
จะได้
S2 = {W1W2 , W1W3 , W1R1 , W1R2 , W2W3 , W2R1 , W2R2 ,
W3R1 ,W3R2 , R1R2}
E2 ={W1R1 , W1R2 , W2R1 , W2R2 , W3R1 ,W3R2}
Home

W1
W2
W3
R1
R2
W2
W1
W3
R1
R2
W3
W1
W2
R1
R2
W1W2
W1W3
W1R1
W1R2
W2W1
W2W3
W2R1
W2R2
W3W1
W3W2
W3R1
W3R2
R1 R2 R1R2 Home

ปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์ต่างก็เป็นเซตในที่นี้เอกภพสัมพัทธ์ คือ
ปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์เป็นสับเซต การพิจารณายูเนียนของเหตุการณ์
อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ และคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์
สามารถทาเช่นเดียวกับเรื่องเซต
ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง และให้ A และ B เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์
เป็นเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ A หรือ
ของเหตุการณ์ B หรือของทั้งสองเหตุการณ์นั่นคือ
A B
 A B x|x A x B    
Home

เป็นเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งในเหตุการณ์ A
และเหตุการณ์ B
ถ้า แล้ว จะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่า
เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน ( Mutually exclusive events)
เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในปริภูมิตัวอย่าง S แต่
ไม่อยู่ในเหตุการณ์ A
A B
 A B x|x A x B    
A B  
A
 A x | x S x A   
Home

ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือผลรวมของ
แต้มบนลูกเต๋าทั้งสองและให้
A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
C แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 6
D แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนที่หารด้วย 4 ลงตัว
Home

จงหา
1) 2) 3)
4) 5)
ปริภูมิตัวอย่าง
A B B C C D
B C D
 
 
 
 
 
S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A 3,5,7,9,11
B 3,6,9,12
C 6
D 4,8,12





Home
A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้ม
เป็นจานวนคี่
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้ม
เป็นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
C แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 6
D แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้ม
เป็นจานวนที่หารด้วย 4 ลงตัว

 
 
 
 
1) A B 3,5,6,7,9,11,12
2) B C 3,6,9,12
3) C D
4) B C 6
5) D 2,3,5,6,7,9,10,11
 
 
  
 
 
Home
 
 
 
 
 
S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A 3,5,7,9,11
B 3,6,9,12
C 6
D 4,8,12






พิจารณาการทดลองสุ่มต่อไปนี้ หยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก
และลูกบอลสีขาว 5 ลูก ปริภูมิตัวอย่างประกอบด้วยสมาชิก 7 ตัว
และเหตุการณ์ที่จะหยิบลูกบอลสีแดงประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว
โอกาสที่จะหยิบลูกบอลลูกใดลูกหนึ่งมีเท่ากัน ในการคานวณหาโอกาส
การเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวจะเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด หาได้จากอัตราส่วนระหว่าง
จานวนสมาชิกของเหตุการณ์ต่อจานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง
อัตราส่วนที่ได้จะเรียกว่า ความน่าจะเป็น (Probability) ของเหตุการณ์
Home
ความน่าจะเป็น (Probability)

ถ้า S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มอย่างหนึ่ง
ซึ่งแต่ละจุดตัวอย่างของการทดลองมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน
และ E แทนเหตุการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
เขียนแทนด้วย P(E) ซึ่ง
เมื่อ n(E) แทนจานวนสมาชิกในเหตุการณ์ E
n(S) แทนจานวนสมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง S
บทนิยามที่ 4
Home
 
 
 
n E
P E
n S


1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ใด ๆ จะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
เสมอ นั่นคือ
P(E) = 0 หมายความว่า เหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
P(E) = 1 หมายความว่า เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
2. ความน่าจะเป็นของปริภูมิตัวอย่าง S มีค่าเท่ากับ 1
นั่นคือ P(S) = 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างมีค่าเท่ากับ 0
 0 P E 1 
 P 0 
สมบัติของความน่าจะเป็น
Home

ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูก 2 ครั้ง
จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มจากการทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง เท่ากับ 6
วิธีทา ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่าง
และ E แทนเหตุการณ์ที่จะได้ผลรวมของแต้ม
จากการทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง เท่ากับ 6
Home

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6),
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6),
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6),
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6),
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
และ E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
ดั้งนั้น 5
P(E)
36

Home
6

ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งเป็นเซตจากัด และ A, B เป็นเหตุการณ์ใดๆ
กฎข้อที่ 1
กฎข้อที่ 2 ถ้า แล้ว
       P A B P A P B P A B    
     A B P A B P A P B     
   P A 1 P A  
     P A B P A P A B   
Home

ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหา
1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกัน
หรือผลรวมของแต้มมากกว่า 10
หรือผลรวมของแต้มเท่ากับ 7
3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้า
ไม่เหมือนกัน
แต่ผลรวมของแต้มไม่มากกว่า 10
Home

ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่าง
A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกัน
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 7
C แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
วิธีทา
Home

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) }
C = {(5,6), (6,5), (6,6) }
ดังนั้น  
6 1
P A
36 6
 
 
6 1
P B
36 6
 
 
3 1
P C
36 12
 
Home

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกัน
หรือผลรวมของแต้มมากกว่า 10
คือ
เนื่องจาก จึงได้ว่า
ดังนั้น
       P A C P A P C P A C    
   
1
A C { 6,6 } P A C
36
   
 
1 1 1 2
P A C
6 12 36 9
    
Home
วิธีทา

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกัน
หรือผลรวมของแต้มเท่ากับ 7
คือ
เนื่องจาก จึงได้ว่า
ดั้งนั้น
 P A B
A B  
     
1 1 1
P A B P A P B
6 6 3
     
Home
วิธีทา

3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูก
จะขึ้นหน้าไม่เหมือนกัน
คือ และ
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูก
จะขึ้นหน้าไม่เหมือนกันเท่ากับ 5
6
A    
1 5
P A 1 P A 1
6 6
     
Home
วิธีทา

ข้าวสารบรรจุถุงแล้วกองหนึ่งประกอบด้วย ข้าวหอมมะลิ 4 ถุง
ข้าวเสาไห้ 3 ถุง ข้าวขาวตาแห้ง 2 ถุง และข้าวบัสมาตี 1 ถุง
ความน่าจะเป็นที่จะได้ข้าวครบทุกชนิดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
( ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 1/2552)
ก. ข. ค. ง.
Home
3
35
4
35
1
4
2
5

ข้าวมี 4 ชนิด สุ่มหยิบ 4 ถุง ให้ได้ครบทุกชนิด
4 3 2 1
1 1 1 1
4 3 2 1
24
    
     
    
   

Home
วิธีทา
วิธี
 
10
4
10!
10 4 !4!
10 9 8 7 6!
210
6! 4 3 2 1
 
  
 


   
 
   
จะต้องหยิบข้าวชนิดละ 1 ถุงได้
จานวนวิธีสุ่มหยิบข้าวชนิดใดก็ได้ 4 ถุง
วิธี
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบข้าว 4 ถุงได้ข้าวครบทุกชนิด 24 4
210 35
 

แบบทดสอบหลังเรียน
Home

Home
1. วิธีสร้างจานวนสามหลัก ที่มากกว่า 300 จากเลขโดด
0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ากัน
มีทั้งหมดกี่วิธี

ก. ข.
ง.ค.
Home
6,5 7,2P P 7,6 7,3P P
6,3 7,3P P6,6 7,3P P
2. จานวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดาน
โดยที่ไม่มีหญิง 2 คนใดยืนติดกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

Home
3. จะสร้างจานวนที่มีสี่หลัก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 และ 9
ได้ทั้งหมดกี่จานวน โดยที่แต่ละจานวนนั้นต้องไม่มีเลขโดด
ในหลักใดซ้ากันเลย

ข.
ง.ค.
ก.
Home
15!
3!4!5!
15!
4!5!6!
14!
4!5!6!
11!
4!5!6!
4. มีหลอดไฟสีขาว 4 หลอด สีแดง 5 หลอด และสีน้าเงิน 6 หลอด
ต้องการนาหลอดไฟทั้งหมดไปประดับตามรั้วในแนวเส้นตรง
ข้อใดคือการหาจานวนวิธีที่แตกต่างกันในการประดับหลอดไฟ
เมื่อหลอดไฟสีเดียวกันไม่แตกต่างกัน

Home
5. ถ้าต้องการจัดให้เด็กชาย 4 คน และเด็กหญิง 3 คน นั่งเป็นวงกลม
โดยไม่ให้เด็กหญิงนั่งติดกัน จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี

ก. ข.
ง.ค.
Home
20,2 25,2 7,1C C C  20,2 25,2 7,2C C C 
20,3 25,2 7,1C C C  30,2 25,2 7,1C C C 
6. ต้องการเลือกกรรมการชุดหนึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 2 คน
นักเรียนหญิง 2 คน และครู 1 คน จากนักเรียนชาย 20 คน
นักเรียนหญิง 25 คน ครู 7 คน ข้อใดคือการหาจานวนวิธีทั้งหมด
ในการเลือกกรรมการ

ก. ข.
ง.ค. 1
5
1
2
1
3
1
6
Home
7. กล่องใบหนึ่งมีบัตร 5 ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1,2,3,4 และ 5
ถ้าหยิบบัตรจากกล่องนี้ 3 ใบพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็น
ที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10

ก. 0.04 ข. 0.05
ง. 0.25ค. 0.20
Home
8. ในการออกรางวัลแต่ละงวดของกองสลาก ความน่าจะเป็น
ที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว จะออกหมายเลขที่มีหลักหน่วยเป็นเลขคี่
และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วยเป็น 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
( ข้อสอบ o-net ปี 2549 )

ก. ข.
ง.ค. 1
10
2
10
2
9
1
9
Home
9. ความน่าจะเป็นที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกินแบ่งรัฐบาล
จะออกทั้งเลขทั้งสองหลักเป็นเลขเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
( ข้อสอบ o-net ปี 2550 )

ก. ข.
ง.ค. 1
6
1
12
1
4
1
3
Home
10. ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูกหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวมเป็น 7
โดยที่มีลูกเต๋าลูกหนึ่งขึ้นแต้มไม่น้อยกว่า 4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
( ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 3/2552 )

0 – 3 คะแนน ต้องปรับปรุงนะ
4 – 6 คะแนน ก็พอใช้ได้นะ
7 – 8 คะแนน ดีมากค่ะ
9 – 10 คะแนน สุดยอดไปเลย
Home
เกณฑ์ของคะแนน

เฉลย
ข้อที่ 1
Home

1. วิธีทา
หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย
ขั้นที่ 1 สร้างเลขหลักร้อยได้ 3 วิธี (เลือกจาก 3,4,5)
ขั้นที่ 2 สร้างเลขหลักสิบได้ 5 วิธี (เลือกจากตัวที่เหลือ)
ขั้นที่ 3 สร้างเลขหลักหน่วยได้ 4 วิธี (เลือกจากตัวที่เหลือ)
ดังนั้น จะได้ทั้งหมด 3 x 5 x 4 = 60 วิธี
ตอบ ก.
Home
3 , 4 , 5
3
0,1,2,3,4,5
0
0,1,2,3,4,5

ขั้นที่ 1 จัดชายได้ เท่ากับ วิธี
ขั้นที่ 2 จัดหญิงลงที่ว่างได้ วิธี
ดังนั้น จะจัดได้ทั้งหมด วิธี
ตอบ ค.
6,6P
7,3P
Home
ช2
ช3ช1 ช6ช5
ช4
6,6 7,3P P

หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย
ขั้นที่ 1 สร้างเลขหลักพันได้ 5 วิธี
ขั้นที่ 2 สร้างเลขหลักร้อยได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 3 สร้างเลขหลักสิบได้ 3 วิธี
ขั้นที่ 4 สร้างเลขหลักร้อยได้ 2 วิธี
จะได้ วิธี
ดังนั้น จะมีจานวนดังกล่าว 120 จานวน
ตอบ ง.
Home
2,4,6,8,9
2
2,4,6,8,9
4
2,4,6,8,9
6
2,4,6,8,9
5 4 3 2 120   

4. วิธีทา จานวนหลอดไฟทั้งหมดมี 15 หลอด
หลอดไฟสีขาว มี 4 หลอด
หลอดไฟสีแดง มี 5 หลอด
หลอดไฟสีน้าเงินมี 6 หลอด
จานวนวิธีประดับหลอดไฟตามรั้ว เท่ากับ วิธี
ตอบ ข.
15!
4!5!6!
Home

ช แทน เด็กชาย
ขั้นที่ 1 จัดเฉพาะเด็กชายได้ (4 - 1)! = 6 วิธี
ขั้นที่ 2 จัดเด็กหญิงลงที่ว่าง วิธี
ดังนั้น จะจัดได้ทั้งหมด 6 x 24 = 144 วิธี
ตอบ ง.
ช1
ช2
ช3
ช4
 4 3
4
P 24
4 3
 

,
!
!
Home

ขั้นที่ 1 เลือกนักเรียนชายได้
ขั้นที่ 2 เลือกนักเรียนหญิงได้
ขั้นที่ 3 เลือกครูได้
ดังนั้น จะเลือกกรรมการได้ทั้งหมด
ตอบ ก.
20,2C
25,2C
7,1C
Home
20,2 25,2 7,1C C C 

7. วิธีทา ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่าง
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10
ตอบ ค.
 
 
    
 
 
 
 
5,3
5!
n S C 10
5 3 !3!
E 2,4,5 , 3,4,5
n E 2
n E 2
P E
n S 10
1
5
  



 

Home

บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

Similaire à บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น (20)

บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น