3. 3
3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
1. Πότε μια συνάρτηση καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της ; πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της ; πότε γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της ; Δώστε αντίστοιχα παραδείγματα.
Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ϵΔ με x1 < x2
ισχύει: ƒ(x1) < ƒ(x2),
Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ
γράφουμε γράφουμε .
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ(x) = 2x - 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R .
Πράγματι έστω x1,x2 R, με x1 < x2.
Τότε έχουμε: x1<x2 2x1 < 2x2 2x1 – 3 < 2x2 – 3 f(x1) < f(x2)
Γενικά: Η συνάρτηση ƒ(x) = αx + β, με α > 0 είναι γνησίως
αύξουσα στο R.
Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 Δ με x1 < x2
ισχύει: ƒ( x1) > ƒ(x2).
Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ
γράφουμε
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ(x) = -2x - 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R .
Πράγματι έστω x1,x2 R, με x1 < x2. Τότε έχουμε: x1<x2 -2x1 > - 2x2 -
2x1 – 3 > -2x2 – 3 f(x1) > f(x2)
Γενικά: Η συνάρτηση ƒ(x) = αx + β, με α < 0 είναι γνησίως
φθίνουσα στο R.
4. 4
4
Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα
σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
Η συνάρτηση T = ƒ(t) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [4,16].
Η συνάρτηση T = ƒ(t) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [16,24].
2. Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο; Πότε μια
συνάρτηση λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο; Τι είναι τα (ολικά)
ακρότατα και εξετάστε αν οι συναρτήσεις έχουν πάντα ακρότατα ; Δώστε
αντίστοιχα παραδείγματα.
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι
παρουσιάζει στο x0 Α (ολικό) ελάχιστο όταν: ƒ(x) > ƒ(x0), για
κάθε x Α
Το x0 Α λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το ƒ(x0) ολικό ελάχιστο ή
απλώς ελάχιστο της συνάρτησης ƒ και το συμβολίζουμε με min
ƒ(x).
Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = 3x4
+ 1.
Επειδήx4
≥ 0, για κάθε x R,
θα είναι 3x4
≥ 0, για κάθε x R,
οπότε θα έχουμε 3x4
+ 1 ≥ 1, για κάθε x R,
Επομένως: ƒ(x) ≥ ƒ(0), για κάθε x R,
Άρα, η ƒ παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = 0 , το ƒ(0) = 1
5. 5
5
Επίσης
η συνάρτηση T = ƒ(t) παρουσιάζει στο t = 4 ελάχιστο, το ƒ(4) = 3.
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι
παρουσιάζει στο x0 Α (ολικό) ελάχιστο όταν: ƒ(x) > ƒ(x0), για
κάθε x Α
Το x0 Α λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το ƒ(x0) ολικό μέγιστο ή
απλώς μέγιστο της ƒ και το συμβολίζουμε με max ƒ(x) .
Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = -3x4
+ 1.
Επειδή x4
≥ 0, για κάθε x R,
θα είναι -3x4
≤ 0 , για κάθε x R,
οπότε θα έχουμε -3x4
+ 1 ≤ 1, για κάθε x R,
Επομένως: ƒ(x) ≤ ƒ(0), για κάθε x R,
Άρα, η ƒ παρουσιάζει μέγιστο στο x0 = 0 , το ƒ(0) = 1.
Επίσης
η συνάρτηση T = ƒ(t) παρουσιάζει στο t = 16 μέγιστο , το ƒ(16) = 11.
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης
λέγονται ολικά ακρότατα αυτής.
6. 6
6
Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει και μέγιστο και ελάχιστο (Σχ. α) ή μόνο
ελάχιστο (Σχ. β') ή μόνο μέγιστο (Σχ. γ') ή να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε
ελάχιστο (Σχ. δ').
3. Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι άρτια; Πότε μια συνάρτηση λέμε
ότι είναι περιττή; Δώστε αντίστοιχα παραδείγματα και αναφέρετε τυχόν
συμμετρίες. Πως προέκυψαν οι όροι άρτια και περιττή ;
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται
άρτια, όταν για κάθε x Α ισχύει: -x Α και ƒ(-x) = ƒ(x)
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cƒ μιας συνάρτησης ƒ που
έχει πεδίο ορισμού όλο το R . Παρατηρούμε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας
τον άξονα y'y, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της Cƒ ως προς τον άξονα
y'y ανήκει στην Cƒ .
Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(x,y) της Cƒ ως προς τον
άξονα y'y είναι το σημείο M'(-x,y) και επειδή τα σημεία M(x,y) και M'(-x,y)
ανήκουν στην Cƒ , θα ισχύει y = ƒ(x) και y = ƒ(-x), οπότε θα έχουμε:
ƒ(-x) = ƒ(x). Η συνάρτηση ƒ με την παραπάνω ιδιότητα λέμε λέγεται άρτια.
7. 7
7
Γενικά: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα
συμμετρίας τον άξονα y 'y
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ(x) = 2x4
- x2
+ 1 είναι άρτια συνάρτηση, αφού
έχει πεδίο ορισμού όλο το R και για κάθε χ R ισχύει:
ƒ(-x) = 2(-x)4
- (-x)2
+ 1 = 2x4
- x2
+ 1 = ƒ(x)
Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y .
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται
περιττή, όταν για κάθε x Α ισχύει: -x Α και ƒ(-x) = - ƒ(x)
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cƒ μιας συνάρτησης ƒ που
έχει πεδίο ορισμού όλο το R . Παρατηρούμε ότι η Cƒ έχει κέντρο συμμετρίας
την αρχή των αξόνων, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της Cƒ ως προς την
αρχή των αξόνων ανήκει στην Cƒ .
Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(x,y) της Cƒ ως προς την
αρχή των αξόνων είναι το σημείο M'(-x, -y) και επειδή τα σημεία M(x,y)
και M'(-x, -y) ανήκουν στην Cƒ , θα ισχύει y = ƒ(x) και -y = ƒ(-x), οπότε θα
έχουμε: ƒ(-x ) = -ƒ(x) Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται
περιττή.
Γενικά: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης
έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ(x) = 2x3
- x είναι περιττή συνάρτηση, διότι
έχει πεδίο ορισμού όλο το R και για κάθε x R ισχύει:
ƒ(-x) = 2(-x)3
- (-x) = -2x3
+ x = - ƒ(x)
Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των
αξόνων.
8. 8
8
Ο όρος "άρτια" προέκυψε αρχικά από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις
y = x2
, y = x4
, y = x6
κτλ., που έχουν άρτιο εκθέτη, έχουν άξονα
συμμετρίας τον άξονα y'y, είναι δηλαδή άρτιες συναρτήσεις, ενώ ο
όρος "περιττή" προέρχεται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις y = x ,
y = x3
, y = x5
κτλ., που έχουν περιττό εκθέτη, έχουν κέντρο
συμμετρίας την αρχή των αξόνων, είναι δηλαδή περιττές συναρτήσεις.
4. Πως γίνεται η κατακόρυφη μετατόπιση μιας γραφικής παράστασης
συνάρτησης (προς τα πάνω ή προς τα κάτω); Δώστε αντίστοιχα
παραδείγματα.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ , με: ƒ(x) = φ(x) + c, όπου
c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω
Αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| κατακόρυφα (Δηλαδή
παράλληλα με τον άξονα y'y) και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα
συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x| +1. Αυτό, άλλωστε, ήταν
αναμενόμενο, αφού ισχύει: ƒ(x) = φ(x) + 1, για κάθε x R,που σημαίνει ότι για
κάθε x R το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x).
9. 9
9
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ , με: ƒ(x) = φ(x) - c, όπου
c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x|
κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη
γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x| - 1. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο,
αφού ισχύει : ƒ(x) = φ(x) - 1, για κάθε x R,που σημαίνει ότι για κάθε x R το
ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μικρότερο του φ(x).
5. Πως γίνεται η οριζόντια μετατόπιση μιας γραφικής παράστασης
συνάρτησης (προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά); Δώστε αντίστοιχα
παραδείγματα.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ με: ƒ(x) = φ(x - c), όπου
c > 0,προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά.
10. 10
10
Πράγματι επειδή ƒ(x) = φ(x - c), η τιμή της ƒ στη θέση x είναι ίδια με την τιμή
της φ στη θέση x - c, που βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της θέσης x.
Άρα, η γραφική παράσταση της ƒ θα βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της
γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα γ').
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| οριζόντια
(Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x'x) και προς τα δεξιά κατά 1 μονάδα, τότε
αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x -1|. Αυτό, άλλωστε,
ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει ƒ(x) = φ(x - 1) , για κάθε x R σημαίνει ότι η
τιμή της ƒ(x) = |x -1| στη θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ(x) = |x| στη
θέση x - 1.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ, με: ƒ(x) = φ(x + c), όπου c >
0,προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης
της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά
Πράγματι επειδή ƒ(x) = φ(x + c), η τιμή της ƒ στη θέση x είναι ίδια με την
τιμή της φ στη θέση x + c, που βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της θέσης x.
Άρα, η γραφική παράσταση της ƒ θα βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της
γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα δ').
11. 11
11
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| οριζόντια
και προς τα αριστερά κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική
παράσταση της ƒ(x) = |x + 1|. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει
ƒ(x) = φ(x + 1) , για κάθε x R ,που σημαίνει ότι η τιμή της ƒ(x) = |x + 1| στη
θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ(x) = |x| στη θέση x + 1.
6. Πως παριστάνουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής :
ƒ(x) = φ(x ± c) ± d, με c, d > 0
Για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής:
ƒ(x) = φ(x ± c) ± d, με c, d > 0
αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση
καμπύλης.
12. 12
12
x
y
-4
2O
x
y
O
1
x
y
-3
-1 1O
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο : Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω
συναρτήσεις είναι : α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα
y = f(x) y = g(x) y = h(x)
Λύση
Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το R.
f γν. φθίνουσα στο ( ,1] και γν.αύξουσα στο [1, )
g γν.αύξουσα στο διάστημα ( ,0] , γν. φθίνουσα στο [0, 2] και
γνησίως αύξουσα στο [2, )
h γν. φθίνουσα στο διάστημα ( ,1] , γν. αύξουσα στο [–1, 0],
γν. φθίνουσα στο [0, 1] και γνησίως αύξουσα στο [1, )
13. 13
13
2η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΘΕΜΑ 2ο :Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της
προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.
Λύση
Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το R.
Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = 1 και είναι min f(x) = f(1) = –1
Η g δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα
Η h παρουσιάζει ελάχιστο στο = –1 και στο = 1
και είναι min f(x) = f(–1) = f(1) = –3
0 (x – 1 που ισχύει
ΘΕΜΑ 3ο : Να δείξετε ότι :
i) Η συνάρτηση f(x) = – 6x + 10 παρουσιάζει ελάχιστο για x = 3.
ii) Η συνάρτηση g(x) = παρουσιάζει μέγιστο για x = 1.
Λύση
i) = R
Αρκεί να αποδείξουμε ότι f(x) f(3) για κάθε x
– 6x + 10 – 6. 3 + 10
– 6x + 10 9 – 18 + 10
– 6x + 9 0
(x – 3 0 που ισχύει
ii) = R
Αρκεί να αποδείξουμε ότι g(x) g(1) για κάθε x
1
2x + 1
0 – 2x + 1
0 (x – 1 που ισχύει
0x
1x 2x
2
)
2
x
2
2x
x 1
fD
2
x 2
3
2
x
2
x
2
)
gD
2
2x
x 1
2
2.1
1 1
2
2x
x 1
2
x
2
x
2
)
14. 14
14
3η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 4ο : Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες
και ποιες είναι περιττές :
i) (x) = 3 + 5 ii) (x) = 3 + 1 iii) (x) =
iv) (x) = – 3 v) (x) = vi) (x) =
Λύση
Το πεδίο ορισμού των δοσμένων συναρτήσεων, εκτός της , είναι το .
Οπότε, για κάθε x R ισχύει και – x R.
i) (–x) = 3 + 5 = 3 + 5 = (x) άρα άρτια
Άρα (–1) (1), άρα ούτε άρτια ούτε περιττή
ii) (–x) = 3 + 1 = 3 + 1 = (x) άρα άρτια
iii) Είναι (–1) = = 0 και (1) = = 2
Άρα (–1) (1), άρα ούτε άρτια ούτε περιττή
iv) (–x) = – 3 = – – 3(– ) = – + 3
= – ( – 3 ) = – (x) άρα περιττή
v) Πεδίο ορισμού είναι το Α = (– , –1) ( –1, + ).
Για κάθε x A δεν ισχύει και –x Α, αφού 1 Α και –1 Α.
Άρα ούτε άρτια ούτε περιττή.
vi) (–x) = = – = – (x), άρα περιττή.
ΘΕΜΑ 5ο: Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες
και ποιες είναι περιττές :
i) (x) = ii) (x) = iii) (x) = –
iv) (x) = v) (x) = vi) (x) =
Λύση
i) Πεδίο ορισμού = (– , 0) (0, + )
Άρα για κάθε x ισχύει και –x
(–x) = = = (x) οπότε άρτια
1f
2
x 4
x 2f x 3f x 1
4f
3
x 5
x 5f
2
x
1 x 6f 2
2x
x 1
5f
1f
2
( x) 4
( x) 2
x 4
x 1f 1f
3f 3f 3f
2f x x 2f 2f
3f 1 1 3f 1 1
3f 3f 3f
4f
3
( x) 5
( x) 3
x 5
x 3
x 5
x
3
x 5
x 4f 4f
5f
6f 2
2( x)
( x) 1
2
2x
x 1
6f 6f
1f 1
x
2f x 2 3f x 1 x 1
4f 2
1x
x
x 1
5f x 6f 2
1 x
1A
1A 1A
1f 1
x
1
x
1f 1f
15. 15
15
2
y
xO
y
x
O
2
y
xO
ii) Πρέπει x – 2 0 x 2, επομένως = [2, + )
Επειδή το δεν είναι συμμετρικό ως προς την αρχή Ο, η δεν είναι
ούτε άρτια ούτε περιττή
iii) = R και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο.
(-x) = – = – = –
= – ( – ) = – (x) Άρα περιττή.
iv) Πεδίο ορισμού = (– , 0) (0, + )
Άρα για κάθε x ισχύει και –x
(–x) = = – = – (x) Άρα περιττή
v) = R και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο.
(–x) = = = (x) Οπότε άρτια
vi) Πρέπει 1 – 0 –1 x 1,
άρα = [–1, 1] συμμετρικό ως προς την αρχή Ο
(–x) = = = (x) Οπότε άρτια
ΘΕΜΑ 6ο: Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές
παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης.
y = f(x) y = g(x)
y = h(x)
Λύση
H f είναι συμμετρική ως προς κέντρο Ο, άρα είναι περιττή.
H g είναι συμμετρική ως προς τον άξονα , άρα είναι άρτια
H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα ούτε ως
προς κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
2A
2A 2f
3A
3f x 1 x 1 (x 1) (x 1) x 1 x 1
x 1 x 1 3f 3f
4A
4A 4A
4f 2
1x
x
( x) 1
2
1x
x
x 1
4f 4f
5A
5f x x 5f 5f
2
x
6A
6f 2
1 ( x) 2
1 x 6f 6f
y y
y y
16. 16
16
2
y
xO
-2
y
x
O
2
-2
y
xO
2
y
xO
2
y
xO
y
xO
-2
y
xO
y
xO
ΘΕΜΑ 7ο: Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές
παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης.
y = f(x) y = g(x)
y = h(x)
Λύση
H f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα , άρα είναι άρτια
H g είναι συμμετρική ως προς κέντρο το Ο, άρα είναι περιττή.
H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα ούτε ως
προς κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
ΘΕΜΑ 8ο: Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να
παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β)
Περιττής συνάρτησης
Λύση
α)
β)
y y
y y
1C 2C 3C
1C 2C 3C
17. 17
17
4
2
-2
y
-5 5 x
Cg
Cf Cφ
O
4
2
y
-5 5
x
Cq
Ch
Cφ
O
4η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΘΕΜΑ 9ο: Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις
συναρτήσεις : φ(x) = , f(x) = + 2 και g(x) = – 2
Λύση
Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από
τις διχοτόμους της 1ης
και 2ης
γωνίας
των αξόνων.
Η προκύπτει από την ανοδική
κατακόρυφη μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες.
Η προκύπτει από την καθοδική
κατακόρυφη μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες.
ΘΕΜΑ 10ο: Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις
συναρτήσεις : φ(x) = , h(x) = και q(x) =
Λύση
Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από
τις διχοτόμους της 1ης
και 2ης
γωνίας
των αξόνων.
Η προκύπτει από την αριστερά
οριζόντια μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες. Η προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες.
x x x
C
fC
C
gC
C
x x 2 x 2
C
hC
C
qC
C
18. 18
18
4
2
-2
y
5
x
CG
CF
Cφ
O
2
y
x
Cφ
AO
2
-2
y
x
Cg
Cf
Cφ
AO
2
y
5
x
Ch
Cq
Cφ
AO
ΘΕΜΑ 11ο: Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις
συναρτήσεις : φ(x) = , F(x) = + 1 και G(x) = –1
Λύση
Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από
τις διχοτόμους της 1ης
και 2ης
γωνίας
των αξόνων.
Η προκύπτει από την αριστερά
οριζόντια κατά 2 μονάδες και ανοδική
κατακόρυφη κατά 1 μονάδα μετατόπιση της . Η προκύπτει από τη
δεξιά οριζόντια κατά 2 μονάδες και καθοδική κατακόρυφη κατά 1 μονάδα
μετατόπιση της .
ΘΕΜΑ 12ο: Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας
συνάρτησης φ που αποτελείται από τη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας
των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο 1ο
τεταρτημόριο και
έχει διάμετρο που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) και Α(2, 0). Στο ίδιο
σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις :
i) f(x) = φ(x) + 2 και g(x) = φ(x) – 2
ii) h(x) = φ(x + 3) και q(x) = φ(x – 3)
iii) F(x) = φ(x + 3) + 2 και G(x) = φ(x – 3) –2
Λύση
i) Η προκύπτει από την ανοδική
κατακόρυφη μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες.
Η προκύπτει από την καθοδική
κατακόρυφη μετατόπιση της
κατά 2 μονάδες.
ii) Η προκύπτει από την αριστερά οριζόντια μετατόπιση της κατά 3
μονάδες.
Η προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια μετατόπιση της κατά 3
μονάδες.
x x 2 x 2
C
FC
C GC
C
fC
C
gC
C
hC C
qC C
19. 19
19
4
2
-2
y
5
x
CF
CG
Cφ
AO
iii) Η προκύπτει από την αριστερά οριζόντια κατά 3 μονάδες και
ανοδική κατακόρυφη κατά 2 μονάδες μετατόπιση της .
Η προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια κατά 3 μονάδες και καθοδική
κατακόρυφη κατά 2 μονάδα μετατόπιση της .
ΘΕΜΑ 13ο: Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = 2 –1. Να βρείτε τον τύπο
της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο
διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ :
i) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω.
ii) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
iii)κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω.
iv)κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
Λύση
i) 2 δεξιά 2 –1 και 1 πάνω Α(x) = 2 –1+ 1
Α(x) = 2
ii) 3 δεξιά 2 –1 και 2 κάτω Β(x) = 2 –1–2
Β(x) = 2 – 3
iii) 2 αριστερά 2 –1 και 1 πάνω Γ(x) = 2 – 1 + 1
Γ(x) = 2
iv) 3 αριστερά 2 –1 και 2 κάτω Δ(x) = 2 – 1 – 2
Δ(x) = 2 – 3
FC
C
GC
C
2
x
2
(x 2) 2
(x 2)
2
(x 2)
2
(x 3) 2
(x 3)
2
(x 3)
2
(x 2) 2
(x 2)
2
(x 2)
2
(x 3) 2
(x 3)
2
(x 3)
20. 20
20
ΓΕΝΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
Όταν μας λένε ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται
από ένα σημείο (α, β) τότε ισχύει η σχέση f(α)=β
Αν δοθεί ότι μία συνάρτηση είναι μονότονη και επιπλέον δοθούν δύο
σημεία από τα οποία διέρχεται η γραφική της παράσταση , τότε μπορώ
να χρησιμοποιήσω τον ορισμό της μονοτονίας και να προσδιορίσω το
είδος της μονοτονίας π.χ. f μονότονη και η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα (2,5) και (3,1) τότε f(2)=5 και f(3)=1 άρα αφού 2<3
και 5>1 άρα f(2) >f(3) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα.
Επίλυση ανισώσεων με την βοήθεια της μονοτονίας συνάρτησης Αν μας
ζητηθεί να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής: f(παράστασης) < Α γράφω
το Α ως συνάρτηση της f, δηλαδή f(κ)=Α και τότε έχω:
f(παράστασης) < f(κ) άρα αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
έχω: παράσταση < κ ενώ αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα έχω:
παράσταση > κ
Εφαρμογή μετατοπίσεων στις συναρτήσεις της μορφής: ƒ(x) = φ(x ± c)
± d, με c, d > 0, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την
κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης.
Μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν η γραφική της παράσταση
«ανεβαίνει» καθώς «κινείται από αριστερά προς τα δεξιά» και γνησίως
φθίνουσα όταν «κατεβαίνει» καθώς «κινείται από αριστερά προς τα
δεξιά»
21. 21
21
Τομές μιας γραφικής παράστασης με άξονες:
Α) Τομή με τον άξονα των x΄x : Η γραφική παράσταση μιας
συνάρτησης τέμνει τον άξονα των x΄x όταν ƒ(α)=0 τότε σημείο τομής
το (α,0)
Για να βρω τις τομές με τον άξονα των x΄x λύνω την εξίσωση ƒ(x)=0
Β) Τομή με τον άξονα των y΄y : Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
τέμνει τον άξονα των y΄y όταν ƒ(0)=β τότε σημείο τομής το (0,β)
Για να βρω τις τομές με τον άξονα των y΄y βρίσκω την ƒ(0)= y
Αν δοθεί ότι μία συνάρτηση είναι μονότονη και επιπλέον δοθούν δύο
σημεία από τα οποία διέρχεται η γραφική της παράσταση, τότε μπορώ
να χρησιμοποιήσω τον ορισμό της μονοτονίας και να προσδιορίσω την
διάταξη των σημείων π.χ. f μονότονη και η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα (2, f(2)) και (3, f(3)) τότε αφού 2<3 και f γνησίως
αύξουσα τότε f(2) <f(3) και αν η f είναι γνησίως φθίνουσα f(2) >f(3).
Για βρω το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης η οποία περιέχει ρίζες
παίρνω περιορισμούς , δηλαδή συγκεκριμένα παίρνω όλες τις υπόριζες
ποσότητες μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός και κάνω αν χρειαστεί όλες
τις απαραίτητες συναληθεύσεις.
Ορισμός ελάχιστου: f(x) ≥ f(xo) για κάθε xϵA.
Ορισμός μεγίστου : f(x) ≤ f(xo) για κάθε xϵA.
22. 22
22
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
ΑΣΚΗΣΗ 1
Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: ℝ→ ℝ
διέρχεται από τα σημεία Α(5,2) και Β(4,9).
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την
απάντησή σας.
β) Να λύσετε την ανίσωση f 5 3x 2
ΑΣΚΗΣΗ 2
Δίνεται η συνάρτηση 2
2x
f(x)
x 1
, με x .
α) Να αποδείξετε ότι f(x) 1 .
β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντηση
σας.
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
ΑΣΚΗΣΗ 3
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού το . Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα:
α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους 1 2 3f(x ), f(x ), f(x )
β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την
απάντηση σας.
γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο 2x ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση
σας.
23. 23
23
ΑΣΚΗΣΗ 4
Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f : , η γραφική παράσταση της
οποίας διέρχεται από τα σημεία A 2,3 και B 4,5
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f
β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο 2 , να δείξετε ότι
f(0) 0
ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνεται η συνάρτηση 2
f x x 4x 5, x
α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή
2
f x x 2 1
β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f, μετατοπίζοντας κατάλληλα την 2
y x
Μονάδες 13
ΑΣΚΗΣΗ 6
Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές Cf και Cg που είναι γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το ℝ. Η
γραφική παράσταση της προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με
οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα:
α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την
τιμή του.
β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της Cf προκύπτει η Cg.
ΑΣΚΗΣΗ 7
24. 24
24
Δίνεται η συνάρτηση 2
f x 2x 12x 19
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή:
2
f x 2 x 3 1
β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2
g x 2x . Στο
ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f
και να εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική
παράσταση της g.
ΑΣΚΗΣΗ 8
Δίνεται η συνάρτηση 2
f x x 5, x R .
α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 .
β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Με ποια μετατόπιση της 2
g x x προκύπτει η fC ;
ΑΣΚΗΣΗ 9
Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f
και g, που ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς. Η γραφική παράσταση της
g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη
μετατόπιση. Από τις γραφικές παραστάσεις, να βρείτε:
α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f, το είδος του ακρότατου της f , τη θέση
και την τιμή του.
β) Ποιες μετατοπίσεις της f δίνουν τη g. Να προσδιορίσετε στη συνέχεια τον
τύπο της συνάρτησης g, αν f(x)=|x+2|
25. 25
25
ΑΣΚΗΣΗ 10
Δίνεται η συνάρτηση f x 8 x 8 x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή.
γ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να
επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της
παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή
της.
δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις
g x f x 3 και h x f x 3 δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές .
ΑΣΚΗΣΗ 11
Δίνεται η συνάρτηση: 21
f x x c d , x
2
με c, d θετικές σταθερές, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα
σημεία A 0,16 και B 4,0 .
α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με
αγνώστους τους c, d και να υπολογίσετε την τιμή τους.
β) Θεωρώντας γνωστό ότι c 6 και d 2 ,
i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με
τους άξονες.
26. 26
26
ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί,
να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πως
αυτή σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 21
g x x
2
.
iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της
συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το
είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα.
ΑΣΚΗΣΗ 12
Δίνονται οι συναρτήσεις 2
φ(x) x , x και 2
f(x) x 2x 1, x
α) Να αποδείξετε ότι 2
f(x) (x 1) 2 για κάθε x και στη συνέχεια, με
τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ να παραστήσετε
γραφικά τη συνάρτηση f .
β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f να βρείτε:
i. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.
ii. Το ολικό ακρότατο της f καθώς και τη θέση του.
iii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = κ , κ < 2 . Να αιτιολογήσετε
την απάντησή της.
ΑΣΚΗΣΗ 13
Η περιβαλλοντική ομάδα ενός σχολείου παρέλαβε συρματόπλεγμα μήκους
40m για να περιφράξει, χρησιμοποιώντας όλο το συρματόπλεγμα, έναν
ορθογώνιο κήπο για καλλιέργεια λαχανικών. Οι μαθητές της περιβαλλοντικής
ομάδας θέλουν να επιλέξουν ένα κήπο που να
έχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο εμβαδόν.
27. 27
27
α) Να δώσετε τις διαστάσεις τριών διαφορετικών ορθογώνιων κήπων με
περίμετρο 40m. Να εξετάσετε αν οι τρεις λαχανόκηποι έχουν το ίδιο
εμβαδόν.
β) Αν συμβολίσουμε με x το πλάτος και με Ε το εμβαδόν ενός λαχανόκηπου
με περίμετρο 40m, να εκφράσετε το Ε ως συνάρτηση του x.
γ) Να δείξετε ότι
2
x x 10 100 . Χρησιμοποιώντας την γραφική
παράσταση της συνάρτησης 2
f x x να κατασκευάσετε την γραφική
παράσταση της Ε(x). Από τη γραφική παράσταση της Ε(x) να βρείτε τις
διαστάσεις του λαχανόκηπου με το μεγαλύτερο εμβαδόν.
ΑΣΚΗΣΗ 14
Δίνεται η συνάρτηση f x x , ,
α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(5,
8), να δείξετε ότι
3 1
2 2
β) Αν g(x) είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της f οριζόντια κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατακόρυφα
κατά 3 μονάδες προς τα κάτω, να βρείτε τον τύπο της g.
γ) Αν
3
h x x 1
2
είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της
γραφικής παράστασης της f οριζόντια κατά κ μονάδες προς τα δεξιά και
κατακόρυφα κατά
2
μονάδες κάτω, να βρείτε το κ (κ > 0).
