вестник южно уральского-государственного_университета._серия_математика._механика._физика_№1_2012
1. Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный
университет» (национальный исследовательский университет)
Редакционная коллегия серии:
д.ф.-м.н., профессор Бескачко В.П.
(отв. редактор),
к.ф.-м.н., доцент Голубев Е.В.
(отв. секретарь),
д.т.н., профессор Гуревич С.Ю.,
к.ф.-м.н., профессор Заляпин В.И.,
д.ф.-м.н., профессор Менихес Л.Д.,
д.т.н., профессор Садаков О.С.,
д.т.н., профессор Сапожников С.Б.,
д.т.н., профессор Чернявский А.О.
Серия основана в 2009 году.
Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-
26455 выдано 13 декабря 2006 г. Федеральной
службой по надзору за соблюдением законода-
тельства в сфере массовых коммуникаций и охра-
не культурного наследия.
Журнал включен в Реферативный журнал и Ба-
зы данных ВИНИТИ. Сведения о журнале еже-
годно публикуются в международной справочной
системе по периодическим и продолжающимся
изданиям «Ulrich’s Periodicals Directory».
Решением Президиума Высшей аттестационной
комиссии Министерства образования и науки Рос-
сийской Федерации журнал включен в «Перечень
ведущих рецензируемых научных журналов и из-
даний, в которых должны быть опубликованы ос-
новные научные результаты диссертаций на соис-
кание ученых степеней доктора и кандидата наук».
Подписной индекс 29211 в объединенном ка-
талоге «Пресса России».
Периодичность выхода – 2 номера в год.
¹11 (270)
2012
СЕРИЯ
«МАТЕМАТИКА.
МЕХАНИКА.
ФИЗИКА»
Выпуск 6
ISSN 2075-809X
Решением ВАК России включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий
ÂÅÑÒÍÈÊ
ÞÆÍÎ-ÓÐÀËÜÑÊÎÃÎ
ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÃÎ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
CONTENTS
Mathematics
KOVALEV Yu.M., KUROPATENKO V.F. Analysis of the Invariance Some Mathematical Mod-
els of Multicomponent Media.............................................................................................................. 4
TABARINTSEVA E.V., MENIKHES L.D., DROZIN A.D. On Solving an Inverse Boundary
Problem for a Parabolic Equation by the Quasi-Revesibility Method................................................. 8
STRAUSS V.A., TRUNK C. Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces........................................ 14
UKHOBOTOV V.I., GUSHCHIN D.V. A One-Type Control Problem With a Convex Goal in
Case of Disturbance............................................................................................................................. 24
SHPONKO A.V. Automorphisms of Residue Rings of Integer Rings of Circular Fields................... 30
YULDASHEV Т.К. On an Inverse Problem for a System of Quazilinear Equations in Partial De-
rivatives of the First Order................................................................................................................... 35
Mechanics
BEREZIN I.J., POROSHIN V.B. Reliability Prediction Considering the Stage of Subcritical Fa-
tigue Cracks Growth ............................................................................................................................ 42
REBYAKOV Yu.N., CHERNIAVSKY O.F. Deformation properties of materials in combination
of alternating plastic flow and ratcheting............................................................................................. 47
SADAKOV O.S., SHULZHENKO S.I. Numerical analysis of stress and distortion waves in non-
elastic rod............................................................................................................................................. 52
Physics
BAITINGER E.M., VEKESSER N.A., KOVALEV I.N., BECHETEV A.N., VIKTOROV V.V.
Structure Features of Multilayer Carbon Nanotubes ........................................................................... 56
GLADKOV V.E., BEREZIN V.M., KUPERSHLYAK-YUZEFOVICH G.M. Physical and Me-
chanical Properties of Electrocorundum Plates, Crystallized in Roll-Crystallizers............................. 60
DROZIN A.D., DUDOROV M.V., ROSHCHIN V.E., GAMOV P.A., MENIKHES L.D. Mathe-
matical Description of the Nucleation in Supercooled Eutectic Melt.................................................. 66
DUDOROV M.V., DROZIN A.D., ROSHCHIN V.E., GAMOV P.A., MENIKHES L.D. Mathe-
matical Description of Crystallization by the Virtual Volume Method............................................... 78
IVANOVA A.V., BESKACHKO V.P. Estimation of Parameters of the Large-Grained Model of
Lipids With Quantum-Chemical Methods........................................................................................... 89
MIRZAEV D.A., MIRZOEV A.A., OKISHEV K.Yu., SHABUROV A.D., RUZANOVA G.E.,
URSAEVA A.V. On Equilibrium Vacancy Concentration in Iron-Hydrogen Alloys......................... 97
MOROZOV S.I., ZHEREBTSOV D.A. The Initial Distribution of Alloy Components in the Ex-
periment of Temperature Programming Desorption............................................................................ 105
SVIRSKAYA L.M. High-Conducting State in Low-Dimensional Systems ....................................... 109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Вестник ЮУрГУ, № 11, 20124
Математика
УДК 532.5
АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД1
Ю.М. Ковалев2
, В.Ф. Куропатенко3
Проведен анализ инвариантности относительно преобразования Гали-
лея математической модели «замороженной» газовзвеси. Показано, что ма-
тематическая модель «замороженной» газовзвеси не является инвариант-
ной относительно преобразования Галилея. Это приводит к появлению
фиктивного источникового члена в уравнении энергии.
Ключевые слова: математическая модель, инвариантность, многокомпо-
нентная смесь.
В связи с развитием современной вычислительной техники резко возросла роль математиче-
ского моделирования физических процессов, используемых в науке и технике. Более того, есть
такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством пред-
варительного изучения явлений. Поэтому с особой остротой встает проблема адекватности мате-
матических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. В природе
практически нет чистых веществ, поэтому активно развиваются математические модели много-
компонентных сред [1, 2]. Для верификации расчетов используют известные экспериментальные
данные. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали. В на-
стоящей статье на примере анализа математической модели замороженной газовзвеси [3, 4] по-
кажем, к чему может привести ситуация, когда расчеты и эксперимент проведены в разных сис-
темах координат.
При решении поставленной задачи предполагалось, что частицы твердой фазы неподвижны
и несжимаемы. Это означает, что вместо газовзвеси фактически рассматривается заполненная
газом недеформируемая решетка. Твердые частицы имитируют ее узлы, а связи между узлами
решетки не оказывают влияния на газодинамическое течение, т.е. используется модель «заморо-
женной» газовзвеси, представленная в работах [3, 4] при изучении ослабления ударных волн. По-
скольку частицы неподвижны и несжимаемы, то их объёмная концентрация и, следовательно,
объёмная концентрация газа постоянны.
С учётом сказанного выше система уравнений из [3, 4], описывающая в одномерном случае
течение газа через решётку, имеет вид
( )
0
u
t x
ρ ρ∂ ∂
+ =
∂ ∂
, (1)
( ) ( )u uu P
F
t x x
ρ ρ∂ ∂ ∂
+ = − −
∂ ∂ ∂
, (2)
( ) ( ) ( )E uE Pu
Q
t x x
ρ ρ∂ ∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂
. (3)
Здесь P – давление, ρ – плотность, u – скорость, t – время, F – силы межфазного взаимодей-
ствия, E и ε – удельная полная и удельная внутренняя энергии газа; Q – интенсивность тепло-
обмена между газом и частицами. Функция F зависит от разности скоростей газа и частиц,
функция Q – от разности температур газа и частиц. Функции F и Q не изменяются при пере-
ходе в новую систему координат.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 10-01-00032.
2
Ковалёв Юрий Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики
сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет.
E-mail: yum_kov@mail.ru
3
Куропатенко Валентин Фёдорович – доктор физико-математических наук, профессор, кафедра вычислительной механики сплошных
сред, Южно-Уральский государственный университет.
E-mail: v.f.kuropatenko@rambler.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Ковалев Ю.М., Анализ инвариантности некоторых
Куропатенко В.Ф. математических моделей многокомпонентных сред
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 5
Проведем анализ инвариантности системы уравнений (1)–(3) относительно преобразования
Галилея. С этой целью перейдем в новую систему координат, которая движется с постоянной
скоростью D относительно старой системы координат. Скорость в новой системе координат бу-
дет равна
Hu u D= + , (4)
координата определяется из уравнения
Hx x Dt= + . (5)
Производные по координате и времени определяются следующим образом:
нx x
∂ ∂
=
∂ ∂
,
н
D
t t x
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
(6)
После перехода в движущуюся систему координат значок Н будем опускать. Следовательно,
уравнение неразрывности газовой фазы (1) с учетом (4)–(6) принимает следующий вид:
( ( )
0
u D
D
t x x
ρρ ρ ∂ −∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
, (7)
который после сокращения членов с противоположными знаками совпадает с (1).
Запишем теперь уравнение сохранения импульса газовой фазы (2) в новой системе коорди-
нат:
2( ) ( ) ( )
0
u D u D uD P
D F
t x x x
ρ ρ ρ∂ − ∂ − ∂ ∂
+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
.
После несложных преобразований оно принимает вид
2
1( )
u u P
F D
t x x
ρ ρ
ω
∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
, (8)
где
2
1( ) 2
u u
D D D
t x x x x
ρ ρ ρ ρ ρ
ω
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. (9)
Подставив (1) в (9) и сократив подобные члены, получим
1( ) 0Dω = (10)
и таким образом уравнение (8) совпадает с уравнением (2).
И, наконец, перейдём в новую систему координат в уравнении для удельной энергии газовой
фазы (3). Учитывая, что
2
2
u
E ε= + , запишем уравнение (3) в новой системе координат:
2 2 21 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2 2
0.
u D u D u D u D
P u D
D Q
t x dx x
ρ ε ρ ε ρ ε
∂ + − ∂ + − ∂ − + − ∂ − + + + + =
∂ ∂ ∂
Раскрыв скобки и сгруппировав члены, получим уравнение для удельной полной энергии га-
зовой фазы в новой системе координат, распространяющейся с постоянной скоростью D ,
2 2
2
2 2
u u
u
Pu
Q
t x x
ρ ε ρ ε
ω
∂ + ∂ + ∂ + + + =
∂ ∂ ∂
, (11)
где 2 DFω = − .
Как следует из уравнений (8), (10) и (11), для модели «замороженной» газовзвеси из [3, 4]
уравнение неразрывности газовой фазы и уравнение сохранения импульса газовой фазы являют-
ся инвариантными относительно преобразования Галилея, а уравнение энергии (3) не является
инвариантным.
Оценим последствия неинвариантности уравнения энергии. В уравнении (11) исключим ки-
нетическую энергию с помощью уравнения (2). Для этого умножим (2) на u и вычтем из (11).
Затем умножим (1) на ε и вычтем из (11). В результате получим уравнение для внутренней энер-
гии:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 20126
2
P Q u D
u u F
t x t x
ε ε ρ ρ
ρ ρρ
∂ ∂ ∂ ∂ −
+ − + + =
∂ ∂ ∂ ∂
. (12)
Перейдём к субстанциональным производным, заменим плотность удельным объёмом
1V ρ= и сравним полученное уравнение с уравнением для удельной внутренней энергии, как
функции энтропии и удельного объёма:
d dV dS
T
dt dt dt
ε
+ = . (13)
В результате из (12) и (13) получим уравнение производства энтропии газа
1
( ( )
dS
T F u D Q
dt ρ
= − − .
Если разделить энтропию на две части
PH GS S S= + ,
где PHS определяется «физикой» модели, а GS – Галилеевой неинвариантностью, то мы полу-
чим уравнение производства энтропии GS
( )GdS F
T u D
dt ρ
= − , (14)
возникшее исключительно из-за того, что авторы модели [3, 4] пренебрегли фундаментальным
принципом механики.
К сожалению, принцип инвариантности к преобразованию Галилея не выполняется в ряде
моделей многокомпонентных сред, публикуемых в журналах. Такие модели не способны прогно-
зировать результаты тех физических процессов, для моделирования которых они предназначены.
Литература
1. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. – М.: Наука,
1978. – 336 с.
2. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // ИФЖ. –
2011. – Т. 84, № 1. – С. 74–92.
3. Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн экранирующими решётками /
Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев // ФГВ. – 1988. – № 1. – С. 115–117.
4. Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн слоями запыленного газа и решет-
ками/ Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев // ПМТФ. – 1988. – № 1. – С. 51–57.
Поступила в редакцию 13 марта 2012 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Ковалев Ю.М., Анализ инвариантности некоторых
Куропатенко В.Ф. математических моделей многокомпонентных сред
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 7
ANALYSIS OF THE INVARIANCE SOME MATHEMATICAL MODELS
OF MULTICOMPONENT MEDIA
Yu.M. Kovalev
1
, V.F. Kuropatenko
2
The analysis of the invariance under the Galilean transformation of the mathematical model of
"frozen" gas suspension is done. It is shown that the mathematical model of the "frozen" gas suspension
is not invariant under the Galilean transformations. This leads to appearance of a fictitious source term
in the energy equation.
Keywords: mathematical model, invariance, multi-component mixture.
References
1. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennykh sred (Fundamentals of mechanics of heteroge-
neous media). Moscow, Nauka, 1978. 336 p. (in Russ.).
2. Kuropatenko V.F. Novye modeli mekhaniki sploshnykh sred (New models of continuum me-
chanics). Inzhenerno-Fizicheskii Zhurnal. 2011. Vol. 84, no 1. pp. 74–92. (in Russ.). [Kuropatenko V.F.
New models of continuum mechanics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2011.
Vol. 84, no. 1. pp. 77–99.]
3. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Fizika gorenija i vzryva. 1988. no. 1. pp. 115–117. (in Russ.).
4. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Oslablenie vozdushnykh udarnykh voln slojami zapylennogo
gaza i reshetkami (Attenuation of air shock layers of dust and gas grills). Prikladnaja mekhanika i
tekhnicheskaja fizika. 1988. no. 1. pp. 51–57. (in Russ.).
1
Kovalev Yury Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Computational Continuum Mechanics Department,
South Ural State University.
E-mail: yum_kov@mail.ru
2
Kuropatenko Valentin Fedorovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Computational Continuum Mechanics Department, South
Ural State University.
E-mail: v.f.kuropatenko@rambler.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Вестник ЮУрГУ, № 11, 20128
УДК 517.948
О РЕШЕНИИ ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ
КВАЗИОБРАЩЕНИЯ1
Е.В. Табаринцева2
, Л.Д. Менихес3
, А.Д. Дрозин4
Рассматривается обратная граничная задача для параболического
уравнения. Для построения устойчивых приближенных решений данной
задачи используется метод квазиобращения, состоящий в замене исходной
задачи задачей для гиперболического уравнения с малым параметром. По-
лучена точная по порядку оценка погрешности данного метода на одном из
классов равномерной регуляризации.
Ключевые слова: обратная задача, метод приближенного решения, оценка
погрешности.
Введение
В работе рассматривается одномерная постановка обратной граничной задачи теплообмена.
Приближенное решение строится методом квазиобращения, который состоит в замене неустой-
чивой исходной задачи устойчивой задачей для гиперболического уравнения с «малым» пара-
метром. Получена точная по порядку оценка погрешности построенного приближенного реше-
ния на одном из классов корректности обратной граничной задачи. Доказана оптимальность по
порядку метода квазиобращения с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева
на рассмотренном классе корректности.
Вопросы теплообмена имеют особое значение в таких областях техники, как авиационная и
ракетно-космическая техника, энергетика, металлургия [1]. При этом большое значение имеют
экспериментальные исследования, стендовая и натурная отработка тепловых режимов, создание
эффективных методов диагностики и идентификации теплообменных процессов по результатам
экспериментов и испытаний. В основу этих методов могут быть положены решения обратных
задач теплообмена, причем в ряде случаев обратные задачи являются практически единственным
средством получения необходимых результатов. Методы обратных задач обладают высокой ин-
формативностью и позволяют проводить экспериментальные исследования в условиях, макси-
мально приближенных к натурным.
Диагностика и идентификация процессов теплообмена могут быть связаны с решением об-
ратных задач различных типов, однако граничные обратные задачи – это один из наиболее важ-
ных и распространенных в тепловом моделировании классов задач. Граничные обратные задачи
представляют и методический интерес, так как задачи данного типа, по сравнению с коэффици-
ентными и геометрическими задачами, как правило, имеют большую склонность к искажению
результатов, связанную с некорректностью постановок, априорная информация о точном реше-
нии граничных обратных задач бывает ограниченной.
Рассмотренная в данной работе одномерная постановка обратной граничной задачи является
основной расчетной моделью, для которой должны быть построены эффективные методы обра-
ботки экспериментальных данных.
1. Постановка задачи
Рассмотрим обратную граничную задачу, т.е. задачу восстановления функции
2( ) (1 ) [0 )v t u t L= , ∈ ,∞ (граничного условия), где функция ( )u x t, удовлетворяет условиям:
2
2
(0 1 0)
u u
x t
t x
∂ ∂
= , < < , >
∂ ∂
, (1)
1
Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ, проект 07-01-96001.
2
Табаринцева Елена Владимировна – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра функционального анализа, Южно-
Уральский государственный университет. E-mail: eltab@rambler.ru
3
Менихес Леонид Давидович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой функционального анализа,
Южно-Уральский государственный университет. E-mail: leonid.menikhes@gmail.com
4
Дрозин Александр Дмитриевич – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, декан ме-
ханико-математического факультета, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: drozin@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Табаринцева Е.В., Менихес Л.Д., О решении граничной обратной задачи
Дрозин А.Д. для параболического уравнения методом квазиобращения
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 9
( 0) 0 (0 ) 0 (0 ) ( )xu x u t u t tϕ, = ; , = ; , = .
Здесь 2
( ) (0 1) [0 1]u x C C,⋅ ∈ ; ∩ ; ; 1
2( ) [0 )u t W⋅, ∈ ;∞ ; 2( ) [0 )t Lϕ ∈ ,∞ – заданная функция.
Задача вычисления граничного условия для уравнения (3) поставлена некорректно [1]. Будем
предполагать, что для заданной функции 2( ) [0 )t Lϕ ∈ ,∞ обратная граничная задача имеет реше-
ние 2( ) [0 )v t L∈ ,∞ , принадлежащее множеству
2 2
2 2 2
[0 ) [0 )
{ ( ) ( ) '( ) }L L
M v t v t v t r,∞ ,∞
= : + ≤ ,
но точные значения функции ( )tϕ не известны, а известны функция δϕ и уровень погрешности
δ такие, что δϕ ϕ δ− ≤ . Требуется построить приближенное решение обратной граничной за-
дачи и оценить его уклонение от точного решения.
2. Точное решение обратной граничной задачи
Рассмотрим следующие линейные нормированные пространства: 2[0 )L ,∞ – пространство
суммируемых с квадратом функций на [0 );∞ (принимающих действительные значения); Φ –
пространство комплекснозначных функций, заданных на [0 );∞ , допускающих аналитическое
продолжение в нижнюю полуплоскость и таких, что для всех 0σ <
2
( )v t i dt Cσ
∞
−∞
| + | ≤ .∫
Рассмотрим преобразование Фурье функций, суммируемых с квадратом на [0 );∞ .
Лемма. Оператор 2[0 )F L: ,∞ → Φ , действующий по правилу
0
1
( )
2
i t
Fv v t e dtλ
π
∞
−
= ,∫
является изометрией.
Из априорных оценок решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности сле-
дует, что к исходной задаче применимо преобразование Фурье на полупрямой (0 )t ∈ ,∞ . Приме-
няя к исходной обратной задаче преобразование Фурье по t , получим следующую задачу для
обыкновенного линейного уравнения: требуется определить функцию ( ) (1 )v uλ λ= ,ɶ ɶ , где ɶ( )u x λ,
удовлетворяет условиям:
( ) ( )xxu x i u xλ λ λ, = , ;ɶ ɶ (0 ) 0 (0 ) ( )xu uλ λ ϕ λ, = ; , = .ɶɶ ɶ
Решая полученную задачу, находим образ точного решения исходной задачи:
0
0
( )v
µ λ
λ ϕ
µ λ
= .ɶɶ
Здесь 1
0 2
i
µ +
= ; 1
0
( ) ( ) i t
v v t e dtλ
π
λ
∞
−
= ∫ɶ – образ Фурье функции ( )v t ( 0)λ > .
3. Построение приближенного решения обратной граничной задачи
Для построения устойчивого приближенного решения исходной обратной задачи воспользу-
емся методом квазиобращения, состоящим в замене неустойчивой исходной задачи устойчивой
задачей для уравнения с «малым» параметром. Метод квазиобращения был предложен в [5],
применение классических вариантов метода квазиобращения к решению одной из обратных гра-
ничных задач рассмотрено в [6]. Мы будем использовать вариант метода квазиобращения, пред-
ложенный в [7] и обоснуем результаты, приведенные в [7] без доказательства.
Рассмотрим вспомогательное гиперболическое уравнение с «малым» параметром:
2 2
2 2
u u u
tt x
ε
∂ ∂ ∂
+ =
∂∂ ∂
(2)
и следующие начальные и граничные условия:
( 0) 0 (0 ) 0 (0 ) ( )xu x u t u t tδϕ, = ; , = ; , = .ɶ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201210
Здесь 2
( ) (0 1) [0 1]u x C C,⋅ ∈ ; ∩ ; ; 2
2( ) [0 )u t W⋅, ∈ ;∞ ; 0ε > – постоянная времени (время релаксации
теплового напряжения) [4]. В качестве приближенного решения задачи будем рассматривать
функцию ( ) (1 )u t u tε
δ δ= , , где ( )u x tε
δ , удовлетворяет условиям (2) и ( )ε ε δ= .
Из априорной оценки точного решения первой краевой задачи для гиперболического уравне-
ния следует законность применения к задаче для уравнения (2) преобразования Фурье. Применяя
преобразование Фурье, получаем следующую задачу Коши для линейного уравнения:
2
( ) ( ) ( )xxu x i u x u xλ λ λ ελ λ, = , − , ;ɶ ɶ ɶ
(0 ) 0 (0 ) ( )xu uλ λ ϕ λ, = ; , = .ɶɶ ɶ
Таким образом, в качестве приближенного решения исходной обратной задачи рассматрива-
ется функция ( )v t Rε
δ ε δϕ= , образ Фурье которой имеет вид
2
2
( )
i
v
i
ε
δδ
λ ελ
λ ϕ
λ ελ
−
= .
−
ɶɶ
Здесь Rε – оператор, регуляризующий исходную обратную задачу, ( )ε ε δ= .
4. Оценка погрешности приближенного решения
Рассмотрим оценку погрешности приближенного решения обратной граничной задачи на
множестве M .
В качестве характеристики точности построенного приближенного решения используется
величина
( ) sup{ }v v v Mε
δ δε δ ϕ ϕ δ∆ , = − : ∈ ; − ≤ .
Используем очевидную оценку
1 2( ) ( ) ( )ε δ ε ε δ∆ , ≤ ∆ + ∆ , ,
где
2 ( ) sup ( )R
δ
ε δ
ϕ ϕ δ
ε δ ϕ ϕ
− ≤
∆ , = − ;
1( ) sup
v M
R vεε ϕ
∈
∆ = − .
Оценим величину 2 ( )ε δ∆ , :
2 2 2
2
2 2 2 40 0
sh sh sin
( ) sup sup
i a b
iλ λ
λ ελ
ε δ δ δ
λ ελ λ ε λ> >
− +
∆ , ≤ ≤ ,
− +
где
2 2 2 21
( 1 )
2
a λ ε λ ελ= + − ; 2 2 2 21
( 1 )
2
b λ ε λ ελ= + + .
Оценим сначала величину 2
( ) ( )A aλ λ= . Рассмотрим уравнение
( ) 0A λ′ = . (3)
Из (3) следует
2 2 2
( 1 ) 0ελ ε λ− + = . (4)
Уравнение (4), очевидно, не имеет решений на луче [0 )λ ∈ ;∞ , т.е. функция ( )A λ не имеет кри-
тических точек. Вычислим предел функции ( )A λ при λ → ∞ :
2 2 21 1
lim ( ) lim ( 1 )
2 4
A
λ λ
λ λ ε λ ελ
ε→∞ →∞
= + − = .
Следовательно, 2 1
4( )a ελ ≤ при 0λ ≥ .
Рассмотрим функцию
2
2
sh
( )
i
p
i
λ ελ
λ
λ ελ
−
= .
−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Табаринцева Е.В., Менихес Л.Д., О решении граничной обратной задачи
Дрозин А.Д. для параболического уравнения методом квазиобращения
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 11
Так как
0 0
sh
lim ( ) lim sh'(0) ch(0) 1
z
z
p
zλ
λ
→ →
= = = = ,
то существует число 0 0λ > такое, что для всех 00 λ λ≤ ≤ выполняется неравенство ( ) 2p λ ≤ .
Следовательно,
1
2
0 00 0
sup ( ) sup ( ) sup ( )p p p Ce ε
λ λ λ λ λ
λ λ λ
≥ ≤ ≤ ≥
≤ + ≤ , (5)
где C – постоянная, не зависящая от ε . Из (5) следует, что
1
2
2 ( ) C e ε
ε δ δ∆ , ≤ .
Оценим величину 1( )ε∆ . Из определения множества M и изометричности преобразования
Фурье следует, что для образа Фурье функции ( )v t выполняется условие
2
2
[0 )
1 ( )
L
v rλ λ
;∞
+ ≤ .ɶ
Следовательно,
0 0
1
200 0
1 11
( ) sup || 1 ( ) || sup 1
1 11v M
i i
v r
i iλ
µ λ ελ µ λ ελ
ε λ
ελµ λ ελµ λλ∈ ≥
+ +
∆ = − ≤ − . + ++
ɶ (6)
Из неравенства (6) следует
0 0
1
2 20 0
0
1 1 1
( ) sup sup
1 1 1 1
i i
r r
i iλ λ
µ λ ελ µ λ ελ
ε
λ ελµ λ λ ελ
≥ ≥
| + − | | − + |
∆ ≤ + .
+ | + | + | + |
(7)
Оценим второе слагаемое в (7). Рассмотрим равенство
42 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
i
i i
ελ ελ
λ ελ λ ε λ ελ
| − + |
= .
+ | + | + + | + + |
(8)
Воспользуемся неравенствами:
42 2 2
1 1 1λ λ ε λ+ > ; + > при 0λ ≥ ; 1 1 1iελ| + + |> ,
c учетом которых из (8) следует
2
1 1
1 1
i
i
ελ
ε
λ ελ
| − + |
≤ .
+ | + |
(9)
Оценим первое слагаемое в (7). Из равенства
sh( ) 2sh ch
2 2
α β α β
α β
− +
− =
дробь в первом слагаемом в (7) принимает вид
0 0 1 2
42 2 2 2
0 0
sh 1 sh 2 sh ch
1 1 1 1 | sh |
i z z
i
µ λ ελ µ λ
λ ελµ λ λ ε λ µ λ
| + − | | || |
= ,
+ | + | + +
где
2
1 0
1
( )
2
z iµ λ λ ελ= − − ; 2
2 0
1
( )
2
z iµ λ λ ελ= + − .
Заметим, что
2
1 2
42 2 2 20 0
0 0
2 sh ch
lim lim 0
1 1 |sh |
z z
iλ λ
ελ
λ ε λ µ λ λ µ λ λ ελ→ →
| || |
= = .
+ + | + − |
Следовательно, найдется 1 0λ > такое, что при 10 λ λ≤ ≤ выполняется неравенство
1 2
42 2 2
0
2 sh ch
1 1 | sh |
z z
ε
λ ε λ µ λ
| || |
< .
+ +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201212
Рассмотрим оценку дроби при 1λ λ≥ . Заметим, что
2 2
1
1 1
Re (1 1 )
2 2 2 2
z a
λ λ
ε λ ελ
= − + − = − ;
2 2
2
1 1
Re (1 1 )
2 2 2 2
z a
λ λ
ε λ ελ
= + + − = + .
Следовательно,
2 2
( )
1 2
1 1 1
2 sh ch sh ch (1 )
2 2 2 2 2
a
z z a a e e
λ λ
λ λ − −
| || |≤ − + ≤ −
. (10)
Оценим величину 2
aλ − сверху. Так как 2 2
1 1ε λ ελ+ − ≤ , то
2 2 3 2
2
2
(1 1 ) 2
2 2 2 1 1
a bda
λ λ λ ελ
ελ ε λ ε
ελ ε
/
− ≤ + − + = ≤ .
+ + +
(11)
Заметим также, что
12 2
0| | 2(1 )e
λ
µ λ λ −
≥ / − . (12)
Из (10)–(12) следует, что при 1λ λ>
3 2
2
1 2
42 2 2
0
2 sh ch 1
1 1 sh
z z e
C
ελ
λλ ε λ µ λ
/
−
| || | −
≤
+ + | |
. (13)
Рассмотрим функцию
3 221( ) eF
ελ
λλ
/−−= . Заметим, что
0
lim ( ) 0F
λ
λ
→
= ; lim ( ) 0F
λ
λ
→∞
= . Критические
точки функции ( )F λ удовлетворяют условию
3
1
2
t
e t= + , (14)
где 3 2
2t ελ /
= . Из уравнения (14) следует, что функция ( )F λ имеет единственную критическую
точку 2λ , удовлетворяющую условию 1
22
1λ< < . Следовательно,
3 2
22
1 2 1
2
1
( ) ( )
e
CF C C
ελ
ε λ ε
λ
/
−
−
∆ ≤ = ≤ .
Выберем зависимость ( )ε ε δ= по схеме М.М. Лаврентьева, т.е. зависимость ( )ε ε δ= выбирает-
ся из условия
1
2
0e c rε
δ δ= .
Имеем 2
ln ( )
c
r δ
ε
/
≤ . Следовательно, существуют числа 0C > , 1 0δ > такие, что для всех 1δ δ<
выполняется неравенство
2
( ( ) )
ln ( )
C
r
ε δ δ
δ
∆ , ≤ .
/
(15)
Из (15) с учетом оценки погрешности оптимального метода решения обратной граничной задачи
на множестве M , полученной в работе [2], доказана следующая теорема.
Теорема. Метод квазиобращения с выбором параметра регуляризации по схеме
М.М. Лаврентьева оптимален по порядку на множестве M .
Литература
1. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифанов,
Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
2. Танана, В.П. Об одном подходе к приближению разрывного решения некорректно по-
ставленной задачи / В.П. Танана, Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал индустриальной мате-
матики. – 2005. – Т. 8, № 1(21). – С. 130–142.
3. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман.
– М.: Мир, 1968. – 428 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Табаринцева Е.В., Менихес Л.Д., О решении граничной обратной задачи
Дрозин А.Д. для параболического уравнения методом квазиобращения
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 13
4. Беляев, Н.М. Методы теории теплопроводности: учеб. пособие для вузов: в 2-х ч. /
Н.М. Беляев, А.А. Рядно. – М.: Высшая школа, 1982. – Ч. 1. – 327 с.; Ч. 2. – 304 с.
5. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионс. – М.: Мир,
1970. – 336 с.
6. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. –
М.: Едиториал УРСС, 2003. – 782 c.
7. Табаринцева, Е.В. Один численный метод решения обратной задачи тепловой диагно-
стики / Е.В. Табаринцева, А.С. Кутузов // Наука ЮУрГУ. – 2009. – Т. 2. – С. 161–164.
Поступила в редакцию 28 февраля 2012 г.
ON SOLVING AN INVERSE BOUNDARY PROBLEM
FOR A PARABOLIC EQUATION BY THE QUASI-REVESIBILITY METHOD
E.V. Tabarintseva
1
, L.D. Menikhes
2
, A.D. Drozin
3
An inverse boundary problem for a parabolic equation is analyzed in the article. For the stable ap-
proximate solutions of the given problem the quasi-reversibility method is used. It consists in changing
the original problem with a problem for hyperbolic equation with a small parameter. A sharp order error
estimation of the method at one of the uniform regularization set is obtained.
Keywords: inverse problem; approximate method; error estimation.
References
1. Alifanov O.M., Artjukhin E.A., Rumjancev S.V. Ehkstremal'nye metody reshenija nekorrektnykh
zadach (Extreme methods for solving incorrect problems). Moscow, Nauka, 1988. 288 p. (in Russ.).
2. Tanana V.P., Tabarinceva E.V. Ob odnom podkhode k priblizheniju razryvnogo reshenija ne-
korrektno postavlennojj zadachi (An approach to the approximation of discontinuous solutions of ill-
posed problem) // Sibirskijj zhurnal industrial'nojj matematiki. 2005. Vol. 8, no. 1(21). pp. 130–142. (in
Russ.).
3. Fridman A. Uravnenija s chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa (Partial differential
equations of parabolic type). Moscow, Mir, 1968. 428 p. (in Russ.). [Friedman A. Partial Differential
Equations of Parabolic Type. Krieger Pub Co. 1983. 347 p.]
4. Beljaev N.M., Rjadno A.A. Metody teorii teploprovodnosti: ucheb. posobie dlja vuzov: v 2-kh ch.
(Methods of the theory of heat conduction: studies manual for high schools in 2 parts). Moscow,
Vysshaja shkola, 1982. Part 1. 327 p.; Part 2. 304 p. (in Russ.).
5. Lattes R., Lions Zh.-L. Metod kvaziobrashhenija i ego prilozhenija (The Method of Quasi-
reversibility and its applications). Moscow, Mir, 1970. 336 p. [Lattes R., Lions J.-L. The Method of
Quasi-reversibility. American Eisevier, New York, 1969. 388 p.]
6. Samarskijj A.A., Vabishhevich P.N. Vychislitel'naja teploperedacha (Computational Heat Trans-
fer). Moscow, Editorial URSS, 2003. 782 p. (in Russ.).
7. Tabarinseva E.V., Kutuzov A.S. Odin chislennyjj metod reshenija obratnojj zadachi teplovojj di-
agnostiki (A numerical method for solving the inverse problem of thermal diagnostics). Nauka JuUrGU.
2009. T. 2. pp. 161–164.
1
Tabarintseva Elena Vladimirovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Functional Analysis Department, South Ural
State University.
E-mail: eltab@rambler.ru
2
Menikhes Leonid Davidovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of Functional Analysis Department, South Ural State
University.
E-mail: leonid.menikhes@gmail.com
3
Drozin Aleksandr Dmitrievich is Dr. Sc. (Engineering), Professor, Head of the Mathematical Analysis Department, Head of the Faculty of
Mathematics and Mechanics, South Ural State University.
E-mail: drozin@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Вестник ЮУрГУ, № 11, 201214
УДК 517.982.22+517.983.35
SOME SOBOLEV SPACES AS PONTRYAGIN SPACES1
V.A. Strauss2
, C. Trunk3
We show that well known Sobolev spaces can quite naturally be treated as
Pontryagin spaces. This point of view gives a possibility to obtain new properties
for some traditional objects such as simplest differential operators.
Keywords: Function spaces, Pontryagin spaces, selfadjoint operators, differential
operators
Introduction
Let H be a separable Hilbert space with a scalar product ( , )⋅ ⋅ . H is said to be an indefinite metric
space if it is equipped by a sesquilinear continuous Hermitian form (indefinite inner product) [ , ]⋅ ⋅ such
that the corresponding quadratic form has indefinite sign (i.e. [ , ]x x takes positive, negative and zero
values). The indefinite inner product can be represented in the form [ , ] [ , ]G⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , where G is a so-called
Gram operator. The operator G is bounded and self-adjoint. If the Gram operator for an indefinite met-
ric space is boundedly invertible and its invariant subspace corresponding to the negative spectrum of G
is finite-dimensional, lets say κ -dimensional, the space is called a Pontryagin space with κ negative
squares. There are a lot of problems in different areas of mathematics, mechanics or physics that can be
naturally considered as problems in terms of Operator Theory in Pontryagin spaces. We have no aim to
give here an overview on this theory and its application. We refer only to the standard text books [1, 2,
10] and to [14] for a brief introduction.
Our scope is a modest illustration of some singular situations that shows an essential difference be-
tween Operator Theory in Hilbert spaces and in Pontryagin spaces. For this goal we use Sobolev spaces
that represents a new approach.
1. Preliminaries
A Krein space ( ,[ , ])⋅ ⋅K is a linear space K which is equipped with an (indefinite) inner product
(i.e., a hermitian sesquilinear form) [ , ]⋅ ⋅ such that K can be written as
+ –= [+]ɺK G G (1)
where ( , [ , ])± ± ⋅ ⋅G are Hilbert spaces and +ɺ means that the sum of +G and –G is direct and + –[ , ] 0=G G .
The norm topology on a Krein space K is the norm topology of the orthogonal sum of the Hilbert
spaces ±G . It can be shown that this norm topology is independent of the particular decomposition (1);
all topological notions in K refer to this norm topology and || ||⋅ denotes any of the equivalent norms.
Krein spaces often arise as follows: In a given Hilbert space ( ,( , ))⋅ ⋅G , every bounded self-adjoint opera-
tor G in G with 0 ( )Gρ∈ induces an inner product
[ , ]: ( , ), ,x y Gx y x y= ∈G , (2)
such that ( ,[ , ])⋅ ⋅G becomes a Krein space; here, in the decomposition (1), we can choose +G as the spec-
tral subspace of G corresponding to the positive spectrum of G and G− as the spectral subspace of G
corresponding to the negative spectrum of G . A subspace L of a linear space K with inner product
[ , ]⋅ ⋅ is called non-degenerated if there exists no , 0x x∈ ≠L , such that [ , ] 0x =L , otherwise L is called
degenerated; note that a Krein space K is always non-degenerated, but it may have degenerated sub-
spaces. An element x∈K is called positive (non-negative, negative, non-positive, neutral, respectively)
if [ , ] 0x x > ( 0≥ , 0< , 0≤ , 0= , respectively); a subspace of K is called positive (non-negative, etc.,
1
V. Strauss gratefully acknowledges support by DFG, Grant No. TR 903/3-1.
2
Strauss Vladimir Abramovich is Ph. D., Departamento de Matemáticas, Universidad Simóon Bolívar, Caracas, Venezuela.
E-mail str@usb.ve
3
Carsten Trunk is Dr. rer. nat., Professor, Analysis and Systems Theory Group, Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, Il-
menau, Germany.
E-mail: carsten.trunk@tu-ilmenau.de
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Strauss V.A., Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces
Trunk C.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 15
respectively), if all its nonzero elements are positive (non-negative, etc., respectively). For the definition
and simple properties of Krein spaces and linear operators therein we refer to [2], [13] and [1].
If in some decomposition (1) one of the components ±G is of finite dimension, it is of the same di-
mension in all such decompositions, and the Krein space ( ,[ , ])⋅ ⋅K is called a Pontryagin space. For the
Pontryagin spaces K occurring in this paper, the negative component –G is of finite dimension, say κ ;
in this case, K is called a Pontryagin space with κ negative squares. If K arises from a Hilbert space
G by means of a self-adjoint operator G with inner product (2), then K is a Pontryagin space with κ
negative squares if and only if the negative spectrum of the invertible operator G consists of exactly κ
eigenvalues, counted according to their multiplicities. In a Pontryagin space K with κ negative squares
each non-positive subspace is of dimension κ≤ , and a non-positive subspace is maximal non-positive
(that is, it is not properly contained in another non-positive subspace) if and only if it is of dimension κ .
If L is a non-degenerated linear space with inner product [ , ]⋅ ⋅ such that for a κ -dimensional subspace
−L we have
[ , ] 0, , 0x x x x−< ∈ ≠L
but there is no ( 1)κ + -dimensional subspace with this property, then there exists a Pontryagin space K
with κ negative squares such that L is a dense subset of K . This means that L can be completed to a
Pontryagin space in a similar way as a pre-Hilbert space can be completed to a Hilbert space. The spec-
trum of a selfadjoint operator A in a Pontryagin space with κ negative squares is real with the possible
exception of at most κ non-real pairs of eigenvalues λ , λ of finite type. We denote by ( )ALλ the al-
gebraic eigenspace of A at λ . Then dim ( ) dim ( )A A=L Lλ λ and the Jordan structure of A in ( )ALλ
and in ( )ALλ is the same. Further the relation
0 ( )
( ) dim ( )
A
A A
σ σ
κ κ
+∈ ∩ ∈ ∩
= +∑ ∑
ℝ ℂ
L−
λ λ
λ λ
holds, where 0σ denotes the set of all eigenvalues of A with a nonpositive eigenvector and ( )Aκ−
λ de-
notes the maximal dimension of a nonpositive subspace of ( )ALλ .
Moreover, according to a theorem of Pontryagin, A has a κ -dimensional invariant non-positive
subspace max
−L . If q denotes the minimal polynomial of the restriction | max
A −L , then the polynomial
q q∗
, where ( ) ( )q z q z∗
= , is independent of the particular choice of max
−L and one can show that
[ ( ) ( ) , ] 0q A q A x x∗
≥ for ( )x Aκ
∈D . As a consequence, a selfadjoint operator in a Pontryagin space pos-
sesses a spectral function with possible critical points. For details we refer to [11, 13].
The linear space of bounded linear operators defined on a Pontryagin or Krein space 1K with values
in a Pontryagin or Krein space 2K is denoted by 1 2( , )L K K . If 1 2:= =K K K we write ( )L K . We study
linear relations in K , that is, linear subspaces of 2
K . The set of all closed linear relations in K is de-
noted by ( )ɶC K . Linear operators are viewed as linear relations via their graphs. For the usual definitions
of the linear operations with relations and the inverse we refer to [7, 8, 9]. We recall only that the multi-
valued part mulS of a linear relation S is defined by ( ){ }0
mul | yS y S= ∈ .
Let S be a closed linear relation in K . The resolvent set ( )Sρ of S is defined as the set of all
∈ℂλ such that 1
( ) ( )S −
− ∈L Kλ . The spectrum ( )Sσ of S is the complement of ( )Sρ in ℂ . The
extended spectrum ( )Sσɶ of S is defined by ( ) ( )S Sσ σ=ɶ if ( )S ∈L K and ( ) ( ) { }S Sσ σ= ∞ɶ ∪ other-
wise. We set ( ): ( )S Sρ σ=ɶ ɶℂ . The adjoint S+
of S is defined as
( ) ( ){ }: [ , ] [ , ] for all fh
h fS f h f h S+
′ ′′ ′= = ∈ .
S is said to be symmetric (selfadjoint) if S S+
⊂ (resp. S S+
= ).
For the description of the selfadjoint extensions of closed symmetric relations we use the so-called
boundary value spaces (for the first time the corresponding approach was applied in fact by A.V. Strauss
[15, 16] without employing the term “boundary value space”).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201216
Definition 1. Let A be a closed symmetric relation in the Krein space ( ,[ , ])⋅ ⋅K . We say that
0 1{ , , }Γ ΓG is a boundary value space for A+
if ( ,(, ))⋅ ⋅G is a Hilbert space and there exist linear map-
pings 0 1, : A+
Γ Γ → G such that ( )0
1
: : AΓ +
ΓΓ = → ×G G is surjective, and the relation
1 0 0 1
ˆ ˆˆ ˆ[ , ] [ , ] ( , ) ( , )f g f g f g f g′ ′− = Γ Γ − Γ Γ (3)
holds for all ( )ˆ f
ff ′= , ( )ˆ g
gg A′= ∈ .
If a closed symmetric relation A has a selfadjoint extension A in K with ( )Aρ ≠ ∅ , then there ex-
ists a boundary value space 0 1{ , , }Γ ΓG for A+
such that A coincides with 0kerΓ (see [4]).
For basic facts on boundary value spaces and further references see e.g. [3, 4, 5] and [6]. We recall
only a few important consequences. For the rest of this section let A be a closed symmetric relation and
assume that there exists a boundary value space 0 1{ , , }Γ ΓG for A+
. Then
0 0: kerA = Γ and 1 1: kerA = Γ (4)
are selfadjoint extensions of A. The mapping ( )0
1
Γ
ΓΓ = induces, via
{ }1 ˆ ˆ: |A f A f− +
Θ = Γ Θ = ∈ Γ ∈Θ , ( )Θ∈ ɶC G ,
a bijective correspondence AΘΘ ֏ between ( )ɶC G and the set of closed extensions A A+
Θ ⊂ of A. In
particular (5) gives a one-to-one correspondence between the closed symmetric (selfadjoint) extensions
of A and the closed symmetric (resp. selfadjoint) relations in G . Moreover, AΘ is an operator if and
only if
( ){ }0
mul {0}h h A+
Θ Γ ∈ =∩ . (6)
If Θ is a closed operator in G , then the corresponding extension AΘ of A is determined by
( )1 0kerAΘ = Γ − ΘΓ . (7)
Let [ ]
: ker( ) ran( )A A+ ⊥
= − = −Nλ λ λ be the defect subspace of A and set
( ){ }ˆ : f
f f= ∈N Nλ λλ .
Now we assume that the selfadjoint relation 0A in (4) has a nonempty resolvent set. For each 0( )Aρ∈λ
the relation A+
can be written as a direct sum of (the subspaces) 0A and ˆNλ (see [4]). Denote by 1π
the orthogonal projection onto the first component of 2
K . The functions
1
1 0
ˆ( ): ( | ) ( , )π −
= Γ ∈֏ N L G Kλλ γ λ , 0( )Aρ∈λ ,
and
1
1 0
ˆ( ): ( | ) ( )M −
= Γ Γ ∈֏ N L Gλλ λ , 0( )Aρ∈λ (8)
are defined and holomorphic on 0( )Aρ and are called the γ -field and the Weyl function corresponding
to A and 0 1{ , , }Γ ΓG . For 0, ( )Aρ∈λ ζ the relation (3) implies ( ) ( )M M∗
=λ λ and
( )1
0( ) 1 ( )( ) ( )A −
= + −γ ζ ζ−λ ζ γ λ (9)
and
( ) ( ) ( ) ( ) ( )M M ∗ +
− = −λ ζ λ ζ γ ζ γ λ (10)
hold (see [4]). Moreover, by [4], we have the following connection between the spectra of extensions of
A and the Weyl function.
Lemma 2. If ( )Θ∈ ɶC G and AΘ is the corresponding extension of A then a point 0( )Aρ∈λ be-
longs to ( )Aρ Θ if and only if 0 belongs to ( ( ))Mρ Θ − λ . A point 0( )Aρ∈λ belongs to ( )i Aσ Θ if and
only if 0 belongs to ( ( ))i Mσ Θ − λ , , ,i p c r= .
For 0( ) ( )A Aρ ρΘ∈ ∩λ the well-known resolvent formula
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. Strauss V.A., Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces
Trunk C.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 17
1 1 1
0( ) ( ) ( )( ( )) ( )A A M− − − +
Θ − = − + Θ −λ λ γ λ λ γ λ (11)
holds (for a proof see e.g. [4]).
Recall, that 0 ∈ℂλ is called the eigenvalue of the operator pencil ( )L λ , if there is a vector
0 0( 0)h h∈ ≠G such that 0 0( ) 0L h =λ . The vector 0h ∈G is called the eigenvector of the operator pen-
cil ( )L λ . A system 0 1, ,..., kh h h , is called a Jordan chain for ( )L λ , if
( )
0
0
1
( ) 0
!
m
j
m j
j
L h
j
−
=
=∑ λ , for 0,1,...,m k= . (12)
2. The Underlying Space
Let 1,2
(0,1)H be the Sobolev space of all absolutely continuous functions f with 2
(0,1)f L′∈ . Let
k be a positive real number, 0k > . We define for 1,2
, (0,1)f g H∈ 1
2 2
(0,1) (0,1)
[ , ] : ( , ) ( , )k L L
f g k f g f g′ ′= − . (13)
If L is an arbitrary subset of 1,2
(0,1)H we set
{ }[ ] 1,2
: (0,1):[ , ] 0 for allk
kx H x y y⊥
= ∈ = ∈L L .
Then we have the following.
Proposition 3. For the space ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ we have the following properties.
(1) If k equals 2 2
1
n π
for some n∈ℕ , then the function 1,2
(0,1)g H∈ , defined by ( ) cos( )g x n xπ=
belongs to the isotropic part of ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ , that is
1,2
[ , ] 0 for all (0,1)kf g f H= ∈ .
(2) If 2
1k
π
> , then ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ is a Pontryagin space with one negative square.
(3) If 2
1k
π
≤ and 2 2
1
n
k
π
≠ for all n∈ℕ , then ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ is a Pontryagin space with a finite
number of negative squares. Set
2 2
1
: span | ,jf k j
j π
−
= ≤ ∈
ℕH ,
where 1,2
(0,1)jf H∈ is defined by ( ) sin( )jf x j xπ= . Then the number κ− of negative squares of
( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ satisfies
dim 1κ− −= +H .
Proof: Assertion (1) is an easy calculation. We assume 2 2
1
n
k
π
≠ for n∈ℕ all. Define the operator
0A by
{ }1,2 1,2
0( ): (0,1) | (0,1) and (0) (1) 0A g H g H g g′= ∈ ∈ = =D ,
0 :A g g′′= − for 0( )g A∈D .
Let us note that the functions ( ) sin( )jf x j xπ= , 1,2...j = are eigen functions of 0A .
For 0( )g A ⊥
−∈ ∩D H , where ⊥
−H denotes the orthogonal complement with respect to the usual sca-
lar product 2
(0,1)
( , )L
⋅ ⋅ but within the Hilbert space 1,2
(0,1)H , we have also that 2
(0,1)
( , ) 0L
f g = for all
f −∈H . Thus, g has the representation 1
k
i ij
g f
π
α
∞
>
= ∑ . This implies that there exists an 0ε > with
1
Let us note that the expression 2 2
( ( )) ( )k y t y t′ − with t as the time is (up to a constant) the Lagrangian for free small oscillations in one di-
mension (see [12, p. 58] for details). From this point of view the corresponding integral represents the action.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201218
2 2
1
0 (0,1) (0,1)
( , ) ( )( , )kL L
A g g g gε> + for all 0( )g A ⊥
−∈ ∩D H . Therefore, there exists constants , 0c c >ɶ
with
2 2 1,20 (0,1) (0,1) (0,1)
[ , ] ( , ) ( , ) ( , )k L L H
g g c A g g g g c g gε> + > ɶ
for 0( )g A ⊥
−∈ ∩D H , so 0( )A ⊥
−∩D H is a uniformly positive. It is easy to see that for f −∈H we have
[ , ] 0kf f < . This shows that the closure of 0( )AD with with respect to the usual scalar product in the
Hilbert space 1,2
(0,1)H is a Pontryagin space where the number of negative squares equals dim −H . We
define 1,2
1 2, (0,1)h h H∈ by
( ) ( )1 1
1 sin cosh k x k x
− −
= + and ( ) ( )1 1
2 sin cosh k x k x
− −
= − .
We have
( )
21 1
1 1[ , ] 2 sinkh h k k
− −
= − and ( )
21 1
2 2[ , ] 2 sinkh h k k
− −
= .
and
[ ]
0 1 2( ( )) sp{ , }kA h h⊥
=D ,
This proves (3). If 2
1k
π
> , then {0}− =H and the above considerations imply (2).
3. A Symmetric Operator Associated to the Second Derivative of Defect Four
For the rest of this paper, we assume that k is such, that
1
sin 0k
−
≠ .
Then, according to Proposition 3, the space ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ is a Pontryagin space. We consider the
following operator A, defined by
{ }1,2 1,2
( ): (0,1) | , (0,1) with (0) (1) (0) (1) (0) (1) 0A g H g g H g g g g g g′ ′′ ′ ′ ′′ ′′= ∈ ∈ = = = = = =D
and
:Ag g′′= − for ( )g A∈D .
Lemma 4. Then A is a closed symmetric operator in ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ .
Proof: Obviously, A is symmetric. The best way to show the closedness is via the calculation of A++
.
We leave it to the reader.
As
[ ] 1,2
0mul ( ( )) { (0,1) |[ , ] 0 for all ( )}k
kA A x H x y y A⊥+
= = ∈ = ∈D D ,
we have mulg A+
∈ if and only if for all ( )f A∈D
2 (0,1)
0 [ , ] ( , )
L
kf g f kg g′′= = − + .
The set ( )AD is dense in 2
(0,1)L and this implies
1 2mul sp{ , }A f f+
= , (14)
where 1 2,f f are defined by
1
1 sinf k x
−
= and
1
2 cosf k x
−
= .
An easy calculation (more detailed?) shows that
( ) ( ){ }1 2
0 1,2
, (0,1), ,g
g f fA g g Hα β α β+
′′− +
′ ′′= + ∈ ∈ℂ .
Let ( )1 1 1 2
f
f f fα β′′− + + and ( )2 1 2 2
g
g f fα β′′− + + be elements from A+
with , ( )f g A∈D and 1 2 1 2, , ,α α β β ∈ℂ .
Then we have
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. Strauss V.A., Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces
Trunk C.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 19
1 1 1 2 2 1 2 2[ , ] [ , ]k kf f f g f g f fα β α β′′ ′′− + + − − + + =
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 2 1 1 0 2 2 2 1 0| | | | ( ) | ( ) |fg f g kf g kf g k f f g k f fα β α β′ ′ ′′ ′ ′ ′′= − + − + + − − − .
We define mappings 4
0 1, : A+
Γ Γ → ℂ by
( )1 1 1 2
(0) (0)
(1) (1)
0 (0)
(1)
f kf
f kff
f f f f
f
α β
′′+
′′+
′′− + +
Γ =
and
( )1 1 1 2 1
1 1
1 1
(0)
(1)
1
( cos sin )
f
f
f
f f f k
k k k
α β α
α β
− −
′−
′
′′− + + −
−
Γ =
for ( )1 1 1 2
f
f f f Aα β
+
′′− + + ∈ .
Theorem 5. The triplet 0 1{ , }Γ Γ is a boundary value space for A+
. In particular 1 1: kerA = Γ is an
operator and a selfadjoint extension of A, i.e.
{ }1,2 1,2
1( ): (0,1) | , (0,1) with (0) (1) 0A g H g g H g g′ ′′ ′ ′= ∈ ∈ = =D
and
1 :A g g′′= − , 1( )g A∈D .
Moreover, for 0( )Aρ∈λ , the Weyl function is given by
( )M =λ
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1tan sintan sin tan sin
1 1
1 1sin tansin tan sin tan
1 1
tan sin tan sin
1
sin tan
k k
k k
k k k k k k
k k
k k
k k k k k k
k k
k k k k k k k k
k
k k k k
− −
− − − −
− −
− − − −
− − − −
− −
− −
− −
− −
−
− − +
− + −
−
λ λ 1 −1
λ λλ λ
λ λ −1 1
λ λλ λ
λ λ1 −1
−1 1
1 1
1
sin tan
k
k k k k
− −
−
−
λ λ
.
Proof: The above calculations imply that 0 1{ , }Γ Γ is a boundary value space for A+
. Let ∈ℂ ℝλ .
Define 1,2
1 2, (0,1)g g H∈ by
( )1 cosg x= λ and ( )2 sing x= λ . (15)
Then we have
1 2 1 2ker( ) sp{ , , , }A g g f f+
− =λ .
Let 1 2 1 2f g g f fα β γ δ= + + + for some , , ,α β γ δ ∈ℂ . Then
( ) 1 1
1 2
1 1
(1 )
(1 )cos (1 )sin
0 0 ( ) ( )
cos sin sin cos
k k
k
k kf f
f f f f
k k
α
α β
α δγ δ
α β γ δ
−
−
− + −
+′′− + − + −
+ + +
Γ = Γ =
λ
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ
and
( )
1
1 1 1 1
1
1 11 1
sin cos cos sin
1 ( )
( )cos ( )sin
k
k k
k
k k k kf
f k
k k k k
β γ
α β γ δ
γ
γ δ
−
− −
− −
− −
− + + −
− −
− − −
Γ =
λ
λ λ λ λ
λ λ
λ λ
Now, by (8), it is follows that M is of the above form.
Now, via (5) we can parameterize all selfadjoint extensions of A via all selfadjoint relations Θ in
4
ℂ .
Theorem 6. Let Θ be a selfadjoint relation in 4
ℂ . Then AΘ is a selfadjoint extension of A. If for all
,α β ∈ℂ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201220
1 1
0
0
sin cos
mul {0}
k k
α
β α
− −
−
∉ Θ
(16)
holds, then AΘ is an operator. If, in particular, Θ is a selfadjoint matrix, then AΘ is a selfadjoint opera-
tor and an extension of A with domain
(0) (0)(0)
(1) (1)'(1)1,2 1,2
(0)0
(1)0
( ): (0,1) | , (0,1),
g kgg
g kgg
g
g
A g H g g H
′′+′−
′′+
Θ
′ ′′= ∈ ∈ = Θ
D .
Proof: Relation (16) follows from (6), (14) and the definitions of 0Γ and 1Γ . If Θ is a matrix, (16) is
satisfied and the description of ( )AΘD follows from (7).
4. A Symmetric Operator Associated to the Second Derivative of Defect Two
We start this Section opposite to Section 3. For this we put
{ }1,2 1,2
( ): (0,1) | , (0,1)A g H g g H′ ′′= ∈ ∈ɶD (17)
and
:Ag g′′= −ɶ , ( )g A∈ ɶD .
Thus, the operator Aɶ corresponds to the same formal differential expression as the operator considered
in the previous section, but with a different domain which is in some sense maximal. Let us calculate
A+ɶ . For , ( )f g A∈ ɶD we have
1 1
0 0
[ , ] ( ) ( ) ( ) ( )kAf g k f t g t dt f t g t dt′′′ ′ ′′= − + =∫ ∫ɶ
( ) ( )
1 1 1 1
0 00 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k f t g t f t g t f t g t f t g t k f t g t dt f t g t dt′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′′ ′′= − − + − − + =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )(1) (1) (1) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) (0) (0) [ , ]kkf f g f kg g f k g g kf f g f Ag′′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′= − + + + − + + + + ɶ .
Note that the maps ( )( ) (1) (1)f t kf f′′ +֏ , ( ) (1)f t f ′֏ , ( )( ) (0) (0)f t kf f′′ +֏ and (0) (0)f f ′֏
represent unbounded linear functionals on 1,2
(0,1)H . Thus, the expression [ , ]kAf gɶ gives a continuous
linear functional (with respect to f ) on 1,2
(0,1)H if and only if
( ) ( )(1) (1) (1) (0) (0) (0) 0g kg g kg g g′ ′′ ′′ ′= + = + = = and by the definition of the adjoint operator the latter
conditions restrict the domain of A+ɶ . For brevity below we set :A A+
= ɶ . Thus, we have the following
operator A, defined by
{ }1,2 1,2
( ): (0,1) | , (0,1) with (0) (1) 0, (0) (0) 0 and (1) (1) 0A g H g g H g g g kg g kg′ ′′ ′ ′ ′′ ′′= ∈ ∈ = = + = + =D
and
:Ag g′′= − , ( )g A∈D .
Then A is a closed symmetric operator in ( )1,2
(0,1), [ , ]kH ⋅ ⋅ , which is, in contrast to Section 3, densely
defined. In particular
( ){ }1,2
| , (0,1)g
gA A g g H+
′′−
′ ′′= = ∈ɶ
is an operator and therefore all selfadjoint extensions of A are operators.
We define mappings 2
0 1, : A+
Γ Γ → ℂ by
( ) ( )(0) (0)
0 (1) (1)
f f kf
f f kf
′′+
′′ ′′− +Γ = and ( ) ( )(0)
1 (1)
f f
f f
′−
′′ ′−Γ = for ( )f
f A+
′′− ∈ .
Theorem 7. The triplet 0 1{ , }Γ Γ is a boundary value space for A+
. The Weyl function is given by
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. Strauss V.A., Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces
Trunk C.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 21
(1 ) tan (1 )sin
(1 )sin (1 ) tan
( )
k k
k k
M
−
− −
−
− −
=
λ λ
λ λ λ λ
λ λ
λ λ λ λ
λ , 0( )Aρ∈λ .
Proof: The above calculations imply that 0 1{ , }Γ Γ is a boundary value space for A+
. Let ∈ℂ ℝλ and
1,2
1 2, (0,1)g g H∈ as in (15). Then we have
1 2ker( ) sp{ , }A g g+
− =λ .
Let 1 2f g gα β= + for some ,α β ∈ℂ . Then
( ) ( ) ( )(1 )
0 0 (1 )cos (1 )sin
f f k
f f k k
α
α β
−
′′− − + −
Γ = Γ = λ
λ λ λ λ λ
and
( ) ( ) ( )1 1 sin cos
f f
f f
β
α β
−
′′− − +
Γ = Γ = λ
λ λ λ λ λ
Now, by (8), it is follows that M is of the above form.
Lemma 8. The operator 0 0kerA = Γ is a selfadjoint extension of A with a compact resolvent and
1 2 2 2
0 0( ) ( ) { , ,4 ,9 ,...}pA A kσ σ π π π−
= = .
Proof: The operator 1 1kerA = Γ is selfadjoint in the Hilbert space 1,2
(0,1)H . We have for ( )f A∈D
1,2 2 2,2
2 2
1 (0,1) (0,1) (0,1)
(( ) , ) || || || ||H L H
A I f f f f′+ = + ,
where 2,2
(0,1)H is the Sobolev space of all functions 1,2
(0,1)f H∈ with 1,2
(0,1)f H′∈ . This gives
2,2 1,2 2,2
2
(0,1) (0,1) (0,1)
|| || || ( ) || || ||H H H
f A I f f≤ + .
Therefore, as the embedding of 2,2
(0,1)H into 1,2
(0,1)H is compact, the selfadjoint operator 1A has a
compact resolvent. By (11) the difference between the resolvents of 0A and 1A is of finite rank, hence
0A has a compact resolvent. We have 0 0( ) ( )pA Aσ σ= . Now (18) follows from a simple calculation.
QUESTION: Is A simple? That is 1,2
0(0,1) clsp{ker( ): ( )}H A Aρ+
= − ∈λ λ Give a simple proof for it
Proposition 9. Let α ∈ℝ , 0α ≠ and
| | 2 kα < . (19)
Then the operator Aα defined by
{ }1,2 1,2
( ): (0,1) | , (0,1) with (0) (0) (0) and (1) (1) (1) 0A g H g g H g g kg g g kgα α α′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= ∈ ∈ = + = + =D
and
:A g gα ′′= − , ( )g Aα∈D .
is a selfadjoint extension of A with non-real eigenvalues.
In the case 2 kα = we have that the selfadjoint extension 2 k
A of A has a Jordan chain of length
two corresponding to the eigenvalue 1
k
− .
Proof: Set
1
1
0
0
α
α
−
−
−
Θ =
.
Then A AαΘ = , hence, by Lemma 2 and the fact that 0( )Aσ ∈ℝ (see Lemma 8), we have for all non-real
λ that ( )p Aασ∈λ if and only if
2 2
2
2 2 2 2
1
0 det( ( ) ) 2
(1 )
k
M
kk k k
α
α
= − Θ = + − + −
λ λ
λ λ
λ
. (20)
Hence,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201222
2 2
1,2 2 2
1
42
k
k k k
α α α
= − ± −λ
are the solutions of Equation (20). Assertion (19) implies now the existence of two non-real eigenvalues
of Aα .
In the case 2 kα = we have that the functions 0 1 2
, ( )k
h h A∈D given by
1
0 ( ) x k
h x e
−
= and
1
1( )
2
x kx
h x e
−
= −
satisfy
1 02
1
k
A h h
k
+ =
and 02
1
0k
A h
k
+ =
,
i.e. 0 1{ , }h h is a Jordan chain of 2 k
A corresponding to the eigenvalue 1
k
− .
References
1. Azizov T.Ya., Iokhvidov I.S. Linear Operators in Spaces with an Indefinite Metric. Chichester,
John Wiley & Sons, Ltd., 1989. 304 p.
2. Bognár J. Indefinite Inner Product Spaces. New York-Heidelberg: Springer Verlag, 1974. 224 p.
3. Derkach V.A. On Weyl Function and Generalized Resolvents of a Hermitian Operator in a Krein
Space. Integral Equations Operator Theory. 1995. Vol. 23. pp. 387–415.
4. Derkach, V.A. On Generalized Resolvents of Hermitian Relations in Krein Spaces. J. Math. Sci.
(New York). 1999. Vol. 97. pp. 4420–4460.
5. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized Resolvents and the Boundary Value Problems for
Hermitian Operators with Gaps. J. Funct. Anal. 1991. Vol. 95. pp. 1–95.
6. Derkach V.A., Malamud M.M. The Extension Theory of Hermitian Operators and the Moment
Problem. J. Math. Sci. (New York). 1995. Vol. 73. pp. 141–242.
7. Dijksma A., de Snoo H.S.V. Symmetric and Selfadjoint Relations in Krein Spaces I. Operator
Theory: Advances and Applications (Birkhäuser Verlag Basel). 1987. Vol. 24. pp. 145–166.
8. Dijksma A., de Snoo H.S.V. Symmetric and Selfadjoint Relations in Krein Spaces II. Ann. Acad.
Sci. Fenn. Math. 1987. Vol. 12. pp. 199–216.
9. Haase M. The Functional Calculus for Sectorial Operators. Basel, Boston, Berlin, Birkhäuser
Verlag, 2006. 392 p.
10. Iohvidov I.S., Krein M.G., Langer H. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces
with an Indefinite Metric. Berlin: Akademie-Verlag, Mathematical Research, 1982. Vol. 9. 120 p.
11. Krein M.G., Langer H. On the Spectral Functions of a Self-Adjoint Operator in a Space with In-
definite Metric. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1963. Vol. 152, no. 1. pp. 39–42.
12. Landau L.D., Lifshitz E.M. Course Of Theoretical Physics. Vol 1: Mechanics (3rd ed.). Oxford,
UK, Butterworth-Heinemann, 2007. 170 p.
13. Langer H. Spectral Functions of Definitizable Operators in Krein Spaces. Lecture Notes in
Mathematics. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982. Vol. 948. pp. 1–46.
14. Langer H., Najman B., Tretter C. Spectral theory of the Klein-Gordon equation in Pontryagin
spaces. Comm. Math. Phys. 2006. Vol. 267, no. 1. pp. 159–180.
15. Strauss A.V. On Selfadjoint Extensions in an Orthogonal Sum of Hilbert Spaces. Dokl. Akad.
Nauk SSSR. 1962. Vol. 144, no. 5. pp. 512–515.
16. Strauss A.V. Characteristic Functions of Linear Operators. Izv. AN SSSR, Serija mate-
maticheskaja. 1960. Vol. 24, no. 1. pp. 43–74.
Received 22 march 2011.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. Strauss V.A., Some Sobolev Spaces as Pontryagin Spaces
Trunk C.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 23
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА КАК ПРОСТРАНСТВА
ПОНТРЯГИНА
В.А. Штраус
1
, К. Трунк
2
Показано, что известные пространства Соболева могут быть естественно снабжены структу-
рой пространства Понтрягина. Такой подход позволяет получить новые свойства у таких тради-
ционных объектов как, например, простейшие дифференциальные операторы.
Ключевые слова: функциональные пространства, пространства Понтрягина, самосопря-
жённые операторы, дифференциальные операторы.
Литература
1. Azizov, T.Ya. Linear Operators in Spaces with an Indefinite Metric / T.Ya. Azizov,
I.S. Iokhvidov. – Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. – 1989. – 304 с.
2. Bognár, J. Indefinite Inner Product Spaces / J. Bognár. – New York-Heidelberg: Springer Verlag,
1974. – 224 с.
3. Derkach, V.A. On Weyl Function and Generalized Resolvents of a Hermitian Operator in a Krein
Space / V.A. Derkach // Integral Equations Operator Theory. – 1995. – Т. 23. – С. 387–415.
4. Derkach, V.A. On Generalized Resolvents of Hermitian Relations in Krein Spaces / V.A. Der-
kach // J. Math. Sci. (New York) – 1999. – Т. 97. – С. 4420–4460.
5. Derkach, V.A. Generalized Resolvents and the Boundary Value Problems for Hermitian Opera-
tors with Gaps / V.A. Derkach, M.M. Malamud // J. Funct. Anal. – 1991. – Т. 95. – С. 1–95.
6. Derkach, V.A. The Extension Theory of Hermitian Operators and the Moment Problem /
V.A. Derkach, M.M. Malamud // J. Math. Sci. (New York). – 1995. – Т. 73. – С. 141–242.
7. Dijksma, A. Symmetric and Selfadjoint Relations in Krein Spaces I / A. Dijksma, H.S.V. de Snoo
// Operator Theory: Advances and Applications (Birkhäuser Verlag Basel). – 1987. – Т. 24. – С. 145–
166.
8. Dijksma, A. Symmetric and Selfadjoint Relations in Krein Spaces II // A. Dijksma, H.S.V. de
Snoo // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 1987. – Т. 12. – С. 199–216.
9. Haase, M. The Functional Calculus for Sectorial Operators / M. Haase. – Basel: Birkhäuser Ver-
lag, 2006. – 392 с.
10. Iohvidov, I.S. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indefinite
Metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. – Berlin: Akademie-Verlag, Mathematical Research,
1982. – Т. 9. – 120 с.
11. Krein, M.G. On the Spectral Functions of a Self-Adjoint Operator in a Space with Indefinite
Metric / M.G. Krein, H. Langer // Докл. АН СССР. – 1963. – Т. 152, № 1. – С. 39–42.
12. Landau, L.D. Mechanics (3rd ed.) / L.D. Landau, E.M. Lifshitz. – Oxford, UK: Butterworth-
Heinemann, 2007. – 170 с.
13. Langer, H. Spectral Functions of Definitizable Operators in Krein Spaces / H. Langer // Lecture
Notes in Mathematics (Springer Verlag: Berlin-Heidelberg-New York). – 1982. – Т. 948. – C. 1–46.
14. Langer, H. Spectral theory of the Klein-Gordon equation in Pontryagin spaces / H. Langer,
B. Najman, C. Tretter // Comm. Math. Phys. – 2006. – Т. 267, № 1. – С. 159–180.
15. Штраус, А.В. On Selfadjoint Extensions in an Orthogonal Sum of Hilbert Spaces /
А.В. Штраус // Докл. АН СССР. – 1962. – Т. 144, № 5. – С. 512–515.
16. Штраус, А.В. Characteristic Functions of Linear Operators / А.В. Штраус // Изв. АН СССР,
Серия математическая – 1960. – Т. 24, № 1. – С. 43–74.
Поступила в редакцию 22 марта 2011 г.
1
Штраус Владимир Абрамович – Ph. D., кафедра математики, Университет Симона Боливара, г. Каракас, Венесуэла.
E-mail: str@usb.ve
2
Трунк Карстен – Dr. rer. nat., профессор, институт математики, Технический Университет Ильменау, г. Ильменау, Германия.
E-mail: carsten.trunk@tu-ilmenau.de
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Вестник ЮУрГУ, № 11, 201224
УДК 519.857
ОДНОТИПНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ С ВЫПУКЛОЙ ЦЕЛЬЮ
ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХИ
В.И. Ухоботов1
, Д.В. Гущин2
Рассмотрена однотипная задача о выводе в заданный момент времени
фазовой точки на выпуклое замкнутое множество с минимизацией инте-
грала от выпуклой по норме управления функции. В уравнениях движения
присутствует помеха, о которой известно, что величина ее нормы не пре-
восходит заданного числа. Задача рассматривается в рамках теории диффе-
ренциальных игр. Доказано существование оптимального управления и из-
ложен алгоритм его построения.
Ключевые слова: дифференциальная игра, управление, альтернированный
интеграл.
1. Введение
В дифференциальной игре «изотропные ракеты» [1], в ее варианте при отсутствии трения
«мальчик и крокодил» [2] и в контрольном примере Л.С. Понтрягина [2] уравнения движения с
помощью линейной замены переменных [3, с. 160] можно привести к виду, когда в правой части
новых уравнений стоит сумма управлений первого и второго игроков. Вектограммы этих управ-
лений являются шарами, радиусы которых зависят от времени. Для таких игр, в случае если тер-
минальное множество является выпуклым и замкнутым, в [4] построен альтернированный инте-
грал, с помощью которого вычисляется множество тех начальных состояний, откуда первый иг-
рок сможет в заданный момент времени вывести фазовую точку на терминальное множество.
Построено соответствующее управление первого игрока.
В статье в рамках теории дифференциальных игр рассматривается задача управления при на-
личии помех о выводе фазовой точки в заданный момент времени на выпуклое замкнутое множе-
ство, минимизируя при этом интеграл от выпуклой функции, зависящей от нормы управления.
Такие задачи возникают при управлениях системами переменного состава, в которых критерием
является количество израсходованной реактивной массы [5].
2. Постановка задачи
В пространстве n
R с нормой || ||⋅ движение вектора z происходит по правилу
( ) ( ) ,z a t u b t v t p= − + ≤ɺ . (1)
Здесь функции ( ) 0a t ≥ и ( ) 0b t ≥ являются интегрируемыми на любом отрезке из полуоси
( , ]p−∞ . На выбор управления u накладывается ограничение || || 1u ≤ . Расходы ресурсов, потра-
ченные на формирование управления u на отрезке 0[ , ]t p , задаются интегралом
0
( ,|| ( ) ||)
p
t
g r u r dr∫ .
Предположение 1. Функция ( , ) 0g t ϕ ≥ определена при всех ,0 1t p ϕ≤ ≤ ≤ и при любом
t p≤ выпукла и непрерывна по [0,1]ϕ ∈ . При каждом [0,1]ϕ ∈ она измерима и ограничена свер-
ху суммируемой на каждом отрезке из полуоси ( , ]p−∞ функцией ( )G t .
Считаем, что помеха { :|| || 1}n
v S z R z∈ = ∈ ≤ .
Допустимые управления ищутся в классе функций
( , ) ( ) ( , )u t z t w t zϕ= . (2)
Здесь :( , ] n n
w p R R−∞ × → – произвольная функция, удовлетворяющая равенству
1
Ухоботов Виктор Иванович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления и
оптимизации, Челябинский государственный университет.
E-mail: ukh@csu.ru
2
Гущин Денис Васильевич – математик учебно-научной лаборатории методов оптимизации и моделирования игровых ситуаций,
кафедра теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет.
E-mail: off_side@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. Ухоботов В.И., Однотипная задача управления с выпуклой целью
Гущин Д.В. при наличии помехи
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6 25
|| ( , ) || 1w t z = , (3)
а измеримая функция 0:[ , ] [0,1]t pϕ → строится в зависимости от начального состояния
0 0( )z t z= . Для такого допустимого управления расход ресурсов задается интегралом
0
( , ( )) .
p
t
g r r drϕ∫ (4)
Зафиксируем начальное состояние. Возьмем разбиение
0 1 1 1
0
: ... , ( ) max( ).k i i
i k
t t t p d t tω ω+ +
≤ ≤
< < < = = − (5)
Построим ломаную
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) .
i i
t t
i i i i
t t
z t z t a r r dr w t z t b r dr vω ω ωϕ
= − +
∫ ∫ (6)
Здесь 1 0 0, 0, , ( )i it t t i k z t zω+≤ ≤ = = и любое .iv S∈
Семейство ломаных (6) на отрезке 0[ , ]t p является равномерно ограниченным и раностепен-
но непрерывным. По теореме Арцела [6, с. 236] из любой последовательности ломаных (6) мож-
но выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке 0[ , ].t p
Под движением ( )z t , порожденным управлением (2), с заданным начальным условием
0 0( )z t z= понимаем равномерный предел последовательности ломаных (6), у которых диаметр
разбиения ( )d ω стремится к нулю.
Задано замкнутое выпуклое множество n
Z R⊂ и начальное состояние 0 0( ) ,n
z t R t p∈ < .
Нужно построить допустимое управление (3) такое, чтобы для любого движения ( )z t , порожден-
ного этим управлением с заданным начальным условием 0( )z t , выполнялось включение
( ) .z p Z∈ (7)
Среди таких допустимых управлений требуется выбрать такое, для которого интеграл (4)
принимает минимальное значение.
3. Построение управления, гарантирующего включение
Зафиксируем измеримую функцию :( , ] [0,1]pϕ −∞ → и рассмотрим дифференциальную игру
( ) ( ) ( ) ,z a t t w b t vϕ= − +ɺ (8)
в которой первый игрок выбирает управление w S∈ , а второй – v S∈ . Цель первого игрока за-
ключается в осуществлении включения (7). Цель второго игрока – противоположна.
Для этой игры в работе [4] построен альтернированный интеграл Л.С. Понтрягина [2] и предло-
жен алгоритм построения управления первого игрока, обеспечивающего включение (7). Обозна-
чим
( ; ( )) max ( ( ) ( ) ( )) ,
p
t p
t b r a r r dr
τ
τ
β ϕ ϕ
≤ ≤
⋅ = −∫ (9)
( ; ( )) ( ; ( )) ( ( ) ( ) ( ))
p
t
t t a r r b r drα ϕ β ϕ ϕ⋅ = ⋅ − −∫ (10)
и введем в рассмотрение геометрическую разность двух множеств X и Y в пространстве n
R [2]
*X { : }.n
Y z R z Y X= ∈ + ⊂
Альтернированный интеграл равен [4]
( ; ( )) *W t Zϕ ⋅ = ( ; ( )) ( ; ( )) .t S t Sβ ϕ α ϕ⋅ + ⋅ (11)
В [4] показано, что, если начальное состояние 0 0( ) ( ; ( )),z t W t ϕ∉ ⋅ то для любого управления
:( , ] n
w p R S−∞ × → найдется движение ( )z t такое, что включение (7) не выполнено.
Пусть начальное состояние 0 0( ) ( ; ( ))z t W t ϕ∈ ⋅ . Обозначим при t p≤ и n
z R∈
( , ) inf{ 0: ( ; ( )) 2 }.t z z W t Sε ε ϕ ε= ≥ ∈ ⋅ +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. Математика
Вестник ЮУрГУ, № 11, 201226
Из замкнутости множества ( ; ( ))W t ϕ ⋅ следует, что при некотором w S∈ выполнено включе-
ние
( , ) ( ; ( )) .z t z w W t Sε ϕ ε− ∈ ⋅ +
Можно показать, что это включение выполнено на некотором векторе ( , )w w t z= , у которого
|| ( , ) || 1.w t z =
Теорема 1. Управление (2) с функцией ( , )w t z обеспечивает в задаче (1) включение (7) для
любого движения ( )z t из любого начального состояния 0 0( ) ( ; ( )).z t W t ϕ∈ ⋅
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2 в работе [4].
4. Построение оптимального управления
Возьмем точку 0
n
z R∈ и число 0t p< и рассмотрим следующую оптимизационную задачу:
0
0( , ( )) min, :[ , ] [0,1],
p
t
g r r dr t pϕ ϕ→ →∫ (12)
0 *z Z∈ 0 0( ; ( )) ( ; ( )) .t S t Sβ ϕ α ϕ⋅ + ⋅ (13)
Теорема 2. Пусть функция ( , )g t ϕ удовлетворяет условиям предположения 1, а включение
(13) выполнено на некоторой измеримой функции 0:[ , ] [0,1]t pϕ → . Тогда решение
0 0:[ , ] [0,1]t pϕ → в задаче (12), (13) существует.
Доказательство. Обозначим через 0g нижнюю грань функционала (12) на измеримых
функциях 0:[ , ] [0,1]t pϕ → , удовлетворяющих включению (13). Из неравенства ( , ) 0g t ϕ ≥ следу-
ет, что 0 0g ≥ . Существует последовательность измеримых функций 0:[ , ] [0,1],m t pϕ → удовле-
творяющих включению (13), такая, что
0
0lim ( , ( )) .
p
m
m
t
g r r dr gϕ
→∞
=∫ (14)
Каждая из функций
( ) ( ( ) ( ) ( )) , ( ) ( , ( ))
p p
m m m m
t t
f t b r a r r dr l t g r r drϕ ϕ= − =∫ ∫ (15)
при любых 0 1 2t t t p≤ ≤ ≤ удовлетворяет неравенству
2 2
1 1
1 2 1 2| ( ) ( ) | ( ) , | ( ) ( ) | ( ) ,
t t
m m m m
t t
f t f t b r dr l t l t G r dr− ≤ − ≤∫ ∫ (16)
из которого получим, что каждая из последовательностей функций (15) является равностепенно
непрерывной и равномерно ограниченной. По теореме Арцела из них можно выделить подпосле-
довательности, которые на отрезке 0[ , ]t p сходятся равномерно. Не вводя новых обозначений,
считаем, что сами последовательности сходятся равномерно: ( ) ( ), ( ) ( ).m mf t f t l t l t→ →
Предельные функции ( )f t и ( )g t удовлетворяют неравенствам (16). Из теоремы об абсо-
лютной непрерывности интеграла Лебега [7, с. 282] следует, что функции ( )f t и ( )l t являются
абсолютно непрерывными на отрезке 0[ , ]t p .
Допустим, что существует измеримая функция 0 0:[ , ] [0,1]t pϕ → такая, что
0 0( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( , ( ))f t a t t b t l t g t tϕ ϕ= − ≤ −ɺ ɺ (17)
для почти всех 0[ , ]t t p∈ . Из формул (15) следует, что ( ) 0mf p = . Поэтому ( ) 0f p = . Интегрируя
первое равенство в (17), получаем
0( ) ( ( ) ( ) ( ))
p
t
f t a r r b r drϕ= − +∫ . (18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
