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単調増加と階乗
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単調増加と階乗
1.
[3] 𝑛 𝑘 は二項係数 mCk
を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に 答えよ. (1) 広義積分 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1は収束することを示せ。 (2) 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1=(2n-1)/2n 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛を示せ. また 2𝑛 𝑛 = 22n+1 𝜋 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1dx を示せ。 (3)任意のx∈[0,π/2]に対しexp( 𝑥2 2 )cosx ≦ 1を示せ。またcos2𝑛 𝑥 ≦ exp −𝑛𝑥2 を示せ。 4)次の不等式 2𝑛 𝑛 ≦ 4 𝑛 𝜋𝑛 を示せ。 ただし 0 ∞ exp −𝑥2 dx = 𝜋 2 を用いても良い。
2.
[3] 𝑛 𝑘 は二項係数 mCk
を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ. (1) 広義積分 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1は収束することを示せ。 証明 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1= 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 1 = [tan−1 𝑥]0 ∞ = 1 2 𝜋 また0< 1 𝑥2+1 𝑛+1≦1/𝑥2 + 1である。よってt∈R+に対して 0 t 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1 は増加関数。 上に有界な増加関数は収束するので、広義積分は収束する。 [杉浦]解析入門1p27参照
3.
[3] 𝑛 𝑘 は二項係数 mCk
を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ. (2) 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1=(2n-1)/2n 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛を示せ. また 2𝑛 𝑛 = 22n+1 𝜋 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1dx を示せ。 証明 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1= 0 ∞ 𝑥′ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1=[𝑥 1 𝑥2+1 𝑛+1]0 ∞ − 0 ∞ 𝑥( 1 𝑥2+1 𝑛+1)′ 𝑑𝑥 ( 1 𝑥2+1 𝑛+1)’=− 2𝑥 𝑛+1 𝑥2+1 𝑛+2より =0+ 0 ∞ 𝑥 2𝑥2(𝑛+1)𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1 =2 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1-2 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+2dx よって 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+2=(2n+1)/2(n+1) 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛 n=n’-1と改めれば前半が言えた。 また 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1= 2𝑛−1 2𝑛 2(𝑛−1)−1 2(𝑛−1) … 2−1 2 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 1 X=tanyとする。こrを微分すると𝑦′ = 1 1+tan2 𝑦 よって 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 1 = 𝜋 2 よって示せた。
4.
[3] 𝑛 𝑘 は二項係数 mCk
を表すものとする.n を自然数とする.以下の問に答えよ。 (3)任意のx∈[0,π/2]に対しexp( 𝑥2 2 )cosx ≦ 1を示せ。またcos2𝑛 𝑥 ≦ exp −𝑛𝑥2 を示せ。 F(x)= exp( 𝑥2 2 )cosxとするとF’(x)=cosx(x-tanx)exp(x)≦0 (tanx’が1より大いことよりx≦tanxが示せる。 よって増加関数であり、F(0)=1なのでexp( 𝑥2 2 )cosx ≦ 1 G(x)=cos2𝑛 𝑥 exp 𝑛𝑥2 とするとG’(x)≦0なのでgは減少関数。 G(0)=1なのでG(x)≦1 よってcos2𝑛 𝑥 ≦ exp −𝑛𝑥2 (4)次の不等式 2𝑛 𝑛 ≦ 4 𝑛 𝜋𝑛 を示せ。 ただし 0 ∞ exp −𝑥2 dx = 𝜋 2 を用いても良い。 証明 2𝑛 𝑛 = 22n+1 𝜋 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1dx また 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 𝑛+1 ≦ 0 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2+1 1 x=tanyにすると 0 ∞ 𝑐𝑜𝑠2 𝑦𝑑𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑦+1 2 (3)より 0 ∞ 𝑐𝑜𝑠2 𝑦𝑑𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑦+1 2≦ 0 ∞ exp −𝑥2 dx = 𝜋 2 よって示せた。
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