場の量子

2. 復習
𝑎 𝑘, 𝑎 𝑘
∗
= 𝛿 𝑘 − 𝑘′
𝑘〉 = 2𝜔 𝑘 𝑎 𝑘
+
0〉, 𝜔 𝑘 = 𝑘2 + 𝑚2
𝐻 = ∫ 𝑑3
𝑘𝜔 𝑘 𝑎 𝑘
+
𝑎 𝑘 ⇒ 𝑘, 𝑡〉 = 𝑒 𝑖𝑡𝐻
𝑘, 𝑡〉
𝜙 𝑥 = න
𝑑3
𝑘
2𝜔 𝑘 定数
𝑎 𝑘 + 𝑎 𝑘
+
𝑒 𝑖𝑘 Ԧ𝑥
𝜙 𝑥 𝜇
= න
𝑑3 𝑘
2𝜋 3
2𝜔 𝑘
𝑎 𝑘 𝑒 𝑖−𝜔 𝑘 𝑡+𝑘 Ԧ𝑥
+ 𝑎 𝑘
+
𝑒−𝑖 −𝜔 𝑘 𝑡+𝑘 Ԧ𝑥
= 𝜙 𝑥 𝜇 + 𝜙+ 𝑥 𝜇
𝜋 𝑥 𝜇 = −
𝑖∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
𝜔 𝑘
2
(… . )

3. ハイゼンベルグ描像
𝜙 𝑥 𝜇
= 𝑒 𝑖𝐻𝑡
𝜙 Ԧ𝑥 𝑒−𝑖𝐻𝑡
𝑒 𝑖𝑡𝐻
𝑎 𝑘 𝑒−𝑖𝑡𝐻
= 𝑎 𝑘 𝑒 𝑘
−𝑖𝜔𝑡
, 𝑒 𝑖𝐻𝑡
𝑎 𝑘
+
𝑒−𝑖𝑡𝐻
= 𝑎 𝑘
+
𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
𝑂 = 𝑂, 𝐻
⇒ 𝜙(𝑥 𝜇
)はK-G方程式を満たす。
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
𝜙 𝑥 = 𝜙 𝑥 , 𝐻
= 𝑖𝜙 𝑥
𝑖𝜕
𝜕𝑡
𝜋 = 𝜋 𝑥 , 𝐻
= −
𝑖∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
𝜔 𝑘
2
𝑎 𝑘, 𝐻 𝑒 𝑖 𝑘 𝜇 𝑥 𝜇
− 𝑎 𝑘
+
, 𝐻 𝑒−𝑖𝑘 𝜇 𝑥
= −
𝑖∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
𝑎 𝑘 𝑒−𝑖𝑘𝑥
+ 𝑎−𝑘
+
𝑒−𝑖𝑘𝑥
= −𝑖 −∇2
+ 𝑚2
∫ 𝑑3
𝑘
1
2𝜋 3
1
2𝜔 𝑘
(… + ⋯ )

4. 𝑖𝜕
𝜕𝑡
𝜋 = 𝜋 𝑥 , 𝐻
= −
𝑖∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
𝜔 𝑘
2
𝑎 𝑘, 𝐻 𝑒 𝑖 𝑘 𝜇 𝑥 𝜇
− 𝑎 𝑘
+
, 𝐻 𝑒−𝑖𝑘 𝜇 𝑥
= −
𝑖∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
𝑎 𝑘 𝑒−𝑖𝑘𝑥
+ 𝑎−𝑘
+
𝑒−𝑖𝑘𝑥
= −𝑖 −𝛻2 + 𝑚2 ∫ 𝑑3 𝑘
1
2𝜋 3
1
2𝜔 𝑘
… + ⋯
= −𝑖 −∇2
+ 𝑚2
𝜙 𝑥 𝜇

5. 𝑖𝜕
𝜕𝑡
𝑖𝜕
𝜕𝑡
𝜙 =
𝑖𝜕
𝜕𝑡
𝑖𝜋 = − −𝑖 −∇2 + 𝑚2 𝜙
−
𝜕2
𝜕𝑡2
𝜙 = −∇2 𝜙 + 𝑚2 𝜙
−
𝜕2
𝜕𝑡2
+ ∇2
− 𝑚2
𝜙 = 0 ↔ 𝜋

6. 因果律（causality)
Δx 𝜇
Δx 𝜇 = −dtdt + dxdx
< 0 → 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑘𝑒
> 0 → 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑘𝑒
𝜙 𝑥 𝜇
0〉𝑎 𝑘
+
0〉 𝑥 𝜇
に粒子を与える
⊃ 𝑎 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥
𝑥 𝜇
− 𝑦 𝜇
space like? Time like?
場の量子論の因果律
もし
Δ 𝜇
= x 𝜇
− 𝑦^𝜇がspace likeならば
𝜙 𝑥 , 𝜙 𝑦 = 0

7. プロパゲータ
𝐷(𝑥 − 𝑦)はある種のプロパゲータ
𝐷𝑟𝑒𝑡 𝑥 − 𝑦 = Θ 𝑥 𝜇 − 𝑦 𝜇 𝜙 𝑥 , 𝜙 𝑦
= Θ 𝑥 𝜇
− 𝑦 𝜇
𝐷 𝑥 − 𝑦 − 𝐷 𝑦 − 𝑥
Θ 𝑡 = 1 𝑡 > 0 𝑜𝑟 0 𝑡 < 0
遅延プロパゲータ

8. • 𝜙 𝑥 , 𝜙 𝑦 = ∫
𝑑3 𝑘
2𝜋 3
𝑑3 𝑘′
2𝜋 3 𝑎 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥
+ 𝑎+
𝑒−𝑖𝑘𝑥
𝑎 𝑘
+
𝑎 𝑘′ + ⋯
=
∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
1
2𝜔 𝑘
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦
− 𝑒−𝑖𝑘 𝑥−𝑦
𝑘 − 𝜔 𝑘
𝐷 𝑥 − 𝑦 =
∫ 𝑑3
𝑘
2𝜋 3
1
2𝜔 𝑘
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦
𝜙 𝑥 , 𝜙 𝑦 = 𝐷 𝑥 − 𝑦 − 𝐷 𝑦 − 𝑥
𝐷(𝑥, 𝑦)は共変
x－yがspacelikeならば
ｘ－ｙ→ｙ－ｘ
つまりｄ（ｘ－ｙ）＝ｄ（ｙーｘ）

9. 𝐷𝑟𝑒𝑡 𝑥 − 𝑦 = න
𝑐 𝑘
𝑑4
𝑘
1
2𝜋 4
𝑖
−𝑘2 − 𝑚2
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦
𝐷𝑟𝑒𝑡 𝑥 − 𝑦 = 𝐷 𝑥 − 𝑦 − 𝐷 𝑦 − 𝑥 Θ x 𝜇 − 𝑦 𝜇
∫ 𝑑𝑘 𝑂
2𝜋
𝑖
𝑘 𝑂 2 − 𝜔 𝑘
2
= න
∞
∞
𝑑𝑘 𝑂
2𝜋
𝑖𝑒−𝑖𝑘 𝑂 𝑥 𝜇−𝑦 𝜇 1
(𝑘 𝑂 − 𝜔 𝑘)(𝑘 𝑂 + 𝜔 𝑘)
= 𝐼
ここで積分路は複素平面で半円状に取っている。

10. I = −2𝜋𝑖
𝑒−𝑖𝑘 𝑥 𝑂−𝑦 𝑂
−2𝜔 𝑘
+
𝑒−𝑖𝑘 𝑥 𝑂−𝑦 𝑂
2𝜔 𝑘
∫ 𝑑3 𝑘
2𝜋 3
𝐼 = Θ 𝑥 𝑂 − 𝑦 𝑂
∫ 𝑑3 𝑘
2𝜋 3
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦
2𝜔 𝑘
𝜕𝜇 𝑥方向 𝜕 𝜇
− 𝑚2
𝐷𝑟𝑒𝑡 𝑥 − 𝑦 = 𝑖 න
𝐶 𝑅
𝑑4
𝑘
2𝜋 4
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦
= 𝑖𝛿4
(𝑥 − 𝑦)
つまり、D_ret(x,y)はδのソースがある。

11. K-G方程式を満たす
一般に 𝜕2 − 𝑚 𝐷 𝑥 − 𝑦 = 𝑖𝛿(𝑥 − 𝑦)を満たすDをプロパゲータと
呼ぶ。境界条件は積分路の取り方による。
C_R
C_A
C_F(ファイマンプロパゲータ）

12. report
•
∫ 𝑑3 𝑘
2𝜋 3
1
2𝜔 𝐾
𝑒 𝑖𝑘 𝑥−𝑦 − 𝑒−𝑖𝑘 𝑥−𝑦 𝑘 − 𝜔 𝑘 が
∫ 𝑑3 𝑘
2𝜋 3 2𝜋 𝜃 𝑘 𝛿𝑘 𝜇なの
で共変であることを示せ
• セクション４の問題８題。