Ανισώσεις

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com
ΙΩΑΝΝΙΝΑ
31 Μαρτίου 2014
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 31 Μαρτίου 2014 1 / 107

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com
ΙΩΑΝΝΙΝΑ
31 Μαρτίου 2014

Ανισώσεις

Περιεχόµενα
1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
4 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
5 ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ
6 ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
7 ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
8 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
9 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ανισώσεις

Ερώτηση 1η
Τι ονοµάζουµε ανίσωση µε έναν άγνωστο;

Ανίσωση
Είναι µια ανισότητα µεταξύ δυο συναρτήσεων, f(x) = g(x) που έχουν το ίδιο
πεδίο ορισµού.
Η οποία όµως, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει, για όλο το πλήθος των τιµών της
µεταβλητής x.
Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε, για να προσδιορίσουµε τα διαστήµατα
των τιµών της µεταβλητής, που επαληθεύουν την ανισότητα, ονοµάζετε επίλυση
της ανίσωσης.

Ερώτηση 2η
Τι ονοµάζουµε ανίσωση 1ου βαθµού;

Ανισώσεις 1ου ϐαθµού
Είναι ανισώσεις µεταξύ δυο πρωτοβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx + β < ή > 0, όπου α, β
πραγµατικοί αριθµοί.

Ερώτηση 3η
Πως λύνουµε µια ανίσωση πρώτου βαθµού;

Ανίσωση 1ου ϐαθµού
Για να λύσουµε µια ανίσωση 1ου ϐαθµού,
κάνουµε τις πράξεις,
χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους
αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι ≠ 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη,
διαφορετικά η ανίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη.
Αν ο αριθµός µε τον οποίο διαιρούµε είναι ϑετικός η ϕορά της ανίσωσης µένει
η ίδια, αν είναι αρνητικός, η ϕορά αλλάζει

Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί οι ανισώση
5x
3
−
1
9
> (x − 3)
5
9
Λύση
2(x + 1) > −x + 3 ⇔ 2x + 2 > −x + 3
⇔ 2x + x > 3 − 2
⇔ 3x > 1
⇔ x >
1
3

Να λυθεί η ανίσωση 2(4x − 1) − 3 > 10 − 5(x − 1)
Λύση
−2(4x − 1) − 2 > 10 − 4(x − 1) ⇔ −8x + 2 − 2 > 10 − 4x + 4
⇔ −8x + 4x > −2 + 2 + 10 + 4
⇔ −4x > 14
⇔ x < −
7
2

Να λυθεί η ανίσωση x + 3 < 2(x − 3) − x
Λύση
x + 3 < 2(x − 3) − x ⇔ x + 3 < 2x − 6 − x
⇔ x − 2x + x < −6 − 3
⇔ 0x < −8
το οποίο είναι αδύνατο, άρα η ανίσωση δεν έχει λύσεις.

Να λυθεί η ανίσωση 5(x − 3) − x > 4x − 16
Λύση
5(x − 3) − x = 4x − 15 ⇔ 5x − 15 − x > 4x − 16
⇔ 5x − x − 4x > 15 − 16
⇔ 0x > −1
το οποίο, ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η ανίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει
άπειρες λύσεις.

Να λυθούν οι ανισώσεις και στη συνέχεια να ϐρεθούν οι κοινές τους λύσεις
4x
3
−
5
9
>
x − 3
3
(x − 1)2
+ 3 < x2
+ 2(x + 1)
Λύση
4x
3
−
5
9
>
x − 9
3
⇔ 12x − 5 > 3x − 45
⇔ −8x > −40
⇔ x < 5

(x − 1)2
+ 3 < x2
+ 2(x + 1) ⇔ x2
− 2x + 1 + 3 < x2
+ 2x + 2
⇔ −4x < −4
⇔ x > 1
΄Αρα κοινές λύσεις έχουµε για 1 < x < 5

Ερώτηση 4η
Ποιες ανισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;

Παραµετρικές ανισώσεις
Είναι οι ανισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν
κι άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής ανίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση

∆ιερεύνηση παραµετρικής ανίσωσης
Είναι, αx + β > 0 ⇔ αx > −β
Αν α > 0
αx > −β ⇔ x >
−β
α
Αν α < 0
αx > −β ⇔ x <
−β
α
Αν α = 0
΄Εχουµε 0x > −β
Η οποία αληθεύει για κάθε x ∈ R αν, β > 0
Και είναι αδύνατη αν, β ≤ 0

Να λυθεί η ανίσωση λ(x − 3) ⩾ 1 + 2x

Λύση
Λύση
λ(x − 3) ⩾ 1 + 2x ⇔ λx − 3λ ⩾ 1 + 2x
⇔ λx − 2x ⩾ 1 + 3λ
⇔ (λ − 2)x ⩾ 1 + 3λ (1)

Λύση
Αν λ − 2 > 0 ⇔ λ > 2
τότε (1) ⇔ x >
1 + 3λ
λ − 2
Αν λ − 2 < 0 ⇔ λ < 2
τότε (1) ⇔ x <
1 + 3λ
λ − 2
Αν λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2
τότε, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε: 0x > 7 αδύνατη.

Ερώτηση 5η
Πως λύνω ανισώσεις µε απόλυτες τιµές;
Κάνω χρήση των παρακάτω ιδιοτήτων
x < θ ⇔ −θ < x < θ
x > θ ⇔ x < −θ ή x > θ

Να λυθούν οι ανισώσεις:
x − 3 < 2
2x − 3 > 5
x − 7 < −4
2x − 6 ⩽ 0
x + 7 ≥ 0

Λύση
x − 3 < 2 ⇔ −2 < x − 3 < 2
⇔ −2 + 3 < x < 3 + 2
⇔ 1 < x < 5
⇔ x ∈ (1,5)

Λύση
2x − 3 > 5 ⇔ 2x − 3 < −5 ή 2x − 3 > 5
⇔ 2x < −5 + 3 ή 2x > 5 + 3
⇔ 2x < −2 ή 2x > 8
⇔ x < −1 ή x > 4
⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (4,+∞)

Λύση
x − 7 < −4 είναι αδύνατη

Λύση
2x − 6 ⩽ 0 ⇔ 2x − 6 = 0
⇔ 2x = 6
⇔ x = 3

Λύση
x + 7 ≥ 0 ισχύει για κάθε x ∈ R

Να λυθεί η ανίσωση: x − 1 < x − 2

΄Οταν έχω ανίσωση της µορφής A(x) < B(x)
τότε υψώνω στο τετράγωνο και τα δυο µέλη για να ϕύγουν τα απόλυτα.

Λύση
x − 1 < x − 2 ⇔ x − 1 2
< x − 2 2
⇔ (x − 1)2
< (x − 2)2
⇔ x2
− 2x + 1 < x2
− 4x + 4
⇔ 4x − 2x < 4 − 1
⇔ x <
3
2

Να λυθεί η ανίσωση: 2 x − 1 < x − 2 + 3

΄Οταν έχω ανίσωση της µορφής κ A(x) + λ B(x) + ρ Γ(x) + µ < 0
τότε ϕτιάχνω πίνακα προσήµων για τις παραστάσεις που είναι µέσα στα
απόλυτα.

Λύση
Ο πίνακας προσήµων που προκύπτει είναι ο παρακάτω.
x −∞ 1 2 +∞
x − 1 − 0 + +
x − 2 − − 0 +

΄Αρα έχω τις περιπτώσεις: Για x ∈ (−∞,1)
΄Εχω,
2(−x + 1) < (−x + 2) + 3 ⇔ −2x + 2 < −x + 2 + 3
⇔ −x < 3
⇔ x > −3
Η οποία δεν συναληθεύει µε τον περιορισµό x ∈ (−∞,1)
΄Αρα η ανίσωση δεν έχει λύση για x ∈ (−3,1)

Για x ∈ (1,2)
΄Εχω,
2(x − 1) < (−x + 2) + 3 ⇔ 2x − 2 < −x + 2 + 3
⇔ 3x < 7
⇔ x <
7
3
Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x ∈ (1,2)
΄Αρα x ∈ (1,2)

Για x ∈ (2,+∞) ΄Εχω,
2(x − 1) < (x − 2) + 3 ⇔ 2x − 2 < x − 2 + 3
⇔ x < 3
Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x ∈ (2,+∞)
΄Αρα x ∈ (2,3)

Ερώτηση 6η
Ποιες ανισώσεις ονοµάζονται 2ου βαθµού;

Ανισώσεις 2ου ϐαθµού
Είναι ανισώσεις µεταξύ δυο δευτεροβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια
µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx2
+ βx + γ > ή < 0, όπου
α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, µε α ≠ 0.

Ερώτηση 7η
Πως λύνουµε µια ανίσωση 2ου βαθµού;

Επίλυση ανίσωσης δευτέρου ϐαθµού
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2
− 4 ⋅ α ⋅ γ.

Αν ∆ > 0 τότε ϕτιάχνουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων
x −∞ ρ1 ρ2 +∞
αx2
+ βx + γ οµόσηµο 0 ετερόσηµο 0 οµόσηµο
∆ > 0 του α του α του α
µε ρ1, ρ2 τις ϱίζες της εξίσωσης αx2
+ βx + γ = 0

Αν ∆ = 0 τότε ο πίνακας προσήµων είναι
x −∞ ρ +∞
αx2
+ βx + γ οµόσηµο 0 οµόσηµο
∆ = 0 του α του α
µε ρ τη ϱίζα της εξίσωσης αx2
+ βx + γ = 0

Αν ∆ = 0 ο πίνακας προσήµων είναι
x −∞ +∞
αx2
+ βx + γ οµόσηµο
∆ < 0 του α

Να λύσετε τις ανισώσεις:
x2
+ 3x ≤ 4
x2
+ 9 ≤ 6x
−
1
4
(x2
− 4x + 3) > 0

Λύση
x2
+ 3x ≤ 4 ⇔ x2
+ 3x − 4 ≤ 0
Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση: x2
+ 3x − 4 = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και -4.
΄Αρα έχουµε τον πίνακα προσήµων:
x −∞ -4 1 +∞
x2
+ 3x − 4 + 0 − 0 +
΄Αρα η x2
+ 3x ≤ 4 έχει λύσεις x ∈ (−4,1)

Λύση
x2
+ 9 ≤ 6x ⇔ x2
+ 9 − 6x ≤ 0
⇔ (x − 3)2
≤ 0
⇔ (x − 3)2
= 0
⇔ x = 3

Λύση
Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση: −
1
4
(x2
− 4x + 3) = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1
και 3
x −∞ 1 3 +∞
−
1
4
(x2
− 4x + 3) − 0 + 0 −
΄Αρα η −
1
4
(x2
− 4x + 3) > 0 έχει λύσεις x ∈ (1,3)

Ερώτηση 8η
Ποιες ανισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;

Παραµετρικές ανισώσεις
Είναι οι ανισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση

Να προσδιορίσετε το λ ∈ R∗
ώστε η ανίσωση:
λx2
+ (λ − 1)x + (λ − 1) < 0 να ισχύει για κάθε x ∈ R

Λύση
Λύση
Για να είναι το τριώνυµο λx2
+ (λ − 1)x + (λ − 1) < 0 ϑα πρέπει:
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
λ < 0
∆ < 0
Λύνουµε την ανίσωση ∆ < 0 ⇔ ... ⇔ −3λ2
+ 2λ + 1 < 0
Η τελευταία έχει ϱίζες τα λ1 = −
1
3
και λ2 = 1, όποτε ο πίνακας προσήµων της
είναι:
x −∞ −
1
3
1 +∞
x2
+ 3x − 4 − 0 + 0 −

Λύση
΄Αρα έχω
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
λ < 0
λ < −
1
3
ή λ > 1
που συναληθεύουν για λ < −
1
3

Ερώτηση 9η
Ποιες ανισώσεις ονοµάζονται πολυωνυµικές ;

Πολυωνυµικές ανισώσεις
Είναι οι ανισώσεις µεταξύ 2 πολυωνύµων

Ερώτηση 10η
Πως λύνουµε πολυωνυµικές ανισώσεις ;

Πολυωνυµικές ανισώσεις
1ου ϐαθµού χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους
2ου ϐαθµού µε διακρίνουσα και πίνακα προσήµων
3ου ϐαθµού και πάνω, κάνοντας παραγοντοποίηση, ώστε να έχω, µόνο,
παράγοντες 1ου και 2ου ϐαθµού.
Φτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά
ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί.

Παράδειγµα
Να λύσετε την ανίσωση: x4
− 3x3
− 3x2
+ 7x + 6 > 0

Λύση
Λύση
Κάνοντας παραγοντοποίηση µε το σχήµα του Horner, έχουµε:
x4
− 3x3
− 3x2
+ 7x + 6 = (x + 1)2
(x2
− 5x + 6)
Οπότε έχουµε να λύσουµε την ανίσωση:
(x2
− 5x + 6)(x2
+ 2x + 1) > 0

Λύση
Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι:
Η x2
−5x +6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο:
x −∞ 2 3 +∞
x2
− 5x + 6 + 0 − 0 +

Λύση
Η x2
− 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο:
x −∞ −1 +∞
x2
+ 2x + 1 + 0 +

Λύση
Ο ενιαίος πίνακας είναι:
x −∞ −1 2 3 +∞
x2
− 5x + 6 + + 0 − 0 +
x2
+ 2x + 1 + 0 + + +
(x2
− 5x + 6)(x2
+ 2x + 1) + 0 + 0 − 0 +

Λύση
΄Αρα το:
(x2
− 5x + 6)(x2
+ 2x + 1) > 0 για x ∈ (−∞,−1) ∪ (−1,2) ∪ (3,+∞)
(x2
− 5x + 6)(x2
+ 2x + 1) < 0 για x ∈ (2,3)
(x2
− 5x + 6)(x2
+ 2x + 1) = 0 για x = −1, 2, 3
΄Αρα x ∈ (−∞,−1) ∪ (−1,2) ∪ (3,+∞)

Ερώτηση 11η
Ποιες είναι ρητές ανισώσεις;

Ρητές ανισώσεις
Είναι οι ανισώσεις µεταξύ ϱητών συναρτήσεων

Ερώτηση 12η
Πως λύνω τις ρητές ανισώσεις;

Επίλυση ϱητών ανισώσεων
ΠΡΟΣΟΧΗ!!! στις ανισώσεις ∆ΕΝ κάνω απαλοιφή παρονοµαστών, αν δεν
γνωρίζω το πρόσηµο του Ε.Κ.Π..
Συγκεντρώνω όλες τις παραστάσεις στο 1ο µέλος και κάνω οµώνυµα.

Αν είναι της µορφής:
A(x)
B(x)
> 0 ⇔ A(x)B(x) > 0
και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο.

Αν είναι της µορφής:
A(x)
B(x)
> Γ(x) ⇔
A(x)
B(x)
− Γ(x) > 0
⇔
A(x) − B(x)Γ(x)
B(x)
> 0
⇔ [A(x) − B(x)Γ(x)]B(x) > 0
και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση, B(x) ≠ 0.

Να λύσετε την ανίσωση
x
x − 1
−
2
x + 1
<
8
x2 − 1

Λύση
Λύση
΄Εχω τους περιορισµούς x ≠ −1 και x ≠ 1
x
x − 1
−
2
x + 1
<
8
x2 − 1
⇔
x
x − 1
−
2
x + 1
−
8
(x − 1)(x + 1)
< 0
⇔
x(x + 1) − 2(x − 1) − 8
(x − 1)(x + 1)
< 0
⇔
x2
+ x − 2x + 2 − 8
(x − 1)(x + 1)
< 0
⇔
x2
− x − 6
(x − 1)(x + 1)
< 0
⇔ (x2
− x − 6)(x − 1)(x + 1) < 0

Λύση
Η x2
− x + 6 = 0 έχει ϱίζες το -2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο:
x −∞ −2 3 +∞
x2
− x + 6 + 0 − 0 +

Λύση
Η (x − 1)(x + 1) = 0 έχει ϱίζες το -1 και το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων
είναι ο:
x −∞ −1 1 +∞
(x − 1)(x + 1) + 0 − 0 +

Λύση
Ο εννιαίος πίνακας είναι:
x −∞ -2 -1 1 3 +∞
x2
− x + 6 + 0 − − − 0 +
(x − 1)(x + 1) + + 0 − 0 + +
(x2
− x − 6)(x − 1)(x + 1) + 0 − + − 0 +

Λύση
΄Αρα το:
(x2
− x − 6)(x − 1)(x + 1) < 0 για x ∈ (−2,−1) ∪ (1,3)

Ερώτηση 13η
Ποιες είναι άρρητες ανισώσεις;

΄Αρρητες ανισώσεις
Είναι αυτές που έχουν τον άγνωστο µέσα σε υπόριζο

Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις άρρητες ανισώσεις;

Επίλυση άρρητων ανισώσεων
Για να λύσω µια άρρητη ανίσωση:
Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα
υπόριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0
Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις
Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω
την ανίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς

Να λυθεί η ανίσωση
√
x2 + 3x > 2

Λύση
Λύση
΄Εχουµε τον περιορισµό x2
+ 3x ≥ 0.
Για να λύσω αυτή την ανίσωση, πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων.
Η αντίστοιχη εξίσωση x2
+ 3x = 0 έχει λύσεις το 0 και το -3.
Ο πινάκας προσήµων είναι ο παρακάτω:
x −∞ -3 0 +∞
x2
+ 3x + 0 − 0 +
΄Αρα, x ∈ (−∞,−3) ∪ (0,+∞)

Λύση
Τώρα ϑα λύσουµε την ανίσωση:
x2
+ 3x ≥ 4 ⇔ x2
+ 3x − 4 ≥ 0
Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση: x2
+ 3x − 4 = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και -4
x −∞ -4 1 +∞
x2
+ 3x − 4 + 0 − 0 +

Λύση
΄Αρα η x2
+ 3x ≤ 4
έχει λύσεις x ∈ (−∞,−4) ∪ (0,+∞)
Τις οποίες ϑα πρέπει να συναληθεύσω µε τους περιορισµούς
x ∈ (−∞,−3) ∪ (0,+∞)
΄Αρα η ανίσωση
√
x2 + 3x > 2 έχει λύσεις x ∈ (−∞,−4) ∪ (0,+∞)

Ερώτηση 15η
Ποιες είναι εκθετικές ανισώσεις;

Εκθετικές ανισώσεις
Είναι ανισώσεις µεταξύ εκθετικών συναρτήσεων

Ερώτηση 16η
Πως λύνω τις εκθετικές ανισώσεις;

Εκθετικές ανισώσεις
Για την επίλυση εκθετικής ανίσωσης εργαζόµαστε µε όµοιο τρόπο όπως και στις
εξισώσεις για να καταλήξουµε: θ
f(x)
< θ
g(x)
Αν θ > 1, τότε f(x) < g(x) δηλαδή η αρχική διάταξη παραµένει ίδια
Αν 0 < θ < 1, τότε f(x) > g(x) δηλαδή η αρχική διάταξη αλλάζει

Να λυθεί η ανίσωση 52x−4
> 1
Λύση
52x−4
> 1 ⇔ 52x−4
> 50
⇔ 2x − 4 > 0 ⇔ 2x > 4 ⇔ x > 2
διότι 5 > 1 και διατηρείται η αρχική διάταξη.

Να λυθεί η ανίσωση ex
−
1
e
< 0
Λύση
ex
−
1
e
< 0 ⇔ ex
<
1
e
⇔ (
1
e
)
−x
< (
1
e
)
1
⇔ −x > 1 ⇔ x < −1. διότι
1
e
< 1
και η αρχική διάταξη αλλάζει.

Να λυθεί η ανίσωση 8x
+ 3 > 0
Λύση
8x
+ 3 > 0 ⇔ 8x
> −3,
ισχύει αφού 8x
> 0 για κάθε x ∈ R.

Να λυθεί η ανίσωση
(
2
3
)
x
+ 1 ≤ 0
Λύση
(
2
3
)
x
+ 1 ≤ 0 ⇔ (
2
3
)
x
≤ −1 αδύνατο
γιατί (
2
3
)
x
> 0 για κάθε x ∈ R

Να λυθεί η ανίσωση: 5x
+ 51−x
< 6

Λύση
Λύση
5x
+ 51−x
< 6 ⇔ 5x
+
5
5x
< 6 ⇔ 52x
+ 5 < 5 ⋅ 5x
⇔ 52x
− 6 ⋅ 5x
+ 5 < 0.
Θέτω 5x
= ω, και αφού 5x
> 0 ϑα πρέπει και το ω > 0, οπότε ω2
− 6 ⋅ ω + 5 < 0
ω −∞ 1 5 +∞
ω2
− 6 ⋅ ω + 5 + 0 - 0 +
΄Αρα
ω2
− 6 ⋅ ω + 5 < 0 ⇔ 1 < ω < 5 ⇔ 1 < 5x
< 5 ⇔ 50
< 5x
< 51
⇔ 0 < x < 1.

Ερώτηση 17η
Ποιες είναι λογαριθµικές ανισώσεις;

Λογαριθµικές ανισώσεις
Είναι ανισώσεις µεταξύ λογαριθµικών συναρτήσεων

Ερώτηση 18η
Πως λύνω τις λογαριθµικές ανισώσεις;

Επίλυση λογαριθµικών ανισώσεων 1η κατηγορία
΄Οταν έχω να λύσω την ανίσωση logαf(x) = logαg(x) α > 1,
ουσιαστικά έχω να λύσω το σύστηµα ανισώσεων
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) > g(x)

Ιδιότητες λογαρίθµων
αx
= θ ⇐⇒ x = logαθ, θ > 0
ln 1 = 0, ln e = 1
log 1 = 0, log 10 = 1
ln(x1 ⋅ x2) = ln x1 + ln x2
ln
x1
x2
= ln x1 − ln x2
ln xκ
= κln x (ενώ lnκ
x = ln x ⋅ ... ⋅ ln x)
αx
= eln αx
= ex ln α

Να λυθεί η ανίσωση ln(x + 1) + ln(x − 2) < ln18

Λύση
Λύση
΄Εχω τους περιορισµούς, x + 1 > 0, x − 2 > 0 Η ln(x + 1) + ln(x − 2) < ln18
γράφετε ln(x + 1)(x − 2) < ln18. ΄Αρα έχω να λύσω το σύστηµα ανισώσεων
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x + 1 > 0
x − 2 > 0
(x + 1)(x − 2) < 18
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x > −1
x > 2
−4 < x < 5
⇐⇒ 2 < x < 5

Να λυθεί η ανίσωση xlogx+2
< 1015
, x > 0

Λύση
Λύση
xlogx+2
< 1015
⇐⇒ log(xlogx+2
) < log(1015
)
⇐⇒ (logx + 2)logx < 15log10
⇐⇒ log2
x + 2logx < 15, ϑέτω logx = w
⇐⇒ w2
+ 2w − 15 < 0
⇐⇒ −5 < w < 3
⇐⇒ −5 < logx < 3
⇐⇒ 10−5
< x < 103

Επίλυση λογαριθµικών ανισώσεων 2η κατηγορία
΄Οταν έχω να λύσω την ανίσωση logαf(x) = logαg(x) 0 < α < 1,
ουσιαστικά έχω να λύσω το σύστηµα ανισώσεων
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) < g(x)

Να λυθεί η ανίσωση log x −43 < 0

Λύση
Λύση
Η ανίσωση log x −43 < 0 γράφεται log x −43 < log1
Επειδή 3 > 1 και log x −43 < log1 Για να έχει νόηµα η ανίσωση ϑα πρέπει
0 < x − 4 < 1
΄Αρα έχω να λύσω το σύστηµα ανισώσεων
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x − 4 > 0
x − 4 < 1
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x > 4
x < 5
⇐⇒
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x < −4 ή x > 4
−5 < x < 5
⇐⇒ x ∈ (−5,4) ∪ (4,5)

ΤΕΛΟΣ
ΚΑΛΟ ∆ΙΑΒΑΣΜΑ

Ανισώσεις

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Plus de George Apostolou

Plus de George Apostolou (9)

Dernier

Dernier (14)

Ανισώσεις